Pifagor teoremasining yaratilishi. Mashhur teoremalar (Pifagor teoremasi)

Ijodkorlik potentsiali odatda tabiiy ilmiy tahlil, amaliy yondashuv va formulalar va raqamlarning quruq tilini qoldirib, gumanitar fanlarga tegishli. Matematikani gumanitar fan sifatida tasniflash mumkin emas. Ammo "barcha fanlar malikasi" dagi ijodkorliksiz uzoqqa bormaysiz - odamlar bu haqda uzoq vaqtdan beri bilishadi. Masalan, Pifagor davridan beri.

Maktab darsliklarida, afsuski, odatda, matematikada nafaqat teoremalar, aksiomalar va formulalarni siqib chiqarish muhimligi tushuntirilmaydi. Uning asosiy tamoyillarini tushunish va his qilish muhimdir. Shu bilan birga, fikringizni klişe va oddiy haqiqatlardan ozod qilishga harakat qiling - faqat shunday sharoitda barcha buyuk kashfiyotlar tug'iladi.

Bunday kashfiyotlar orasida bugungi kunda biz Pifagor teoremasi deb ataladigan kashfiyotlar mavjud. Uning yordami bilan biz matematika nafaqat qiziqarli, balki qiziqarli bo'lishi kerakligini ko'rsatishga harakat qilamiz. Va bu sarguzasht nafaqat qalin ko'zoynakli nerds uchun, balki aqli kuchli va ruhi kuchli har bir kishi uchun mos keladi.

Masala tarixidan

To‘g‘rirog‘i, teorema “Pifagor teoremasi” deb atalsa ham, Pifagorning o‘zi uni kashf etmagan. To'g'ri burchakli uchburchak va uning maxsus xususiyatlari undan ancha oldin o'rganilgan. Bu masala bo'yicha ikkita qutbli nuqtai nazar mavjud. Bir versiyaga ko'ra, Pifagor birinchi bo'lib teoremaning to'liq isbotini topdi. Boshqasiga ko'ra, dalil Pifagor muallifligiga tegishli emas.

Bugun endi kim haq va kim nohaqligini tekshira olmaysiz. Ma'lumki, Pifagorning isboti, agar u mavjud bo'lsa, saqlanib qolmagan. Biroq, Evklid elementlarining mashhur isboti Pifagorga tegishli bo'lishi mumkinligi haqida takliflar mavjud va Evklid buni faqat qayd etgan.

To‘g‘ri burchakli uchburchak bilan bog‘liq muammolar fir’avn Amenemxet I davridagi Misr manbalarida, shoh Hammurapi hukmronligi davridagi Bobil loy lavhalarida, qadimgi hindlarning “Sulva Sutra” risolasida va qadimgi Xitoy asarida “Chjou”da uchraydi. -bi suan jin.

Ko'rib turganingizdek, Pifagor teoremasi qadim zamonlardan beri matematiklarning ongini band qilgan. Bugungi kunda mavjud bo'lgan taxminan 367 ta turli dalillar tasdiq sifatida xizmat qiladi. Bu borada boshqa hech bir teorema u bilan raqobatlasha olmaydi. E'tiborli dalillar mualliflari orasida Leonardo da Vinchi va AQShning 20-prezidenti Jeyms Garfild bor. Bularning barchasi ushbu teoremaning matematika uchun o'ta muhimligi haqida gapiradi: geometriya teoremalarining aksariyati undan olingan yoki u yoki bu tarzda u bilan bog'liq.

Pifagor teoremasining isbotlari

Maktab darsliklarida asosan algebraik dalillar keltiriladi. Ammo teoremaning mohiyati geometriyada, shuning uchun keling, avvalo shu fanga asoslangan mashhur teoremaning isbotlarini ko'rib chiqaylik.

Isbot 1

To'g'ri burchakli uchburchak uchun Pifagor teoremasining eng oddiy isboti uchun siz ideal shartlarni belgilashingiz kerak: uchburchak nafaqat to'g'ri burchakli, balki teng burchakli ham bo'lsin. Bu qadimgi matematiklar tomonidan ko'rib chiqilgan shunday uchburchak bo'lgan deb ishonishga asos bor.

Bayonot "To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga qurilgan kvadrat uning oyoqlarida qurilgan kvadratlar yig'indisiga teng" quyidagi chizma bilan tasvirlash mumkin:

ABC to'g'ri burchakli uchburchakka qarang: AC gipotenuzasida siz dastlabki ABCga teng to'rtta uchburchakdan iborat kvadrat qurishingiz mumkin. Va AB va BC oyoqlarida kvadrat ustiga qurilgan, ularning har biri ikkita o'xshash uchburchakni o'z ichiga oladi.

Aytgancha, bu rasm Pifagor teoremasiga bag'ishlangan ko'plab latifalar va multfilmlarning asosini tashkil etdi. Ehtimol, eng mashhuri "Pifagor shimlari barcha yo'nalishlarda tengdir":

Isbot 2

Bu usul algebra va geometriyani birlashtiradi va matematik Bxaskari tomonidan qadimgi hind isbotining bir varianti sifatida qaralishi mumkin.

Tomonlari bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchak tuzing a, b va c(1-rasm). Keyin tomonlari ikki oyoq uzunligi yig'indisiga teng bo'lgan ikkita kvadrat quring - (a+b). Kvadratchalarning har birida 2 va 3-rasmlardagi kabi konstruktsiyalarni bajaring.

