집 난방 시스템 고조파 선형화 방법. 조화 선형화 방법: 조화 선형화 방법에 의한 비선형 시스템의 실험실 작업 해석 지침

고조파 선형화 방법. 조화 선형화 방법: 조화 선형화 방법에 의한 비선형 시스템의 실험실 작업 해석 지침

몇 가지 예를 들어 조화 선형화 계수의 계산을 설명하겠습니다. 첫 번째는 대칭 진동이고 다음은 비대칭 진동입니다. 홀수 대칭 비선형성 F(x)가 단일 값이면 (4.11) 및 (4.10)에 따라 다음을 얻습니다.

그리고 계산할 때 큐(4.11) 기간의 4분의 1에 걸쳐 통합으로 제한하여 결과를 4배로 늘릴 수 있습니다.

루프 비선형성 F(x)(홀수 대칭)의 경우 전체 표현식(4.10)이 발생합니다.

그리고 당신은 공식을 사용할 수 있습니다

즉, 반주기에 걸쳐 통합 결과를 두 배로 늘립니다.

예 1. 우리는 3차 비선형성을 조사합니다(그림 4.4, i):

탐닉 q(a)그림에 나와 있습니다. 4.4, 비.무화과에서. 4.4, 하지만주어진 진폭에 대해 i가 직선임을 알 수 있습니다. q(a)x주어진 곡선 의존성 F(x)의 평균을 구합니다.

줄거리 -а £ 엑스£ . 하지만. 당연히 경사도가 q(a)이 평균선의 기울기 q(a)x진폭과 함께 증가 하지만(3차 특성의 경우 이 증가는 2차 법칙에 따라 발생합니다).

예제 2. 루프 릴레이 특성을 조사합니다(그림 4.5, a). 무화과에. 4.5.6은 공식 (4.21)에 대한 적분 F(a sin y)를 보여줍니다. 릴레이 스위칭은 ½에서 발생합니다. 엑스½=b , 따라서 전환하는 순간 값 y1은 식 sin y1= b에 의해 결정됩니다. /하지만.공식 (4.21)에 의해 우리는 ( ㅏ³b)

무화과에. 4.5, b는 그래프 q(a) 및 q"(a).첫 번째는 평균 직선 q( 하지만)엑스변화 하지만(그림 4.5, a 참조). 당연히 q( ㅏ)à0 at aà¥ at, 출력 신호가 일정하기 때문에 (F( 엑스)=c) 입력 신호의 무제한 증가 엑스.물리적 고려 사항에서 이유는 또한 명확합니다. 큐" <0. Это коэффициент при производной в формуле (4.20). Положительный знак давал бы опережение сигнала на выходе, в то время как гистерезисная петля дает запаздывание. Поэтому естественно, что 큐" < 0. Абсолютное значение 큐"루프가 특성 F( 엑스), 변수의 변동 진폭이 클수록 엑스.

(4.13)에 따른 이러한 비선형성의 진폭-위상 특성(그림 4.5, a). 형태로 제시

또한, 비선형성의 출력에서 첫 번째 고조파의 진폭과 위상은 각각 다음과 같은 형식을 갖습니다.

어디 큐그리고 큐"위에서 정의했습니다(그림 4.5, b). 결과적으로 고조파 선형화는 비선형 좌표 지연(히스테리시스 루프)을 선형 시스템의 등가 위상 지연 특성으로 변환하지만 상당한 차이가 있습니다. 즉, 선형 시스템에는 없는 입력 진동의 진폭에 대한 위상 변이의 의존성입니다.

실시예 3 입력).이전과 유사하게, 우리는 각각,

그림에 표시된 것. 4.6, b, a.

예 4. 사각 지대, 선형 단면 및 포화가 있는 특성을 조사합니다(그림 4.7, a). 여기 큐"= 0, 그리고 계수 큐(ㅏ) 그림에 따라 두 가지 값 변형이 있습니다. 4.7, b, 여기서 F(a sin y)는 다음과 같습니다.

1) b1 £ £ b2에 대해 (4.19)에 따르면

즉, 비율을 고려하여 ㅏ죄 y1 = 비 1 제공

2) ³ b2의 경우

sin y2 = b2 관계를 고려하면,

그래프로 결과가 그림 1에 나와 있습니다. 4.7, 가.

예 5. 특별한 경우로 해당 계수 q(a)두 가지 특성(그림 4.8, a, b)은 동일합니다.

이는 그림 1에 그래픽으로 표시됩니다. 4.8, ㄴ, 지.동시에 포화 특성(그림 4.8, a)에 대해 q=k 0 파운드에서 ㅏ£ 비.

이제 조화 선형화 계수를 계산하는 예를 보여 드리겠습니다. 비대칭 진동동일한 비선형성으로.

예 6. 3차 비선형성 F( 엑스) =kx 3공식 (4.16)에 의해 우리는

그리고 공식에 의해 (4.17)

예 7. 루프 릴레이 특성의 경우(그림 4.5, 하지만)우리가 가지고 있는 것과 같은 공식에 의해

예 8. 사각지대가 있는 특성(그림 4.1: 1)의 경우 동일한 식이 발생합니다. F°그리고 큐.그들의 그래프는 그림 1에 나와 있습니다. 4.9 에이, ㄴ.어디에서 큐"== 0. 이상적인 릴레이 특성(그림 4.10)에 대해 다음을 얻습니다.

그림에 표시된 것. 4.10, a 및 b.

실시예 9 엑스 0 ½ 우리는

이러한 의존성은 Fig. 4.11, 비,입력.

예 10. 비대칭 특성의 경우

(그림 4. 12, a) 공식 (4.l6)에 의해 우리는

그리고 공식에 의해 (4.17)

결과는 그림 1에 그래픽으로 표시됩니다. 4.12, 비그리고 입력.

이 예제에서 얻은 조화 선형화 계수의 표현과 그래프는 연구 문제를 풀 때 아래에 사용됩니다.

자기 진동, 강제 진동 및 제어 프로세스.

시스템의 선형 부분의 필터 속성(강의 12)을 기반으로 대략 다음 형식의 비선형 요소 입력에서 비선형 시스템(그림 4.21)의 주기적 솔루션을 찾고 있습니다.

x = 에이죄 w 티 (4.50)

알 수 없는 하지만그리고 w. 비선형성의 형태가 주어진다. = 에프( 엑스) 및 선형 부분의 전달 함수

비선형성의 조화 선형화가 수행됩니다.

전달 함수로 이어지는

시스템의 개방 회로의 진폭 위상 주파수 응답은 다음과 같은 형식을 취합니다.

닫힌 시스템의 특성 방정식에 한 쌍의 순수 허수근이 있는 경우 선형 시스템(4.50)의 주기적 솔루션이 얻어집니다.

그리고 Nyquist 기준에 따르면 이것은 다음 구절에 해당합니다. 여(제이 w) 포인트 -1을 통해. 따라서 주기적 솔루션(4.50)은 등식으로 정의됩니다.

방정식(4.51)은 원하는 진폭을 결정합니다. 하지만주기적인 솔루션의 주파수 w. 이 방정식은 다음과 같이 그래픽으로 해결됩니다. 복소 평면(U, V)에서 선형 부분 Wl의 진폭 위상 주파수 응답( 제이 w) (그림 4.22), 반대 부호 -1을 갖는 비선형성의 역진폭-위상 특성 / 승( ㅏ). 점 입력그들의 교차점(그림 4.22)과 값을 결정합니다. 하지만및 w, 값 하지만곡선을 따라 측정 -1 / 승 (a) , 및 w의 값 - 곡선 Wl(jw)을 따라.

