불안정한 시스템을 안정적인 시스템으로 바꾸는 방법. 산업용 로봇용 자동 제어 시스템의 안정성 결정

이 섹션에서는 관리되는 시스템 품질의 가장 중요한 특성에 대해 설명합니다. 이러한 특성은 시스템 안정성, 정확도 및 노이즈 내성입니다.

안정성의 개념은 시스템의 입력 신호가 0과 같을 때의 상황을 나타냅니다. 외부 영향이 없습니다. 동시에 제대로 구성된 시스템은 평형(휴식) 상태이거나 점차 이 상태에 접근해야 합니다. 불안정한 시스템에서는 입력 신호가 0인 경우에도 자연 진동이 발생하고 결과적으로 허용할 수 없을 정도로 큰 오류가 발생합니다.

정확도의 개념은 입력 신호가 다양한 제어 시스템의 작동 품질과 관련이 있습니다. 적절하게 설계된 제어 시스템에서 주어진 제어 법칙 g(t)와 출력 신호 x(t) 사이의 불일치는 작아야 합니다.

마지막으로, 제어 시스템에 대한 간섭의 영향을 특성화하기 위해 간섭으로 인한 오차 성분의 분산 또는 표준 편차가 사용됩니다.

지속 가능성의 개념

선형 제어 시스템의 연구 및 설계에서 발생하는 첫 번째 질문 중 하나는 안정성에 대한 질문입니다. 선형 시스템은 지속 가능한평형 상태(휴식)에서 외부 영향에 의해 제거되면 외부 영향이 중단된 후 원래 상태로 돌아갑니다. 외부 영향이 종료된 후 시스템이 평형 상태로 돌아가지 않으면 불안정한. 제어 시스템이 정상적으로 작동하려면 안정적이어야 합니다. 그렇지 않으면 큰 오류가 발생합니다.

안정성의 결정은 일반적으로 다음에서 수행됩니다. 첫 단계제어 시스템의 생성. 이것은 두 가지 이유 때문입니다. 첫째, 안정성 분석은 매우 간단합니다. 둘째, 불안정한 시스템을 수정할 수 있습니다. 특수 수정 링크를 추가하여 안정 상태로 변환합니다.

대수 기준을 사용한 안정성 분석

시스템의 안정성은 자연 진동의 특성과 관련이 있습니다. 이를 명확히 하기 위해 시스템이 미분 방정식으로 설명된다고 가정합니다.

또는, 라플라스 변환 후,

여기서 g(p)는 입력 동작입니다.

안정적인 시스템은 입력 조치 g(p) 0 인 경우 휴식 상태로 돌아갑니다. 따라서 안정적인 시스템의 경우 동차 미분 방정식의 해는 t가 무한대에 가까워짐에 따라 0이 되는 경향이 있어야 합니다.

특성 방정식의 근 p1, p2, ... , pn을 찾으면 동차 방정식의 해는 로 작성됩니다.

어떤 경우에 시스템이 안정적입니까?

pk = ak이 실근이라고 가정합니다.

ck라는 용어가 이에 해당합니다. 아크에서< 0 это слагаемое будет стремиться к нулю, если t стремится к бесконечности. Если же ak >0, t가 무한대로 갈 때 x(t); . 마지막으로 ak = 0인 경우 t가 무한대에 가까워도 고려중인 항은 변하지 않고,

이제 이것이 특성 방정식의 복소근이라고 가정합시다. 이 경우 특성 방정식의 근도 됩니다. 두 개의 복소수 켤레근은 , 형태의 항에 해당합니다.

게다가 만약 ak< 0, то в системе имеются затухающие колебания. При ak >0 - 증가하는 진폭의 진동 및 ak = 0 - 일정한 진폭의 진동 сk.

따라서 특성 방정식의 모든 근의 실수부가 음수이면 시스템은 안정적입니다. 하나 이상의 루트에 실수부가 ak ³ 0이면 시스템이 불안정합니다. 특성 방정식의 하나 이상의 근이 실수부가 0이고 다른 모든 근의 실수부가 음수이면 시스템은 안정성 경계에 있다고 합니다.

이 정의는 기하학적으로 잘 설명되어 있습니다. 특성 방정식의 근을 복소 평면의 점으로 나타내자(그림 15).

모든 근이 복소수 변수의 왼쪽 반평면에 있으면 시스템이 안정적입니다. 하나 이상의 근이 복소수 변수의 오른쪽 반평면에 있으면 시스템이 불안정합니다. 뿌리가 가상 축에 있고 왼쪽 반평면에 있으면 시스템은 안정성 경계에 있다고 합니다.

예를 들어 하나의 통합 링크가 있는 폐쇄 제어 시스템을 고려하십시오. 이 경우 H(p) = , 및 폐쇄 시스템의 전달 함수

.

시스템 출력 x(p) = W(p)g(p) 또는 . 특성 방정식 p+k=0은 닫힌 제어 시스템의 전달 함수의 분모를 0과 동일하게 하여 작성됩니다. 이 경우 하나의 루트 p1= -k가 있습니다.< 0 и поэтому система управления всегда устойчива. Предположим теперь, что . Тогда . 특성 방정식 p2 + + k = 0. 따라서 p1,2=. 시스템은 안정성의 가장자리에 있습니다. 그것은 감쇠되지 않은 진동을 가지고 있습니다.

주파수 기준을 사용한 안정성 분석

안정성 분석에 대한 대수적 접근 방식의 주요 단점은 복잡한 제어 시스템에서 분모 рk, k=1, 2, ..., n의 근과 기본 매개변수 간의 연결을 설정하기 어렵다는 것입니다. 제어 시스템을 구성하는 링크. 이는 불안정한 시스템을 수정하는 데 어려움을 초래합니다. 안정성 분석을 단순화하기 위해 개루프 제어 시스템의 전달 함수 H(p)에 대해 이 분석을 수행하는 것이 바람직합니다.

1932년 미국 과학자 Nyquist는 피드백 증폭기의 안정성을 분석하는 효과적인 방법을 개발했습니다. 1938년 소련 과학자 A.V. Mikhailov는 Nyquist 방법을 폐쇄형 자동 제어 시스템으로 일반화했습니다.

Nyquist 기준은 개루프 제어 시스템의 전달 함수 H(jw)의 hodograph 구성을 기반으로 합니다. 전달 함수의 Hodograph H(j승) 는 주파수 w를 0에서 무한대까지 측정할 때 복소평면에서 벡터 H(jw) =|H(jw)|ejj(w)의 끝이 그리는 곡선입니다.

Nyquist 안정성 기준은 가장 간단하게 공식화됩니다. 개방형 시스템의 전달 함수 H(jw)의 hodograph가 복소 평면의 좌표(-1, j0)가 있는 점을 포함하지 않는 경우 폐쇄형 제어 시스템이 안정적입니다. 그림은 안정(그림 16, a) 및 불안정(그림 16, b) 제어 시스템의 hodograph의 예를 보여줍니다.

hodograph가 점 -1을 통과하면 시스템은 안정성 경계에 있다고합니다. 이 경우, 어떤 주파수 H(jw0)= -1에서 시스템은 주파수 w0의 감쇠되지 않은 진동을 가질 수 있습니다. 불안정한 시스템에서 신호 레벨 x(t)는 시간이 지남에 따라 증가합니다. 안정 - 감소.

안정의 한계

고려 중인 기준의 또 다른 이점은 제어 시스템의 안정성 여유를 결정할 수 있다는 것입니다. 안정성 마진은 두 가지 지표로 특징 지어집니다. 안정 마진을 얻다그리고 위상 안정 마진.

안정성 마진 확보값 g =1/|H(jw0)|에 의해 결정되며, 여기서 w0은 (그림 17a). 안정성 마진 g는 폐쇄 루프 시스템이 안정성 경계에 있기 위해 개방 루프 제어 시스템의 전달 함수 모듈러스가 몇 배나 변경(증가)해야 하는지를 보여줍니다. 필요한 안정성 여유는 계산된 것과 비교하여 작동 과정에서 시스템의 전송 계수가 얼마나 증가할 수 있는지에 따라 다릅니다.

위상 안정 마진각도 값으로 추정되며, 여기서 주파수 wсp는 차단 주파수, 는 조건 |H(jwcp)|=1에 의해 결정됩니다(그림 17, b).

Dj 값은 폐쇄 루프 시스템이 안정성 경계에 있기 위해 개방 루프 제어 시스템의 위상 특성이 얼마나 변해야 하는지를 보여줍니다. 위상 마진은 일반적으로 다음과 같은 경우 충분한 것으로 간주됩니다.
|디제이| ³ 30o.

대수 주파수 응답을 사용한 안정성 분석

많은 경우에, 개루프 제어 시스템은 전달 기능이 있는 n개의 일반적인 링크의 직렬 연결로 나타낼 수 있습니다. . 이 경우 개방형 시스템의 전달 함수는 제품에 의해 결정됩니다. . 대수 주파수 응답 개별 링크의 LAH 합계와 같습니다.

