피타고라스 정리의 생성. 유명한 정리(피타고라스 정리)

창의성의 잠재력은 일반적으로 인문학에 기인하며 자연 과학 분석, 실용적인 접근 방식 및 공식과 숫자의 건조한 언어를 남깁니다. 수학은 인문과목으로 분류할 수 없습니다. 그러나 "모든 과학의 여왕"에서 창의성이 없으면 멀리 가지 못할 것입니다. 사람들은 오랫동안 이것에 대해 알고 있었습니다. 예를 들어, 피타고라스 시대부터.

불행히도 학교 교과서는 일반적으로 수학에서 정리, 공리 및 공식을 암기하는 것이 중요하다고 설명하지 않습니다. 기본 원리를 이해하고 느끼는 것이 중요합니다. 그리고 동시에 진부한 표현과 기본적인 진리에서 마음을 해방시키십시오. 그러한 조건에서만 모든 위대한 발견이 탄생합니다.

그러한 발견에는 오늘날 우리가 피타고라스 정리로 알고 있는 것이 포함됩니다. 그것의 도움으로 우리는 수학이 할 수 있을 뿐만 아니라 재미있어야 한다는 것을 보여주려고 노력할 것입니다. 그리고 이 모험은 두꺼운 안경을 쓴 괴짜뿐만 아니라 강한 정신력과 강한 정신력을 가진 모든 사람에게 적합합니다.

문제의 역사에서

엄밀히 말하면 이 정리를 "피타고라스 정리"라고 하지만 피타고라스 자신이 발견한 것은 아닙니다. 직각 삼각형과 그 특별한 속성은 훨씬 이전에 연구되었습니다. 이 문제에 대해 두 가지 극적인 관점이 있습니다. 한 버전에 따르면, 피타고라스는 정리의 완전한 증거를 처음으로 발견했습니다. 다른 사람에 따르면, 증명은 피타고라스의 저자에 속하지 않습니다.

오늘은 더 이상 누가 옳고 누가 그른지 확인할 수 없습니다. 피타고라스의 증명이 존재했다면 살아남지 못했다는 것만 알려져 있습니다. 그러나 유클리드의 원소의 유명한 증명이 피타고라스에 속할 수 있다는 제안이 있으며 유클리드가 기록했을 뿐입니다.

직각 삼각형에 대한 문제는 파라오 Amenemhet I 시대의 이집트 자료, 함무라비 왕 통치의 바빌론 점토판, 고대 인도 논문 Sulva Sutra 및 고대 중국 작품 Zhou에서 발견되는 것으로 알려져 있습니다. -비수안진.

보시다시피 피타고라스 정리는 고대부터 수학자들의 마음을 사로 잡았습니다. 오늘날 존재하는 약 367개의 다양한 증거가 확인 역할을 합니다. 이 점에서 다른 어떤 정리도 그것과 경쟁할 수 없습니다. 주목할만한 증거 작성자로는 Leonardo da Vinci와 미국의 20대 대통령 James Garfield가 있습니다. 이 모든 것은 수학에 대한 이 정리의 극도의 중요성을 말해줍니다. 기하학의 대부분의 정리는 이것에서 파생되거나 어떤 식으로든 그것과 연결됩니다.

피타고라스 정리의 증명

학교 교과서는 대부분 대수적 증명을 제공합니다. 그러나 정리의 본질은 기하학에 있으므로 우선 이 과학을 기반으로 한 유명한 정리의 증명을 살펴보겠습니다.

증거 1

직각 삼각형에 대한 피타고라스 정리의 가장 간단한 증명을 위해 이상적인 조건을 설정해야 합니다. 삼각형이 직각일 뿐만 아니라 이등변도 되게 하십시오. 고대 수학자들이 원래 생각했던 그런 삼각형이라고 믿을 만한 이유가 있다.

성명 "직각 삼각형의 빗변 위에 만든 정사각형은 다리에 만든 정사각형의 합과 같습니다."다음 그림으로 설명할 수 있습니다.

이등변 삼각형 ABC를 보십시오. 빗변 AC에서 원래 ABC와 동일한 4개의 삼각형으로 구성된 정사각형을 만들 수 있습니다. 그리고 다리 AB와 BC에는 두 개의 유사한 삼각형이 포함 된 정사각형에 세워졌습니다.

그건 그렇고,이 그림은 피타고라스 정리에 전념 한 수많은 일화와 만화의 기초를 형성했습니다. 아마도 가장 유명한 것은 "피타고라스식 바지는 모든 방향에서 평등하다":

증거 2

이 방법은 대수학과 기하학을 결합하고 수학자 Bhaskari의 고대 인도 증명의 변형으로 볼 수 있습니다.

변이 있는 직각 삼각형 만들기 a, b 및 c(그림 1). 그런 다음 두 다리의 길이의 합과 같은 변을 가진 두 개의 정사각형을 만드십시오. (a+b). 각 사각형에서 그림 2와 3과 같이 구성합니다.

첫 번째 사각형에서 그림 1과 같은 삼각형을 4개 만듭니다. 결과적으로 두 개의 사각형이 생성됩니다. 하나는 변이 a이고 다른 하나는 변이 비.

두 번째 정사각형에서는 4개의 유사한 삼각형이 빗변과 같은 변을 가진 정사각형을 형성합니다. 씨.

그림 2에서 구성한 정사각형의 면적의 합은 그림 3에서 변 c로 구성한 정사각형의 면적과 같습니다. 이것은 그림 1에서 사각형의 면적을 계산하여 쉽게 확인할 수 있습니다. 2 공식에 따라. 그리고 그림 3의 내접 정사각형의 면적. 한 변이 있는 큰 정사각형의 면적에서 정사각형에 내접하는 4개의 동일한 직각 삼각형의 면적을 빼서 (a+b).

이 모든 것을 정리하면 다음과 같습니다. a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. 대괄호를 확장하고 필요한 모든 대수 계산을 수행하고 a 2 + b 2 = a 2 + b 2. 동시에, 그림 3에 새겨진 영역. 제곱은 전통적인 공식을 사용하여 계산할 수도 있습니다. S=c2. 저것들. a2+b2=c2피타고라스 정리를 증명했습니다.

증거 3

바로 그 동일한 고대 인도 증거가 12세기 논문 "지식의 왕관"("Siddhanta Shiromani")에 기술되어 있으며, 주요 논거로서 저자는 수학적 재능과 학생 관찰 능력에 대한 호소를 사용합니다. 추종자 : "보세요!".

그러나 우리는 이 증명을 더 자세히 분석할 것입니다:

정사각형 안에 그림과 같이 직각 삼각형 4개를 만드세요. 빗변이기도 한 큰 정사각형의 변은 다음과 같이 표시됩니다. 와 함께. 삼각형의 다리를 부르자 ㅏ그리고 비. 그림에 따르면 내부 사각형의 측면은 (a-b).

정사각형 면적 공식 사용 S=c2외부 사각형의 면적을 계산합니다. 그리고 동시에 내부 정사각형의 면적과 4개의 직각 삼각형의 면적을 더하여 동일한 값을 계산합니다. (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

두 옵션을 모두 사용하여 정사각형의 면적을 계산하여 동일한 결과를 얻을 수 있는지 확인할 수 있습니다. 그리고 그것은 당신에게 그것을 기록할 권리를 줍니다 c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. 솔루션의 결과로 피타고라스 정리의 공식을 얻을 수 있습니다. c2=a2+b2. 정리가 증명되었습니다.

증거 4

이 흥미로운 고대 중국 증거는 "신부 의자"라고 불렸습니다. 모든 구성에서 비롯된 의자와 같은 모양 때문입니다.

두 번째 증명에서 그림 3에서 이미 본 그림을 사용합니다. 그리고 측면 c가 있는 내부 정사각형은 위에 주어진 고대 인도 증명에서와 같은 방식으로 구성됩니다.

그림 1의 그림에서 두 개의 녹색 직각 삼각형을 정신적으로 잘라내어 변 c가있는 정사각형의 반대쪽으로 이동하고 라일락 삼각형의 빗변에 빗변을 붙이면 "신부 의자"라는 그림이 나옵니다. "(그림 2). 명확성을 위해 종이 정사각형과 삼각형으로도 동일한 작업을 수행할 수 있습니다. "신부 의자"가 두 개의 사각형으로 구성되어 있음을 알 수 있습니다. 비그리고 옆으로 큰 ㅏ.

이러한 구조를 통해 고대 중국 수학자와 우리는 다음과 같은 결론에 도달했습니다. c2=a2+b2.

증거 5

이것은 기하학을 기반으로 한 피타고라스 정리에 대한 솔루션을 찾는 또 다른 방법입니다. 가필드 방식이라고 합니다.

직각 삼각형 만들기 알파벳. 우리는 그것을 증명할 필요가 있습니다 BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

이렇게하려면 다리를 계속하십시오. 교류세그먼트를 구축 CD, 이는 다리와 같습니다. AB. 하부 수직 기원 후선분 ED. 세그먼트 ED그리고 교류같다. 점들을 이으세요 이자형그리고 에, 만큼 잘 이자형그리고 에서아래 그림과 같은 그림을 얻으십시오.

타워를 증명하기 위해 우리는 이미 테스트한 방법에 다시 의존합니다. 결과 그림의 면적을 두 가지 방법으로 찾고 표현을 서로 동일시합니다.

다각형의 면적 찾기 침대그것을 형성하는 세 삼각형의 면적을 더하면 됩니다. 그리고 그들 중 하나 ERU, 는 직사각형일 뿐만 아니라 이등변이기도 합니다. 그것도 잊지 말자 AB=CD, AC=ED그리고 BC=CE- 이렇게 하면 녹음을 단순화하고 과부하를 방지할 수 있습니다. 그래서, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

동시에 분명한 것은 침대사다리꼴이다. 따라서 다음 공식을 사용하여 면적을 계산합니다. SABED=(DE+AB)*1/2AD. 우리의 계산을 위해 세그먼트를 나타내는 것이 더 편리하고 명확합니다. 기원 후세그먼트의 합으로 교류그리고 CD.