대신, (4.51)과 (4.52)에서 오는 두 개의 스칼라 방정식을 사용할 수 있습니다.

또한 두 가지 필수 수량을 결정합니다. 하지만그리고 w.

로그 스케일에서 마지막 두 방정식을 사용하는 것이 더 편리합니다.

선형 부분의 주파수 특성. 그런 다음 (4.53) 및 (4.54) 대신 다음 두 방정식을 갖게 됩니다.

무화과에. 4.23 식 (4.55)와 (4.56)의 왼쪽 부분에 대한 그래프는 왼쪽에 표시하고, 이 식의 오른쪽 부분에 대한 그래프를 오른쪽에 표시합니다. 이 경우 왼쪽의 가로 좌표를 따라 주파수 w는 평소와 같이 대수 눈금으로 표시되고 오른쪽에는 진폭이 표시됩니다. 하지만자연 규모로. 이 방정식의 해는 다음과 같은 값이 됩니다. 하지만및 w, 두 등식(4.55) 및 (4.56)이 동시에 관찰되도록 합니다. 이러한 솔루션은 그림 1에 나와 있습니다. 4.23 직사각형 형태의 가는 선.

이 솔루션을 즉시 추측하는 것이 불가능할 것이 분명합니다. 따라서 점선으로 표시된 시도가 이루어집니다. 이 시험 직사각형 M1 및 M2의 마지막 점은 비선형성의 위상 특성에 속하지 않습니다. 그러나 그림 1과 같이 특성의 양쪽에 위치하는 경우. 4.23, 직선 MM1을 그려 보간법으로 솔루션을 찾습니다. .

단일 값 비선형성 F( 엑스). 그 다음에 큐"= 0 및 방정식 (4.55) 및 (4.56)은 다음 형식을 취합니다.

솔루션은 그림에 나와 있습니다. 4.24.

쌀 . 4.24.

주기적 솔루션을 결정한 후에는 안정성을 조사해야 합니다. 이미 언급했듯이 개방 회로의 진폭 위상 특성이 다음과 같은 경우 주기적 솔루션이 발생합니다.

점 -1을 통과합니다. 진폭 편차 D를 지정합시다. 하지만. D의 경우 시스템은 주기적 솔루션으로 돌아갑니다. 하지만> 0 진동이 감쇠되고 D에서 하지만 < 0 - расходятся. Следовательно, при D하지만> 0 특성 W(jw, 하지만)는 D에서 다음과 같이 변형되어야 합니다(그림 4.25). 하지만> 0, Nyquist 안정성 기준이 관찰되었으며 D의 경우 하지만 < 0 - нарушался.

따라서 주어진 주파수 w에서 다음이 필요합니다.

이로부터 Fig. 4.22 양의 진폭 판독 하지만곡선을 따라 -1/Wn( 하지만)는 곡선 Wl(jw)을 통해 내부에서 외부로 향해야 합니다. , 화살표로 표시된 대로. 그렇지 않으면 주기적 솔루션이 불안정합니다.

예를 고려하십시오.

서보 시스템에서 보자 (그림 4.13, a) 증폭기는 릴레이 특성(그림 4.17, 하지만).파 무화과. 4.17, 비고조파 선형화 계수 q( 하지만) 및 q'( 하지만)=0. 주파수 방법에 의해 주기적 솔루션을 결정하려면 그림 1에 따라. 4.22, 식을 조사할 필요가 있다

공식 (4.24)에서 우리는 주어진 비선형성에 대해 얻습니다.

이 함수의 그래프는 그림 1에 나와 있습니다. 4.26.

선형 부분의 전달 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이에 대한 진폭 위상 특성은 그림 1에 나와 있습니다. 4.27. 기능 동일 -1 / 승( 하지만), 이 경우 실수(그림 4.26)는 실수 축의 음수 부분에 모두 맞습니다(그림 4.27). 동시에 진폭의 변화 구간에서 b £ ㅏ£ b 진폭은 곡선 Wl(jw) 내부의 외부에서 왼쪽부터 계산하고 단면에서 하지만>ㄴ - 반전. 따라서 첫 번째 교차점( 하지만 1) 불안정한 주기적 솔루션을 제공하고 두 번째 ( 하지만 2) - 안정적(자체 진동). 이는 이전 솔루션(예제 2 강의 15, 16)과 일치합니다.

경우도 고려 릴레이 루프 특성(그림 4.28, a) 동일한 추적 시스템에서 (그림 4.13, a). 선형 부분의 진폭 위상 주파수 응답은 동일합니다(그림 4.28, b). 곡선 -1/Wн( 하지만), (4.52) 및 (4.23)에 따라 다음 형식을 취합니다.

이것은 x축에 평행한 직선입니다(그림 4.28, 비), 진폭 판독 하지만오른쪽에서 왼쪽으로. 교차점은 안정적인 주기적 솔루션(자체 진동)을 제공합니다. 진폭 대 주파수 그래프를 얻으려면

~에서 케이엘 , 그림에 제시. 4.20, 당신은 그림에서 필요합니다. 4.28 각 값에 대한 일련의 곡선 Wl(jw) 작성 케이 l 그리고 선 -1/Wн( 하지만) 해당 값 하지만그리고 w.

고조파 선형화(고조파 균형) 방법을 사용하면 비선형 자동 제어 시스템에서 가능한 자체 진동의 존재 및 매개변수에 대한 조건을 결정할 수 있습니다. 자체 발진은 시스템의 위상 공간에서 한계 사이클에 의해 결정됩니다. 한계 사이클 분할 공간(일반적으로 - 다차원) 감쇠 및 발산 과정의 영역에서. 자체 진동 매개 변수를 계산한 결과 주어진 시스템에 대한 허용 가능성이나 시스템 매개 변수를 변경할 필요성에 대한 결론을 도출 할 수 있습니다.

이 방법은 다음을 허용합니다.

비선형 시스템의 안정성을 위한 조건을 결정합니다.

시스템의 자유 진동의 주파수와 진폭을 찾으십시오.

자체 발진의 필수 매개변수를 보장하기 위해 수정 회로를 합성합니다.

강제 진동을 조사하고 비선형 자동 제어 시스템에서 과도 프로세스의 품질을 평가합니다.

조화 선형화 방법의 적용 조건.

1) 방법을 사용할 때 다음과 같이 가정합니다. 선의시스템의 일부가 안정적이거나 중립적입니다.

2) 비선형 링크의 입력 신호는 고조파 신호와 모양이 비슷합니다. 이 조항은 약간의 설명이 필요합니다.

그림 1은 비선형 ACS의 블록 다이어그램을 보여줍니다. 회로는 직렬 연결된 링크로 구성됩니다. 비선형 링크 y=F(x) 및 선형 링크

th, 미분 방정식으로 설명

y = F(g - x) = g - x의 경우 선형 시스템의 운동 방정식을 얻습니다.