.

많은 기본 링크의 LAC가 직선 세그먼트로 근사화될 수 있기 때문에 개방형 제어 시스템의 LAC는 주파수 축에 대한 기울기가 10년당 20데시벨의 배수인 직선 세그먼트로도 표시됩니다.

예시.개방 시스템의 전달 함수를 다음과 같은 형식으로 하자.

.

이러한 시스템에는 두 개의 적분기, 전달 기능이 있는 부스팅 링크가 포함되어 있습니다. 전달 함수가 있는 비주기적 링크 . 이러한 시스템의 개별 링크의 LAH를 그림의 그래프 형태로 나타내자. 18, 에이. 제시된 그래프를 요약하면 개방형 시스템의 LAH를 얻습니다(그림 18, b).

그림에서 알 수 있듯이 전체 LAH의 구성은 매우 간단합니다. 점에서 LAH 기울기의 변화와 강제 및 비주기적 링크의 켤레 주파수에 해당하는 변화만 고려하면 됩니다.

폐쇄 루프 자동 제어 시스템의 안정성 조건을 확인하려면 주파수 축을 따라 동일한 로그 눈금에 위상 주파수 특성을 플롯해야 합니다. . 그러나 엔지니어링 계산의 경험에 따르면 개방형 시스템의 LAH가 주파수 근처에 있으면 폐쇄형 ACS가 일반적으로 안정적이고 안정성 여유가 있습니다.

컷오프의 기울기는 -20dB/dec입니다. 동시에 안정성 마진이 클수록 이 LAH 섹션의 길이가 커집니다. 일반적으로 기울기가 -20dB/dec인 섹션의 길이는 최소 1디케이드여야 한다고 믿어집니다. LAH 기울기가 -20dB/dec보다 큰 안정적인 ACS가 있지만 이러한 시스템의 경우 일반적으로 안정성 여유가 매우 작습니다.

연구 중인 ACS가 차단 주파수 주변에서 -20dB/dec보다 큰 기울기를 갖는다고 가정합니다(그림 19).

ACS 링크가 직렬로 연결될 때 그 LAH가 합산되는 것을 고려하면 시스템의 안정성을 보장하는 링크를 ACS에 포함시킬 필요가 있습니다. 고려 중인 경우, 그러한 링크는 그림 1과 같은 LAH와의 링크가 될 수 있습니다. 이십.

실제로 제어 시스템(그림 19)의 LAC와 추가 링크를 합산한 후 다음을 포함한 모든 주파수에서 20dB/dec의 일정한 기울기를 갖는 LAC를 얻습니다.

차단 주파수. 고려 중인 예에서 추가 수정 링크의 전달 함수는 Hf(jw) = 1+jwTf이고 w1 = 1/Tf입니다. 제어 시스템의 안정성을 보장하기 위한 추가 링크의 도입을 호출합니다. 보정자주포 및 링크 자체 - 시정.

이 섹션에서는 제어 시스템의 품질에 대한 가장 중요한 지표 중 하나인 선형 시스템의 안정성을 연구하는 방법을 고려했습니다. 특정 시스템의 분석에 이러한 방법을 적용하는 것은 일반적으로 다음과 같이 수행됩니다. 먼저, 개루프 제어 시스템의 LAH가 구축됩니다. 시스템이 불안정하면 차단 주파수에서 LAH 기울기가 -20dB/dec이고 필요한 안정성 여유가 제공되는 방식으로 수정 링크가 선택되고 도입됩니다. 그 후 Nyquist-Mikhailov 기준을 사용하여 조정된 시스템의 안정성을 반드시 조사하고 이득 및 위상에 대한 안정성 마진의 정확한 값을 결정합니다. 필요한 경우 그 후 제어 시스템의 매개변수가 변경되어 주어진 안정성 여유를 보장합니다.

페이지\*병합 형식 14

강의 #4

ACS 안정성

섭동이 제거된 후 시스템이 원래 상태로 돌아가는 특성을 안정성이라고 합니다.

정의.

곡선 1과 2는 안정적인 시스템을 특징으로 하고, 곡선 3과 4는 불안정한 시스템을 특징으로 합니다.ε

안정성의 가장자리에 있는 시스템 5 및 6 5 - 중립 시스템, 6 - 진동 안정성 한계.

연산자 형식의 SAC 미분 방정식은 다음 형식을 갖습니다.

그런 다음 미분 방정식(시스템의 운동)의 해는 두 부분으로 구성됩니다. 입력 동작과 같은 종류의 강제 이동.

C가 여러 루트가 없는 경우나 - 초기 조건에서 결정된 적분 상수,

 1 ,  2 …,  n 특성 방정식의 근

특성의 뿌리 위치

복소 평면의 시스템 방정식

특성 방정식의 근은 섭동의 유형이나

초기 조건은 계수 a에 의해서만 결정됩니다. 0 , а 1 , а 2 ,...,а n , 즉 시스템의 매개변수와 구조입니다.

1 - 루트는 0보다 큰 실수입니다.

0보다 작은 2-루트 실수;

3-루트는 0과 같습니다.

4-2개의 제로 루트;

실수부가 다음과 같은 5-2 복소수 켤레 근

긍정적인;

6-2 개의 복소수 켤레 근, 실수 부분은 음수입니다.

7-2개의 허수 켤레 근.

안정성 분석 방법:

1. 직선(미분 방정식 풀기 기반)
2. 간접(안정성 기준).

AM의 정리 랴푸노프.

정리 1.

정리 2.

메모:

1. 특성방정식의 근 중 0근이 두 개 이상 있으면 시스템이 불안정합니다.
2. 하나의 루트가 0이고 다른 루트가 모두 왼쪽 절반 평면에 있으면 시스템은 중립입니다.
3. 2개의 근이 허수 켤레이고 다른 모든 근이 왼쪽 반평면에 있으면 시스템은 안정성의 진동 경계에 있습니다.

ACS 안정성 기준.

안정성 기준은 특성 방정식의 근을 계산하지 않고 시스템의 안정성을 찾을 수 있는 규칙입니다.

1877년 Rous 설치:

1. Hurwitz 안정성 기준

이 기준은 1895년에 개발되었습니다.

닫힌 시스템의 특성 방정식을 정의합니다. 방정식은 다음과 같은 형식으로 축소됩니다. 0 > 0.

다음 규칙에 따라 주요 Hurwitz 행렬식을 구성합니다.

방정식의 계수는 두 번째부터 마지막까지 주 대각선을 따라 작성되고, 대각선에서 위쪽 열은 지수가 증가하는 계수로 채워지고, 대각선에서 아래쪽 열은 지수가 감소하는 계수로 채워집니다. 방정식에 계수가 없고 지수가 0보다 작거나 큰 계수 대신에 n 0을 씁니다.

우리는 주요 Hurwitz 행렬식에서 대각선 소수 또는 가장 단순한 행렬식을 선택합니다.

기준의 공식화.

2차 이상의 시스템의 경우 특성 방정식의 모든 계수의 양수 외에도 다음 부등식을 충족해야 합니다.

1. 3차 시스템의 경우:
2. 4차 주문 시스템의 경우:
3. 5차 시스템의 경우:

1. 6차 시스템의 경우:

예시. Hurwitz에 따라 시스템의 안정성을 조사하기 위해 특성 방정식이 제공됩니다.

지속 가능한 시스템을 위해서는

2. 루스 기준

Routh 기준은 고차 시스템의 안정성 연구에 사용됩니다.

기준의 문구:

루스 테이블.

표를 채우는 알고리즘: 첫 번째 줄과 두 번째 줄에 짝수 및 홀수 인덱스가 있는 방정식의 계수가 작성됩니다. 나머지 행의 요소는 다음 규칙에 따라 계산됩니다.

이 기준의 장점은 모든 순서의 시스템의 안정성을 연구할 수 있다는 것입니다.

2. 나이퀴스트 안정성 기준

인수 원리

빈도 방법의 기초는 인수 원칙입니다.

다음 형식의 다항식 속성을 분석해 보겠습니다.

어디서  나는 - 방정식의 근

복잡한 평면에서 각 루트는 잘 정의된 점에 해당합니다. 기하학적으로 각 루트i 원점에서 점까지 그린 벡터로 나타낼 수 있습니다. 나는 : | i | - 벡터 길이, 인수i - 벡터와 x축의 양의 방향 사이의 각도. D(p)를 푸리에 공간에 매핑하자. - i 는 기본 벡터입니다.

기본 벡터의 끝은 허수축에 있습니다.

모듈로 벡터 및 인수(위상)

벡터의 시계 반대 방향 회전 방향은 POSITIVE로 간주됩니다. 그런 다음 변경할 때 모든 기본 벡터( j  -  나는 ) 각도만큼 회전합니다 + , 만약  i 왼쪽 절반 평면에 있습니다.