그 사이에 등호를 넣어 그림의 면적을 계산하는 두 가지 방법을 모두 작성해 보겠습니다. AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). 우리는 이미 알고 있고 위에서 설명한 세그먼트의 동등성을 사용하여 표기법의 오른쪽을 단순화합니다. AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. 이제 대괄호를 열고 평등을 변환합니다. AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. 모든 변환을 마치면 필요한 것을 정확히 얻습니다. BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. 우리는 정리를 증명했습니다.

물론 이 증거 목록은 완전하지 않습니다. 피타고라스 정리는 벡터, 복소수, 미분 방정식, 입체 측정법 등을 사용하여 증명할 수도 있습니다. 그리고 물리학자도: 예를 들어 액체가 그림에 표시된 것과 유사한 정사각형 및 삼각형 체적에 부어진다면. 액체를 부어서 결과적으로 면적과 정리 자체의 평등을 증명할 수 있습니다.

피타고라스의 삼중항에 대한 몇 마디

이 문제는 학교 커리큘럼에서 거의 또는 전혀 연구되지 않습니다. 한편, 그것은 매우 흥미롭고 큰 중요성기하학에서. 피타고라스식 트리플은 많은 수학적 문제를 푸는 데 사용됩니다. 그들에 대한 아이디어는 추가 교육에서 당신에게 유용 할 수 있습니다.

그렇다면 피타고라스의 삼중항은 무엇일까요? 3으로 모은 이른바 자연수, 2의 제곱의 합은 3의 제곱과 같습니다.

피타고라스식 트리플은 다음과 같을 수 있습니다.

• 원시(세 숫자 모두 상대적으로 소수임);
• 비원시(삼중의 각 수에 같은 수를 곱하면 기본이 아닌 새로운 삼중을 얻음).

우리 시대 이전에도 고대 이집트인들은 피타고라스식 삼중항 수에 대한 열광에 매료되었습니다. 작업에서 그들은 3.4 및 5 단위의 변이 있는 직각 삼각형을 고려했습니다. 그건 그렇고, 변이 피타고라스 삼중의 숫자와 같은 삼각형은 기본적으로 직사각형입니다.

피타고라스 삼중의 예: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) 등

정리의 실제 적용

피타고라스 정리는 수학뿐만 아니라 건축과 건축, 천문학, 심지어 문학에도 적용됩니다.

첫째, 구성에 대해: 피타고라스 정리는 다양한 수준의 복잡성 문제에서 널리 사용됩니다. 예를 들어, 로마네스크 창을 보십시오.

창의 너비를 다음과 같이 표시합시다. 비, 큰 반원의 반지름은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 아르 자형를 통해 표현하고 b: R=b/2. 더 작은 반원의 반지름은 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다. b: r=b/4. 이 문제에서 우리는 창의 내부 원의 반지름에 관심이 있습니다. 피).

피타고라스 정리는 계산에 유용합니다. 아르 자형. 이를 위해 그림에서 점선으로 표시된 직각 삼각형을 사용합니다. 삼각형의 빗변은 두 개의 반지름으로 구성됩니다. b/4+p. 한쪽 다리는 반지름 b/4, 또 다른 b/2-p. 피타고라스 정리를 사용하여 다음과 같이 씁니다. (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. 다음으로 괄호를 열고 다음을 얻습니다. b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. 이 표현을 다음과 같이 바꿔보자. bp/2=b 2 /4-bp. 그런 다음 모든 용어를 다음으로 나눕니다. 비, 우리는 비슷한 것을 얻을 3/2*p=b/4. 그리고 결국 우리는 그것을 발견합니다. p=b/6- 우리가 필요했던 것입니다.

정리를 사용하여 박공 지붕의 서까래 길이를 계산할 수 있습니다. 신호가 특정 정착지에 도달하는 데 필요한 모바일 타워의 높이를 결정합니다. 그리고 도시 광장에 크리스마스 트리를 꾸준히 설치하십시오. 보시다시피, 이 정리는 교과서 페이지에만 있는 것이 아니라 실생활에서도 종종 유용합니다.

문학에 관한 한, 피타고라스 정리는 고대부터 작가들에게 영감을 주어 오늘날에도 계속되고 있습니다. 예를 들어, 19세기 독일 작가 Adelbert von Chamisso는 그녀에게서 영감을 받아 다음과 같은 소네트를 썼습니다.

진실의 빛은 곧 사라지지 않을 것이며,
그러나 빛을 발한 후에는 소멸되지 않을 것입니다.
그리고 수천 년 전처럼,
의심과 분쟁을 일으키지 않습니다.

눈에 닿을 때가 가장 현명하다
진리의 빛이여, 신들에게 감사하십시오.
그리고 백 마리의 황소가 칼에 찔리고 거짓말을 했습니다.
행운의 피타고라스의 답례품.

그 이후로 황소들은 필사적으로 포효했습니다.
영원히 황소 부족을 깨우다
여기에 언급된 이벤트.

그들은 때가 됐다고 생각한다
그리고 다시 그들은 희생될 것이다
몇 가지 훌륭한 정리.

(Viktor Toporov 번역)

그리고 20세기에 소련 작가 Yevgeny Veltistov는 그의 책 "The Adventures of Electronics"에서 피타고라스 정리의 증명에 대해 전체 장을 할애했습니다. 그리고 피타고라스 정리가 단일 세계의 기본 법칙이자 종교가 된다면 존재할 수 있는 2차원 세계에 대한 이야기의 절반 챕터. 그 안에 사는 것이 훨씬 쉬울 것이지만 훨씬 더 지루합니다. 예를 들어 "둥근"과 "푹신한"이라는 단어의 의미를 이해하는 사람은 아무도 없습니다.

그리고 "전자공학의 모험(The Adventures of Electronics)"이라는 책에서 저자는 수학 교사인 타라타라(Taratara)의 입을 통해 이렇게 말했습니다. 피타고라스 정리를 생성하는 것은 이 창의적인 생각의 비행입니다. 다양한 증거가 있는 것은 헛된 것이 아닙니다. 평소를 뛰어넘어 익숙한 것을 새로운 시각으로 바라보는 데 도움이 됩니다.

결론

이 글은 학교 수학 교과과정을 뛰어넘어 교과서 "기하학 7-9"(L.S. Atanasyan, V.N. 루덴코) 및 "기하학 7-11"에 나오는 피타고라스 정리의 증명뿐만 아니라 배울 수 있도록 작성되었습니다. "(A.V. Pogorelov)뿐만 아니라 유명한 정리를 증명하는 다른 흥미로운 방법도 있습니다. 또한 피타고라스 정리가 일상 생활에 어떻게 적용될 수 있는지에 대한 예를 참조하십시오.

첫째, 이 정보를 사용하면 수학 수업에서 더 높은 점수를 받을 수 있습니다. 추가 출처의 주제에 대한 정보는 항상 높이 평가됩니다.

두 번째로, 우리는 수학이 얼마나 흥미로운지 느낄 수 있도록 돕고 싶었습니다. 특정한 예를 통해 그 안에 항상 창의성을 위한 자리가 있음을 확신합니다. 피타고라스 정리와 이 기사가 수학 및 기타 과학에서 자신의 연구와 흥미로운 발견에 영감을 주기를 바랍니다.

기사에 제시된 증거가 흥미롭다면 의견에 알려주십시오. 이 정보가 학업에 도움이 되었습니까? 피타고라스 정리와 이 기사에 대해 어떻게 생각하는지 알려주십시오. 이 모든 것에 대해 기꺼이 논의하겠습니다.

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한 가지는 빗변의 제곱이 얼마인지 묻는 질문에 모든 성인이 "다리의 제곱의 합"이라고 과감하게 대답할 것이라고 100% 확신할 수 있습니다. 이 정리는 교육받은 모든 사람의 마음에 확고하게 심어 져 있지만 누군가에게 증명해달라고 요청하면 충분합니다. 그러면 어려움이 발생할 수 있습니다. 그러니 기억하고 생각하자. 다른 방법들피타고라스 정리의 증명.

전기에 대한 간략한 개요

피타고라스 정리는 거의 모든 사람에게 친숙하지만 어떤 이유로 그것을 만든 사람의 전기는 그렇게 인기가 없습니다. 수정하겠습니다. 따라서 피타고라스 정리를 증명하는 다양한 방법을 연구하기 전에 그의 성격에 대해 간략히 알 필요가 있습니다.

피타고라스 - 철학자, 수학자, 사상가, 원래 오늘부터이 위대한 사람을 기리기 위해 발전한 전설과 그의 전기를 구별하는 것은 매우 어렵습니다. 그러나 그의 추종자들의 글에 따르면 사모스의 피타고라스는 사모스 섬에서 태어났다. 그의 아버지는 평범한 석공이었지만 그의 어머니는 귀족 가문 출신이었다.

전설에 따르면 피타고라스의 탄생은 소년의 이름을 딴 피티아라는 여성이 예언했다고 합니다. 그녀의 예언에 따르면, 태어난 소년은 인류에게 많은 유익과 선을 가져다 줄 것이었습니다. 그가 실제로 한 일입니다.

정리의 탄생

젊었을 때 피타고라스는 이집트의 유명한 현자들을 만나기 위해 이집트로 이주했습니다. 그들을 만난 후 그는 이집트 철학, 수학 및 의학의 모든 위대한 업적을 배웠습니다.

아마도 피타고라스가 피라미드의 웅장함과 아름다움에 영감을 받아 그의 위대한 이론을 만든 곳은 이집트였을 것입니다. 이것은 독자들에게 충격을 줄 수 있지만 현대 역사가들은 피타고라스가 그의 이론을 증명하지 않았다고 믿습니다. 그러나 그는 나중에 필요한 모든 수학적 계산을 완료한 추종자들에게만 자신의 지식을 전수했습니다.

오늘날에는 이 정리를 증명하는 하나의 기술이 알려져 있지 않고 한 번에 여러 기술이 알려져 있습니다. 오늘날 우리는 고대 그리스인들이 정확히 어떻게 계산을 했는지 추측할 수 있을 뿐입니다. 따라서 여기에서 피타고라스 정리를 증명하는 다양한 방법을 고려할 것입니다.