Birinchi kvadratda 1-rasmdagi kabi bir xil uchburchaklardan to'rttasini quring. Natijada ikkita kvadrat olinadi: biri a tomoni bilan, ikkinchisi tomoni bilan b.

Ikkinchi kvadratda qurilgan to'rtta o'xshash uchburchaklar tomoni gipotenuzaga teng bo'lgan kvadrat hosil qiladi c.

2-rasmdagi qurilgan kvadratlar maydonlarining yig'indisi 3-rasmdagi c tomoni bilan biz qurgan kvadratning maydoniga teng. Buni rasmdagi kvadratlarning maydonlarini hisoblash orqali osongina tekshirish mumkin. 2 formula bo'yicha. Va 3-rasmdagi chizilgan kvadratning maydoni. kvadratga chizilgan to'rtta teng to'g'ri burchakli uchburchakning maydonlarini bir tomoni bo'lgan katta kvadrat maydonidan ayirish orqali (a+b).

Bularning barchasini qo'yib, bizda: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Qavslarni kengaytiring, barcha kerakli algebraik hisoblarni bajaring va buni oling a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Shu bilan birga, 3-rasmda yozilgan maydon. kvadratni an'anaviy formula yordamida ham hisoblash mumkin S=c2. Bular. a2+b2=c2 Siz Pifagor teoremasini isbotladingiz.

Isbot 3

Xuddi shu qadimiy hind isboti 12-asrda "Bilimlar toji" ("Siddhanta Shiromani") risolasida tasvirlangan va muallif asosiy dalil sifatida o'quvchilarning matematik qobiliyatlari va kuzatish qobiliyatiga qaratilgan murojaatdan foydalanadi. izdoshlar: "Qarang!".

Ammo biz ushbu dalilni batafsilroq tahlil qilamiz:

Kvadrat ichida chizmada ko'rsatilganidek, to'rtta to'g'ri burchakli uchburchak yasang. Katta kvadratning gipotenuzasi ham bo'lgan tomoni belgilanadi dan. Keling, uchburchakning oyoqlarini chaqiraylik lekin Va b. Chizilgan rasmga ko'ra, ichki kvadratning yon tomoni (a-b).

Kvadrat maydon formulasidan foydalaning S=c2 tashqi kvadratning maydonini hisoblash uchun. Shu bilan birga, ichki kvadratning maydonini va to'rtta to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qo'shish orqali bir xil qiymatni hisoblang: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Bir xil natija berishiga ishonch hosil qilish uchun kvadratning maydonini hisoblash uchun ikkala variantdan ham foydalanishingiz mumkin. Va bu sizga yozish huquqini beradi c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Yechim natijasida siz Pifagor teoremasining formulasini olasiz c2=a2+b2. Teorema isbotlangan.

Isbot 4

Bu qiziq qadimiy xitoy dalili "Kelin kursisi" deb ataladi - bu barcha konstruktsiyalardan kelib chiqadigan stulga o'xshash shakl tufayli:

U ikkinchi isbotda biz allaqachon 3-rasmda ko'rgan chizmadan foydalanadi. Va tomoni c bo'lgan ichki kvadrat yuqorida keltirilgan qadimgi hind isbotida bo'lgani kabi qurilgan.

Agar siz 1-rasmdagi chizmadan ikkita yashil to'g'ri burchakli uchburchakni aqliy ravishda kesib tashlasangiz, ularni kvadratning qarama-qarshi tomonlariga c tomoni bilan o'tkazsangiz va gipotenuslarni nilufar uchburchaklar gipotenuslariga biriktirsangiz, siz "kelinlik" deb nomlangan figuraga ega bo'lasiz. stul” (2-rasm). Aniqlik uchun qog'oz kvadratlar va uchburchaklar bilan ham xuddi shunday qilishingiz mumkin. Siz "kelinning o'rindig'i" ikkita kvadratdan iborat ekanligini ko'rasiz: yon tomoni bo'lgan kichiklar b va bir tomoni bilan katta a.

Bu konstruktsiyalar qadimgi Xitoy matematiklari va ulardan keyingi bizga shunday xulosaga kelishga imkon berdi c2=a2+b2.

Isbot 5

Bu geometriyaga asoslangan Pifagor teoremasining yechimini topishning yana bir usuli. Bu Garfild usuli deb ataladi.

To‘g‘ri burchakli uchburchak tuzing ABC. Biz buni isbotlashimiz kerak BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Buning uchun oyoqni davom ettiring AC va segmentni yarating CD, bu oyoqqa teng AB. Pastki perpendikulyar AD Bo'lim ED. Segmentlar ED Va AC teng. nuqtalarni ulang E Va IN, shuningdek E Va FROM va quyidagi rasmdagi kabi chizma oling:

Minorani isbotlash uchun biz yana sinovdan o'tgan usulga murojaat qilamiz: natijada olingan raqamning maydonini ikki yo'l bilan topamiz va iboralarni bir-biriga tenglashtiramiz.