D( )=0이 m이라고 하자 오른쪽 반 평면에 뿌리와 n-m 왼쪽에 뿌리를 둔 다음 증가함에 따라 에서 벡터 D(j)의 인수 변경까지 ) (회전각 D(j) ), 기본 벡터의 인수 변경 합계와 동일)는

인수 원칙:

Nyquist 기준은 ACS의 개방 회로의 주파수 특성을 기반으로 하는데, 폐쇄 시스템의 안정성은 개방 회로의 주파수 특성의 형태로 판단할 수 있기 때문입니다.

Nyquist 기준은 다음과 같은 이유로 엔지니어링 실무에서 광범위하게 적용됩니다.

1. 폐쇄 상태에서 시스템의 안정성은 개방 회로의 주파수 전달 함수에 의해 연구되며, 이 함수는 대부분 단순 요인으로 구성됩니다. 계수는 시스템의 실제 매개변수이므로 안정성 조건에서 선택할 수 있습니다.
2. 안정성을 연구하기 위해 시스템의 가장 복잡한 요소(규제 대상, 집행 기관)의 실험적으로 얻은 주파수 특성을 사용할 수 있으므로 얻은 결과의 정확도가 높아집니다.
3. 안정성은 LFC로 연구할 수 있으며 구성이 어렵지 않습니다.
4. 안정성 마진을 결정하는 것이 편리합니다.

1. 열린 상태에서 안정적인 시스템

보조 기능을 도입하고 교체하자 p  j  ,

인수 원칙에 따르면 인수 D(j ) 및 D s(j  ) 0에서<  <  같음 그러면 호도그래프입니다여 1 (j  )는 원점에 걸쳐 있으면 안 됩니다.

분석 및 계산을 단순화하기 위해 반경 벡터의 원점을 원점에서 점(-1,제이 0), 하지만 도우미 기능 대신여 1 (j  ) 우리는 개방 루프 AFC를 사용합니다여 (j  ).

기준 #1의 공식화

예.

AFC의 포지티브 및 네거티브 전환 수의 차이는 포인트의 왼쪽(-1, j 0)은 0과 같습니다.

2. 열린 상태에서 가상의 축에 극이 있는 시스템

AFC 시스템의 안정성을 분석하기 위해 무한히 큰 반경의 원이 추가됩니다. 0은 0 극점에서 양의 실수 반축에 대해 반시계 방향으로, 그리고 순수 허수근의 경우 AFC의 불연속점에서 시계 방향으로 반원입니다.

기준 #2의 공식화

1. 불안정한 개방 회로 시스템

보다 일반적인 경우 - 개루프 시스템의 전달 함수의 분모는 오른쪽 반평면에 있는 근을 포함합니다. 개방 루프 시스템의 불안정성은 두 가지 이유로 인해 발생합니다.

1. 불안정한 링크 존재의 결과;
2. 포지티브 또는 네거티브 피드백으로 덮인 링크의 안정성 손실의 결과입니다.

엑스 이론적으로 닫힌 상태의 전체 시스템은 로컬 피드백 루프를 따라 불안정한 상태에서 안정적일 수 있지만 실제로 이 경우는 바람직하지 않으며 안정적인 로컬 피드백만 사용하려고 시도하는 것을 피해야 합니다. 이는 바람직하지 않은 속성, 특히 시스템에 일반적으로 존재하는 비선형성으로 인해 일부 모드에서 안정성 손실 및 자체 진동의 출현으로 이어질 수 있는 조건부 안정성의 출현으로 인한 것입니다. 따라서 일반적으로 시스템을 계산할 때 주 피드백이 열린 상태에서 안정적인 로컬 피드백이 선택됩니다..

특성 다항식을 보자 D(p ) 개방형 시스템의중 양의 실수부가 있는 근입니다.

그 다음에

교체 시 보조 기능피  제  안정적인 폐쇄 시스템에 대한 인수 원칙에 따라 인수가 다음과 같이 변경되어야 합니다.

기준 #3의 공식화

Ya.Z의 문구 치프키나

LFC의 나이퀴스트 기준

참고: 정적 시스템의 LFC 위상 응답은 모노톤 섹션 + /2  0.

실시예 1 여기서 m =0  시스템은 안정적이지만 감소케이 시스템은 불안정할 수 있으므로 이러한 시스템을 조건부 안정이라고 합니다.	실시예 2 20LK 1/T0 여기 모든 k에 대해 시스템이 불안정합니다. 이러한 시스템을 구조적으로 불안정하다고 합니다.
실시예 3 AFC는 좌표(-1,제이 0) 1/2배이므로 폐쇄계는 안정하다.	실시예 4 에서 0 AFC에는 불연속성이 있으므로 음의 실수 반축에서 반경이 무한히 큰 호로 보완해야 합니다. -1에서 -까지의 영역에서 하나의 긍정적인 전환과 하나의 반 부정적인 전환이 있습니다. 개방 시스템의 특성 다항식은 하나의 양수 루트를 가지므로 시스템이 불안정하기 때문에 양수 및 음수 전환의 차이는 -1/2이고 닫힌 시스템의 안정성에는 +1/2가 필요합니다.

절대적으로 안정적개방 회로 이득이 감소하더라도 안정적으로 유지되는 시스템이라고 하며, 그렇지 않으면 시스템이 조건부로 안정적입니다.

매개변수를 변경하여 안정적으로 만들 수 있는 시스템을구조적으로 안정적인, 그렇지 않으면 구조적으로 불안정합니다.

지속 가능성 마진

정상 작동을 위해 모든 ACS는 안정성 경계에서 제거되어야 하며 충분한 안정성 여유가 있어야 합니다. 이것은 다음과 같은 이유로 필요합니다.

1. ACS 요소의 방정식은 원칙적으로 이상화되며, 컴파일될 때 2차 요소는 고려되지 않습니다.
2. 방정식이 선형화되면 근사 오류가 추가로 증가합니다.
3. 요소의 매개변수는 약간의 오류로 결정됩니다.
4. 동일한 유형의 요소에 대한 매개변수에는 기술적인 확산이 있습니다.
5. 작동 중에 요소의 매개 변수는 노화로 인해 변경됩니다.

공학적 계산의 실행에서 가장 널리 사용되는 것은 좌표(-1,제이 0), 두 가지 지표로 평가됩니다. 위상 안정성 마진 및 안정성 마진 모듈로(진폭)시간.

ACS가 최소한의 안정성 마진을 갖기 위해서는 및 H , 개방 회로의 AFC는 안정성 기준을 만족하면서 그림 4에서 음영 처리된 링 부분에 들어가지 않아야 합니다. 1, 어디시간 관계에 의해 결정된다

안정성이 조건부로 안정적인 시스템의 LFC에 의해 결정되는 경우 최소한 h는 다음과 같이 필요합니다.

a) h  L  - h에서 위상 주파수 특성이 부등식을 만족θ > -180  +  또는 θ< -180  -  , 즉. 그림 1의 음영 영역 1에 진입하지 않았습니다. 2;

b) -180에서  +   θ  -180  -  진폭-주파수 특성이 부등식을 만족엘< - h или L >시간 , 즉. 그림 2에서 음영 처리된 영역 2" 및 2""에 들어가지 않았습니다.

절대적으로 안정적인 시스템의 경우 안정성 마진 와 h는 그림 1과 같이 결정됩니다. 삼:

1. 위상 마진

1. 여백 모듈로 h =- L(ω -π ), 여기서 ω -π θ=-180인 주파수˚ .

안정성 마진의 필수 값은 ACS 등급 및 규제 품질 요구 사항에 따라 다릅니다. 대략 다음과 같아야 합니다. = 30  60  및 h = 6  20dB.

진폭의 최소 허용 안정성 마진은 최소 6dB(즉, 개방형 시스템의 전달 계수가 임계값보다 2배 작음)이고 위상이 최소 25dB이어야 합니다. 30 .

순수 지연 링크가 있는 시스템의 안정성

개루프 AFC가 점(-1,제이 0), 시스템은 안정 직전에 있습니다.

전달 계수가 1 미만인 관성 링크가 회로에 포함되어 있으면 순수한 지연이 있는 시스템을 안정적으로 만들 수 있으며 다른 유형의 교정 장치도 가능합니다.

구조적으로 안정적인 시스템과 구조적으로 불안정한 시스템

시스템의 품질(안정성 측면에서)을 변경하는 한 가지 방법은 개루프 비율을 변경하는 것입니다.

k L( ) 상승하거나 하락할 것입니다. 만약 k 증가, L( ) 상승 및  cf 증가하고 시스템이 불안정하게 유지됩니다. 만약케이 감소, 시스템을 안정적으로 만들 수 있습니다. 이것은 시스템을 수정하는 한 가지 방법입니다.

시스템의 매개변수를 변경하여 안정적으로 만들 수 있는 시스템을 STRUCTURALLY STABLE이라고 합니다.

이러한 시스템에는 중요한 개방 루프 비율이 있습니다. K 크리. 이것은 시스템이 안정 직전에 있을 때 그러한 전달 계수입니다.