피타고라스의 정리

계산을 시작하기 전에 증명할 이론을 파악해야 합니다. 피타고라스 정리는 다음과 같이 들립니다. "각 중 하나가 90°인 삼각형에서 다리의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같습니다."

피타고라스 정리를 증명하는 방법은 총 15가지가 있습니다. 이것은 상당히 많은 수이므로 가장 인기있는 것에주의를 기울이십시오.

방법 1

먼저 우리가 가진 것을 정의합시다. 이 데이터는 피타고라스 정리를 증명하는 다른 방법에도 적용되므로 사용 가능한 모든 표기법을 즉시 기억해야 합니다.

다리, b, 빗변이 c인 직각 삼각형이 주어졌다고 가정합니다. 첫 번째 증명 방법은 직각 삼각형에서 정사각형을 그려야 한다는 사실에 기반합니다.

이렇게 하려면 다리 길이 a에 다리 길이와 같은 선분을 그리고 그 반대로도 그려야 합니다. 따라서 정사각형의 두 개의 동일한면이 나와야합니다. 두 개의 평행선을 그리는 것만 남아 있으며 사각형이 준비되었습니다.

결과 그림 안에 원래 삼각형의 빗변과 같은면이있는 다른 사각형을 그려야합니다. 이렇게 하려면 정점 ac와 sv에서 c와 동일한 두 개의 평행 세그먼트를 그려야 합니다. 따라서 우리는 정사각형의 세 변을 얻습니다. 그 중 하나는 원래 직각 삼각형의 빗변입니다. 네 번째 세그먼트를 그리는 것만 남아 있습니다.

결과 그림을 기반으로 외부 사각형의 면적은 (a + b) 2라는 결론을 내릴 수 있습니다. 그림 내부를 보면 내부 정사각형 외에 4개의 직각 삼각형이 있음을 알 수 있습니다. 각각의 면적은 0.5 av입니다.

따라서 면적은 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2입니다.

따라서 (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

따라서 2 \u003d a 2 + in 2

정리가 증명되었습니다.

방법 2: 유사한 삼각형

피타고라스 정리의 증명을 위한 이 공식은 유사한 삼각형에 대한 기하학 섹션의 진술을 기반으로 파생되었습니다. 직각 삼각형의 다리는 빗변과 90 ° 각도의 꼭짓점에서 나오는 빗변 세그먼트에 비례하는 평균이라고 말합니다.

초기 데이터는 그대로 유지되므로 바로 증명부터 시작하겠습니다. 변 AB에 수직인 선분 CD를 그립니다. 위의 진술에 따라 삼각형의 다리는 동일합니다.

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

피타고라스 정리를 증명하는 방법에 대한 질문에 답하려면 두 부등식을 모두 제곱하여 증명해야 합니다.

AC 2 \u003d AB * 지옥 및 SV 2 \u003d AB * DV

이제 결과 부등식을 추가해야 합니다.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), 여기서 AD + DV \u003d AB

다음과 같이 밝혀졌습니다.

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

따라서:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

피타고라스 정리의 증명과 다양한 방법그 솔루션은 이 문제에 대한 다각적인 접근이 필요합니다. 그러나 이 옵션은 가장 간단한 옵션 중 하나입니다.

다른 계산 방법

피타고라스 정리를 증명하는 다양한 방법에 대한 설명은 스스로 연습을 시작할 때까지 아무 말도 하지 않을 수 있습니다. 많은 방법에는 수학적 계산뿐만 아니라 원래 삼각형에서 새로운 그림의 구성도 포함됩니다.

이 경우 항공기 다리에서 또 다른 직각 삼각형 VSD를 완성해야합니다. 따라서 이제 공통 다리 BC를 가진 두 개의 삼각형이 있습니다.

유사한 도형의 면적이 유사한 선형 치수의 제곱과 같은 비율을 갖는다는 것을 알면:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (2에서 2까지) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

2에서 2로 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + in 2

이 옵션은 8등급에 대한 피타고라스 정리를 증명하는 다양한 방법에서 거의 적합하지 않으므로 다음 기술을 사용할 수 있습니다.

피타고라스 정리를 증명하는 가장 쉬운 방법. 리뷰

역사가들은 이 방법이 처음으로 정리를 증명하는 데 사용되었다고 믿습니다. 고대 그리스. 절대적으로 계산이 필요하지 않기 때문에 가장 간단합니다. 그림을 올바르게 그리면 a 2 + b 2 \u003d c 2라는 진술의 증거가 명확하게 보입니다.

이 방법의 조건은 이전 방법과 약간 다릅니다. 정리를 증명하기 위해 직각 삼각형 ABC가 이등변이라고 가정합니다.

빗변 AC를 정사각형의 한 변으로 취하고 세 변을 그립니다. 또한 결과 사각형에 두 개의 대각선을 그릴 필요가 있습니다. 그래서 그 안에는 4개의 이등변 삼각형이 있습니다.

다리 AB와 CB에도 정사각형을 그리고 각각에 하나의 대각선을 그려야합니다. 정점 A에서 첫 번째 선을 그리고 C에서 두 번째 선을 그립니다.

이제 결과 도면을주의 깊게 봐야합니다. 빗변 AC에 원래 삼각형과 동일한 삼각형이 4개 있고 다리에 삼각형이 2개 있기 때문에 이것은 이 정리의 진실성을 나타냅니다.

그건 그렇고, 피타고라스 정리를 증명하는이 방법 덕분에 "피타고라스 바지는 모든 방향에서 평등합니다"라는 유명한 문구가 탄생했습니다.

J. 가필드의 증거

제임스 가필드(James Garfield)는 미국의 20대 대통령입니다. 미국의 통치자로서 역사에 흔적을 남겼을 뿐만 아니라 독학으로도 재능이 있었습니다.

초창기에는 민중학교의 평범한 교사였으나 곧 고등학교의 교장이 되었다. 교육 기관. 자기 계발에 대한 열망과 피타고라스 정리의 새로운 증명 이론을 제시할 수 있었습니다. 정리와 그 해의 예는 다음과 같다.

먼저 종이에 두 개의 직각 삼각형을 그려서 그 중 하나의 다리가 두 번째 다리의 연속이 되도록 해야 합니다. 이 삼각형의 꼭짓점은 사다리꼴로 끝나도록 연결되어야 합니다.

아시다시피, 사다리꼴의 면적은 밑변과 높이의 합 절반의 곱과 같습니다.

S=a+b/2 * (a+b)

결과 사다리꼴을 세 개의 삼각형으로 구성된 그림으로 간주하면 그 면적은 다음과 같이 찾을 수 있습니다.

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

이제 두 개의 원래 표현식을 동일화해야 합니다.

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + in 2

피타고라스 정리와 그것을 증명하는 방법에 대해 한 권 이상의 책이 쓰여질 수 있습니다. 학습 가이드. 그러나 이 지식을 실천할 수 없을 때 그것이 의미가 있습니까?

피타고라스 정리의 실제 적용

안타깝게도 현대에서는 학교 프로그램이 정리의 사용은 기하학적 문제에서만 제공됩니다. 졸업생들은 자신의 지식과 기술을 실제로 어떻게 적용할 수 있는지 모른 채 곧 학교를 떠날 것입니다.

사실, 누구나 일상 생활에서 피타고라스 정리를 사용할 수 있습니다. 뿐만 아니라 전문적인 활동뿐만 아니라 일반적인 집안일에서도. 피타고라스 정리와 증명 방법이 매우 필요할 수 있는 몇 가지 경우를 고려해 보겠습니다.

정리와 천문학의 연결

별과 삼각형이 종이에 어떻게 연결될 수 있는지 보일 것입니다. 사실 천문학은 피타고라스 정리가 널리 사용되는 과학 분야입니다.

예를 들어, 공간에서 광선의 움직임을 고려하십시오. 우리는 빛이 같은 속도로 양방향으로 움직인다는 것을 알고 있습니다. 우리는 광선이 움직이는 궤적을 AB라고 부릅니다. 엘. 그리고 빛이 A 지점에서 B 지점으로 이동하는 데 걸리는 시간의 절반을 티. 그리고 빔의 속도 - 씨. 다음과 같이 밝혀졌습니다. c*t=l

예를 들어 속도 v로 움직이는 스페이스 라이너와 같은 다른 평면에서 동일한 빔을 본 다음 이러한 물체를 관찰하면 속도가 변경됩니다. 이 경우 정지된 요소도 반대 방향으로 속도 v로 이동합니다.

만화 라이너가 오른쪽으로 항해하고 있다고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 광선이 돌진하는 점 A와 B가 왼쪽으로 이동합니다. 또한 빔이 A 지점에서 B 지점으로 이동할 때 A 지점은 이동할 시간이 있으므로 빛은 이미 새로운 지점 C에 도달합니다. A 지점이 이동한 거리의 절반을 찾으려면 다음을 곱해야 합니다. 빔의 이동 시간의 절반만큼 라이너의 속도(t ").

그리고 이 시간 동안 광선이 얼마나 멀리 이동할 수 있는지 알아보려면 새로운 너도밤나무의 경로의 절반을 지정하고 다음 식을 얻어야 합니다.

빛 C와 B의 점과 공간 라이너가 이등변 삼각형의 꼭지점이라고 상상하면 점 A에서 라이너까지의 선분은 그것을 두 개의 직각 삼각형으로 나눕니다. 따라서 피타고라스의 정리 덕분에 광선이 이동할 수 있는 거리를 찾을 수 있습니다.

물론 이 예는 가장 성공적이지는 않습니다. 운이 좋게도 실제로 시도해 볼 수 있는 사람은 소수에 불과하기 때문입니다. 따라서 우리는 이 정리의 보다 일상적인 적용을 고려합니다.

모바일 신호 전송 범위

스마트폰이 없는 현대인의 삶은 더 이상 상상할 수 없습니다. 하지만 이동통신으로 가입자를 연결할 수 없다면 얼마나 쓸모가 있을까요?!