Ko'pburchakning maydonini toping YOTOQ uni tashkil etuvchi uchta uchburchakning maydonlarini qo'shish orqali amalga oshirilishi mumkin. Va ulardan biri ERU, nafaqat to'rtburchaklar, balki teng yon tomonli hamdir. Shuni ham unutmaylik AB=CD, AC=ED Va BC=CE- bu bizga yozishni soddalashtirish va uni ortiqcha yuklamaslik imkonini beradi. Shunday qilib, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Shu bilan birga, bu aniq YOTOQ trapesiyadir. Shuning uchun biz uning maydonini formuladan foydalanib hisoblaymiz: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Bizning hisob-kitoblarimiz uchun segmentni ifodalash qulayroq va aniqroqdir AD segmentlarning yig'indisi sifatida AC Va CD.

Keling, ularning orasiga teng belgi qo'yib, figuraning maydonini hisoblashning ikkala usulini yozamiz: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Belgining o'ng tomonini soddalashtirish uchun biz allaqachon ma'lum bo'lgan va yuqorida tavsiflangan segmentlarning tengligidan foydalanamiz: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Endi biz qavslarni ochamiz va tenglikni o'zgartiramiz: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Barcha o'zgarishlarni tugatgandan so'ng, biz kerakli narsani olamiz: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Biz teoremani isbotladik.

Albatta, bu dalillar ro'yxati to'liq emas. Pifagor teoremasini vektorlar, kompleks sonlar, differensial tenglamalar, stereometriya va boshqalar yordamida ham isbotlash mumkin. Va hatto fiziklar: agar, masalan, suyuqlik chizmalarda ko'rsatilgandek kvadrat va uchburchak hajmlarga quyilsa. Suyuqlikni quyish orqali maydonlar tengligini va natijada teoremaning o'zini isbotlash mumkin.

Pifagor uchliklari haqida bir necha so'z

Bu masala maktab o‘quv dasturida kam o‘rganilgan yoki o‘rganilmagan. Ayni paytda, bu juda qiziqarli va bor katta ahamiyatga ega geometriyada. Pifagor uchliklari ko'plab matematik muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi. Ularning g'oyasi keyingi ta'limda sizga foydali bo'lishi mumkin.

Xo'sh, Pifagor uchliklari nima? Ikkitasining kvadratlari yig'indisi uchinchi sonning kvadratiga teng bo'lgan uchlikda yig'ilgan natural sonlar deb ataladi.

Pifagor uchliklari quyidagilar bo'lishi mumkin:

• ibtidoiy (barcha uchta raqam nisbatan tub);
• ibtidoiy bo'lmagan (agar uchlikning har bir soni bir xil songa ko'paytirilsa, siz ibtidoiy bo'lmagan yangi uchlikni olasiz).

Bizning eramizdan oldin ham qadimgi misrliklar Pifagor uchliklarining soni uchun maniya bilan hayratda qolishgan: vazifalarda ular tomonlari 3,4 va 5 birlik bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqishgan. Aytgancha, tomonlari Pifagor uchligidagi raqamlarga teng bo'lgan har qanday uchburchak sukut bo'yicha to'rtburchaklardir.

Pifagor uchliklariga misollar: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) va boshqalar.

Teoremaning amaliy qo'llanilishi

Pifagor teoremasi nafaqat matematikada, balki arxitektura va qurilish, astronomiya va hatto adabiyotda ham qo'llaniladi.

Birinchidan, qurilish haqida: Pifagor teoremasi unda turli darajadagi murakkablikdagi masalalarda keng qo'llaniladi. Masalan, Romanesk oynasiga qarang:

Deraza kengligini deb belgilaymiz b, keyin katta yarim doira radiusi sifatida belgilash mumkin R va orqali ifodalash b: R=b/2. Kichikroq yarim doiralarning radiusini ham ifodalash mumkin b: r=b/4. Ushbu muammoda bizni derazaning ichki doirasining radiusi qiziqtiradi (uni chaqiraylik p).

Pifagor teoremasi hisoblash uchun qulaydir R. Buning uchun biz to'g'ri burchakli uchburchakdan foydalanamiz, bu rasmda nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan. Uchburchakning gipotenuzasi ikkita radiusdan iborat: b/4+p. Bir oyog'i radiusdir b/4, boshqa b/2-p. Pifagor teoremasidan foydalanib, biz yozamiz: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Keyinchalik, biz qavslarni ochamiz va olamiz b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Keling, ushbu ifodani aylantiramiz bp/2=b 2 /4-bp. Va keyin biz barcha shartlarni ajratamiz b, olish uchun shunga o'xshashlarni beramiz 3/2*p=b/4. Va oxirida biz buni topamiz p=b/6- bu bizga kerak edi.

Teoremadan foydalanib, siz gable tomi uchun raftersning uzunligini hisoblashingiz mumkin. Signalning ma'lum bir aholi punktiga etib borishi uchun mobil minora qanchalik balandligi kerakligini aniqlang. Va hatto shahar maydonida Rojdestvo daraxti o'rnating. Ko'rib turganingizdek, bu teorema nafaqat darslik sahifalarida yashaydi, balki ko'pincha haqiqiy hayotda foydalidir.

Adabiyotga kelsak, Pifagor teoremasi yozuvchilarni qadim zamonlardan beri ilhomlantirgan va hozir ham shunday qilishda davom etmoqda. Misol uchun, o'n to'qqizinchi asrda yashagan nemis yozuvchisi Adelbert fon Chamisso uni sonet yozishga ilhomlantirgan:

Haqiqat nuri tez orada so'nmaydi,
Ammo, porlagandan so'ng, u tarqalib ketishi dargumon
Va ming yillar oldin bo'lgani kabi,
Shubha va tortishuvlarga sabab bo'lmaydi.