구조적으로 불안정한 시스템이 있습니다. 시스템의 매개변수를 변경하여 안정적으로 만들 수 없지만 시스템의 구조를 변경하려면 안정성이 필요한 시스템입니다.

예시.

세 가지 경우를 고려하십시오.

1. 허락하다

그 다음에

시스템의 안정성을 확인합시다.

Δ \u003d a 3 Δ 2\u003e 0.

k rs.cr을 결정하기 위해. 0과 동일 2 .

그 다음에

언제

고려 중인 시스템은 링크의 매개변수를 변경하여 안정화될 수 있으므로 구조적으로 안정적입니다.

1. 첫 번째 경우와 동일하게하십시오.

이제 제어 채널에 정적 오류가 없습니다.

Hurwitz 안정 조건:

 2 =0이면 시스템이 불안정합니다.

이 시스템 1차 구조적으로 안정적입니다.

1. 허락하다

시스템은 항상 불안정합니다. 이 시스템은 구조적으로 불안정합니다.

강의 7

이전 강의에서는 ACS의 정상 프로세스에 대해 공부했습니다. 이제 일시적인 프로세스를 고려합니다. 우리는 안정성의 개념으로 그것들을 고려하기 시작합니다.

모든 시스템은 무엇보다 먼저 작동해야 합니다. 그 의미 다양한 외부 교란의 작용에 따라 정상적으로 작동해야 합니다. 즉, 시스템이 안정적으로 작동해야 합니다.

지속 가능성 -시스템의 이 속성은 어떤 영향의 결과로 시스템이 종료된 후 원래 상태로 돌아가거나 정상 상태에 가깝습니다.

무화과에. 7.1은 불안정한 시스템(그림 7.1, a)과 안정적인 시스템(그림 7.1, b)에서 일반적인 과도 곡선을 보여줍니다. 만약 시스템이 불안정한, 그러면 어떤 충격도 초기 정상 상태를 떠나는 발산 과정이 시작되기에 충분합니다. 이 프로세스는 비주기적(그림 7.1, a의 곡선 1) 또는 진동(그림 7.1, a의 곡선 2)일 수 있습니다.

예를 들어, 물체에 대한 충격의 극성이 제어 장치에서 잘못 전환된 경우 ACS에서 비주기적인 발산 프로세스가 발생할 수 있으며, 그 결과 제어 장치가 물체 주위에 음이 아닌 양의 피드백을 구현합니다. 이 경우 CU는 편차를 제거하지 않습니다. ~에, 그러나 반대 방향으로 작용하여 눈사태와 같은 변화를 일으킵니다.

진동 발산 프로세스는 예를 들어 시스템의 전송 계수가 무제한으로 증가하여 발생할 수 있습니다. 결과적으로 제어 장치는 처음에 발생하는 편차를 제거하기 위해 물체에 너무 적극적으로 작용합니다. ~에. 이 경우 각 연속 반환 ~에제어 장치 곡선의 작용으로 0으로 ~에속도가 증가하면서 x축을 가로지르며 프로세스 전체가 분기됩니다.

안정적인 시스템(그림 7.1, b)의 경우, 어떤 영향에 의해 야기된 과도 과정은 시간이 지남에 따라 비주기적으로(곡선 1) 또는 진동적으로(곡선 2) 감쇠하고 시스템은 다시 정상 상태로 돌아갑니다.

따라서 안정적인 시스템은 일시적인 프로세스가 감쇠되는 시스템으로도 정의할 수 있습니다.

위의 안정성 개념은 다음을 정의합니다. 정상 상태 안정성시스템. 그러나 시스템은 정상 상태가 전혀 없을 때 지속적으로 변화하는 영향 조건에서 작동할 수 있습니다. 이러한 운영 조건을 감안할 때 지속 가능성에 대한 보다 일반적인 정의는 다음과 같습니다. 시스템에 대한 제한된 크기의 섭동의 영향으로 출력 값이 제한적으로 유지되면 시스템이 안정적입니다.

시스템의 과도 과정이 감쇠되면 시스템도 마지막 정의를 충족한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

선형 자동 제어 시스템은 출력 좌표 y(t)가 절대값으로 제한된 입력 동작 x(t) 및 f(t)에 대해 제한적으로 유지되는 경우 안정적이라고 합니다. 선형 시스템의 안정성은 특성에 의해 결정되며 작용하는 영향에 의존하지 않습니다.

따라서 선형 시스템의 안정성을 결정하려면 제어 변수의 변화를 찾아야 합니다. 선형 시스템의 블록 다이어그램은 그림 7.2에 나와 있습니다. 여기서 W(s)는 개루프 시스템의 전달 함수이며 일반적으로 두 번째 강의에서 정의된 형식은 다음과 같습니다.

쌀. 7.2. 선형 시스템의 구조도

그림 1에 표시된 닫힌 시스템의 전달 함수. 7.2는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

(7.1)을 (7.2)에 대입하고 닫힌 시스템의 전달 함수의 분자와 분모에서 분수를 제거하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

(7.3)에서 다음과 같이 시스템(그림 7.2)의 프로세스는 다음 형식의 미분 방정식으로 설명됩니다.

일반적인 형태의 선형 비균일 방정식(7.4)의 해는 알려진 바와 같이 두 가지 구성요소로 구성됩니다.

여기 - 전환 프로세스가 끝난 후 설정되는 시스템의 강제 모드를 설명하는 오른쪽이있는 이질 방정식 (7.5)의 특정 솔루션. - 균질 방정식의 일반 솔루션

시스템의 일시적인 프로세스를 설명합니다.

위에 표시된 것처럼 섭동으로 인한 과도 현상이 감소하면 시스템이 안정적입니다. 시간이 지남에 따라 0이 되는 경향이 있습니다.

알려진 바와 같이 균질 미분 방정식의 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

여기 시는 초기 조건과 섭동에 의해 결정된 적분 상수입니다. 나는특성 방정식의 근입니다.

여기서 특성 다항식이라고 하는 다항식은 시스템 역학의 방정식(7.4)의 왼쪽입니다.

복소변수 이론에서 루트 s의 실수부가 나음수이면 항은 t ® ¥로 0이 되는 경향이 있습니다.

따라서 시스템의 안정성을 위해 필요하고 충분하다 , 에게 특성 방정식의 모든 근에는 음의 실수부가 있습니다.

복소 평면의 점으로 시스템의 특성 방정식의 근을 표현하면(그림 7.3) 위에서 찾은 선형 시스템의 안정성에 대한 일반 조건도 다음과 같이 공식화할 수 있습니다. 시스템의 안정성 조건은 특성 방정식의 모든 근의 위치입니다. 시스템의 전달 함수의 극은 왼쪽 복소수 반평면에 있거나 간단히 말해서 모두 왼쪽에 있어야 합니다..

쌀. 7.3. 복소 평면의 특성 방정식의 근입니다.

가상 축에 루트가 있다는 것은 시스템이 켜져 있음을 의미합니다. 안정의 경계. 이 경우 두 가지 경우가 가능합니다.

원점에서 루트;

한 쌍의 가상 뿌리.

제로 루트는 특성 방정식의 자유 항이 0일 때 나타납니다. 이 경우 안정성 한계를 비주기적인 ; 시스템은 출력 신호와 관련하여가 아니라 그 파생물에 대해 안정적입니다. 정상 상태의 출력 신호는 임의의 값을 갖습니다. 이러한 시스템을 중립적으로 안정 .

특성 방정식에 한 쌍의 허수근이 있는 경우 안정성 경계를 진동 , 과도 상태에서는 감쇠되지 않은 고조파 진동이 있습니다.

근 중 하나 이상이 양의 실수부를 갖는 경우, 즉 특성 방정식의 근의 복소 평면의 오른쪽 절반 평면에 있으면 시스템이 불안정합니다.

시스템의 안정성을 판단하기 위해 이러한 근의 실수 부분의 기호를 판단하는 데 사용할 수 있는 간접 기호가 개발되어 안정성이 향상되었기 때문에 특성 방정식의 근을 찾는 것이 실제로 필요하지 않습니다. 특성 방정식 자체를 풀지 않고 시스템의 이러한 간접 기호를 지속 가능성 기준.

Routh-Hurwitz 기준, Mikhailov 기준 및 Nyquist 기준의 세 가지 주요 안정성 기준이 있습니다. 순차적으로 살펴보겠습니다.

지속 가능성외부 입력 작용으로 평형 상태에서 벗어나면 독립적으로 평형 상태로 되돌아가는 시스템의 속성이라고 합니다. 평형은 제어 변수가 있을 때 시스템의 상태입니다. 와이(티)은 일정하고 모든 파생 상품은 0과 같습니다. 안정성 연구는 자동 제어 이론의 주요 작업 중 하나입니다.

