삼각형으로 구성됩니다. 삼각형
아마도 "삼각형"이라는 주제로 책 전체를 쓸 수도 있을 것입니다. 그런데 책을 다 읽으려면 시간이 너무 오래 걸리죠? 따라서 여기서는 일반적으로 삼각형과 관련된 사실과 다음과 같은 모든 종류의 특수 주제만 고려할 것입니다. 강조 표시됨 개별 주제- 책을 조각조각 읽어 보세요. 글쎄, 어떤 삼각형이라도.
1. 삼각형 각도의 합. 외부 코너.
꼭 기억하고 잊지 마세요. 우리는 이것을 증명하지 않을 것입니다(다음 수준의 이론 참조).
우리의 공식화에서 당신을 혼란스럽게 할 수 있는 유일한 것은 "내부"라는 단어입니다.
왜 여기에 있습니까? 하지만 정확히 강조하기 위해 우리는 삼각형 내부의 각도에 대해 이야기하고 있습니다. 밖에 정말 다른 코너가 있는 걸까요? 상상해 보세요. 실제로 그런 일이 일어납니다. 삼각관계는 아직 남아있다 외부 모서리. 그리고 그 금액의 가장 중요한 결과는 내부 모서리삼각형은 외부 삼각형과 같습니다. 그럼 이 삼각형의 바깥각이 무엇인지 알아봅시다.
그림을 보세요. 삼각형을 그리고 (예를 들어) 한쪽을 계속하세요.
물론, 우리는 측면을 떠나 측면을 계속할 수도 있습니다. 이와 같이:
하지만 어떤 상황에서도 각도에 대해서는 그렇게 말할 수 없습니다. 그것은 금지되어 있다!
따라서 삼각형 외부의 모든 각도가 외부 각도라고 부를 권리가 있는 것은 아닙니다. 한쪽과 다른 쪽의 연속.
그렇다면 외부 각도에 대해 무엇을 알아야 할까요?
보세요, 우리 사진에서 이것은 그런 의미입니다.
이것은 삼각형 각도의 합과 어떤 관련이 있습니까?
그것을 알아 봅시다. 내각의 합은 다음과 같습니다.
그러나 - 왜냐하면 과 -는 인접해 있기 때문입니다.
음, 여기 있습니다: .
얼마나 간단한지 아시죠?! 하지만 매우 중요. 그러니 기억하세요:
삼각형의 내각의 합은 같고, 삼각형의 외각은 다음과 같다. 합계와 동일인접하지 않은 두 개의 내부 것.
2. 삼각형 부등식
다음 사실은 각도가 아니라 삼각형의 변에 관한 것입니다.
그것은 다음을 의미합니다
이 사실이 왜 삼각형 부등식이라고 불리는지 이미 짐작하셨나요?
그렇다면 이 삼각형 부등식은 어디에 유용할까요?
Kolya, Petya 및 Sergei라는 세 명의 친구가 있다고 상상해보십시오. 그래서 Kolya는 "내 집에서 Petya의 집까지 직선으로"라고 말합니다. 그리고 Petya는 "내 집에서 Sergei의 집까지 직선으로 몇 미터입니다." 그리고 Sergei: "당신에게는 좋지만 우리 집에서 Kolinoye까지는 직선입니다." 글쎄, 여기서 당신은 이렇게 말해야 합니다: “그만, 그만! 여러분 중 일부는 거짓말을 하고 있습니다!”
왜? 예, Kolya에서 Petya까지 m이 있고 Petya에서 Sergei까지 m이 있다면 Kolya에서 Sergei까지 확실히 더 적은 () 미터가 있어야 합니다. 그렇지 않으면 동일한 삼각형 불평등이 위반됩니다. 글쎄, 상식은 확실히 자연스럽게 위반됩니다. 결국 모든 사람은 어린 시절부터 직선 ()으로가는 경로가 한 지점으로가는 경로보다 짧아야한다는 것을 알고 있습니다. (). 따라서 삼각형 부등식은 이 잘 알려진 사실을 단순히 반영합니다. 이제 질문에 대답하는 방법을 알았습니다.
삼각형에는 변이 있나요?
이 세 숫자 중 두 숫자의 합이 세 번째 숫자보다 큰 것이 사실인지 확인해야 합니다. 확인해 보겠습니다. 즉, 변이 있는 삼각형 같은 것은 없다는 뜻입니다! 그러나 측면에서는 발생합니다. 왜냐하면
3. 삼각형의 평등
글쎄요, 삼각형이 하나도 아니고 둘 이상이라면 어떨까요? 그들이 같은지 어떻게 확인할 수 있나요? 실제로 정의에 따르면 다음과 같습니다.