Ko'zga tegsa, eng dono
Haqiqat nuri, xudolarga shukur;
Va yuzta buqalar pichoqlangan, yolg'on gapirishadi -
Baxtli Pifagorning qaytarilgan sovg'asi.

O'shandan beri buqalar umidsizlik bilan baqirishdi:
Buqa qabilasini abadiy qo'zg'atdi
bu erda eslatib o'tilgan voqea.

Ular vaqti keldi deb o'ylashadi
Va yana qurbon qilinadilar
Ba'zi ajoyib teorema.

(Viktor Toporov tomonidan tarjima qilingan)

Yigirmanchi asrda esa sovet yozuvchisi Yevgeniy Veltistov o'zining "Elektronikaning sarguzashtlari" kitobida Pifagor teoremasining isbotlariga butun bir bobni bag'ishlagan. Va agar Pifagor teoremasi yagona dunyo uchun asosiy qonun va hatto din bo'lsa, mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan ikki o'lchovli dunyo haqidagi hikoyaning yarim bobi. Unda yashash ancha oson bo'lardi, lekin bundan ham zerikarliroq bo'lar edi: masalan, u erda hech kim "yumaloq" va "momiq" so'zlarining ma'nosini tushunmaydi.

Va "Elektronikaning sarguzashtlari" kitobida muallif matematika o'qituvchisi Taratara og'zidan shunday deydi: "Matematikada asosiy narsa - bu fikrning harakati, yangi g'oyalar". Aynan mana shu ijodiy fikrlash parvozi Pifagor teoremasini keltirib chiqaradi - bu juda xilma-xil dalillarga ega ekanligi bejiz emas. Bu odatdagidan tashqariga chiqishga va tanish narsalarga yangicha qarashga yordam beradi.

Xulosa

Ushbu maqola siz matematika bo'yicha maktab o'quv dasturidan tashqariga qarashingiz va nafaqat "Geometriya 7-9" (L.S.Atanasyan, V.N.Rudenko) va "Geometriya 7-11" darsliklarida keltirilgan Pifagor teoremasining isbotlarini o'rganishingiz uchun yaratilgan. ” (AV Pogorelov), shuningdek, mashhur teoremani isbotlashning boshqa qiziqarli usullari. Shuningdek, Pifagor teoremasini kundalik hayotda qanday qo'llash mumkinligi haqidagi misollarni ko'ring.

Birinchidan, bu ma'lumot sizga matematika darslarida yuqori ball olish imkonini beradi - qo'shimcha manbalardan olingan mavzu bo'yicha ma'lumotlar har doim yuqori baholanadi.

Ikkinchidan, biz sizga matematika qanchalik qiziqarli ekanligini his qilishingizga yordam bermoqchi edik. Unda ijodkorlik uchun har doim joy borligiga aniq misollar orqali ishonch hosil qilish. Umid qilamizki, Pifagor teoremasi va ushbu maqola sizni matematika va boshqa fanlar bo'yicha o'zingizning tadqiqotingiz va qiziqarli kashfiyotlaringizga ilhomlantiradi.

Maqolada keltirilgan dalillarni qiziqarli deb topsangiz, izohlarda bizga ayting. Ushbu ma'lumotni o'qishingizda foydali deb topdingizmi? Pifagor teoremasi va ushbu maqola haqida fikringizni bildiring - bularning barchasini siz bilan muhokama qilishdan xursand bo'lamiz.

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

Bir narsada, siz yuz foiz amin bo'lishingiz mumkinki, gipotenuzaning kvadrati nima degan savolga, har qanday kattalar jasorat bilan javob beradi: "Oyoq kvadratlarining yig'indisi". Bu teorema har bir o'qimishli odamning ongiga mustahkam o'rnashib olgan, ammo buni isbotlashni kimdandir so'rashning o'zi kifoya, keyin esa qiyinchiliklar paydo bo'lishi mumkin. Shunday qilib, keling, eslaylik va o'ylab ko'raylik turli yo'llar bilan Pifagor teoremasining isboti.

Biografiyaning qisqacha tavsifi

Pifagor teoremasi deyarli hamma uchun tanish, lekin negadir uni yaratgan odamning tarjimai holi unchalik mashhur emas. Biz tuzatamiz. Shuning uchun, Pifagor teoremasini isbotlashning turli usullarini o'rganishdan oldin, siz uning shaxsiyati bilan qisqacha tanishishingiz kerak.

Pifagor - faylasuf, matematik, mutafakkir bugungi kundan boshlab uning tarjimai holini bu buyuk shaxs xotirasiga yaratilgan afsonalardan ajratish juda qiyin. Ammo uning izdoshlarining yozuvlaridan kelib chiqqan holda, Samoslik Pifagor Samos orolida tug'ilgan. Uning otasi oddiy tosh kesuvchi edi, lekin onasi zodagon oiladan chiqqan.

Afsonaga ko'ra, Pifagorning tug'ilishi Pifiya ismli ayol tomonidan bashorat qilingan, uning sharafiga bolakay deb nomlangan. Uning bashoratiga ko'ra, tug'ilgan o'g'il bola insoniyatga ko'p foyda va yaxshilik keltirishi kerak edi. U aslida nima qildi.