이미 언급했듯이 제어 프로세스는 전환 프로세스에 의해 결정됩니다. 변경의 법칙 와이(티) 변경 후 엑스(티). ACS 과도 과정은 ACS 미분 방정식 (1)을 풀면 얻을 수 있습니다. 이 솔루션은 두 구성 요소의 합으로 나타낼 수 있습니다. ~에(티) 및 과도기 요 피(티):

와이(티) = ~에(티) + 요 피(티),

어디 에(티)은 시스템의 속성과 입력 동작의 유형에 의해 결정됩니다. ACS는 시간이 지남에 따라 일시적인 구성 요소가 0이 되는 경향이 있는 경우 안정적입니다.

과도 과정의 유형에 따라 시스템의 안정성을 명확하게 판단할 수 있습니다. 감쇠 과도 과정(일부 상수로 수렴)은 안정적인 시스템에 해당하며 발산(무한대로 진행) - 불안정합니다.

불안정한 ACS의 일시적인 과정의 예.

ACS의 안정성을 연구할 때 다음 작업이 해결됩니다.

ACS가 주어진 매개변수에 대해 안정적인지 확인합니다.

안정성을 위반하지 않고 ACS 매개 변수의 허용 가능한 변경 결정;

안정될 수 있는 ACS의 매개변수 및/또는 구조를 검색합니다.

랴푸노프의 정리

필요하고 충분하다 안정 상태선형 ACS는 랴푸노프 정리:

ACS의 특성 방정식에 음의 실수부가 있는 모든 근이 있으면 시스템이 안정적입니다.

하나 이상의 근에 양의 실수부가 있으면 ACS가 불안정합니다.

ACS의 특성방정식은 미분방정식의 형태나 시스템의 전달함수에 따라 작성된다. 따라서 라플라스 변환 후 방정식 (1)에서 다음을 얻습니다(유도 (2) 참조).

형식의 평등의 왼쪽에 있는 다항식:

~라고 불리는 특성. 특성 다항식을 0으로 설정하면 특성 방정식시스템 또는 링크:

ACS의 특성 방정식의 순서에 해당하는 수인 특성 방정식의 근은 실수, 복잡하고 순전히 허수일 수 있습니다. 그것들은 복잡한 양의 평면에서 점으로 나타낼 수 있습니다. 아르 자형. 정리에 따르면 시스템의 안정성을 위해서는 모든 뿌리가 왼쪽 반면에 있어야 하고 충분합니다. 특성 방정식의 근의 복소 평면에서 가능한 분포 중 하나의 예 지속 가능한 5차 ACS는 그림 1에 나와 있습니다. 75.

특성 방정식의 근 중 허수 축에 있는 0근 또는 켤레 순수 허수 한 쌍이 있는 경우 시스템은 안정성 경계에 있습니다. 5차 ACS의 특성 방정식의 근의 복소 평면에서 가능한 분포의 예, 안정성의 가장자리에그림에 나와 있습니다. 77.

한 쌍의 가상 근이 있는 시스템은 감쇠되지 않은 진동(자체 진동)을 수행할 수 있습니다. 이러한 시스템은 실제로 작동할 수 없습니다.

쌀. 77

Lyapunov 정리에 의한 안정성 평가의 예와 평가 결과와 ACS 과도 응답 간의 연결을 살펴보겠습니다.

3차 ACS가 다음 형식의 특성 방정식을 갖도록 하십시오.

무화과에. 78은 수학 패키지 Mathcad를 사용하여 얻은 이 방정식을 풀은 결과를 보여줍니다. 방정식의 근 세트는 괄호 안에 표시됩니다. 보시다시피, 방정식의 뿌리 중 하나는 다음과 같습니다. 부정적인실수 -3.55이고 나머지 두 개는 켤레 복소수입니다. 부정적인실수부 -0.525: (-0.525 - 0.657 제이) 및 (-0.525 + 0.657 제이).

유사하게, 다음 형식의 특성 방정식을 사용하여 3차의 또 다른 ACS를 고려하십시오.

무화과에. 도 80은 수학 패키지 Mathcad를 사용하여 얻은 이 방정식을 풀은 결과를 보여줍니다. 방정식의 근 세트는 괄호 안에 표시됩니다. 보시다시피, 방정식의 뿌리 중 하나는 다음과 같습니다. 부정적인실수 -7.2이고 나머지 두 개는 켤레 복소수입니다. 긍정적인 1.31의 실수부: (1.31 + 4.64 제이) 및 (1.31 - 4.64 제이), 즉. Lyapunov 정리에 따르면 복잡한 평면의 뿌리 분포는 ACS의 불안정성을 증명합니다.

ACS 지속 가능성 기준

안정성을 평가하려면 복잡한 평면의 좌표축을 기준으로 시스템의 특성 방정식의 근 위치를 추정해야 합니다. 이 추정은 특성 방정식을 직접 풀어서 만들 수 있습니다. 그러나 안정성을 결정하기 위해 특성 방정식의 근의 값을 알 필요는 없으며 모든 근의 실수 부분이 음수인지 확인하면 충분합니다.

특성 방정식의 근을 직접 찾지 않고도 시스템의 안정성을 조사할 수 있도록 하는 규칙을 지속 가능성 기준.

제어 이론 개발 초기 단계에서 다항식의 근을 계산하지 않고 다항식의 안정성을 결정하는 문제는 주제였습니다. 고차의 특성 방정식은 "손으로" 풀기가 어려웠습니다. 이제 컴퓨터 프로그램을 사용하여 특성 다항식의 근을 쉽게 찾을 수 있지만 이 접근 방식을 사용하면 예를 들어 ACS의 개별 매개변수에 대한 안정성 영역의 경계를 결정하는 것과 같이 이론적으로 안정성을 연구할 수 없습니다.

안정성 기준의 도움으로 시스템 안정성의 사실이 확립될 뿐만 아니라 안정성에 대한 시스템의 특정 매개변수 및 구조적 변화의 영향도 평가됩니다. 수학적으로 모든 형태의 안정성 기준은 동일합니다. 그것들은 특성 방정식의 근이 복잡한 좌표계의 왼쪽 반평면에 속하는 조건을 결정합니다.

6.2.1. 후르비츠 기준

Hurwitz 기준은 특성 방정식의 계수에 대한 대수 연산의 결과를 기반으로 ACS가 안정적인지 여부를 결정할 수 있는 안정성의 대수적 기준을 나타냅니다.

실제 ACS의 대부분은 닫혀 있습니다. 공통 단위 피드백이 있으므로 다음 형식의 전달 함수가 있습니다.

,

어디 W배(아르 자형)는 개방형 ACS의 전달 함수입니다(일반 피드백은 고려하지 않음).

해당 개방 루프 ACS의 전달 함수가 주어진 경우 폐쇄 루프 ACS의 특성 방정식 유도를 고려하십시오. (17)에 따르면 ACS의 특성 방정식은 전달 함수의 분모를 0과 동일하게 하여 얻어지며, 따라서 닫힌 시스템의 경우 다음과 같이 씁니다.

그러나 (2)에 따른 개방형 시스템의 전달 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

따라서 닫힌 시스템의 특성 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

분수는 분자가 0일 때 0이므로 닫힌 시스템의 특성 방정식은 열린 시스템 전달 함수의 분자와 분모의 다항식의 합으로 작성할 수 있으며 결과 표현식을 0으로 동일시합니다.

(18)

중요한! Hurwitz 기준을 적용하기 위해 특성 방정식을 작성하는 특별한 형식이 사용되며, 이는 다항식 계수의 역 번호 매기기에 의해 (16)과 다릅니다.

Hurwitz 기준은 다음 크기를 갖는 특성 방정식의 계수 행렬을 사용합니다. N´ N, 다음과 같이 구성됩니다.

특성 방정식의 모든 계수는 다음부터 시작하여 주 대각선을 따라 작성됩니다. ㅏ 1과 끝 엔;

각 행은 짝수 인덱스와 홀수 인덱스가 있는 행이 번갈아 표시되도록 왼쪽에서 오른쪽으로 인덱스가 증가하는 계수로 보완됩니다.

계수가 없는 경우 및 지수가 0보다 작거나 큰 경우 N, 그 자리에 0이 기록됩니다.

결과는 행렬이며, 첫 번째 행에는 방정식 (19)의 계수가 포함됩니다. ㅏ 1 ,ㅏ 3 ,ㅏ 5 ,… (모두 홀수) 및 누락된 요소 대신 0, 두 번째 줄은 계수 ㅏ 0 ,ㅏ 2 ,ㅏ 4 ,… (모두 짝수 포함) 및 누락된 요소 대신 0. 세 번째 줄은 첫 번째 줄을 오른쪽으로 한 위치 이동하고 네 번째 줄은 두 번째 줄을 오른쪽으로 한 위치 이동하는 식으로 진행됩니다. 예를 들어, 5차 ACS의 경우( N= 5) 이 행렬의 형식은 다음과 같습니다.

Hurwitz 기준은 다음과 같이 ACS의 안정성을 위한 필요 충분 조건을 결정합니다. SAC 특성 방정식의 모든 근에는 음의 실수부가 있습니다. 0 > 0계수 행렬의 모든 n Hurwitz 행렬식이 양수입니다..