이동 통신의 품질은 이동 통신사의 안테나가 위치한 높이에 직접적으로 의존합니다. 휴대전화가 신호를 수신할 수 있는 이동탑에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지 계산하기 위해 피타고라스 정리를 적용할 수 있습니다.

200km 반경 내에서 신호를 전파할 수 있도록 고정 타워의 대략적인 높이를 찾아야 한다고 가정해 보겠습니다.

AB(타워 높이) = x;

BC(신호 전송 반경) = 200km;

OS(지구 반경) = 6380km;

OB=OA+ABOB=r+x

피타고라스 정리를 적용하면 타워의 최소 높이는 2.3km가 되어야 한다는 것을 알 수 있습니다.

일상생활에서의 피타고라스 정리

이상하게도 피타고라스 정리는 예를 들어 벽장 높이를 결정하는 것과 같은 일상적인 문제에서도 유용할 수 있습니다. 언뜻보기에는 줄자로 간단히 측정 할 수 있기 때문에 복잡한 계산을 사용할 필요가 없습니다. 그러나 많은 사람들이 모든 측정이 더 정확하게 수행된 경우 조립 과정에서 특정 문제가 발생하는 이유에 놀라고 있습니다.

사실 옷장은 수평 위치에 조립 된 다음에만 상승하여 벽에 설치됩니다. 따라서 구조를 들어 올리는 과정에서 캐비닛의 측벽은 방의 높이와 대각선을 따라 자유롭게 통과해야합니다.

깊이가 800mm인 옷장이 있다고 가정합니다. 바닥에서 천장까지의 거리 - 2600mm. 숙련 된 가구 제작자는 캐비닛 높이가 방 높이보다 126mm 낮아야한다고 말합니다. 그런데 왜 정확히 126mm입니까? 예를 들어 보겠습니다.

캐비닛의 이상적인 치수로 피타고라스 정리의 작동을 확인합시다.

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - 모든 것이 수렴합니다.

캐비닛의 높이가 2474mm가 아니라 2505mm라고 가정해 보겠습니다. 그 다음에:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629mm.

따라서 이 캐비닛은 이 방에 설치하기에 적합하지 않습니다. 수직으로 들어올릴 경우 본체가 파손될 수 있으므로

아마도 다른 과학자들이 피타고라스 정리를 증명하는 다른 방법을 고려한 결과 그것이 사실 이상이라는 결론을 내릴 수 있습니다. 이제 일상 생활에서 받은 정보를 사용할 수 있으며 모든 계산이 유용할 뿐만 아니라 정확하다는 것을 완전히 확신할 수 있습니다.

피타고라스의 정리: 다리가 지지하는 정사각형의 면적의 합( ㅏ그리고 비), 빗변에 지어진 정사각형의 면적과 같습니다( 씨).

기하학적 공식:

정리는 원래 다음과 같이 공식화되었습니다.

대수 공식:

즉, 다음을 통해 삼각형의 빗변의 길이를 나타냅니다. 씨, 그리고 다리 길이 ㅏ그리고 비 :

ㅏ 2 + 비 2 = 씨 2

정리의 두 공식은 동일하지만 두 번째 공식은 더 기본적이며 면적 개념이 필요하지 않습니다. 즉, 두 번째 진술은 면적에 대해 아무것도 모르고 직각삼각형의 변의 길이만 측정하여 확인할 수 있습니다.

역 피타고라스 정리:

증명

현재 이 정리에 대한 367개의 증명이 과학 문헌에 기록되어 있습니다. 아마도 피타고라스 정리는 그렇게 인상적인 증명을 가진 유일한 정리일 것입니다. 그러한 다양성은 기하학 정리의 근본적인 중요성에 의해서만 설명될 수 있습니다.

물론 개념적으로는 모두 소수의 클래스로 나눌 수 있습니다. 가장 유명한 것은 면적법에 의한 증명, 공리 및 이색 증명(예: 미분 방정식 사용)입니다.

비슷한 삼각형을 통해

대수 공식의 다음 증명은 공리로부터 직접 구축된 가장 간단한 증명입니다. 특히 도형 영역의 개념을 사용하지 않습니다.

허락하다 알파벳직각 삼각형이 있다 씨. 높이를 그려보자 씨그리고 그것의 기초를 다음과 같이 표시하십시오. 시간. 삼각형 ACH삼각형과 비슷하다 알파벳두 모서리에서. 마찬가지로 삼각형 CBH비슷한 알파벳. 표기법 소개

우리는 얻는다

동등한 것은 무엇입니까

추가, 우리는

지역 증명

다음 증명은 겉보기에 단순함에도 불구하고 전혀 단순하지 않습니다. 그들 모두는 피타고라스 정리 자체의 증명보다 더 복잡한 영역의 속성을 사용합니다.

등가를 통한 증명

1. 그림 1과 같이 4개의 동일한 직각 삼각형을 정렬합니다.
2. 측면이 있는 사각형 씨두 예각의 합이 90°이고 직선각이 180°이기 때문에 는 정사각형입니다.
3. 전체 그림의 면적은 한편으로 (a + b)가있는 정사각형의 면적과 같고 다른 한편으로는 네 개의 삼각형과 두 개의 내부 면적의 합 사각형.

Q.E.D.

동등성을 통한 증거

우아한 순열 증명

이러한 증명 중 하나의 예가 오른쪽 그림에 나와 있습니다. 여기서 빗변에 만들어진 사각형은 순열에 의해 다리에 만들어진 두 개의 사각형으로 변환됩니다.

유클리드의 증명

유클리드의 증명을 위한 그림 그리기

유클리드의 증명을 위한 삽화

유클리드 증명의 아이디어는 다음과 같습니다. 빗변에 지어진 정사각형의 면적의 절반이 다리에 지어진 정사각형의 절반 면적의 합과 같다는 것을 증명하려고 시도한 다음 큰 정사각형과 작은 정사각형 두 개는 같습니다.

왼쪽 그림을 고려하십시오. 우리는 직각 삼각형의 측면에 정사각형을 만들고 빗변 AB에 수직인 직각 C의 꼭짓점에서 광선 s를 그렸습니다. 빗변 위에 만들어진 정사각형 ABIK를 BHJI와 HAKJ의 두 직사각형으로 자릅니다. , 각각. 이 직사각형의 면적은 해당 다리에 만들어진 정사각형의 면적과 정확히 같습니다.

정사각형 DECA의 면적이 직사각형 AHJK의 면적과 같다는 것을 증명해 봅시다. 이를 위해 보조 관찰을 사용합니다. 주어진 높이와 밑변이 같은 삼각형의 면적 직사각형은 주어진 직사각형의 면적의 절반과 같습니다. 이것은 삼각형의 면적을 밑변과 높이의 곱의 절반으로 정의한 결과입니다. 이 관찰에서 삼각형 ACK의 면적은 삼각형 AHK(도시되지 않음)의 면적과 같으며, 이는 차례로 직사각형 AHJK의 면적의 절반과 같습니다.

이제 삼각형 ACK의 면적이 정사각형 DECA의 면적의 절반과 같다는 것을 증명합시다. 이를 위해 수행해야 할 유일한 것은 삼각형 ACK와 BDA의 동등성을 증명하는 것입니다(삼각형 BDA의 면적은 위의 속성에 의한 정사각형 면적의 절반과 같기 때문에). 이 평등은 명백합니다. 삼각형은 두 변과 그 사이의 각도가 같습니다. 즉 - AB=AK,AD=AC - 각 CAK와 BAD의 동등성은 모션 방법으로 증명하기 쉽습니다. 삼각형 CAK를 시계 반대 방향으로 90° 회전하면 고려 중인 두 삼각형의 해당 변이 일치합니다(정사각형 꼭짓점의 각도가 90°이기 때문에).

정사각형 BCFG와 직사각형 BHJI의 면적이 같다는 주장은 완전히 유사합니다.

따라서 우리는 빗변에 지어진 정사각형의 면적이 다리에 지어진 정사각형의 면적의 합이라는 것을 증명했습니다. 이 증명 뒤에 숨은 아이디어는 위의 애니메이션으로 더 자세히 설명되어 있습니다.

레오나르도 다빈치의 증거

레오나르도 다빈치의 증거

증명의 주요 요소는 대칭과 움직임입니다.

대칭에서 볼 수 있듯이 도면을 고려하십시오. 씨나광장을 해부하다 ㅏ비시간제이 두 개의 동일한 부분으로 (삼각형 ㅏ비씨그리고 제이시간나구성에서 동일합니다). 시계 반대 방향으로 90도 회전을 사용하여 음영 처리된 그림의 평등을 확인합니다. 씨ㅏ제이나 그리고 G디ㅏ비 . 이제 우리가 음영 처리 한 그림의 면적이 다리에 지어진 사각형의 면적의 절반과 원래 삼각형의 면적의 합과 같다는 것이 분명합니다. 한편, 빗변 위에 세워진 정사각형의 면적의 절반에 원래 삼각형의 면적을 더한 것과 같습니다. 증명의 마지막 단계는 독자에게 맡겨집니다.

극소법에 의한 증명

미분방정식을 사용한 다음의 증명은 종종 20세기 전반부에 살았던 유명한 영국 수학자 Hardy에 기인합니다.

그림에 표시된 도면을 고려하여 측면의 변화를 관찰합니다. ㅏ, 우리는 극소 측면 증분에 대해 다음 관계를 작성할 수 있습니다. 와 함께그리고 ㅏ(유사한 삼각형 사용):

극소법에 의한 증명

변수 분리 방법을 사용하여 다음을 찾습니다.

더 일반 표현두 다리가 증가하는 경우 빗변을 변경하려면

이 방정식을 통합하고 초기 조건을 사용하여 다음을 얻습니다.

씨 2 = ㅏ 2 + 비 2 + 상수.

따라서 원하는 답변에 도달합니다.

씨 2 = ㅏ 2 + 비 2 .