자유로운 움직임을 고려하십시오. g(t) º 0에 대해. 그런 다음,

시스템에 자체 진동이 있는 경우 시스템의 자유 운동은 주기적입니다. 시간이 지남에 따라 비주기적인 움직임은 시스템이 일부 최종 위치(일반적으로 특별히 제공된 제한 장치에서)에서 멈추면서 끝납니다.

비선형 요소의 입력에서 어떤 형태의 주기적 신호라도 출력에서 신호는 기본 주파수 외에 더 높은 고조파를 포함합니다. 시스템의 비선형 부분의 입력 신호가 고조파로 간주될 수 있다는 가정, 즉

x(t)@a×sin(wt),

여기서 w=1/T, T는 시스템의 자유 진동 주기이며 시스템의 선형 부분이 효과적으로 필터신호 y(t) = F(x(t))의 더 높은 고조파.

일반적으로 고조파 신호 x(t)의 비선형 요소가 입력에 작용하면 출력 신호는 푸리에 변환될 수 있습니다.

푸리에 급수 계수

계산을 단순화하기 위해 C 0 = 0으로 설정합니다. 즉, 함수 F(x)가 원점에 대해 대칭입니다. 이러한 제한은 필요하지 않으며 분석에 의해 수행됩니다. 계수 C k ¹ 0의 출현은 일반적으로 신호의 비선형 변환에 변환된 신호의 위상 편이가 수반됨을 의미합니다. 특히, 이것은 지연 및 경우에 따라 모두, 모호한 특성(다양한 종류의 히스테리시스 루프 포함)을 갖는 비선형성에서 발생합니다. 단계 전진.

효과적인 필터링의 가정은 시스템의 선형 부분의 출력에서 더 높은 고조파의 진폭이 작다는 것을 의미합니다. 즉,

이 조건의 충족은 많은 경우에 이미 비선형성의 출력에 이미 직접적으로 있는 고조파의 진폭이 첫 번째 고조파의 진폭보다 훨씬 작은 것으로 판명된다는 사실에 의해 촉진됩니다. 예를 들어, 입력에서 고조파 신호가 있는 이상적인 릴레이의 출력에서

y(t)=F(с×sin(wt))=a×sign(sin(wt))

짝수 고조파가 없고 3차 고조파의 진폭이 세 번첫 번째 고조파의 진폭보다 작음

하자 억제 정도의 평가 ACS의 선형 부분에서 신호의 고조파. 이를 위해 우리는 여러 가지 가정을 합니다.

1) ACS의 자유 진동 주파수 차단 주파수와 거의 동일선형 부분입니다. 비선형 자동 제어 시스템의 자유 진동 주파수는 선형 시스템의 자유 진동 주파수와 크게 다를 수 있으므로 이 가정이 항상 올바른 것은 아닙니다.

2) M=1.1과 동일한 ACS 진동 지수를 취합니다.

3) 컷오프 주파수(ws) 부근의 LAH는 -20dB/dec의 기울기를 갖는다. LAH의 이 섹션의 경계는 다음 관계에 의해 진동 지수와 관련됩니다.

4) 주파수 w max는 LPH 섹션과 공액이므로 w > w max일 때 LAH 기울기는 최소 마이너스 40dB/dec입니다.

5) 비선형성 - 비선형성 출력에서 홀수 고조파만 존재하도록 특성 y = sgn(x)를 갖는 이상적인 릴레이.

세 번째 고조파의 주파수 w 3 \u003d 3w c, 다섯 번째 w 5 \u003d 5w c,

lgw 3 = 0.48+lgw c ,

lgw 5 = 0.7+lgw c .

주파수 w max = 1.91w s, lgw max = 0.28+lgw s. 코너 주파수는 차단 주파수에서 0.28디케이드 떨어져 있습니다.

시스템의 선형 부분을 통과할 때 신호의 고조파 진폭의 감소는 3차 고조파에 대한 것입니다.

L 3 \u003d -0.28 × 20-(0.48-0.28) × 40 \u003d -13.6dB, 즉 4.8배,

다섯 번째 - L 5 \u003d -0.28 × 20-(0.7-0.28) × 40 \u003d -22.4dB, 즉 13배.

결과적으로 선형 부분의 출력 신호는 고조파에 가깝습니다.

이것은 시스템이 저역 통과 필터라고 가정하는 것과 같습니다.

선형 시스템의 입력에 고조파 신호가 인가될 때

고조파 신호도 시스템의 출력에서 설정되지만 다른 진폭으로 입력에 대해 위상이 이동합니다. 비선형 요소의 입력에 사인파 신호가 적용되면 출력에서 주기적 진동이 형성되지만 형태는 사인파와 크게 다릅니다. 예를 들어, 그림. 8.17은 정현파 진동(8.18)이 입력에 들어갈 때 릴레이 특성(8.14)을 가진 비선형 요소의 출력 변수의 변화 특성을 보여줍니다.

비선형 요소의 출력에서 주기적 신호를 푸리에 시리즈로 확장하면 상수 구성 요소와 무한한 고조파 구성 요소 집합의 합으로 표시됩니다.

, (8.19)

어디 – 푸리에 급수의 상수 계수; - 입력 사인파 진동의 주파수와 동일한 첫 번째 고조파의 진동 주파수(기본 주파수) 티 -입력 사인파 진동의 주기와 동일한 첫 번째 고조파의 진동 주기.

비선형 요소의 출력 신호는 일반적으로 상당한 관성을 갖는 ACS의 선형 부분의 입력에 공급됩니다(그림 8.1 참조). 이 경우 신호(8.19)의 고주파 성분은 실제로 시스템의 출력으로 전달되지 않습니다. 선형 부분은 고주파 고조파 성분과 관련된 필터입니다. 이와 관련하여, 또한 고조파 주파수가 증가함에 따라 고조파 성분의 진폭이 감소한다는 점을 고려하면, 비선형 요소의 출력 값을 대략적으로 추정하기 위해 많은 경우에 다음 사항만 고려하는 것으로 충분합니다. 의 첫 번째 고조파 성분.

따라서 출력 진동에 일정한 구성 요소가 없는 경우 식 (8.19)는 대략 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

공식 (8.20)에서 함수 , 그리고 도함수에서 표현하기 - 함수 , 식 (8.20)을 다음과 같이 변환합니다.

. (8.21)

따라서 비선형 요소의 입력 값에 대한 출력 값의 비선형 종속성은 식 (8.21)에 설명된 선형 종속성으로 대략 대체됩니다.

식 (8.21)에서 라플라스 변환을 수행하면 다음을 얻습니다.

연속 링크는 고려하여 소개합니다 비선형 조화 선형화 요소의 전달 함수 , 입력 수량 이미지에 대한 출력 수량 이미지의 비율:

. (8.22)

표 8.1

전형적인 비선형성의 조화 선형화 계수

비선형 요소의 정적 특성
데드밴드가 있는 선형 응답
제한이 있는 선형 특성
데드밴드 및 클리핑이 있는 선형 응답
특징적인 "백래시"
이상적인 릴레이 특성
데드밴드가 있는 명확한 릴레이 특성
불감대가 있는 모호한 릴레이 응답
3차 포물선:
특징적인 "히스테리시스 루프"

비선형 요소의 전달 함수는 입력 신호의 진폭과 주파수에 의존한다는 사실에 있는 선형 시스템의 전달 함수와 상당한 차이가 있습니다.