Hurwitz 행렬식은 다음과 같이 계산됩니다.

특성 방정식의 모든 계수가 양수인 조건에서 다음 항목만 확인하면 충분합니다. N– 전체 행렬에 대한 행렬식을 계산하지 않고 첫 번째 Hurwitz 행렬식 1개. 이 조건에서 낮은 차수의 시스템에 대한 Hurwitz 기준의 특정 경우는 계수 행렬의 행렬식을 확장하여 얻습니다. 따라서 행렬식의 공개 결과 1차 및 2차 ACS의 경우 안정성을 위한 필요 충분 조건은 특성 방정식의 모든 계수의 실제 양수입니다. 3차 ACS의 경우 - 모든 계수의 양성 및 형식 조건:

Hurwitz 기준을 사용하여 컨트롤러의 정적 변환 계수 값을 결정합니다. 케이고려 중인 시스템이 안정적입니다. 열린 ACS의 전달 함수를 작성해 보겠습니다.

(18)을 사용하여 닫힌 ACS의 특성 방정식을 작성합니다.

형식 (19)에 따라 해당 방정식의 경우 계수는 각각 다음과 같습니다.

이 3차 방정식의 모든 계수가 양수이면, 필요조건안정성은 또한 조건 (20)의 충족입니다.

ㅏ 1× ㅏ 2 – ㅏ 0 × ㅏ 3 > 0,

따라서 정적 변환 계수의 값이 케이다음 조건을 충족합니다.

앞서 연구한 리아푸노프 정리(그림 78 및 그림 80 참조)를 사용하여 연구한 3차 계의 Hurwitz 기준으로 안정성을 추정하는 예를 살펴보자. 3차 ACS에 대한 Hurwitz 계수 행렬의 일반적인 형식은 다음과 같습니다.

,

저것들. 고려된 ACS에 대한 Hurwitz 행렬은 각각 다음과 같습니다.

그리고
.

두 ACS의 특성방정식은 모든 계수의 양수 기준을 만족하므로 Hurwitz 기준으로 안정성을 평가하기 위해서는 양수를 계산하여 확인하는 것으로 충분하다. N– 1개의 첫 번째 Hurwitz 결정인자, 즉. 세 번째 순서 - 두 번째 행렬식. Mathcad를 사용하여 얻은 고려 중인 시스템(그림 78 및 그림 80 참조)에 대한 Hurwitz 행렬의 두 번째 행렬식을 계산한 결과가 그림 1에 나와 있습니다. 83– ㅏ그리고 무화과. 83– 비각기. 알 수 있는 바와 같이, Hurwitz 안정성 평가의 결과는 이전에 얻은 Lyapunov 추정치 및 고려된 ACS의 과도 특성을 구성한 결과와 일치합니다(각각 그림 79 및 그림 81 참조). 양의 결정자는 a에 해당합니다. 안정적인 ACS, 불안정한 ACS에 대한 부정적인 결정인자.

식 (21)에 따른 호도그래프는 주파수 w를 0에서 +¥로 변경하여 계산되며, 복소평면에 구축된다.

Mikhailov 기준은 다음과 같이 ACS의 안정성을 위한 필요 충분 조건을 결정합니다. ACS는 다음과 같은 경우 안정적입니다. 0+로¥ Mikhailov 벡터 A(j)의 hodograph승 )은 실제 축의 양의 부분에서 시작하여 0으로 돌리지 않고 시계 반대 방향으로 회전하여 복소 평면의 n 사분면을 연속적으로 통과합니다. 여기서 n은 ACS의 특성 다항식 차수입니다.

안정적인 시스템의 경우 Mikhailov hodograph는 부드러운 나선 모양을 가지며 w = 0에서 특성 방정식의 자유 항과 동일한 세그먼트를 양의 방향으로 실제 축에서 자릅니다. ㅏ 0 .

Mikhailov hodograph의 형태로 ACS 안정성의 경계 상태를 결정할 수도 있습니다. 첫 번째 유형의 안정성 경계의 경우, 즉 ACS의 특성 방정식은 근이 0입니다(그림 77 참조). 특성 방정식의 자유 항이 없습니다. ㅏ 0 = 0이고 hodograph는 원점에서 시작합니다. 두 번째 유형의 안정성 경계, 즉 ACS의 특성 방정식은 한 쌍의 순수 허수근(그림 77 참조)을 가지며, hodograph는 0이 아닌 특정 값 w에서 원점을 통과(0으로 변함)하고, 이 값은 감쇠되지 않은 진동의 주파수입니다. 시스템.

이전에 Lyapunov 정리를 사용하여 연구한 3차 계의 Mikhailov 기준으로 안정성을 추정하는 예를 살펴보자(그림 78 및 그림 80 참조). 이러한 시스템의 Mikhailov hodographs를 계산하는 공식은 각각 다음과 같습니다.

첫 번째 ACS에 대한 Mikhailov의 hodograph가 그림 1에 나와 있습니다. 84. 보시다시피, 그 형식은 기준의 모든 조건을 충족합니다.

hodograph는 실수 축의 양의 부분에서 시작합니다(실제 축의 w = 0에서 절단 특성 방정식의 자유 항과 동일한 세그먼트 ㅏ 0 = 3);

사라지지 않는다;

주파수 w의 값이 증가함에 따라 시계 반대 방향으로 회전하면 1사분면과 2사분면을 차례로 통과하고 3사분면에서는 w ® ¥로 무한대로 이동합니다.

높은 차수의 특성 방정식을 갖는 시스템의 경우 ( N= 5 이상) 네 번째 이후 Mikhailov 기준의 조건을 확인할 때 사분면 계산은 같은 순서로 시계 반대 방향으로 계속됩니다. 즉, 예를 들어 5차의 안정적인 ACS의 경우 hodograph는 4사분면을 순차적으로 통과하고 첫 번째(hodograph의 경우 - 5번째 순서)로 돌아가서 무한대로 이동해야 합니다. 다음 형식의 hodograph를 계산하는 공식을 사용하여 5차의 안정적인 ACS에 대한 Mikhailov의 hodograph의 예:

그림에 나와 있습니다. 86. 분석의 편의를 위해 주파수 w의 낮은 값에서 얻은 hodograph의 초기 섹션은 별도의 조각으로 표시됩니다. w = 0인 hodograph는 실수축의 양의 부분에서 시작하여 시계 반대 방향으로 순차적으로 5사분면을 지나 5분의 1에 무한대로 가는 것을 볼 수 있습니다.

APC(진폭 위상 특성)에 대한 Nyquist 기준은 다음과 같이 공식화됩니다. 주파수가 0에서 로 변할 때 해당 개방 시스템의 AFC가 좌표 [-1, j0]의 점을 포함하지 않으면 폐쇄 시스템이 안정적입니다.

통합 링크를 포함하지 않는 임의의 개방형 ACS를 고려해 보겠습니다. 이 경우 주파수 w = 0에 대한 AFC 값은 ACS의 정적 변환 계수와 같습니다.

여(제이 w) = 여(제이 0) = 케이.

이 경우 전달 함수의 분자의 차수가 분모의 차수보다 작으면 좌표가 있는 점에서 시작하는 AFC의 그래프( 케이, 제이 0) 주파수가 0에서 ¥로 변할 때 원점으로 향합니다. 무화과에. 88– ㅏ표시된 AFC 지속 가능한 ACS - 그래프가 좌표 [-1, 제이 0], 그리고 Fig. 88– 비– 불안정한(그래프는 요점을 다룹니다).

ACS에 통합 링크가 있는 경우 w = 0의 AFC는 무한대로 바뀝니다. 이 경우 AFC 그래프는 실제 축에서 시작하지 않고 무한대에서 시작됩니다. 이 경우 Nyquist 기준으로 안정성을 평가하기 위해 등고선에는 APC 곡선뿐만 아니라 실제 축에서 시계 방향으로 그린 ​​무한 반지름 원의 일부도 포함됩니다. 예시 지속 가능한이 유형의 AFC가 있는 ACS가 그림 1에 나와 있습니다. 90– ㅏ, 불안정한- 그림에서. 90– 비.

쌀. 90

ㅏ)

비)

다음 형식의 전달 함수가 있는 개방형 시스템에 해당하는 폐쇄형 자동 제어 시스템의 예를 사용하여 AFC에 대한 Nyquist 기준에 의한 안정성 평가의 예를 고려하십시오.

우리는 주어진에 따라 씁니다 W배(피) AFC 계산 공식:

주파수 w를 0에서 +¥로 변경하면 수학 패키지 Mathcad를 사용하여 개방형 ACS의 AFC를 플로팅합니다(그림 91). 분석의 편의를 위해 점 [-1, 제이 0]은 주파수 w의 큰 값에 대해 얻은 것으로 그림 1에 나와 있습니다. 91개의 개별 조각. 이 조각은 그래프가 커버점 [-1, 제이 0], 따라서 닫힌 ACS는 불안정한.