그런데... 참으로 불편한 정의네요! 어떻게 공책에서도 두 개의 삼각형을 겹칠 수 있습니까?! 하지만 다행스럽게도 우리에게는 삼각형의 평등의 징후를 사용하면 노트북을 위험에 빠뜨리지 않고 마음대로 행동할 수 있습니다.
게다가 경솔한 농담을 버리고 비밀을 하나 알려 드리겠습니다. 수학자에게 "삼각형을 겹치는 것"이라는 단어는 삼각형을 잘라내어 겹쳐 놓는 것을 의미하는 것이 아니라, 그것을 증명할 아주 많고 많은 단어를 말하는 것입니다. 두 개의 삼각형이 겹쳐지면 일치합니다. 따라서 어떤 경우에도 작업에 "확인했습니다. 적용할 때 삼각형이 일치합니다"라고 적어서는 안 됩니다. 적용할 때 실수하지 않았다고 아무도 보장하지 않기 때문에 계산에 포함되지 않으며 옳을 것입니다. 예를 들어, 1/4밀리미터입니다.
따라서 일부 수학자들은 여러 단어를 말했고, 그 뒤에는 이 단어를 반복하지 않을 것입니다(아마도 이론의 마지막 단계를 제외하고). 삼각형의 평등을 나타내는 세 가지 기호.
일상적인(수학적) 사용에서는 이러한 단축 공식이 허용됩니다. 기억하고 적용하기가 더 쉽습니다.
- 첫 번째 기호는 양면과 그 사이의 각도에 있습니다.
- 두 번째 표시는 두 모서리와 인접한 측면에 있습니다.
- 세 번째 기호는 세 면에 있습니다.
삼각형. 주요 사항에 대해 간략하게
삼각형은 같은 직선 위에 있지 않은 세 점을 연결하는 세 개의 선분으로 이루어진 기하학적 도형입니다.
기본 개념.
기본 속성:
- 모든 삼각형의 내각의 합은 같습니다. 즉,
- 삼각형의 외각은 삼각형에 인접하지 않은 두 내각의 합과 같습니다.
또는 - 삼각형의 두 변의 길이의 합은 세 번째 변의 길이보다 큽니다. 즉,
- 삼각형에서 큰 변은 큰 각의 반대편에 있고, 큰 각은 큰 변의 반대편에 있습니다.
그렇다면, 그리고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.
그렇다면.
삼각형의 평등 신호.
1. 첫 번째 신호- 양면과 그 사이의 각도.
2. 두 번째 신호- 두 모서리와 인접면에 있습니다.
3. 세 번째 신호- 삼면에.
자, 주제는 끝났습니다. 이 글을 읽고 있다면 당신이 매우 멋지다는 뜻입니다.
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기하학 과학은 삼각형, 정사각형, 정육면체가 무엇인지 알려줍니다. 안에 현대 세계예외없이 모든 사람이 학교에서 공부합니다. 또한 삼각형이 무엇인지, 그것이 어떤 성질을 가지고 있는지 직접적으로 연구하는 과학이 바로 삼각법이다. 그녀는 데이터와 관련된 모든 현상을 자세히 탐구합니다. 오늘 우리 기사에서는 삼각형이 무엇인지 이야기하겠습니다. 그 유형은 아래에 설명되어 있으며, 이와 관련된 몇 가지 정리도 있습니다.
삼각형이란 무엇입니까? 정의
이것은 평평한 다각형입니다. 이름에서 알 수 있듯이 세 개의 모서리가 있습니다. 또한 3개의 변과 3개의 정점이 있으며, 첫 번째는 세그먼트이고 두 번째는 점입니다. 두 각도가 무엇인지 알면 숫자 180에서 처음 두 각도의 합을 빼서 세 번째 각도를 찾을 수 있습니다.
삼각형에는 어떤 종류가 있나요?
다양한 기준에 따라 분류될 수 있습니다.
먼저 예각형, 둔각형, 직사각형형으로 나누어진다. 전자는 예각, 즉 90도보다 작은 각도를 갖습니다. 둔각에서는 각도 중 하나가 둔각입니다. 즉, 하나는 90도 이상이고 나머지 두 개는 예각입니다. 예각삼각형에는 정삼각형도 포함됩니다. 이러한 삼각형은 모든 변과 각이 동일합니다. 그들은 모두 60도와 같습니다. 이는 모든 각도(180)의 합을 3으로 나누면 쉽게 계산할 수 있습니다.
정삼각형
직각삼각형이 무엇인지 이야기하지 않는 것은 불가능합니다.