식 (8.22)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

큐(ㅏ) + 큐 1 (ㅏ), (8.23)

어디 q(A),큐 1 (ㅏ)입력 진동의 진폭에 대한 출력 진동의 첫 번째 조화에 대한 푸리에 급수 계수의 비율로 정의되는 조화 선형화 계수입니다.

큐(ㅏ) = 큐 1 (ㅏ) = . (8.24)

식에서 바꾸기(8.23) 아르 자형에 대한 식을 얻습니다. 비선형 요소의 복소 이득 :

큐(ㅏ) +제이 큐 1 (ㅏ), (8.25)

선형 링크에 대한 AFC의 아날로그입니다.

예를 들어 릴레이 정적 특성(8.14)을 가진 비선형 요소의 복소 전달 계수에 대한 식을 정의해 보겠습니다. 푸리에 급수 계수 ㅏ 1 그리고 비 1 표시된 비선형성에 대해 다음과 같습니다.

비 1 .

계수임이 분명하다. 비 1 홀수-대칭 정적 비선형성을 갖는 모든 비선형 요소에 대해 0과 같습니다.

어디 - 시스템의 선형 부분의 전달 함수; - 선형화 후 비선형 요소의 전달 함수.

만약에 , 식 (8.26)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

식(8.27)에서 바꾸기 아르 자형에 실제 부분과 허수 부분을 분리해야 하는 복잡한 표현을 얻습니다.

[ 큐(ㅏ) +제이 큐 1 (ㅏ) ] . (8.28)

이 경우 주파수와 진폭이 있는 시스템에서 주기적인 진동이 발생하는 조건을 작성합니다.

(8.29)

시스템(8.29)의 솔루션이 복잡하거나 음수이면 시스템에서 자체 진동 모드가 불가능합니다. 에 대한 양의 실제 솔루션의 존재는 안정성을 확인해야 하는 시스템의 자체 진동이 있음을 나타냅니다.

예를 들어 선형 부분의 전달 함수가 다음과 같은 경우 ACS에서 자체 진동이 발생하는 조건을 찾아보겠습니다.

(8.30)

및 "히스테리시스 루프" 유형의 비선형 요소.

조화 선형화된 비선형 요소(표 8.1 참조)의 전달 함수는 다음과 같습니다.

. (8.31)

식 (8.30) 및 (8.31)을 식 (8.26)에 대입하고 대체 아르 자형에 대한 표현식을 찾습니다.

여기에서 식 (8.29)에 따라 시스템에서 자체 진동 발생에 대한 다음 조건을 얻습니다.

고조파 선형화 계수가 입력 신호의 진폭에 복잡한 의존성을 갖기 때문에 방정식(8.29) 시스템의 솔루션은 일반적으로 어렵습니다. 또한 진폭과 주파수를 결정하는 것 외에도 시스템에서 자체 발진의 안정성을 평가할 필요가 있습니다.

비선형 시스템에서 자체 발진이 발생하는 조건과 한계 사이클의 매개변수는 주파수 안정성 기준(예: Nyquist 안정성 기준)을 사용하여 조사할 수 있습니다. 이 기준에 따르면 자동 발진이 있는 경우 개방 루프 조화 선형화 시스템의 진폭 위상 특성은 다음과 같습니다.

점(-1, j0)을 통과합니다. 따라서 for 및 다음과 같은 평등이 성립합니다.

. (8.32)

자체 진동의 주파수와 진폭에 대한 식 (8.32)의 해는 그래픽으로 얻을 수 있습니다. 이렇게 하려면 복잡한 평면에서 주파수를 0에서 로 변경하여 시스템의 선형 부분에 대한 AFC 호도그래프를 구성하고 진폭을 변경하는 것이 필요합니다. 하지만 0에서 , 마이너스 기호로 찍은 비선형 부분의 역 특성의 hodograph를 작성하십시오. 이 hodograph가 교차하지 않으면 연구중인 시스템의 자체 진동 모드가 존재하지 않습니다 (그림 8.18, b).

hodographs가 교차하면 (그림 8.18, a) 시스템에서 자체 진동이 발생하며 주파수와 진폭은 값과 교차점에서 결정됩니다.

와 - 여러 지점에서 교차하는 경우(그림 8.18, a) 시스템에 여러 제한 사이클이 있음을 나타냅니다. 이 경우 시스템의 진동은 안정적이고 불안정할 수 있습니다.

자기 진동 체제의 안정성은 다음과 같이 추정됩니다. 자기 발진 모드는 hodograph의 교차점에서 값보다 큰 진폭에 해당하는 비선형 부분의 hodograph의 점이 선형 주파수 응답의 hodograph에 포함되지 않는 경우 안정적입니다. 시스템의 일부입니다. 그렇지 않으면 자체 진동 체제가 불안정합니다.

무화과에. 8.18, 그리고 hodographs는 점 1과 2에서 교차합니다. 점 1 증가 된 진폭에 해당하는 hodograph 포인트가 시스템의 선형 부분의 주파수 응답의 hodograph에 의해 덮여 있기 때문에 자체 발진의 불안정한 모드를 결정합니다. 포인트 2는 자체 진동의 안정적인 모드에 해당하며 진폭은 hodograph와 주파수에 의해 hodograph에 의해 결정됩니다.

예를 들어, 두 개의 비선형 시스템에서 자체 진동의 안정성을 추정해 보겠습니다. 우리는 이러한 시스템의 선형 부분의 전달 함수가 일치하고 동일하다고 가정합니다.

그러나 거기에 포함된 비선형 요소는 다릅니다. 첫 번째 시스템에는 시스템(8.14)에서 설명한 비선형 요소 "이상적인 릴레이"가 포함되고 두 번째 시스템에는 정적 특성 "입방 포물선"이 있는 비선형 요소가 포함됩니다. 표 8.1의 데이터를 사용하여 다음을 얻습니다.

무화과에. 8.19는 시스템의 선형 부분의 AFC hodograph와 함께 이러한 시스템의 hodograph를 보여줍니다. 이상의 내용을 바탕으로 첫 번째 계에서는 주파수와 진폭을 갖는 안정된 자기진동이 발생하고, 두 번째 계에서는 불안정한 자기진동이 발생한다고 주장할 수 있다.

조화 선형화 방법의 아이디어는 N.M.에 속합니다. 크릴로프와 N.N. Bogolyubov는 시스템의 비선형 요소를 선형 링크로 대체하는 것을 기반으로 하며, 그 매개변수는 비선형 출력에서 첫 번째 고조파의 진폭이 동일한 조건에서 고조파 입력 동작에서 결정됩니다. 요소 및 이에 상응하는 선형 링크. 이 방법은 시스템의 선형 부분이 저역 통과 필터인 경우 사용할 수 있습니다. 첫 번째 고조파를 제외하고 비선형 요소의 출력에서 발생하는 모든 고조파 성분을 필터링합니다.

비선형 요소의 고조파 선형화 계수 및 등가 복소수 이득 비선형 시스템(그림 2.1)에서 선형 부분과 비선형 요소의 매개변수는 주파수 w를 갖는 대칭 주기 진동이 존재하는 방식으로 선택됩니다.