Teoremaning tug'ilishi

Pifagor yoshligida Misrning mashhur donishmandlari bilan uchrashish uchun Misrga ko'chib o'tadi. Ular bilan uchrashgandan so'ng u o'qishga qabul qilindi va u erda Misr falsafasi, matematikasi va tibbiyotining barcha buyuk yutuqlarini o'rgandi.

Ehtimol, Misrda Pifagor piramidalarning ulug'vorligi va go'zalligidan ilhomlanib, o'zining buyuk nazariyasini yaratgan. Bu o'quvchilarni hayratda qoldirishi mumkin, ammo zamonaviy tarixchilar Pifagor o'z nazariyasini isbotlamagan deb hisoblashadi. Ammo u o'z bilimlarini faqat izdoshlariga topshirdi, ular keyinchalik barcha kerakli matematik hisob-kitoblarni yakunladilar.

Qanday bo'lmasin, bugungi kunda bu teoremani isbotlashning bitta usuli emas, balki bir vaqtning o'zida bir nechtasi ma'lum. Bugungi kunda biz qadimgi yunonlar o'zlarining hisob-kitoblarini qanday aniq amalga oshirganliklarini taxmin qilishimiz mumkin, shuning uchun bu erda Pifagor teoremasini isbotlashning turli usullarini ko'rib chiqamiz.

Pifagor teoremasi

Har qanday hisob-kitoblarni boshlashdan oldin, qaysi nazariyani isbotlash kerakligini aniqlab olishingiz kerak. Pifagor teoremasi shunday yangraydi: "Burchaklaridan biri 90 o bo'lgan uchburchakda, oyoqlarning kvadratlari yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga tengdir".

Pifagor teoremasini isbotlashning jami 15 xil usuli mavjud. Bu juda katta raqam, shuning uchun ularning eng mashhurlariga e'tibor qarataylik.

Birinchi usul

Keling, avvalo bizda nima borligini aniqlaylik. Ushbu ma'lumotlar Pifagor teoremasini isbotlashning boshqa usullariga ham tegishli bo'ladi, shuning uchun siz barcha mavjud yozuvlarni darhol eslab qolishingiz kerak.

Aytaylik, a, b oyoqlari va gipotenuzasi c ga teng bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchak berilgan. Birinchi isbotlash usuli to'g'ri burchakli uchburchakdan kvadrat chizish kerakligiga asoslanadi.

Buni amalga oshirish uchun oyoq uzunligi a ga oyog'iga teng segmentni chizishingiz kerak va aksincha. Shunday qilib, kvadratning ikkita teng tomoni bo'lishi kerak. Faqat ikkita parallel chiziq chizish uchun qoladi va kvadrat tayyor.

Olingan rasmning ichida siz asl uchburchakning gipotenuzasiga teng bo'lgan boshqa kvadratni chizishingiz kerak. Buning uchun ac va sv uchlaridan c ga teng ikkita parallel segmentni chizish kerak. Shunday qilib, biz kvadratning uchta tomonini olamiz, ulardan biri asl to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi. To'rtinchi segmentni chizish uchungina qoladi.

Olingan raqamga asoslanib, biz tashqi kvadratning maydoni (a + b) 2 degan xulosaga kelishimiz mumkin. Agar siz rasmning ichiga qarasangiz, unda ichki kvadratdan tashqari to'rtta to'g'ri burchakli uchburchak borligini ko'rishingiz mumkin. Har birining maydoni 0,5 av.

Shunday qilib, maydon: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Demak (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Va shuning uchun 2 \u003d a 2 + in 2 bilan

Teorema isbotlangan.

Ikkinchi usul: o'xshash uchburchaklar

Pifagor teoremasini isbotlash uchun ushbu formula geometriyaning o'xshash uchburchaklar haqidagi bo'limidan olingan bayonot asosida olingan. Unda aytilishicha, to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i uning gipotenuzasiga va 90 o burchakning tepasidan chiqadigan gipotenuza segmentiga o'rtacha proportsionaldir.

Dastlabki ma'lumotlar bir xil bo'lib qoladi, shuning uchun darhol isbot bilan boshlaylik. AB tomoniga perpendikulyar CD segmentini chizamiz. Yuqoridagi bayonotga asoslanib, uchburchaklarning oyoqlari tengdir:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Pifagor teoremasini qanday isbotlash mumkinligi haqidagi savolga javob berish uchun ikkala tengsizlikni kvadratga solish orqali isbotlash kerak.

AC 2 \u003d AB * HELL va SV 2 \u003d AB * DV

Endi biz hosil bo'lgan tengsizliklarni qo'shishimiz kerak.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), bu erda AD + DV \u003d AB

Ma'lum bo'lishicha:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Va shuning uchun:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Pifagor teoremasining isboti va turli yo'llar bilan uning yechimlari ushbu muammoga ko'p qirrali yondashuvni talab qiladi. Biroq, bu variant eng oddiylaridan biridir.

Boshqa hisoblash usuli

Pifagor teoremasini isbotlashning turli usullarini tavsiflash, siz o'zingiz mashq qilishni boshlamaguningizcha, hech narsa demasligi mumkin. Ko'pgina usullar nafaqat matematik hisob-kitoblarni, balki dastlabki uchburchakdan yangi raqamlarni qurishni ham o'z ichiga oladi.