쉽게 볼 수 있듯이 최종 공식의 2차 종속성은 삼각형의 변과 증분 사이의 선형 비례로 인해 나타나는 반면 합계는 다른 다리의 증분으로 인한 독립적인 기여로 인해 나타납니다.

다리 중 하나가 증분을 경험하지 않는다고 가정하면 더 간단한 증명을 얻을 수 있습니다(이 경우 다리 비). 그런 다음 통합 상수에 대해 다음을 얻습니다.

변형 및 일반화

• 정사각형 대신 다른 유사한 그림이 다리에 구성되면 다음과 같은 피타고라스 정리의 일반화가 참입니다. 직각 삼각형에서 다리에 지어진 유사한 그림의 면적의 합은 빗변에 지어진 그림의 면적과 같습니다.특히:
  • 다리에 지어진 정삼각형의 면적의 합은 빗변에 지어진 정삼각형의 면적과 같습니다.
  • 다리에 지어진 반원의 면적의 합(직경과 동일)은 빗변에 지어진 반원의 면적과 같습니다. 이 예는 두 원의 호로 둘러싸여 있고 이름이 히포크라테스 루눌라인 도형의 속성을 증명하는 데 사용됩니다.

이야기

주페이 500-200 BC. 왼쪽에는 비문이 있습니다. 높이와 밑변의 길이의 제곱의 합은 빗변 길이의 제곱입니다.

고대 중국 책 Chu-pei는 측면 3, 4 및 5가 있는 피타고라스 삼각형에 대해 말합니다. 같은 책에서 Baskhara의 힌두 기하학 도면 중 하나와 일치하는 도면이 제안되었습니다.

Kantor(독일의 가장 큰 수학 역사가)는 3 ² + 4 ² = 5²의 평등이 기원전 2300년경 이집트인들에게 이미 알려져 있었다고 믿습니다. 예를 들어 아메넴헤트 1세 시대(베를린 박물관의 파피루스 6619에 따름). Cantor에 따르면 harpedonapts 또는 "stringers"는 변이 3, 4 및 5인 직각 삼각형을 사용하여 직각을 만들었습니다.

그들의 건설 방법을 재현하는 것은 매우 쉽습니다. 12m 길이의 로프를 3m 거리에서 유색 스트립을 따라 묶습니다. 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝에서 4m. 3~4m 길이의 변 사이에 직각이 포함됩니다. 예를 들어 모든 목수가 사용하는 나무 사각형을 사용하면 건축 방식이 불필요해진다고 Harpedonapts가 반대할 수 있습니다. 실제로, 그러한 도구가 발견되는 이집트 도면, 예를 들어 목공 작업장을 묘사한 도면이 알려져 있습니다.

바빌론 사람들 사이에서 피타고라스 정리에 대해 다소 더 알려져 있습니다. 함무라비 시대, 즉 기원전 2000년으로 거슬러 올라가는 한 텍스트에서. 즉, 직각 삼각형의 빗변의 대략적인 계산이 제공됩니다. 이것으로부터 우리는 메소포타미아에서 적어도 어떤 경우에는 직각 삼각형으로 계산을 수행할 수 있다는 결론을 내릴 수 있습니다. 한편으로는 이집트와 바빌로니아 수학에 대한 현재의 지식 수준과 그리스 자료에 대한 비판적 연구를 바탕으로 Van der Waerden(네덜란드 수학자)은 다음과 같은 결론을 내렸습니다.

문학

러시아어

• 스코펫 Z.A.기하학적 미니어처. 엠., 1990
• 옐렌스키 S.피타고라스의 발자취를 따라갑니다. 엠., 1961
• 반 데르 와르덴 B. L.깨어있는 과학. 고대 이집트, 바빌론, 그리스의 수학. 엠., 1959
• 글레이저 G.I.학교에서 수학의 역사. 엠., 1982
• W. Litzman, "피타고라스 정리" M., 1960.
  • 많은 증명이 있는 피타고라스 정리에 관한 사이트인 W. Litzman의 책에서 자료를 가져왔으며 많은 수의 그림이 별도의 그래픽 파일로 제공됩니다.
• D. V. Anosov의 책에서 피타고라스 정리와 피타고라스 세 ​​챕터 "수학과 그로부터의 모습"
• 피타고라스 정리 및 증명 방법 G. Glaser, 모스크바 러시아 교육 아카데미 학자

영어로

• WolframMathWorld의 피타고라스 정리
• Cut-The-Knot, 피타고라스 정리 섹션, 약 70개 증명 및 광범위한 추가 정보(eng.)

위키미디어 재단. 2010년 .

소개

피타고라스의 이름을 그의 정리와 연관시키지 않는 사람을 찾는 것은 어렵습니다. 아마도 평생 수학에 작별 인사를 한 사람들조차도 "피타고라스 바지"의 기억을 기억할 것입니다.

삼위일체의 피타고라스 정리의 인기 이유:

단순함 - 아름다움 - 중요성. 실제로 피타고라스 정리는 간단하지만 명확하지 않습니다. 상반되는 두 가지의 조합이다.

특별한 매력을 주기 시작하여 아름답게 만듭니다.

또한 피타고라스 정리는 매우 중요합니다. 기하학에서 문자 그대로 모든 단계에서 사용되며 이 정리(기하학, 대수학, 기계학 등)에 대한 약 500가지의 다른 증명이 있다는 사실은 이 정리의 엄청난 수를 나타냅니다. 특정 구현..

현대 교과서에서 정리는 다음과 같이 공식화됩니다. "직각 삼각형에서 빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다."

피타고라스 시대에는 "직각 삼각형의 빗변에 만들어진 정사각형이 다리에 만들어진 정사각형의 합과 같다는 것을 증명하십시오"또는 "빗변 위에 지어진 정사각형의 면적 직각삼각형의 크기는 다리에 만들어진 정사각형의 면적의 합과 같습니다."

목표 및 목표

이 작품의 주된 목적은많은 사람들의 과학 및 기술 발전에서 피타고라스 정리의 중요성세계의 국가와 사람들뿐만 아니라 가장 간단하고 흥미로운정리의 내용을 가르치는 형식.

이 작업에서 주로 사용하는 방법은데이터를 구성하고 처리하는 방법입니다.

유치 정보 기술, 다양한zili 소재 다양한 컬러풀한 일러스트.

"황금 구절" 피타고라스

말과 행동 모두 공평해야 합니다... 피타고라스(c. 570 - c. 500 BC)

고대 그리스의 철학자이자 수학자그의 우주적 조화와영혼의 이동. 전통은 피타고라스가 그의 이름을 딴 정리의 증거로 간주합니다. 많은플라톤의 가르침은 피타고라스와 그의 추종자들에게까지 거슬러 올라갑니다.송아지.

므네사르쿠스의 아들인 사모스의 피타고라스에 대한 기록된 문서는 없으며, 후대의 증언에 따르면 그의 삶과 업적에 대한 진정한 그림을 복원하는 것은 어렵습니다.(전자 백과사전:별세계) 피타고라스는 에게해 연안에 있는 그의 고향 사모스 섬을 떠났다고 알려져 있다.통치자의 폭정에 항의하는 소아시아 정부는 이미 성숙한 상태에 있습니다.나이(전설에 따르면 40세)는 이탈리아 남부의 그리스 도시 크로토네에 나타났습니다. 피타고라스와 그의 추종자 - 피타고라스 학파 -는 Ita의 그리스 식민지 생활에서 중요한 역할을 한 비밀 동맹을 형성했습니다.리. 피타고라스 학파는 별 오각형-오각형으로 서로를 인식했습니다. 그러나 피타고라스는 Metapont로 은퇴해야 했습니다.사망 한. 이후 하반기에는V기원전 즉, 그의 명령은 패배했습니다.

피타고라스의 가르침은 철학과 종교의 영향을 크게 받았습니다.동양의 기아. 그는 동방 국가를 광범위하게 여행했습니다.이집트와 바빌론. 그곳에서 피타고라스는 동양의 수학자도 만났습니다.티크.

피타고라스 학파는 숫자 패턴에 숨겨진 비밀이 있다고 믿었습니다.세상에. 숫자의 세계는 피타고라스 학파에게 특별한 삶을 살았습니다.삶의 특별한 목적. 약수의 합과 같은 숫자는 완전한 것으로 인식되었습니다(6, 28, 496, 8128). 친숙한숫자 쌍이라고 하며, 각각은 다른 약수의 합과 같습니다.gogo(예: 220 및 284). 피타고라스는 수를 짝수와 짝수로 나눈 최초의홀수, 소수 및 합성은 비 유적 수의 개념을 도입했습니다. 그의학교에서는 피타고라스식 자연수의 3배가 자세히 고려되었는데, 여기서 하나의 제곱은 다른 두 개의 제곱의 합과 같습니다(페르마의 마지막 정리).

피타고라스는 "모든 것은 숫자이다"라고 말했습니다. 숫자로(그리고 그는 자연수만을 의미했습니다) 그는 전 세계를 하나로 모으고 싶었고,특히 수학. 그러나 피타고라스 학파 자체에서 이러한 조화를 위반하는 발견이 이루어졌습니다. 2의 제곱근이 아님이 증명되었습니다.는 유리수, 즉 자연수로 표현되지 않습니다.번호.

당연히 피타고라스의 기하학은 산술에 종속되었습니다.이것은 그의 이름을 딴 정리에 분명히 나타나 있으며 나중에적용 근거 수치적 방법기하학. (나중에 Euclid는 대수학을 종속시키면서 기하학을 다시 전면으로 가져왔습니다.) 분명히 피타고라스 학파는 정다면체, 정육면체, 십이면체를 알고 있었습니다.

피타고라스는 기하학에 대한 체계적인 증거 도입, 직선 도형의 평면 측정 생성, 아래의 교리로 인정됩니다.비.

피타고라스의 이름은 산술, 기하학 및 조화 비율의 교리와 관련이 있습니다.