방정식으로 설명되는 비선형성의 조화 선형화 방법의 핵심(그림 2.10)

y n = F(x), (2.17)

비선형 요소의 입력에 주파수 w와 진폭의 조화 작용이 적용된다는 가정이 있습니다. ㅏ, 즉.

x= ㅏ sin y, 여기서 y = wt, (2.18)

첫 번째 고조파만 출력 신호의 전체 스펙트럼과 구별됩니다.

y n 1 = ㅏ n 1 sin(y + y n 1), (2.19)

어디 ㅏ n 1 - 진폭 및 y n 1 - 위상 변이;

이 경우 더 높은 고조파는 폐기되고 출력 신호의 첫 번째 고조파와 비선형 요소의 입력 고조파 효과 사이에 연결이 설정됩니다.

쌀. 2.10. 비선형 요소의 특성

더 높은 고조파에 대한 비선형 시스템 둔감성의 경우, 비선형 요소는 주파수와 진폭에 따라 출력에서 주기적 진동의 첫 번째 고조파를 결정하는 등가 이득을 가진 일부 요소로 첫 번째 근사에서 대체될 수 있습니다. 입력에서 사인파 진동.

특성(2.17)이 있는 비선형 요소의 경우 주기 함수 F(x)를 입력(2.18)에서 사인파 진동이 있는 푸리에 급수로 확장한 결과 출력 신호의 첫 번째 고조파에 대한 식을 얻습니다.

y n 1 = b 1F siny + a 1F 아늑한, (2.20)

여기서 b 1F , a 1F - 푸리에 급수의 확장 계수로, 다음 공식에 의해 결정되는 첫 번째 고조파의 동위상 및 직교 성분의 진폭을 각각 결정합니다.

픽셀= ㅏ w cos y, 여기서 p = d/dt,

그러면 비선형 요소의 출력에서 주기적인 진동의 첫 번째 고조파와 입력에서 사인파 진동 사이의 관계는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

y н 1 = x, (2.21)

여기서 q = b 1F / ㅏ, q¢ = a 1F / ㅏ.

마지막 방정식은 고조파 선형화 방정식, 그리고 계수 q 및 q¢ - 조화 선형화 계수.

따라서 고조파 신호에 노출될 때 비선형 요소는 선형인 방정식(2.21)으로 설명되며, 이는 고조파까지입니다. 이 비선형 요소 방정식은 진폭의 변화에 따라 계수 q 및 q¢가 변경된다는 점에서 선형 링크 방정식과 다릅니다. ㅏ입력에서 진동의 주파수 w. 이것은 고조파 선형화와 일반 선형화의 근본적인 차이점이며, 계수는 입력 신호에 의존하지 않고 비선형 요소의 특성 유형에 의해서만 결정됩니다.

다양한 유형의 비선형 특성에 대한 고조파 선형화 계수가 표에 요약되어 있습니다. 일반적인 경우 조화 선형화 계수 q( ㅏ, w) 및 q¢( ㅏ, w) 진폭에 의존 ㅏ및 비선형 요소의 입력에서 진동의 주파수 w. 그러나 정적 비선형성의 경우 이러한 계수 q( ㅏ) 및 q¢( ㅏ)는 진폭의 함수일 뿐입니다. ㅏ입력 고조파 신호, 정적 단일 값 비선형성의 경우 계수 q¢( ㅏ) = 0.

초기 조건이 0인 상태에서 식(2.21)을 라플라스 변환한 다음 연산자 s를 jw(s = jw)로 바꾸면 다음을 얻습니다. 등가 복소 이득비선형 요소

웨 (jw, ㅏ) = q + jq¢ = A e (w, ㅏ) e j y e (w , ㅏ) , (2.22)

등가 복소 이득의 계수 및 인수는 다음 식에 의해 고조파 선형화 계수와 관련됩니다.

에이 (w, ㅏ) = mod WE (jw, ㅏ) =

y E (w, ㅏ) = 인수 W E (jw, A) = arctg.

비선형 요소의 등가 복소 전달 계수를 사용하면 입력에서 고조파 작용(2.18) 하에서 비선형 요소의 출력에서 첫 번째 고조파(2.19)의 진폭 및 위상 편이를 결정할 수 있습니다.

ㅏ n 1 = ㅏ'A E (w, ㅏ); y n 1 \u003d y E (w, ㅏ).

비선형 시스템에서 대칭 주기 영역에 대한 연구.고조파 선형화 방법에 기반한 비선형 시스템 연구에서 주기 모드의 존재와 안정성에 대한 질문은 무엇보다도 먼저 해결됩니다. 주기적인 체제가 안정적이면 시스템에 주파수 w 0 및 진폭이 있는 자체 진동이 있습니다. ㅏ 0 .

전달 함수가 있는 선형 부분을 포함하는 비선형 시스템(그림 2.5)을 고려하십시오.

및 동등한 복소 이득을 갖는 비선형 요소

웨 (jw, ㅏ) = q(w, ㅏ) + jq¢(w, ㅏ) = A E (w, ㅏ) e j y e (w , ㅏ) . (2.24)

식 (2.21)을 고려하여 비선형 시스템의 방정식을 작성할 수 있습니다.

(A(p) + B(p)′)x = 0. (2.25)

닫힌 비선형 시스템에서 자체 진동이 발생하는 경우

x= ㅏ 0 죄 w 0 t

진폭과 주파수가 일정하면 고조파 선형화 계수가 일정하고 전체 시스템이 정지합니다. 조화 선형화 방법을 사용하여 비선형 시스템에서 자체 진동 가능성을 평가하려면 선형 시스템의 안정성 분석에서 수행한 것처럼 안정성 경계에 대한 조건을 찾는 것이 필요합니다. 다음과 같은 경우 주기적 솔루션이 존재합니다. ㅏ = ㅏ 0 및 w = w 0 조화 선형화 시스템의 특성 방정식

A(p) + B(p)′ = 0 (2.26)

는 한 쌍의 허수근 l i = jw 0 및 l i +1 = -jw 0 을 갖습니다. 용액의 안정성은 추가로 평가해야 합니다.

해결 방법에 따라 특성 방정식비선형 시스템을 연구하는 방법을 구별하십시오.

분석 방법. 비선형 시스템에서 자체 발진의 가능성을 추정하기 위해 jw는 p 대신 시스템의 조화 선형화된 특성 다항식으로 대체됩니다.

디(저, ㅏ) = A(jw) + B(jw)'. (2.27)

결과는 방정식 D(jw, ㅏ) = 0, 계수는 가정된 자체 진동 체제의 진폭과 주파수에 따라 달라집니다. 실제 부분과 허수 부분 분리

레디(jw, ㅏ) = X(w, ㅏ);

임 디(jw, ㅏ) = Y(w, ㅏ),

우리는 방정식을 얻는다

X(w, ㅏ) + jY(w, ㅏ) = 0. (2.28)

실제 값의 경우 ㅏ 0 및 w 0 식 (2.28)이 충족되면 시스템에서 자체 진동 모드가 가능하며 매개 변수는 다음 방정식 시스템에 따라 계산됩니다.

식 (2.29)에서 시스템의 매개 변수, 예를 들어 시스템의 선형 부분의 전달 계수 k에 대한 자체 진동의 진폭 및 주파수 의존성을 찾을 수 있습니다. 이렇게 하려면 방정식(2.29)에서 전달 계수 k를 변수로 고려해야 합니다. 이 방정식을 다음과 같은 형식으로 작성하십시오.