Bunday holda, samolyotning oyog'idan yana bir to'g'ri burchakli VSD uchburchagini bajarish kerak. Shunday qilib, endi umumiy oyog'i BC bo'lgan ikkita uchburchak mavjud.

O'xshash raqamlarning maydonlari ularning o'xshash chiziqli o'lchamlari kvadratlari kabi nisbatga ega ekanligini bilib, u holda:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (2 dan 2 gacha) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

2 dan 2 gacha \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + 2 da

Ushbu variant 8-sinf uchun Pifagor teoremasini isbotlashning turli usullaridan deyarli mos kelmasligi sababli, siz quyidagi texnikadan foydalanishingiz mumkin.

Pifagor teoremasini isbotlashning eng oson yo'li. Sharhlar

Tarixchilarning fikriga ko'ra, bu usul birinchi bo'lib teoremani isbotlash uchun ishlatilgan qadimgi Gretsiya. Bu eng oddiy, chunki u hech qanday hisob-kitoblarni talab qilmaydi. Agar siz rasmni to'g'ri chizsangiz, u holda a 2 + b 2 \u003d c 2 aniq ko'rinadi, degan bayonotning isboti.

Ushbu usulning shartlari avvalgisidan biroz farq qiladi. Teoremani isbotlash uchun ABC to‘g‘ri burchakli uchburchak teng yon tomonli deb faraz qilaylik.

Kvadratning tomoni sifatida AC gipotenuzasini olamiz va uning uch tomonini chizamiz. Bundan tashqari, hosil bo'lgan kvadratda ikkita diagonal chiziq chizish kerak. Shunday qilib, uning ichida siz to'rtta teng yonli uchburchak olasiz.

AB va CB oyoqlariga, shuningdek, kvadrat chizish va ularning har birida bitta diagonal chiziq chizish kerak. Biz birinchi chiziqni A tepasidan, ikkinchisini - C dan chizamiz.

Endi siz olingan rasmga diqqat bilan qarashingiz kerak. AC gipotenuzasida to'rtta uchburchak bo'lgani uchun, ular asl uchga teng va oyoqlarda ikkitasi, bu teoremaning to'g'riligini ko'rsatadi.

Aytgancha, Pifagor teoremasini isbotlashning ushbu usuli tufayli mashhur ibora tug'ildi: "Pifagor shimlari barcha yo'nalishlarda tengdir".

J. Garfildning isboti

Jeyms Garfild Amerika Qo'shma Shtatlarining 20-prezidenti. Qo'shma Shtatlar hukmdori sifatida tarixda o'z izini qoldirgandan tashqari, u o'zini o'zi o'rgatgan qobiliyatli edi.

Faoliyatining boshida u xalq maktabida oddiy o'qituvchi edi, lekin tez orada oliy maktablardan birining direktori bo'ldi. ta'lim muassasalari. O'z-o'zini rivojlantirish istagi va unga Pifagor teoremasini isbotlashning yangi nazariyasini taklif qilishga imkon berdi. Teorema va uni yechish misoli quyidagicha.

Avval qog'ozga ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni chizishingiz kerak, shunda ulardan birining oyog'i ikkinchisining davomi bo'ladi. Ushbu uchburchaklarning uchlari trapezoid bilan tugashi uchun ulanishi kerak.

Ma'lumki, trapetsiyaning maydoni uning asoslari va balandligi yig'indisining yarmiga teng.

S=a+b/2 * (a+b)

Olingan trapetsiyani uchta uchburchakdan iborat shakl deb hisoblasak, uning maydonini quyidagicha topish mumkin:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2/2

Endi biz ikkita asl iborani tenglashtirishimiz kerak

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2/2

c 2 \u003d a 2 + 2 da

Pifagor teoremasi va uni isbotlash usullari haqida bir nechta jild yozish mumkin o'quv qo'llanma. Ammo bu bilimlarni amalda qo'llash mumkin bo'lmasa, mantiqiymi?

Pifagor teoremasining amaliy qo'llanilishi

Afsuski, zamonaviy maktab dasturlarida bu teoremadan faqat geometrik masalalarda foydalanish nazarda tutilgan. Bitiruvchilar o‘z bilim va ko‘nikmalarini amalda qanday qo‘llashni bilmay, tez orada maktab devorlarini tark etishadi.

Aslida, har bir kishi kundalik hayotida Pifagor teoremasidan foydalanishi mumkin. Va nafaqat ichida kasbiy faoliyat balki oddiy uy yumushlarida ham. Keling, Pifagor teoremasi va uni isbotlash usullari juda zarur bo'lishi mumkin bo'lgan bir nechta holatlarni ko'rib chiqaylik.

Teorema va astronomiyaning aloqadorligi

Yulduzlar va uchburchaklarni qog'ozga qanday ulash mumkinligi ko'rinadi. Darhaqiqat, astronomiya Pifagor teoremasi keng qo'llaniladigan ilmiy sohadir.