쌀. 91

6.2.4. LACH 및 LPCH에 대한 나이퀴스트 기준

대수 진폭-주파수 및 위상-주파수 특성에 대한 나이퀴스트 기준은 다음과 같이 공식화됩니다. 폐쇄 루프 시스템은 해당 개방 루프 시스템의 특성에 대해 두 가지 조건이 충족되면 안정적입니다.

- ACS의 차단 주파수와 동일한 주파수에서승 180도 미만의 모듈 위상 응답: < 180° ;

- 와 같은 주파수에서 wp LAFC 값이 0보다 작음: L(ㅁ)< 0.

기준의 문구에서 다음과 같이 개방형 ACS의 특성으로 조건을 확인하려면 먼저 두 가지 주파수를 결정해야 합니다. 차단 주파수 w 와 함께및 주파수 w p . 그런 다음 발견된 빈도 값에 대해 기준의 두 조건 모두의 타당성을 확인해야 합니다.

ACS 차단 주파수시스템의 LAFC가 주파수 축과 교차하는 주파수라고 합니다. 엘(w 와 함께) = 0. 이 주파수는 단위 이득 주파수 ACS, ACS의 출력에서 ​​이 주파수의 신호는 입력에서와 동일한 진폭을 갖기 때문에: 아웃 = 에. 이 경우 다음이 참입니다.

중요한! ACS의 개별 일반 장치와 전체 시스템의 차단 주파수 개념을 혼동하지 마십시오. 일반적인 링크의 차단 주파수 정의는 "참고" 열에서 고려됩니다. 애플리케이션 1.

빈도 w p ACS는 ACS의 PFC가 "플러스" 기호 또는 "마이너스" 기호가 있는 180°와 동일한 주파수입니다. PFC가 ±180 좌표를 여러 번 교차하면 가장 오른쪽 지점에 대한 조건이 확인됩니다.

중요한!고려 중인 특성은 차단 주파수 w 와 함께및 주파수 w p는 모든 ACS에 사용할 수 없습니다. 시스템의 LAFC가 주파수 축과 전혀 교차하지 않는 경우 엘(w) w의 모든 값에 대해 ¹ 0이면 그러한 시스템에는 차단 주파수가 없습니다. 유사하게, 시스템의 PFC가 주파수 값에 대해 ±180°의 값을 취하지 않으면 이 ACS는 매개변수 wp로 특성화되지 않습니다. 이러한 경우 지속 가능성을 평가하기 위해 다른 기준을 선택해야 합니다.

무화과에. 92– ㅏ주파수 w를 결정하는 방법이 표시됩니다. 와 함께및 wp.

쌀. 92

ㅏ)

비)

예: 1) 차단 주파수 ws가 없는 LACHH ACS; 2) 주파수가 없는 LFCH ACS w p .

그림 1과 같이 개방형 ACS의 특성에 대한 나이퀴스트 기준 조건의 타당성을 확인해보자. 92– ㅏ. 수량을 그래픽으로 정의합시다. 엘(w p) 및 j(w 와 함께) 그림과 같이 92– 비.본 것처럼, 엘(ㅁ)< 0, а < 180°, 즉 Nyquist 기준의 두 조건이 모두 충족되므로 고려되는 열린 ACS에 해당하는 닫힌 ACS는 다음과 같습니다. 지속 가능한. 무화과에서. 92– 비우리는 또한 Nyquist 기준에 따른 ACS의 안정성에 대해 다음 조건으로 충분하다는 결론을 내릴 수 있습니다. 와 함께 < w p .

그림 1의 개방형 ACS의 특성은 다음과 같습니다. 93– 엘(wp) > 0, 그리고 > 180°, 즉 Nyquist 기준의 두 조건이 모두 충족되지 않으므로 고려되는 열린 ACS에 해당하는 닫힌 ACS는 다음과 같습니다. 불안정한. 무화과에서. 93– ㅏ우리는 또한 Nyquist 기준에 따른 ACS의 불안정성에 대해 다음 조건으로 충분하다는 결론을 내릴 수 있습니다. 와 함께> ㅁ .

쌀. 93

ㅏ)

비)

폐쇄형 시스템에 해당하는 개방형 ACS의 특성 안정성의 가장자리에, 엘(wp) = 0 및 = 180° w 와 함께= w p (그림 93 참조– 비). 이러한 시스템의 경우 주파수가 w인 신호의 경우 와 함께, 즉. 단일 이득의 주파수에서 입력에 대한 출력 신호의 위상 편이는 -180°입니다. 이것은 ACS를 통과한 후 신호 크기가 부호를 변경하여 절대값(에너지)을 유지한다는 것, 즉 감쇠되지 않은 진동이 설정되었음을 의미합니다. 이러한 ACS의 AFC는 그림 1에 나와 있습니다. 89 .

다음 형식의 전달 함수를 갖는 개방형 시스템에 해당하는 폐쇄형 자동 제어 시스템의 예를 사용하여 LAFC 및 LPFC에 대한 Nyquist 기준에 의한 안정성 평가의 예를 고려하십시오.

공식 (11)과 (12)에 따라 수학 패키지 Mathcad를 사용하여 구축된 개방형 ACS의 LAFC 및 LPFC 그래프가 그림 1에 나와 있습니다. 94. 그림에서 알 수 있듯이 LAFC는 w에 대해 0입니다. 와 함께» 13.5초 -1 . 주파수 w p » 5.7 s -1에서 LPFC는 부호를 변경합니다. j(w)가 –180° 값에 도달한 후(반지름 벡터가 시계 방향으로 회전하면 상반면으로 이동) 위상 변이 판독값은 다음에서 계속됩니다. 양수 값의 영역 . 이 경우 Nyquist 기준의 두 가지 조건 중 두 번째 조건만 공식적으로 위반됩니다. 차단 주파수에서 LAFC의 값은 음수가 아닙니다( 엘(wp) » 18 > 0). 첫 번째 조건( < 180°)가 공식적으로 충족됩니다. » 130° < 180°. 그러나 130° 위상 전진은 부호 변경 없이 시계 방향으로 계산할 때 다음 지연에 해당한다는 점을 이해해야 합니다.

j(w 와 함께) = –360° + 130° = –230°,

따라서 닫힌 ACS는 불안정합니다. w 값을 비교하여 동일한 결론에 도달할 수 있습니다. 와 함께및 w p: w 와 함께> ㅁ . AFC에 대한 Nyquist 기준에 따라 이 ACS의 안정성 평가, 마지막에 수행 부분 6.2.3은 또한 지속 가능성의 부족을 보여주었습니다.

Lyapunov 정리를 사용하여 Nyquist 기준에 따른 안정성 추정치를 확인해 보겠습니다. 주어진 바에 따르면 공식 (18)을 사용하여 닫힌 ACS의 특성 방정식을 작성합니다.

수학 패키지 Mathcad를 사용하여 얻은 닫힌 ACS의 특성 방정식의 해는 다음 형식을 갖습니다.

방정식의 근 세트는 괄호 안에 표시됩니다. 보시다시피, 방정식의 뿌리 중 하나는 다음과 같습니다. 부정적인실수 -17.74이고 나머지 두 개는 켤레 복소수입니다. 긍정적인실수 부분은 3.657입니다. 이 근은 각각 (3.657 + 12.22 제이) 및 (3.657–12.22 제이). 저것. Lyapunov 정리에 따르면 닫힌 ACS 불안정한이는 두 Nyquist 기준을 사용하여 얻은 안정성 평가 결과와 일치합니다.

쌀. 94

ACS 안정성 마진

명세서 ACS의 일부인 장치는 작동 중에 변경되므로 ACS 전달 함수의 상수는 시간이 지남에 따라 변경됩니다. 조사님, 안정적인 시스템을 설계하는 것만으로는 충분하지 않습니다. 소유 지속 가능성의 매장량. 여백은 안정성 경계에서 시스템의 거리를 결정합니다.

진폭 안정성 마진디 엘데시벨 단위의 값이 호출되며, 이에 따라 개방 ACS의 LAFC를 위로 이동하여 해당하는 안정적인 폐쇄 시스템을 안정성 한계로 가져오는 것이 필요합니다. 무화과에. 그림 95는 Nyquist 기준을 이용한 안정성 평가의 예에서 초기 특성을 고려한 안정적인 ACS의 LAFC의 상향 이동을 보여줍니다(그림 92-참조). 비).

여기서 A(wp)< 1 – модуль АФХ на частоте w p .

아는 D 엘, 해당 폐쇄 시스템이 안정성 경계에 있는 개방형 ACS의 정적 변환 계수 값을 결정할 수 있습니다.

;

,

(23)

어디 케이

다음 형식의 전달 함수를 사용하여 개방형 ACS에 대한 정적 변환 계수의 경계 값을 결정하는 예를 고려하십시오.