이러한 그림은 한 각도가 90도(직선)와 같습니다. 즉, 두 변이 수직입니다. 나머지 두 각도는 예각입니다. 그것들은 같을 수 있고, 그러면 이등변이 될 것입니다. 피타고라스의 정리는 직각삼각형과 관련이 있습니다. 이를 사용하면 처음 두 가지를 알고 세 번째 측면을 찾을 수 있습니다. 이 정리에 따르면 한쪽 다리의 제곱과 다른 쪽 다리의 제곱을 더하면 빗변의 제곱을 얻을 수 있습니다. 다리의 제곱은 빗변의 제곱에서 알려진 다리의 제곱을 빼서 계산할 수 있습니다. 삼각형이 무엇인지 말하면서 이등변삼각형도 떠올릴 수 있습니다. 이것은 두 변의 크기가 같고 두 각도도 같은 경우입니다.
다리와 빗변이란 무엇입니까?
다리는 90도 각도를 이루는 삼각형의 변 중 하나입니다. 빗변은 직각과 반대되는 나머지 변입니다. 그것에서 다리 위로 수직을 낮출 수 있습니다. 빗변에 대한 인접한 변의 비율을 코사인(cosine)이라고 하고 반대 변을 사인(sine)이라고 합니다.
- 그 특징은 무엇입니까?
직사각형이에요. 다리는 3개와 4개이고 빗변은 5개이다. 주어진 삼각형의 다리가 3과 4인 것을 보면 빗변이 5와 같다는 것을 확신할 수 있습니다. 또한 이 원리를 사용하면 두 번째가 4이고 빗변이 5이면 다리가 3과 같다는 것을 쉽게 결정할 수 있습니다. 이 명제를 증명하기 위해 피타고라스의 정리를 적용할 수 있습니다. 두 다리가 3과 4이면 9 + 16 = 25, 25의 근은 5, 즉 빗변은 5입니다. 이집트 삼각형은 또한 변이 6, 8인 직각삼각형입니다. 그리고 10; 9, 12, 15 및 기타 숫자는 3:4:5 비율입니다.
삼각형이 또 무엇이 될 수 있을까요?
삼각형은 내접하거나 외접할 수도 있습니다. 원이 설명되는 그림을 내접이라고 합니다. 모든 정점은 원 위에 있는 점입니다. 외접삼각형은 원이 내접된 삼각형이다. 모든 측면이 특정 지점에서 접촉됩니다.
위치는 어떻게 되나요?
모든 그림의 면적은 제곱 단위(제곱미터, 제곱밀리미터, 제곱센티미터, 제곱데시미터 등)로 측정됩니다. 이 값은 삼각형의 유형에 따라 다양한 방법으로 계산할 수 있습니다. 각도가 있는 도형의 면적은 그 변에 반대쪽 모서리에서 떨어뜨린 수직선을 곱하고 이 도형을 2로 나누어 구할 수 있습니다. 두 변을 곱하여 이 값을 찾을 수도 있습니다. 그런 다음 이 숫자에 이 변 사이에 위치한 각도의 사인을 곱하고 이 결과를 2로 나눕니다. 삼각형의 모든 변을 알지만 각도를 모르면 다른 방법으로 넓이를 찾을 수 있습니다. 이렇게하려면 둘레의 절반을 찾아야합니다. 그런 다음 이 숫자에서 서로 다른 변을 교대로 빼고 결과 4개의 값을 곱합니다. 다음으로 나온 번호에서 찾아보세요. 내접 삼각형의 면적은 모든 변을 곱하고 결과 숫자를 그 주위에 외접하는 숫자로 나누고 4를 곱하여 구할 수 있습니다.
외접 삼각형의 면적은 다음과 같이 구합니다. 둘레의 절반에 그 안에 새겨진 원의 반지름을 곱합니다. 그렇다면 그 면적은 다음과 같이 구할 수 있습니다. 변을 제곱하고 결과 숫자에 3의 루트를 곱한 다음 이 숫자를 4로 나눕니다. 비슷한 방법으로 모든 변이 동일한 삼각형의 높이를 계산할 수 있습니다. 이렇게 하려면 그 중 하나에 3의 루트를 곱한 다음 이 숫자를 2로 나누어야 합니다.
삼각형과 관련된 정리
이 그림과 관련된 주요 정리는 위에서 설명한 피타고라스 정리와 코사인입니다. 두 번째 (사인)는 임의의 변을 반대 각도의 사인으로 나누면 그 주위에 설명된 원의 반지름에 2를 곱한 값을 얻을 수 있다는 것입니다. 세 번째(코사인)는 두 변의 제곱의 합에서 곱을 빼고 두 변 사이에 있는 각도의 코사인을 곱하면 세 번째 변의 제곱을 얻는다는 것입니다.
달리 트라이앵글 - 그게 뭐죠?