Masalan, yorug'lik nurining kosmosdagi harakatini ko'rib chiqing. Biz bilamizki, yorug'lik ikki yo'nalishda bir xil tezlikda tarqaladi. Yorug'lik nuri harakatlanadigan traektoriyani AB deb ataymiz l. Va yorug'likning A nuqtadan B nuqtasiga o'tishi uchun zarur bo'lgan vaqtning yarmi, keling, qo'ng'iroq qilaylik t. Va nurning tezligi - c. Ma'lum bo'lishicha: c*t=l

Agar siz xuddi shu nurni boshqa tekislikdan ko'rsangiz, masalan, v tezligida harakatlanadigan kosmik laynerdan, u holda jismlarni bunday kuzatish bilan ularning tezligi o'zgaradi. Bunday holda, hatto harakatsiz elementlar ham teskari yo'nalishda v tezligi bilan harakat qiladi.

Aytaylik, komiks layneri o‘ng tomonga suzib ketmoqda. Keyin A va B nuqtalari, ular orasida nur shoshilib, chapga siljiydi. Bundan tashqari, nur A nuqtadan B nuqtaga o'tganda, A nuqtasi harakat qilish uchun vaqt topadi va shunga ko'ra, yorug'lik allaqachon yangi C nuqtasiga etib boradi. A nuqtasi siljigan masofaning yarmini topish uchun siz uni ko'paytirishingiz kerak. laynerning tezligi nurning sayohat vaqtining yarmiga (t ").

Va yorug'lik nurlari shu vaqt ichida qancha masofani bosib o'tishini bilish uchun siz yangi olxa yo'lining yarmini belgilashingiz va quyidagi ifodani olishingiz kerak:

Agar biz C va B yorug'lik nuqtalari, shuningdek, fazo chizig'i teng yonli uchburchakning uchlari ekanligini tasavvur qilsak, A nuqtadan chiziqqa bo'lgan segment uni ikkita to'g'ri burchakli uchburchakka bo'ladi. Shuning uchun, Pifagor teoremasi tufayli siz yorug'lik nurining o'tishi mumkin bo'lgan masofani topishingiz mumkin.

Bu misol, albatta, eng muvaffaqiyatli emas, chunki amalda sinab ko'rish uchun faqat bir nechtasi omadli bo'lishi mumkin. Shuning uchun biz ushbu teoremaning oddiyroq qo'llanilishini ko'rib chiqamiz.

Mobil signal uzatish diapazoni

Zamonaviy hayotni endi smartfonlarsiz tasavvur etib bo'lmaydi. Ammo abonentlarni mobil aloqa orqali ulay olmasalar, ulardan qanchalik foyda bo‘lardi?!

Mobil aloqa sifati to'g'ridan-to'g'ri uyali aloqa operatorining antennasi joylashgan balandlikka bog'liq. Mobil minoradan qancha masofada telefon signalni qabul qilishi mumkinligini hisoblash uchun siz Pifagor teoremasini qo'llashingiz mumkin.

Aytaylik, siz statsionar minoraning taxminiy balandligini topishingiz kerak, shunda u signalni 200 kilometr radiusda tarqata oladi.

AB (minora balandligi) = x;

BC (signal uzatish radiusi) = 200 km;

OS (globus radiusi) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Pifagor teoremasini qo'llash orqali biz minoraning minimal balandligi 2,3 kilometr bo'lishi kerakligini aniqlaymiz.

Kundalik hayotda Pifagor teoremasi

G'alati, Pifagor teoremasi hatto kundalik masalalarda ham foydali bo'lishi mumkin, masalan, shkafning balandligini aniqlash. Bir qarashda, bunday murakkab hisob-kitoblarni qo'llashning hojati yo'q, chunki siz oddiygina lenta o'lchovi bilan o'lchovlarni olishingiz mumkin. Ammo ko'pchilik, agar barcha o'lchovlar aniqroq olingan bo'lsa, nega yig'ish jarayonida ma'lum muammolar paydo bo'lishiga hayron bo'lishadi.

Haqiqat shundaki, shkaf gorizontal holatda yig'iladi va shundan keyingina ko'tariladi va devorga o'rnatiladi. Shuning uchun, strukturani ko'tarish jarayonida shkafning yon devori xonaning balandligi va diagonali bo'ylab erkin o'tishi kerak.

Aytaylik, 800 mm chuqurlikdagi shkaf bor. Zamindan shiftgacha bo'lgan masofa - 2600 mm. Tajribali mebel ishlab chiqaruvchisi shkafning balandligi xonaning balandligidan 126 mm kamroq bo'lishi kerakligini aytadi. Lekin nima uchun aynan 126 mm? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Shkafning ideal o'lchamlari bilan Pifagor teoremasining ishlashini tekshiramiz:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - hamma narsa birlashadi.

Aytaylik, shkafning balandligi 2474 mm emas, balki 2505 mm. Keyin:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Shuning uchun, bu kabinet bu xonada o'rnatish uchun mos emas. Chunki uni vertikal holatga ko'tarishda uning tanasiga zarar yetkazilishi mumkin.

Ehtimol, turli olimlar tomonidan Pifagor teoremasini isbotlashning turli usullarini ko'rib chiqib, biz bu haqiqatdan ham ko'proq degan xulosaga kelishimiz mumkin. Endi siz kundalik hayotingizda olingan ma'lumotlardan foydalanishingiz mumkin va barcha hisob-kitoblar nafaqat foydali, balki to'g'ri bo'lishiga to'liq ishonch hosil qilishingiz mumkin.

Pifagor teoremasi: Oyoqlar tomonidan qo'llab-quvvatlanadigan kvadratchalar maydonlarining yig'indisi ( a Va b), gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoniga teng ( c).