이 ACS의 LACHH 및 LPCHH는 그림 1에 나와 있습니다. 96. 성능 그래프에 따르면 ACS의 차단 주파수는 w 와 함께» 50초 -1, LPFC는 주파수 w p » 100초 -1에서 –180°에 도달한 다음 부호를 변경합니다. 이 ACS의 진폭 안정성 마진은 다음과 같습니다.
따라서, 식 (23)에 따르면:

.

ACS의 정적 변환 계수를 다음과 같은 값으로 변경할 때 k gr, ACS의 LFC는 변경되지 않지만 LFC는 위쪽으로 이동합니다(그림 96 참조). 알 수 있듯이 찾은 값으로 k gr= 425.975 개방형 ACS w의 차단 주파수 와 함께 1 은 100 s -1 과 같게 됩니다. 승 와 함께 1 = wp . 따라서 LAFC 및 LPFC에 대한 Nyquist 기준에 따라 고려된 개루프 제어 시스템에 해당하는 폐쇄 시스템은 실제로 안정성 경계에 있게 됩니다.

무화과에. 그림 97은 Nyquist 기준을 사용한 안정성 평가의 예에서 초기 특성을 고려한 개루프 ACS의 LFC의 하향 이동을 보여줍니다(그림 92-참조 비). 볼 수 있는 바와 같이 원래 LPFC의 평행 이동은 Dj(w 와 함께) 개방 ACS의 주파수 편이 wp로 이어집니다. 왼쪽으로: 점선으로 표시된 새로운 LPFC의 경우 이 주파수의 값은 w p1 = w 와 함께이는 LAFC 및 LPFC에 대한 Nyquist 기준에 따라 닫힌 시스템이 안정성 경계에 있음을 나타냅니다. 무화과에서. 97 수량 Dj(w 와 함께)는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

w를 기억하십시오 와 함께이것은 단일 이득 주파수입니다. ACS의 출력에서 ​​이 주파수를 가진 신호는 입력에서와 동일한 진폭 값을 갖습니다. 따라서 AFC 점에 그려진 반경 벡터의 길이는 w에 해당합니다. 와 함께, 는 1과 같습니다. 이 점은 AFC 그래프에서 단위 반경의 원과 교차하는 지점에서 찾을 수 있습니다(그림 98 참조).

무화과에서. 98 열린 ACS의 AFC 그래프가 Dj(w 와 함께), 그래프는 점 [-1, 제이 0], AFC에 대한 Nyquist 기준에 따라 폐쇄 시스템을 안정성 한계로 가져옵니다.

동일한 AFC에 대해 진폭의 안정성 마진 정의를 고려하십시오. 주파수 wp는 ±180°의 위상 변이에 해당하므로 이 주파수에 해당하는 AFC 점은 그래프와 실제 축의 교차점에서 찾을 수 있습니다(그림 99). ACS의 출력에서 ​​이러한 주파수로 신호 진폭의 감쇠 계수를 결정하는 AFC 모듈은 AFC의 원점에서 해당 지점까지 그린 반경 벡터의 길이와 같습니다. 그림에서 AFC의 경우 99 이 값은 A(w p)와 같으며 이를 사용하여 공식 (22)를 사용하여 D를 계산할 수 있습니다. 엘.

어디 케이– 원래 열린 ACS의 정적 변환 계수.

앞서 계산한 개방형 ACS의 AFC에 따라 정적 변환 계수의 경계 값을 결정하는 예를 살펴보겠습니다. k gr대수 특성에 따라 수행되었습니다(식(23)에서 시작하여 그림 96까지 참조). 초기 값이 있는 이 ACS의 AFC 케이= 107은 그림에 나와 있습니다. 100. 점 [-1, 제이 0] 그 단편이 별도로 표시됩니다. 보시다시피 초기 값이 있는 ACS는 케이 AFC 계수 A(w p) » 0.25, 따라서 공식 (25)에 따라:

찾은 값 k gr= 428은 LAFC( k gr= 425.975). 계산 오류는 그래프 D의 대략적인 결정으로 인한 것입니다. 엘및 A(wp).

쌀. 100

그림에서 알 수 있듯이. 100, ACS 정적 변환 계수가 다음과 같은 값으로 변경될 때 k gr= 428, AFC ACS는 좌표가 [–1, 제이 0], 이는 AFC에 대한 Nyquist 기준에 따라 고려된 개방형 ACS에 해당하는 폐쇄형 시스템이 실제로 안정성 경계에 있음을 의미합니다.

진폭별 ACS 안정성 마진디 L 및 위상디제이(w 와 함께), 과도 응답에 의해 결정된 지표와 함께(참조. 장 2.3.2.), 관리 품질의 주요 지표입니다.

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위에서 고려한 안정성(결정 기준과 함께)은 자동 제어 시스템의 유일한 속성이 아닙니다. 시스템의 특징은 안정성 마진, 안정성 영역, 매력, 규제 품질 및 기타 특성입니다. 그 중 몇 가지를 살펴보겠습니다.

구조적 안정성(불안정성)

이것은 매개변수가 변경되어도 안정될 수 없는 닫힌 시스템의 속성입니다.

허락하다
. 이 시스템에 대한 Nyquist hodograph는 그림 A에 나와 있습니다. 이 시스템의 안정성은 매개변수 값에 의해 결정됩니다. 그리고
. 고려 중인 시스템은 구조적으로 안정적입니다.

허락하다
. (그림 B). 안정성은 또한 매개변수에 달려 있습니다 그리고 . 시스템은 구조적으로 안정적입니다.

허락하다
. 어쨌든 (매개 변수 값에 대해) 시스템은 불안정합니다. 즉, 시스템이 구조적으로 불안정합니다.

특정 경우에 전달 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
. 이 경우 닫힌 시스템의 해당 특성 방정식은 다음과 같습니다. 뿌리와 기둥의 간헐성의 원리는 위반됩니다. 시스템이 불안정합니다. 구조적으로 불안정합니다.

전달 기능 시스템
- 닫힌 시스템의 경우 구조적으로 불안정하지만 계수는
,
,
,
, 모두 양수이지만 조건은 다음을 의미합니다.
, 어디
, 또는
. 즉, 시스템이 불안정합니다.

체계
구조적으로도 안정적이다. 여기 링크가 있습니다
- 준 비주기적(정적으로 불안정함). 닫힌 시스템의 특성 방정식. 두 가지 경계 조건을 얻을 수 있는 곳:
그리고
.

단일 루프 시스템의 경우 다음 조건이 발생합니다(Meierov M.V.).

단일 루프 시스템은 다음으로 구성됩니다.

- 링크 통합,

- 불안정한 링크,

- 보수적인 링크. 그런 다음 시스템에 차별화된 연결이 없는 경우 다음과 같은 경우 구조적으로 안정적입니다.

다중 루프 시스템의 경우 시스템에 포함된 각 루프에 마이어의 관계를 적용해야 합니다.

안정의 한계

안정성 감지 사실은 시스템의 작동 가능성에 대한 확신을 주지 않습니다.

다음과 같은 이유로 부정확성(오류)이 발생할 수 있습니다.

시스템의 수학적 설명이 이상적입니다.

링크는 종종 선형화됩니다.

매개변수 결정의 부정확성;

작업 조건의 변화(시뮬레이션된 조건과 관련하여).

따라서 안정적인 마진이 필요합니다.

Hurwitz 기준을 사용할 때 여백은 끝에서 두 번째 미성년자의 값에 의해 결정됩니다.

만약
- 안정성 마진이 없습니다.
- 재고가 있습니다.

시스템의 안정성 마진은 안정성의 정도를 나타냅니다.

안정성의 여유와 안정성의 정도는 특성방정식의 근의 위치와 시스템의 주파수 특성에 의해 결정될 수 있다.

유사하게, 로그 특성에 의해 안정성 마진을 결정할 수 있습니다 엘( ) 그리고  ( ) , Nyquist 기준으로 안정성을 결정하는 데 사용됩니다.

안정영역

실제로 자동 제어 시스템의 설계자는 시스템이 안정적인 매개변수의 공간(영역, 한계, 범위)에 관심이 있습니다. 시스템에 안정성 속성이 있는 매개변수 값 집합을 시스템의 안정성 영역이라고 합니다.

안정성 영역을 결정하는 몇 가지 방법이 있습니다.

대수적 Hurwitz 안정성 기준을 기반으로 합니다.

D-파티션 방식;

루트 궤적 방법.

안정영역 후르비츠에 따르면부등식 대신 Hurwitz 조건에서 등식을 사용하여 결정됩니다. 대부분의 경우 원하는 영역의 경계를 다음 조건에서 결정할 수 있습니다.
. ("중요 이득 결정" 참조). 여기에서 관심 매개 변수의 종속성이 결정됩니다. 매개변수 에서. 결과 종속 ()는 시스템 안정성 영역의 경계입니다.

상위 시스템에서는 다른 미성년자를 고려해야 합니다. 이 경우 안정 영역이 좁아질 수 있습니다.