피타고라스는 지구를 움직이는 공으로 간주했다는 점에 유의해야 합니다.태양 주위. 언제16세세기에 교회는 맹렬한 박해를 받기 시작했습니다.코페르니쿠스의 교리에 따르면 이 교리는 완고하게 피타고라스학파라고 불렸습니다.(젊은 수학자의 백과사전: E-68. A.P. Savin.- M.: 교육학, 1989, p. 28.)

몇 가지 기본 개념은 의심할 여지 없이피타고라스 자신에게. 첫번째- 수학으로서의 공간 개념ticically 주문 전체. 피타고라스는 진동하는 현의 길이가 2:1, 3:2 및 4:3(전설에 따르면 이 발견은대장간을 지나는 피타고라스: 무게가 다른 모루충격 시 소리의 해당 비율이 발생함). 우스못그가 발견한 관계로 표현된 음악의 질서와 물질 세계의 질서, 피타고라스 사이의 유추수학적 관계가 침투한다는 결론에 도달했습니다.전체 공간. 피타고라스의 수학적 발견을 사변적 물리적 구조에 적용하려는 시도는 호기심을 불러일으켰습니다.결과. 따라서 각 행성은 회전하는 동안지구 주위에서 순수한 상부 공기 또는 "에테르"를 통과하여 방출합니다.특정 음높이의 톤. 에 따라 소리의 높낮이가 변한다.행성의 운동, 속도는 지구까지의 거리에 따라 달라집니다. 자두따라서 천체의 소리는 "구체의 조화" 또는 "구체의 음악"이라고 불리는 것을 형성하며, 이는 유럽 문학에서 드문 일이 아닙니다.

초기 피타고라스 학파는 지구가 평평하고 중심이우주. 나중에 그들은 지구가 구형이고 다른 행성(태양을 포함하는)과 함께 다음을 형성한다고 믿기 시작했습니다.우주의 중심, 즉 "화로"를 중심으로 회전합니다.

피타고라스는 고대에 설교자로 가장 잘 알려져 있었습니다.희박한 생활 방식. 그의 가르침의 핵심은 아이디어였습니다.환생(영혼의 윤회)의 개념은 물론 육체의 죽음과 그에 따른 불멸을 생존할 수 있는 영혼의 능력을 의미합니다. 새로운 화신에서 영혼은 동물의 몸으로 들어갈 수 있기 때문에 피타고라스는 동물을 죽이고 고기를 먹는 것에 반대했으며 동물을 도살하거나 시체를 도살하는 사람들을 다루지 않아야한다고 선언했습니다. 피타고라스의 종교적 견해를 공유한 엠페도클레스의 저술에서 판단할 수 있는 한, 여기서 피를 흘리는 것은 원죄로 간주되었으며, 이로 인해 영혼은 필멸의 세계로 추방되어 방황하고 감옥에 갇히게 됩니다. 하나 또는 다른 몸. 영혼은 해탈을 갈망하지만 무지로 인해 항상 죄악을 반복합니다.

끝없는 환생의 연속에서 영혼을 구하려면클렌징. 가장 간단한 청소는 몇 가지를 관찰하는 것입니다.금지(예: 만취 또는 음주 자제콩 먹기) 및 행동 규칙(예: 장로 공경, 준법 및 분노하지 않음).

피타고라스 학파는 우정을 높이 평가했으며 그들의 개념에 따르면 친구의 모든 재산은 공유되어야 합니다. 선택된 소수는 가장 높은 형태의 정화-철학, 즉 지혜에 대한 사랑, 따라서 그것에 대한 욕망을 제안 받았습니다 (Cicero에 따르면이 단어는 자신을 현자가 아니라 연인이라고 부른 피타고라스에 의해 처음 사용되었습니다. 지혜). 이러한 방법으로 영혼은 우주 질서의 원리와 접촉하고 조화를 이루며 육체에 대한 집착과 무질서하고 무질서한 욕망에서 해방됩니다. 수학은 다음 중 하나입니다. 구성 부품종교신이 세상의 기초에 숫자를 두었다고 가르친 피타고라스 학파주문하다.

전반기에 피타고라스 형제애의 영향V안에. 기원전 이자형. ~ 아니다간헐적으로 증가했습니다. 그러나 "최고"에게 권력을 주려는 그의 열망은 기원전 450년 직후 이탈리아 남부의 그리스 도시에서 민주주의 정서의 부상과 충돌했습니다. 이자형. 크로톤에서 터졌다피타고라스 학파에 대한 반란으로, 모두는 아닐지라도 많은 형제 자매들이 살해되고 추방되었습니다. 그러나, 심지어IV안에. 기원전 이자형. 피타고Rhaeians는 남부 이탈리아에 영향을 미쳤고 플라톤의 친구 Archytas가 살았던 Tarentum에서는 더 오래 지속되었습니다. 그러나 철학사에서 훨씬 더 중요한 것은 그리스 자체에 피타고라스학파 센터를 만든 것입니다.예를 들어 테베에서 하반기에V안에. 기원전 이자형. 따라서 피타고라스플라톤 대화에 따르면 아이디어는 아테네에 침투했습니다.파이도그들은 소크라테스에게 동화되어 광범위한 이데올로기 운동으로 바뀌었고,플라톤과 그의 제자 아리스토텔레스에 의해 시작되었습니다.

이후 수세기 동안 피타고라스 자신의 모습이 둘러싸여있었습니다.
많은 전설: 그는 환생한 신 아폴로로 여겨졌습니다.
그가 황금 넓적다리를 가지고 있고 가르칠 수 있다고 믿었다.
같은 시간 두 곳에서. 초기 기독교 교부들의 답변
피타고라스가 모세와 플라톤 사이에 명예의 자리가 있는지 여부. 또한16세안에[
과학뿐만 아니라 문제에서도 피타고라스의 권위에 대한 언급이 자주 있었습니다. |.:
그러나 또한 마술.(전자 백과사전:별세계.).

전설 뒤에 진실이 있다

피타고라스 정리의 발견은 아름다운 전설의 후광으로 둘러싸여 있습니다프로클로스, 마지막 문장에 대한 논평나유클리드의 책 "시작","고대 전설을 반복하는 것을 좋아하는 사람들의 말을 들으면이 정리는 피타고라스로 거슬러 올라갑니다. 말하다,그는 이것을 기리기 위해 황소를 희생했습니다. 이 전설은 뿌리가 확고하다피타고라스의 정리와 함께 2000년 후에도 계속해서 뜨거운클릭수 따라서 낙관론자 Mikhailo Lomonosov는 다음과 같이 썼습니다.제우스의 통치에서 그는 백 마리의 소를 희생했습니다.그러나 현대에서 발견되는 사람들의 경우그의 미신에 의해 지배되는 재치있는 수학자행동에 대한 질투, 그 다음 간신히전 세계에 너무 많을 것입니다.소가 발견되었습니다.

그러나 아이러니컬한 하인리히 하이네는 같은 상황의 전개를 약간 다른 방식으로 보았다. : « 누가 알아 ! 누가 알아 ! 아마도 , Pif Gor의 영혼은 가난한 후보자에게 옮겨졌습니다. , 피타고라스 정리를 증명하지 못하고 - 이를 위해 시험에서 , 그의 심사관은 그 황소의 영혼에 의해 거주하는 동안 , 어느 피타고라스 , 그의 정리의 발견에 기뻐하다 , 불멸의 신들에게 바쳐진 ».

정리 발견의 역사

일반적으로 피타고라스 정리의 발견은 고대 그리스 철학자이자 수학자 피타고라스에 기인합니다.VI안에. 기원전 이자형.). 그러나 바빌론의 설형 문자 표와 고대 중국 사본(더욱 오래된 사본의 사본)에 대한 연구는 이 진술이 피타고라스 이전에, 아마도 그보다 수천 년 전에 알려졌음을 보여줍니다. 피타고라스의 장점은 그가 이 정리의 증명을 발견했다는 것입니다.

고대 중국에 대한 역사적 검토를 시작하겠습니다. 여기에 특별한마니아는 수학 책 츄페이를 끌어들입니다. 이 에세이는 변이 3, 4, 5인 피타고라스 삼각형에 대해 다음과 같이 말합니다."직각을 구성 요소로 분해하면 밑변이 3이고 높이가 4일 때 변의 끝을 연결하는 선이 5가 됩니다."

같은 책에서 Bashara의 힌두 기하학 그림 중 하나와 일치하는 그림이 제안되었습니다.

또한, 피타고라스 정리는 고대 중국 논문 "Zhou - Bi Suan Jin"에서 발견되었습니다.gnomon에 관하여"), 그 창조 시간은 정확히 알려져 있지 않지만 다음과 같이 언급되어 있습니다.15안에. 기원전 이자형. 중국인은 이집트 삼각형의 속성을 알고 있었고,16세안에. 기원전 이자형. - 그리고 정리의 일반적인 형태.

칸토르(독일의 가장 위대한 수학 역사가)는 평등이 3 2 + 4 2 = 5 2 기원전 2300년경 이집트인들에게 이미 알려졌습니다. 이자형. 아메넴하트 통치 기간 동안나(베를린 박물관의 파피루스 6619에 따름).

Cantor에 따르면 harpedonapts 또는 "stringers"는 직각으로 제작되었습니다.

측면이 있는 직각 삼각형의 도움 3, 4, 5.

그들의 방법을 재현하는 것은 매우 쉽습니다.건설. 12m 길이의 밧줄을 잡고 멀리 떨어진 색띠를 따라 묶습니다.한쪽 끝에서 3m, 다른 쪽 끝에서 4m. 직각예를 들어 모든 목수가 사용하는 나무 사각형을 사용하는 경우에는 건축 방법이 불필요하다고 Harpedonapts가 반대할 수 있습니다. 실제로, 그러한 도구가 발견되는 이집트 도면, 예를 들어 목공 작업장을 묘사한 도면이 알려져 있습니다.에 대해 다소 더 알려져 있습니다.바빌론의 피타고라스 정리.시간과 관련된 한 텍스트에서메니 함무라비, 즉 2000년까지기원전 e. 빗변의 대략적인 계산이 직접 주어집니다.각도 삼각형. 여기에서Dvura에서 결론지을 수 있습니다.계산을 할 수 있는 사람직각 삼각형으로우리는 적어도 일부사례. 하나를 기준으로현재 수준에서 당사자이집트와 바빌론의 지식수학, 그리고 다른 한편 - kriti에서그리스 소스에 대한 체스 연구, Van der Waerden(네덜란드어수학자)는 다음과 같은 결론을 내렸습니다.