차트에 따르면 ㅏ 0 = f(k), w 0 = f(k), 가능한 자체 진동의 진폭과 주파수가 허용 가능한 값을 가지거나 완전히 없는 전달 계수 k를 선택할 수 있습니다.

주파수 방법. Nyquist 안정성 기준에 따라 선형 시스템에서 감쇠되지 않은 진동은 개방 루프 시스템의 진폭-위상 특성이 좌표가 [-1, j0]인 점을 통과할 때 발생합니다. 이 조건은 조화적으로 선형화된 비선형 시스템에서 자체 진동이 존재하기 위한 조건이기도 합니다.

승 n (ㄴ, ㅏ) = -1. (2.31)

시스템의 선형 및 비선형 부분이 직렬로 연결되어 있으므로 개루프 비선형 시스템의 주파수 응답은 다음 형식을 갖습니다.

승 n (ㄴ, ㅏ) = W lch (jw)´W E (jw, ㅏ). (2.32)

그런 다음 비선형 요소의 정적 특성의 경우 조건 (2.31)은 다음 형식을 취합니다.

Wlch(jw) = - . (2.33)

자체 발진의 주파수 및 진폭에 대한 방정식 (2.33)의 솔루션은 시스템 W lch (jw)의 선형 부분의 주파수 응답의 hodograph와 hodograph의 교차점으로 그래픽으로 얻을 수 있습니다. 반대 부호로 취한 비선형 부분의 역 특성 (그림 2.11). 이 hodograph가 교차하지 않으면 연구중인 시스템에 자체 진동 체제가 존재하지 않습니다.

쌀. 2.11. 시스템의 선형 및 비선형 부분의 Hodographs

주파수 w 0 및 진폭을 갖는 자체 진동 체제의 안정성 ㅏ 0 증가된 진폭에 해당하는 비선형 부분의 hodograph 상의 점이 필요합니다. ㅏ 0+D ㅏ hodograph의 교차점에서의 값과 비교하여, 시스템의 선형 부분의 주파수 응답의 hodograph에 의해 커버되지 않았고 감소된 진폭에 대응하는 점은 커버됨 ㅏ 0-D ㅏ.

무화과에. 2.11은 비선형 시스템에서 안정적인 자체 진동이 존재하는 경우에 대한 hodograph의 위치에 대한 예를 제공합니다. ㅏ 3 < ㅏ 0 < ㅏ 4 .

로그에 대한 연구 주파수 특성 .

대수 주파수 특성으로 비선형 시스템을 연구할 때 조건(2.31)은 개루프 비선형 시스템의 등가 복소 이득의 계수와 인수에 대해 별도로 다시 작성됩니다.

mod W lch (jw)W e (jw, ㅏ) = 1;

인수 W lch (jw)W e (jw, ㅏ) = - (2k+1)p, k=0, 1, 2, ...

대수 진폭 및 위상 특성으로의 후속 전환

L h (w) + L e (w, ㅏ) = 0; (2.34)

y lch (w) + y e (w, ㅏ) = - (2k+1)p, k=0, 1, 2, ... (2.35)

조건 (2.34) 및 (2.35)를 통해 진폭을 결정할 수 있습니다. ㅏ시스템 L lch(w), y lch(w) 및 비선형 요소 L e(w, ㅏ), y e (w, ㅏ).

주파수 w 0 및 진폭이 있는 자체 진동 ㅏ 0은 식 (2.25)의 주기적 솔루션이 안정적인 경우 비선형 시스템에 존재합니다. 주기적 솔루션의 안정성을 연구하는 대략적인 방법은 주파수 w = w 0 및 진폭 값에서 시스템의 거동을 연구하는 것입니다. ㅏ =ㅏ 0+D ㅏ그리고 ㅏ =ㅏ 0-D ㅏ, 여기서 D ㅏ> 0 - 작은 진폭 증분. 에 대한 주기적 솔루션의 안정성을 연구할 때 ㅏ 0+D ㅏ그리고 ㅏ 0-D ㅏ로그 특성에 따라 Nyquist 안정성 기준이 사용됩니다.

비선형 요소의 단일 값 정적 특성을 갖는 비선형 시스템에서 조화 선형화 계수 q¢( ㅏ)는 0과 같으므로 0 및 위상 편이 y e( ㅏ) 요소가 기여했습니다. 이 경우 시스템 방정식의 주기적 솔루션

x = 0(2.36)

다음 조건이 충족되는 경우 존재합니다.

L h (w) \u003d - L e ( ㅏ); (2.37)

y lch (w) = - (2k+1)p, k=0, 1, 2, ... (2.38)

방정식 (2.38)을 통해 주기적인 솔루션의 주파수 w \u003d w 0 및 방정식 (2.37) - 진폭을 결정할 수 있습니다. ㅏ =ㅏ 0 .

비교적 단순한 선형 부분을 사용하여 이러한 방정식에 대한 솔루션을 분석적으로 얻을 수 있습니다. 그러나 대부분의 경우 그래픽으로 해결하는 것이 좋습니다(그림 2.12).

방정식 (2.36)의 주기적인 솔루션의 안정성을 연구할 때, 즉 단일 값 비선형 정적 특성을 가진 비선형 시스템에서 자체 진동의 존재를 결정할 때 다음을 사용합니다. 나이퀴스트 기준: 주파수 w = w 0 및 진폭을 갖는 주기 솔루션 ㅏ =ㅏ 0은 주파수가 0에서 무한대로 변하고 진폭 D가 양수 증가할 때 안정적입니다. ㅏ> 0 -p 라인을 통한 시스템 y lch(w)의 선형 부분의 위상 특성의 양수(위에서 아래로) 및 음수(아래에서 위로) 천이 수의 차이는 주파수에서 0입니다. 범위, 여기서 L lch(w)³-L e(w 0 , ㅏ 0+D ㅏ), 주파수 범위에서 0과 같지 않습니다. 여기서 L h(w)³-L e(w 0, ㅏ 0-D ㅏ).

무화과에. 2.12는 제약 조건이 있는 비선형 시스템에서 주기적 솔루션을 결정하는 예를 보여줍니다. 이러한 시스템에는 위상 특성 y lch(w)와 선 -180 0 의 교차점에서 결정되는 주파수 w 01 , w 02 및 w 03 을 갖는 3개의 주기적 솔루션이 있습니다. 주기적 솔루션 진폭 ㅏ 01 , ㅏ 02와 ㅏ 03은 비선형 요소 -L e(w 01 , ㅏ), -L e(w 02, ㅏ) 및 -L e(w 03, ㅏ).

쌀. 2.12. 대수 진폭 및 위상 특성

그림 3에 정의된 세 가지 솔루션 중 2.12, 2개는 안정적입니다. 주파수 w = w 01 및 진폭이 있는 솔루션 ㅏ =ㅏ 01은 L lch(w)³-L e(w 01, ㅏ 01+D ㅏ), 위상 특성 y lch(w)는 선 -180 0을 교차하지 않지만 주파수 범위 2에서 L lch(w)³-L e(w 01, ㅏ 01-D ㅏ), 위상 특성 y lch(w)는 선 -180 0 을 한 번 교차합니다. 주파수 w = w 02 및 진폭이 있는 솔루션 ㅏ =ㅏ 02는 L h(w)³-L e(w 02, ㅏ 02+D ㅏ), 위상 특성 y lch(w)는 선 -180 0 을 한 번 교차합니다. 주파수 w = w 03 및 진폭을 갖는 고주파수 주기 솔루션 ㅏ =ㅏ 03은 L h(w)³-L e(w 03, ㅏ 03+D ㅏ), 라인 -180 0을 통해 위상 특성 y lch (w)의 양수 및 음수 천이가 하나 있으며 주파수 범위에서 L lch (w)³-L e (w 03, ㅏ 03-D ㅏ), 라인 -180 0 을 통해 위상 특성 y lch(w)의 두 개의 양의 전이와 한 개의 음의 전이가 있습니다.