많은 사람들이 이 개념에 직면했을 때 처음에는 이것이 일종의 기하학 정의라고 생각하지만 전혀 그렇지 않습니다. 달리의 삼각형은 일반 이름생활과 밀접한 세 곳 유명한 예술가. 그 "봉우리"는 살바도르 달리가 살았던 집, 그가 아내에게 준 성, 초현실주의 그림 박물관입니다. 이 장소들을 둘러보는 동안 많은 것을 배울 수 있습니다. 흥미로운 사실전 세계적으로 알려진 이 독특하고 창의적인 예술가에 대해 알아보세요.
두 삼각형을 겹쳐서 합칠 수 있으면 합동이라고 합니다. 그림 1은 등각삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1을 보여줍니다. 이러한 각 삼각형은 완전히 호환되도록 서로 겹쳐질 수 있습니다. 즉, 꼭지점과 변이 쌍으로 호환됩니다. 이 삼각형의 각도도 쌍으로 일치할 것이 분명합니다.
따라서 두 삼각형이 합동이면 한 삼각형의 요소(즉, 변과 각도)는 각각 다른 삼각형의 요소와 같습니다. 참고하세요 상응하는 동일한 변에 대해 동일한 삼각형(즉, 겹쳐지면 겹쳐짐) 각도가 같은 거짓말그리고 뒤로: 같은 변은 각각 같은 각도 반대편에 놓여 있습니다.
예를 들어, 그림 1에 표시된 등각삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1에서 반대쪽 동일한 변 AB와 A 1 B 1은 각각 동일한 각도 C와 C 1에 있습니다. 삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1의 동일성을 다음과 같이 표시합니다. Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. 두 삼각형의 동등성은 일부 요소를 비교하여 확립할 수 있다는 것이 밝혀졌습니다.
정리 1. 삼각형의 평등의 첫 번째 신호입니다.한 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도가 각각 다른 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도와 같으면 그러한 삼각형은 합동입니다(그림 2).
증거. AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1인 삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1을 생각해 보세요(그림 2 참조). Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 임을 증명해 보겠습니다.
∠ A = ∠ A 1이므로 삼각형 ABC는 삼각형 A 1 B 1 C 1에 중첩될 수 있으므로 정점 A는 정점 A 1과 정렬되고 변 AB와 AC는 각각 광선 A 1 B 1 및 A 1에 중첩됩니다. 다 1 . AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1이므로 변 AB는 변 A 1 B 1에 정렬되고 변 AC는 변 A 1 C 1에 정렬됩니다. 특히 점 B와 B 1, C와 C 1이 일치합니다. 결과적으로 변 BC와 B 1 C 1이 정렬됩니다. 따라서 삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1은 완전히 호환 가능하며 이는 동일하다는 것을 의미합니다.
정리 2는 중첩법을 사용하여 비슷한 방식으로 증명됩니다.
정리 2. 삼각형의 평등의 두 번째 기호입니다.한 삼각형의 한 변과 두 개의 인접한 각도가 각각 다른 삼각형의 변과 두 개의 인접한 각도와 같으면 그러한 삼각형은 합동입니다(그림 34).
논평. 정리 2를 바탕으로 정리 3이 성립된다.
정리 3. 삼각형의 두 내각의 합은 180°보다 작습니다.
정리 4는 마지막 정리에서 이어집니다.
정리 4. 삼각형의 외각은 삼각형에 인접하지 않은 내각보다 크다.
정리 5. 삼각형의 평등의 세 번째 기호입니다.한 삼각형의 세 변이 각각 다른 삼각형의 세 변과 같으면 해당 삼각형은 합동입니다().
예시 1.삼각형 ABC와 DEF에서 (그림 4)
∠ A = ∠ E, AB = 20cm, AC = 18cm, DE = 18cm, EF = 20cm 삼각형 ABC와 DEF를 비교하세요. 삼각형 DEF의 각은 각 B와 같습니다.
해결책. 이 삼각형은 첫 번째 기호에 따라 동일합니다. 삼각형 DEF의 각 F는 삼각형 ABC의 각 B와 같습니다. 왜냐하면 이 각은 각각 동일한 변 DE와 AC 반대편에 놓여 있기 때문입니다.
예시 2.세그먼트 AB와 CD(그림 5)는 각각의 중간인 점 O에서 교차합니다. AC 부분이 6m라면 BD 부분의 길이는 얼마입니까?
해결책.
삼각형 AOC와 BOD는 동일합니다(첫 번째 기준에 따라): ∠ AOC = ∠ BOD(세로), AO = OB, CO = OD(조건별).
이 삼각형의 동등성으로부터 그 변이 동일하다는 것이 나옵니다. 즉, AC = BD입니다. 그러나 AC = 6m 조건에 따르면 BD = 6m입니다.