"탈레스와 같은 최초의 그리스 수학자들의 공로, 피타고라스와 피타고라스 학파는 수학의 발견이 아니라 체계화와 정당화. 그들의 손에는 컴퓨터 레시피가 있습니다. 막연한 생각을 바탕으로 정확한 과학."

이집트와 바빌로니아의 기하학과 마찬가지로 힌두교의 기하학은컬트와 관련이 있습니다. 하이포 제곱 정리가 성립할 가능성이 매우 높습니다.tenuse는 인도에서 약XVIII수세기 전과 e., 또한그것은 고대 인도 기하학에서도 알려져 있었습니다.신학적 논문VII- V수세기 기원전 이자형. "Sulva Sutra"("규칙밧줄").

그러나 이 모든 증거에도 불구하고 피타고라스의 이름은지금은 단순히 불가능한 피타고라스 정리와 확고하게 융합이 문구가 무너질 것이라고 상상할 수 있습니다. 에서 동일또한 피타고라스의 황소 주문의 전설에 착용됩니다. 예, 거의역사적, 수학적 메스로 해부해야회색 고대 전설.

정리를 증명하는 방법

중세 피타고라스 정리의 증명매우 어렵다고 생각하고 불렀다.돈 아시노룸 - 당나귀 다리, 또는엘레푸가 - 심각한 수학 교육을받지 않은 일부 "비참한"학생들이 "비참한"의 비행기하학에서든. 정리를 암기하는 약한 학생이해하지 못하고 "당나귀"라는 별명을 얻었습니다.그들에게 도움이 되는 것처럼 보이는 피타고라스의 정리를 극복하기 위해지나갈 수 있는 다리. 정리에 수반되는 도면 때문에피타고라스는 학생들이 그것을 "풍차"라고도 불렀습니다."피타고라스 바지는 사방이 평등하다"와 같은 시를 넣고 캐리커처를 그렸습니다.

ㅏ). 가장 간단한 증명

아마도 피타고라스 정리에 명시된 사실은 꿈이었을 것입니다.Chala는 이등변 직사각형으로 설정됩니다. 검은색과 밝은 삼각형의 모자이크를 보면삼각형 정리의 타당성을 확인하기 위해카 알파벳 : 빗변에 만든 사각형에는 네 개의 삼각형이 있고 각 다리에는 다음이 포함된 사각형이 만들어집니다.두 개의 삼각형(그림 1, 2).

동일한 면적의 숫자 개념을 사용하여 증명합니다.

동시에, 4배가 다음과 같은 증거를 고려할 수 있습니다.주어진 직사각형 삼각형의 빗변 위에 지어진 쥐정사각형, 다리에 만들어진 정사각형과 같은 모양으로 "구성"됩니다. 그러한 증거를 고려할 수도 있습니다.va, 여기서 숫자 및여러 가지 새로운 아이디어가 고려됩니다.

무화과에. 3은 두 개의 동일한 정사각형을 보여줍니다. 옆 길이 각긴 제곱은 다음과 같습니다.a + b. 각 사각형은 부분으로 나뉩니다.정사각형과 직각삼각형으로 이루어져 있다. 정사각형의 면적에서 다리가있는 직각 삼각형의 4 배 면적을 빼면에이, ㄴ, 그러면 그들은 평등하게 남을 것입니다자비를 베푸다, 즉 와 함께 2 = 에이 2 + ㄴ 2 . 그러나 고대 인도인들은이 추론은 거짓말, 일반적으로 기록하지 않았지만"보세요!"라는 한 단어로 그림을 그립니다. 그럴 가능성이 큽니다피타고라스도 몇 가지 증거를 제시했습니다.

비). 확장 방법에 의한 증명.

이 방법의 본질은 사각형에 구축된다는 것입니다.다리에 그리고 빗변에 세워진 사각형에,같은 숫자를 같은 방식으로 연결하십시오.새로운 수치.

무화과에. 4는 일반적인 피타고를 묘사합니다.Rova 그림 직각 삼각형알파벳측면에 만들어진 사각형으로. 이 그림에 첨부된 3가지gons 1 및 2, 원래 직선과 동일각도 삼각형.

피타고라스 정리의 타당성은 동일한 크기의 육각형에서 비롯됩니다.AEDFPB그리고 ACBNMQ. 여기 똑바로 ep de조명 육각형AEDFPB두 개의 동일한 사각형으로 CM 선이 육각형을 나눕니다.ACBNMQ두 개의 동일한 사각형으로; 중심 A를 중심으로 평면을 90° 회전하면 사변형 AERB가 사변형에 매핑됩니다.ACMQ.

(이 증명은 Leonard에 의해 처음 제공되었습니다.다빈치에게.)

피타고라스 그림 완성변이 평행한 직사각형으로정사각형의 해당 변에 맞추기다리 위에 세워진 동지. 이 직사각형을 삼각형으로 나누고 직접사각형. 결과 사각형에서먼저 모든 다각형 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9를 빼서 빗변에 만들어진 사각형을 남깁니다. 그런 다음 동일한 직사각형에서 직사각형 5, 6, 7을 빼고 직접 음영 처리합니다.사각형, 우리는 다리에 사각형을 만듭니다.

이제 첫 번째 경우에서 뺀 숫자를 증명합시다.두 번째 경우에서 뺀 수치와 같습니다.

이것은 증명을 보여줍니다Nassir-ed-Din(1594)에 의해 인용.여기: PL- 일직선;

클로아 = ACPF = 에이스드 = ㅏ 2 ;

성소수자= SVMR = CBNQ = 비 2 ;

AKGB = 아클로 + 성소수자= 2 ;

여기에서 2 = ㅏ 2 + 비 2 .

쌀. 도 7은 증명을 예시하고,Hoffmann (1821)에 의해 인용. 여기피타고라스 그림은 다음과 같이 구성됩니다.정사각형은 직선의 같은 면에 놓여 있습니다.AB. 여기:

OCLP = ACLF = 에이스드 = 비 2 ;

CBML=CBNQ=ㅏ 2 ;

OVMR =ABMF=와 함께 2 ;

OVMR = OCLP + CBML;

따라서 c 2 = a 2 + 비.

이것은 또 다른최종 증거 제공호프만. 여기: 삼각형알파벳원사로 내 코너 C; 선분BF수직SW와 동등, 세그먼트BE수직AB와 그와 같은 세그먼트기원 후수직 ren AC와 동등; 포인트들에프, 에서, 디소유 하나의 직선을 거두는 것; 사각형ADFB와 ACBE는 동일하므로ABF= ERU; 삼각형ADF그리고 ACE는 동일합니다.

두 동일한 사각형에서 빼기닉은 그들에게 공통된 삼각형을 가지고 있습니다.알파벳, 우리는 ½을 얻습니다 ㅏ* ㅏ + ½ 비* 비 – ½ 씨* 씨

안에). 대수적 증명 방법.

그림은 위대한 인도 수학자 Bhaskari(유명한 작가 Li-lavati,12안에.). 그림에는 LOOK!이라는 단어만 포함되어 있었습니다. 대수적 방법에 의한 피타고라스 정리의 증명 중에서 1위(아마도 가장 오래된)아래를 사용하여 증명을 수락합니다.벌.

역사가들은 Bhaskara스팅 스퀘어 2 세워진 광장빗변은 네 삼각형 4(ab/2)의 면적과 한 변이 다리의 차이와 같은 정사각형의 면적의 합입니다.

우리는 현대 프레젠테이션에서 그러한 증거 중 하나를 제시합니다.피타고라스에 속하는 증거.

나 "

무화과에. 10 ABC - 직사각형, C -직각 ( 센티미터엘 AB) 비 - 다리 투영 비 빗변으로 ㅏ - 다리 돌출ㅏ빗변으로 시간 그려진 삼각형의 높이입니다.빗변. ABC가 ACM과 유사하다는 사실에서 다음과 같습니다.비 2 = cb; (1) ABC가 BCM과 유사하다는 사실로부터 다음과 같이 된다. 2 = SA (2) 항으로 등식 (1)과 (2)를 추가하면 다음을 얻습니다. 2 + 비 2 = cb + 캘리포니아 = = 씨 (비 + ㅏ) = 씨 2 .

피타고라스가 정말로 그러한 증거를 제시했다면,그는 또한 여러 가지 중요한 기하학적 정리에 익숙했습니다.현대 수학 역사가들은 일반적으로유클리드.

묄의 증명 만나. 단 지역 정삼각형한편으로 nika는 다음과 같습니다. 0,5 ㅏ* 비, 다른 0.5* 피*r, 여기서 피 - 삼각형의 반둘레아르 자형 - 그것에 새겨진 반경은 약입니다.진원도 (r \u003d 0.5- (a + b - c)).0.5 * a * b - 0.5 * p * g - 0.5 (a + b + c) * 0.5- (a + b - c), 여기서 c 2 = a 2 + 비 2 .

d) 가필드의 증거.

그림 12는 세 가닥을 보여줍니다.각형 삼각형은 사다리꼴을 구성합니다. 그렇기 때문에.이 그림의 면적이 가능합니다.\ 면적 공식으로 찾기디 직사각형 사다리꼴,또는 면적의 합으로세 개의 삼각형. 인 레인이 경우 이 영역은0.5 (a + c) (a + c), 두 번째럼 - 0.5* ㅏ* 비+ 0.5* 비+ 0.5*초 2

이러한 식을 동일시하면 피타고라스 정리를 얻습니다.

피타고라스 정리의 증명은 많이 있지만,nyh 각각의 설명된 방법과 조합의 도움으로다른 방법. 다양한 부두 사례 검토를 마치며zation, 우리는 더 많은 그림을 보여줍니다bov, Euclid의 "시작"에 참조가 있습니다(그림 13 - 20).이 그림에서 피타고라스 그림은 실선으로 묘사됩니다.그것에 추가 구조 - 점선.