고려된 시스템에서 작은 섭동, 주파수 w 03 및 진폭을 갖는 고주파 자체 진동 ㅏ 03 및 큰 섭동의 경우 - 주파수 w 01 및 진폭을 갖는 저주파 자체 진동 ㅏ 01 .

예시.선형 부분이 다음 전달 함수를 갖는 비선형 시스템에서 자체 진동 모드를 조사합니다.

여기서 k=200s -1 ; T 1 = 1.5초; T 2 \u003d 0.015 초,

그리고 비선형 요소로 c=10V, b=2V에서 사각 지대가 있는 계전기가 사용됩니다(그림 2.4, b).

솔루션 사각 지대가 있는 계전기에 대한 표에 따르면 고조파 선형화 계수를 찾습니다.

~에 ㅏ³ b, q¢( ㅏ) = 0.

비선형 요소의 특성을 구성할 때 입력 고조파 효과 m =의 진폭의 상대 값을 사용하는 것이 좋습니다. ㅏ/비. 고조파 선형화 계수에 대한 식을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

여기서 릴레이의 전송 계수는 어디입니까?

상대 진폭.

계전기 전달 계수 k n은 시스템의 선형 부분과 관련이 있으며 정규화된 고조파 선형화 계수를 얻습니다.

반대 부호를 가진 릴레이 요소의 정규화된 대수 진폭 특성

m ® 1이면 -L e(m) ® ¥; m >> 1 -L e(m) = 20lg m일 때. 따라서 반대 부호를 갖는 정규화 된 대수 진폭 특성의 점근선은 좌표 L = 0, m = 1인 점을 통과하는 수직 직선과 기울기가 +20dB/dek인 직선입니다(그림 1). 2.13).

쌀. 2.13. 릴레이 시스템에서 주기적 솔루션 결정

사각지대가 있는

ㅏ 0 = b'm 1 = = 58V

비선형 요소의 반대 부호와 시스템의 선형 부분의 전달 함수를 사용하여 정규화된 대수 진폭 특성에 따라 자체 진동의 존재 문제를 해결하기 위해

그림에서. 2.13은 L ch(w), -L e(m) 및 y ch(w)의 로그 특성을 표시합니다.

주기적 솔루션 w 0 = 4.3 s -1의 주파수는 위상 특성 y lch(w)와 선 -180 0 의 교차점에서 결정됩니다. 주기 해 m 1 = 29 및 m 2 = 1.08의 진폭은 특성 L h(w) 및 -L e(m)에 따라 구합니다. 진폭 m2가 작은 주기 솔루션은 불안정하지만 진폭 m1이 큰 주기 솔루션은 안정적입니다.

따라서 연구 된 릴레이 시스템에는 주파수 w 0 = 4.3 s -1 및 진폭을 갖는 자체 진동 모드가 있습니다. ㅏ 0 = b'm 1 = = 58V

러시아 연방 교육 과학부

사라토프 주립 기술 대학

Balakovo Institute of Engineering, Technology and Management

고조파 선형화 방법

지침 실험실 작업전문 210100 학생들을위한 "자동 제어 이론"과정

승인됨

편집 및 출판 위원회

발라코보 공과대학,

기술과 경영

발라코보 2004

작업 목적: 고조파 선형화(고조파 균형) 방법을 사용하는 비선형 시스템 연구, 다양한 비선형 링크에 대한 고조파 선형화 계수 결정. 대수, 주파수 방법 및 Mikhailov 기준을 사용하여 일정한 진폭 및 주파수의 대칭 진동(자체 진동) 매개변수를 찾는 기술 습득.

기본 정보

조화 선형화 방법은 비선형 시스템을 연구하기 위한 근사 방법을 나타냅니다. 이를 통해 비선형 시스템의 안정성을 매우 간단하고 허용 가능한 정확도로 평가하고 시스템에 설정된 진동의 주파수와 진폭을 결정할 수 있습니다.

조사된 비선형 ACS는 다음과 같은 형식으로 나타낼 수 있다고 가정합니다.

또한 비선형 부분에는 하나의 비선형성이 있어야 합니다.

이 비선형성은 연속적이거나 릴레이적이거나 모호하지 않거나 히스테리시스적일 수 있습니다.

모든 함수 또는 신호는 선형 독립 시스템(특정 경우에는 직교 함수)에 따라 계열로 확장될 수 있습니다. 이러한 직교 급수로 푸리에 급수를 사용할 수 있습니다.

시스템의 비선형 부분의 출력 신호를 푸리에 급수로 확장해 보겠습니다.

, (2)

푸리에 계수는 다음과 같습니다.

. (3)

따라서 (2)에 따른 신호는 주파수가 증가하는 고조파의 무한 합으로 나타낼 수 있습니다. 등. 이 신호는 비선형 시스템의 선형 부분에 입력됩니다.

선형 부분의 전달 함수를 나타내자

, (4)

분자 다항식의 차수는 분모 다항식의 차수보다 작아야 합니다. 이 경우 선형 부분의 주파수 응답은 다음 형식을 갖습니다.

여기서 1 - 극이 없고 2 - 극이 있습니다.

주파수 응답의 경우 다음과 같이 작성하는 것이 좋습니다.

따라서 비선형 시스템의 선형 부분은 고역 통과 필터입니다. 이 경우 선형 부분은 감쇠 없이 저주파만 통과하는 반면 고주파수는 주파수가 증가함에 따라 크게 감쇠됩니다.

고조파 선형화 방법은 시스템의 선형 부분이 신호의 DC 성분과 첫 번째 고조파만 통과한다고 가정합니다. 그러면 선형 부분의 출력 신호는 다음과 같이 보일 것입니다.

이 신호는 시스템 그림 1의 전체 폐쇄 루프를 통과하고 더 높은 고조파를 고려하지 않고 비선형 요소의 출력에서 (2)에 따라 다음을 수행합니다.

. (7)

조화 선형화 방법을 사용하는 비선형 시스템의 연구에서 대칭 및 비대칭 진동의 경우가 가능합니다. 대칭 진동의 경우를 생각해 봅시다. 여기와.

다음 표기법을 소개합니다

그것들을 (7)에 대입하면, 우리는 를 얻습니다. (8)

라는 사실을 고려하여

. (9)

(3)과 (8)에 따르면

. (10)

식 (9)는 비선형성의 조화 선형화이며 에서 입력 변수와 출력 변수 사이의 선형 관계를 설정합니다. 수량 및 고조파 선형화 계수라고합니다.

방정식 (9)는 특정 값 및 (시스템의 고조파 진동의 진폭 및 주파수)에 대해 선형입니다. 그러나 일반적으로 계수가 서로 다르기 때문에 비선형 속성을 유지합니다. 이 기능을 통해 조화 선형화 방법[Popov E.P.]을 사용하여 비선형 시스템의 속성을 탐색할 수 있습니다.

비대칭 진동의 경우 비선형성의 조화 선형화는 선형 방정식으로 이어집니다.

. (12)

방정식 (9)와 마찬가지로 선형화된 방정식 (11)은 고조파 선형화 계수 , , 및 상수 성분이 고조파 진동의 변위와 진폭 모두에 의존하기 때문에 비선형 요소의 속성을 유지합니다.

방정식 (9) 및 (11)을 통해 조화 선형화된 비선형 요소의 전달 함수를 얻을 수 있습니다. 따라서 대칭 진동의 경우

, (13)

주파수 전달 함수 동안

진폭에만 의존하고 시스템의 진동 주파수에는 의존하지 않습니다.

홀수 대칭 비선형성이 단일 값이면 대칭 진동의 경우 (9) 및 (10)에 따라 다음을 얻습니다. (15)

(16)

선형화된 비선형성은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

모호한 비선형성(히스테리시스 포함)의 경우 증가 및 감소에 따른 곡선 동작의 차이로 인해 식 (16)의 적분은 0이 아니므로 전체 식 (9)가 유효합니다.

일부 비선형 특성에 대한 조화 선형화 계수를 찾아보겠습니다. 비선형 특성이 히스테리시스 및 데드 존이 있는 릴레이 특성의 형태를 취하게 하십시오. 이러한 특성을 가진 비선형 요소를 고조파 진동이 어떻게 통과하는지 고려하십시오.



조건이 충족되면, 즉 입력 신호의 진폭이 데드 존보다 작으면 비선형 요소의 출력에 신호가 없습니다. 진폭이 이면 릴레이는 A, B, C 및 D 지점에서 전환됩니다. 및 를 나타냅니다.

. (18)

고조파 선형화 계수를 계산할 때 대칭 비선형 특성의 경우 식 (10)의 적분은 반주기(0, )에 있으며 결과가 2배 증가한다는 점을 염두에 두어야 합니다. . 이런 식으로

. (19)

릴레이 특성 및 사각 지대가 있는 비선형 요소의 경우

히스테리시스가 있는 릴레이 특성을 갖는 비선형 요소의 경우

다른 비선형 특성에 대한 고조파 선형화 계수는 유사하게 얻을 수 있습니다.

일정한 진폭과 주파수의 대칭 진동(자체 진동)과 선형 시스템의 안정성을 결정하는 두 가지 방법인 대수 및 주파수를 고려하겠습니다. 먼저 대수적 방법을 살펴보자. 닫힌 시스템 그림 1의 경우 선형 부분의 전달 함수는 다음과 같습니다.

비선형 부분의 조화 선형화된 전달 함수를 작성합니다.

닫힌 시스템의 특성 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

. (22)

연구중인 시스템에서 자체 진동이 발생하면 특성 방정식에 두 개의 순전히 허수 뿌리가 있음을 나타냅니다. 따라서 특성 방정식 (22)에 루트 값을 대입합니다.

. (23)

상상하다

원하는 진폭과 주파수를 결정하는 두 개의 방정식을 얻습니다.

. (24)

진폭과 주파수의 실제 양수 값이 솔루션에서 가능하면 시스템에서 자체 발진이 발생할 수 있습니다. 진폭과 주파수가 양의 값을 가지지 않으면 시스템의 자체 발진이 불가능합니다.

예 1을 고려하십시오. 연구 중인 비선형 시스템이 다음 형식을 갖도록 하십시오.

이 예에서 비선형 요소는 고조파 선형화 계수가 있는 계전기 특성을 가진 감지 요소입니다.

액츄에이터는 다음과 같은 전달 함수를 가지고 있습니다.

규제 대상의 전달 함수는 다음과 같습니다.

. (27)

시스템의 선형 부분의 전달 함수

, (28)

(22), (25), (28)을 기반으로 닫힌 시스템의 특성 방정식을 작성합니다.

, (29)

1/초, 초, 초, c.

이 경우 주기 운동의 매개변수는 다음과 같습니다.

7,071 ,

Mikhailov 기준을 사용하여 선형화된 ACS에서 자체 진동 매개변수를 결정하는 방법을 고려해 보겠습니다. 이 방법은 자체 진동이 발생할 때 시스템이 안정성 경계에 있고 이 경우 Mikhailov hodograph가 원점을 통과한다는 사실에 기반합니다.

예제 2에서 우리는 시스템 그림 4의 비선형 요소가 히스테리시스가 있는 릴레이 특성을 갖는 민감한 요소인 조건에서 자체 발진의 매개변수를 찾습니다. 이에 대한 고조파 선형화 계수

선형 부분은 변경되지 않았습니다.

닫힌 시스템의 특성 방정식을 씁니다.

Mikhailov hodograph는 을 대체하여 얻습니다.

작업은 hodograph가 좌표의 원점을 통과하는 진동의 진폭을 선택하는 것입니다. 이 경우 곡선이 원점을 통과하기 때문에 현재 주파수는 입니다.

MATHCAD 7에서 1/sec, sec, sec, in 및 in에서 수행된 계산은 다음 결과를 제공했습니다. 그림 5에서 Mikhailov의 hodograph는 원점을 통과합니다. 계산의 정확성을 향상시키기 위해 그래프의 원하는 조각을 늘립니다. 그림 6은 hodograph의 일부를 원점 부근에서 확대하여 보여줍니다. 곡선은 에서 좌표의 원점을 통과합니다.

그림 5. 그림 6.

이 경우 모듈러스가 0인 조건에서 발진 주파수를 찾을 수 있습니다. 주파수용

모듈 값은 표로 작성됩니다.

따라서 발진 주파수는 6.38입니다. 계산의 정확도를 쉽게 높일 수 있다는 점에 유의해야 합니다.

진폭 및 주파수 값에 의해 결정되는 결과적인 주기 솔루션은 안정성을 위해 조사되어야 합니다. 솔루션이 안정적이면 시스템에서 자체 진동 프로세스(안정한 한계 주기)가 발생합니다. 그렇지 않으면 한계 사이클이 불안정해질 것입니다.

주기 솔루션의 안정성을 연구하는 가장 쉬운 방법은 Mikhailov 안정성 기준을 그래픽 형식으로 사용하는 것입니다. 에서 Mikhailov 곡선은 좌표의 원점을 통과하는 것으로 나타났습니다. 약간의 증분을 제공하면 곡선은 0보다 높거나 낮은 위치를 취합니다. 따라서 마지막 예에서 , 즉 및 를 증가시키겠습니다. Mikhailov 곡선의 위치는 그림 7에 나와 있습니다.

에서 곡선은 시스템의 안정성과 감쇠된 과도 과정을 나타내는 0 위로 통과합니다. Mikhailov 곡선이 0 아래를 통과하면 시스템이 불안정하고 과도 상태가 발산합니다. 따라서 진폭이 6이고 진동 주파수가 6.38인 주기 솔루션은 안정적입니다.

주기적 솔루션의 안정성을 연구하기 위해 Mikhailov 그래픽 기준에서 얻은 분석 기준을 사용할 수도 있습니다. 실제로 Mikhailov 곡선이 0 이상으로 갈 것인지 알아보려면 좌표의 원점에 있는 Mikhailov 곡선의 점이 어디로 이동할지 살펴보는 것으로 충분합니다.