위에서 언급했듯이 고대 이집트인들은 2000년 이상이전에 그들은 실제로 직각을 구성하기 위해 변이 3, 4, 5인 삼각형의 속성을 사용했습니다. 즉, 실제로는 피타고라스 정리와 반대되는 정리를 사용했습니다. 삼각형의 평등에 대한 테스트(즉, 학교에서 아주 초기에 도입할 수 있는 테스트)를 기반으로 이 정리의 증명을 제공하겠습니다.새로운 관행). 따라서 삼각형의 변을알파벳 (그림 21) ~와 연관되다 2 = 2 + 비 2 . (3)

이 삼각형이 직각삼각형임을 증명합시다.

직각삼각형을 만들어 봅시다.ㅏ BC두 다리로, 길이가 길이와 같은 것ㅏ그리고 비 이 삼각형의 다리. 구성된 삼각형의 빗변의 길이를에 씨 . 구성된 삼각형이 직각이므로 다음과 같이우리가 가지고 있는 피타고라스의 기억c = ㅏ + 비 (4)

관계식 (3)과 (4)를 비교하면 다음을 얻습니다.와 함께= 또는 c = c 따라서 주어진 삼각형과 만든 삼각형은 각각 동일한 세 변을 갖기 때문에 동일합니다. 각도 C직각이므로 이 삼각형의 각 C도 직각입니다.

추가 증거.

이 증명은 다리에 만들어진 사각형을 사각형을 형성할 수 있는 도형으로 분해하는 것을 기반으로 합니다.빗변에 지어진 쥐.

아인슈타인의 증명( 쌀. 23) 분해 기반빗변 위에 8개의 삼각형으로 만든 정사각형.

여기: 알파벳- 직사각형 직각 삼각형 C;CO미네소타; 사우스캐롤라이나 미네소타; 포|| 미네소타; EF|| 미네소타.

스스로 증명하라삼각형의 평등 필요, 반에 따라 제곱을 나눌 때 계산됩니다.다리와 빗변에 건설.

b) al-Nairiziya의 증명을 기반으로 제곱을 쌍으로 동일한 숫자로 분해하는 또 다른 작업도 수행되었습니다(여기서알파벳 - 직각 C)의 직각 삼각형.

또한 이 증명을 "경첩"이라고 합니다.여기서 원래 삼각형과 동일한 두 부분만 위치를 변경하고 나머지 부분에 부착됩니다.회전하는 경첩의 그림(그림 25).

c) 제곱을 확장하는 방법에 의한 또 다른 증명"블레이드가 있는 휠"이라고 하는 동일한 부품이 다음 그림에 표시됩니다.쌀. 26. 여기: 알파벳 - 직각 삼각형한조각 그래서 - 큰 다리에 지어진 사각형의 중심; 점을 지나는 점선영형, 수직 또는빗변과 평행합니다.

정사각형의 이러한 분해는 쌍으로 된 등가 사변형이 평행 이동에 의해 서로 매핑될 수 있다는 점에서 흥미롭습니다.

"피타고라스 바지"(유클리드의 증명).

2천년 동안,발명된 증명을 변경그의 책에 놓여진 유클리드유명한 "시작". 유클리드 작품칼 높이 VN 직각 삼각형의 꼭짓점에서 빗변까지 그리고 그 확장이 빗변에 만들어진 정사각형을 두 개의 직사각형으로 나눕니다. 그 넓이는 다음과 같습니다.

다리에 지어진 해당 사각형의 면적. 유클리드의 증명은 고대 중국인이나 고대 인도인과 비교하면 다음과 같습니다.지나치게 복잡하다. 이러한 이유로그는 종종 "수수한" 그리고 "인조적인"이라고 불렸다. 그러나 그러한 견해피상적으로. 정리의 증명에 사용된 그림은 농담으로 "피타고라스 바지"라고 불립니다. 동안오랫동안 그것은 수학 과학의 상징 중 하나로 간주되었습니다.

고대 중국의 증거.

수학 논문 고대 중국사설에서 우리에게왔다II안에. 기원전 이자형. 사실은 기원전 213년입니다. 이자형. 중국 황제

시황제는 옛 전통을 없애고자 모든 고서를 불태우라고 명령했다. ~ 안에II안에. 기원전 이자형. 종이는 중국에서 발명되고 동시에 재건 시작고대 책. 그래서 "아홉 권의 책에 담긴 수학"이 있었습니다.현존하는 가장 중요한 수학적, 천문학적 구성뉴욕

"수학"의 9권에는 검은색이 있습니다.teg, 피타고라스 정리를 증명합니다.이 증명의 열쇠는 찾기 어렵지 않습니다(그림 27).

실제로 고대 중국에서는동일한 네 개의 동일한 직사각형 삼각형다리가 있는 정사각형에빗변 와 함께 그들의 외부 윤곽선이 되도록 겹쳐 쌓이는측면이 있는 정사각형입니다a + b,그리고 내부 빗변에 측면 c가 있는 정사각형(그림 28).

한 변이 있는 정사각형인 경우와 함께자르고 나머지 4개의 음영 삼각형두 개의 직사각형에 넣으면 결과적인 공백이 한편으로,

와 동등하다 와 함께,그리고 다른쪽에

a + b 2 , 즉. 와 함께 2 = 에이 2 + 비

정리가 증명되었습니다.

참고로 이 증명으로

빗변의 광장 내부 건물우리가 보는 것들
고대 중국 그림의 딤섬은 사용되지 않습니다(그림 30). 분명히 고대 중국 수학자들은 이전에 다른 것을 가지고 있었습니다.증명, 즉: 제곱한 경우
옆와 함께 두 개의 음영 삼각형닉을 자르고 빗변을 붙입니다.두 개의 다른 빗변을 쉽게 찾을 수 있습니다.그 결과 수치를 뒤적 때때로 "신부의 의자"라고 불리는,면이 있는 두 개의 정사각형으로 구성되어 있습니다.ㅏ 그리고비, 즉 2 = ㅏ 2 + ㄴ 2 .

그림 재현논문 "Zhou-bi ..."에서 tezh. 여기피타고라스 정리는 다음과 같이 고려됩니다.다리가 있는 이집트 삼각형3, 4 및 빗변 5 단위.빗변의 정사각형은 25를 포함합니다.큰 다리에 새겨진 사각형은 16입니다. 나머지 부분에는 9개의 셀이 들어 있는 것이 분명합니다. 이것과작은 다리에 사각형이 있을 것입니다.

수학자 피타고라스의 위대한 발견은 다음과 같은 분야에 적용되었습니다. 다른 시간그리고 전 세계. 이것은 특히 피타고라스 정리에 해당됩니다.

예를 들어 중국에서 특별한 주의이와 관련하여 3, 4, 5면이 있는 잘 알려진 피타고라스 삼각형에 대해 다음과 같이 말하는 Chu-pei의 수학 책으로 돌아가야 합니다. "직각을 구성 요소 부분으로 분해하면 모든 변의 끝을 연결하는 선은 5가 되고 밑변은 3이 되고 높이는 4"가 됩니다. 같은 책은 바샤라의 힌두 기하학에 있는 그림 중 하나와 유사한 그림을 보여줍니다.

수학의 역사에서 뛰어난 독일 연구원 Kantor는 피타고라스 평등 3?+4?=5? 기원전 2300년경 이집트에서 이미 알려져 있습니다. 예를 들어, Amenemhat I 왕의 통치 기간 동안(베를린 박물관의 파피루스 6619에 따름). Kantor에 따르면, harpedonapts 또는 소위 "스트링 풀러"는 직각 삼각형을 사용하여 직각을 만들었으며, 그 측면은 -3, 4, 5였습니다. 구성 방법은 매우 쉽게 재현됩니다. 12m 길이의 로프 조각을 가져 와서 색 줄무늬를 묶으십시오. 하나는 한쪽 끝에서 3m 거리에 있고 다른 하나는 다른 쪽 끝에서 4m 거리에 있으면 양쪽 사이에 직각이 만들어집니다. 3 그리고 4미터. Harpedonapts는 예를 들어 모든 목수가 사용하는 나무 삼각형을 취하면 이러한 구성 방법이 불필요할 것이라고 반대할 수 있습니다. 실제로, 예를 들어 그러한 도구가 있는 목공 작업장을 묘사한 이집트 그림이 있습니다. 그러나 그럼에도 불구하고 사실은 남아 있으며 고대 이집트에서는 피타고라스 삼각형이 사용되었습니다.

바빌론 사람들이 사용한 피타고라스 정리에 대한 정보는 거의 없습니다. 함무라비 시대를 가리키는 발견된 텍스트에서 이것은 기원전 2000년입니다. 즉, 직각 삼각형의 빗변에 대한 대략적인 정의가 있습니다. 따라서 이것은 메소포타미아에서 적어도 어떤 경우에는 직각 삼각형의 변으로 이미 계산이 이루어 졌음을 확인합니다. 네덜란드의 수학자 Van der Waerden은 한편으로는 바빌론과 이집트 수학에 대한 현재 수준의 지식을 사용하고 다른 한편으로는 그리스 자료에 대한 철저한 연구를 바탕으로 다음과 같은 결론에 도달했습니다. 최초의 그리스 수학자: 탈레스, 피타고라스, 피타고라스 학파 - 수학의 발견이 아니라 그 실체화와 체계화. 그들은 막연한 아이디어에 기반한 계산 레시피를 정확한 과학으로 전환할 수 있었습니다.

힌두교도들 사이에서는 바빌론과 이집트인들과 함께 기하학이 숭배와 밀접하게 연관되어 있었습니다. 피타고라스 정리가 기원전 18세기에 인도에서 이미 알려졌을 가능성이 큽니다. 이자형.

Eudemus가 편집한 것으로 추정되는 "수학자 목록"에서는 피타고라스에 대해 이렇게 말합니다. 더 정신적이고 덜 물질적인 방법" .