Geometrik formulalar:

Teorema dastlab quyidagicha tuzilgan:

Algebraik formula:

Ya'ni, orqali uchburchakning gipotenuzasi uzunligini bildiradi c, va oyoqlarning uzunliklari orqali a Va b :

a 2 + b 2 = c 2

Teoremaning ikkala formulasi ham ekvivalentdir, lekin ikkinchi formula ko'proq elementardir, u maydon tushunchasini talab qilmaydi. Ya'ni, ikkinchi bayonotni maydon haqida hech narsa bilmasdan va faqat to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari uzunligini o'lchash orqali tekshirish mumkin.

Teskari Pifagor teoremasi:

Dalil

Hozirgi vaqtda ilmiy adabiyotlarda ushbu teoremaning 367 ta isboti qayd etilgan. Ehtimol, Pifagor teoremasi shunday ta'sirchan miqdordagi dalillarga ega bo'lgan yagona teoremadir. Bunday xilma-xillikni faqat teoremaning geometriya uchun fundamental ahamiyati bilan izohlash mumkin.

Albatta, kontseptual jihatdan ularning barchasini oz sonli sinflarga bo'lish mumkin. Ulardan eng mashhurlari: maydon usuli bilan isbotlash, aksiomatik va ekzotik isbotlar (masalan, differensial tenglamalar yordamida).

Shu kabi uchburchaklar orqali

Algebraik formulaning quyidagi isboti to'g'ridan-to'g'ri aksiomalardan qurilgan isbotlarning eng oddiyidir. Xususan, u raqam maydoni tushunchasidan foydalanmaydi.

Bo'lsin ABC to'g'ri burchakli uchburchak mavjud C. Keling, balandlikni chizamiz C va uning asosini bilan belgilang H. Uchburchak ACH uchburchakka o'xshaydi ABC ikki burchakda. Xuddi shunday, uchburchak CBH o'xshash ABC. Belgilanish bilan tanishtirish

olamiz

Nima ekvivalent

Qo'shsak, olamiz

Hudud dalillari

Quyidagi dalillar, ko'rinib turgan soddaligiga qaramay, unchalik oddiy emas. Ularning barchasi maydonning xususiyatlaridan foydalanadi, buning isboti Pifagor teoremasining o'zini isbotlashdan ko'ra murakkabroqdir.

Ekvivalentlik orqali isbotlash

1. 1-rasmda ko'rsatilganidek, to'rtta teng to'g'ri burchakli uchburchakni joylashtiring.
2. Yonlari bilan to'rtburchak c kvadratdir, chunki ikkita o'tkir burchakning yig'indisi 90 ° va to'g'ri burchak 180 °.
3. Butun figuraning maydoni, bir tomondan, bir tomoni (a + b) bo'lgan kvadratning maydoniga, boshqa tomondan, to'rtta uchburchak va ikkita ichki burchakning maydonlarining yig'indisiga teng. kvadratlar.

Q.E.D.

Ekvivalentlik orqali dalil

Zarif almashtirish isboti

Ushbu dalillardan birining namunasi o'ngdagi chizmada ko'rsatilgan, bu erda gipotenuzada qurilgan kvadrat permutatsiya orqali oyoqlarda qurilgan ikkita kvadratga aylantiriladi.

Evklidning isboti

Evklid isboti uchun chizma

Evklidning isboti uchun rasm

Evklidning isboti g'oyasi quyidagicha: keling, gipotenuzada qurilgan kvadrat maydonining yarmi oyoqlarda qurilgan kvadratlarning yarmi maydonlarining yig'indisiga teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik, keyin esa maydonlar. katta va ikkita kichik kvadrat tengdir.

Chapdagi chizilgan rasmni ko'rib chiqing. Unda biz to'g'ri burchakli uchburchakning yon tomonlariga kvadratlar qurdik va AB gipotenuzasiga perpendikulyar bo'lgan to'g'ri burchakli C burchak cho'qqisidan s nurini chizdik, u gipotenuzaga qurilgan ABIK kvadratini ikkita to'rtburchaklar - BHJI va HAKJga kesadi, mos ravishda. Ma'lum bo'lishicha, bu to'rtburchaklar maydonlari mos keladigan oyoqlarda qurilgan kvadratlarning maydonlariga to'liq teng.

Keling, DECA kvadratining maydoni AHJK to'rtburchaklar maydoniga teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik. Buning uchun biz yordamchi kuzatuvdan foydalanamiz: balandligi va asosi berilgan uchburchakning maydoni. to'rtburchaklar berilgan to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng. Bu uchburchakning maydonini poydevor va balandlikning yarmi mahsuloti sifatida belgilashning natijasidir. Ushbu kuzatishdan kelib chiqadiki, ACK uchburchakning maydoni AHK uchburchagining maydoniga teng (ko'rsatilmagan), bu esa o'z navbatida AHJK to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng.

Keling, ACK uchburchagining maydoni ham DECA kvadratining yarmiga teng ekanligini isbotlaylik. Buning uchun qilish kerak bo'lgan yagona narsa ACK va BDA uchburchaklarining tengligini isbotlashdir (chunki BDA uchburchakning maydoni yuqoridagi xususiyat bo'yicha kvadrat maydonining yarmiga teng). Bu tenglik aniq, uchburchaklar ikki tomonda va ular orasidagi burchakda tengdir. Ya'ni - AB=AK,AD=AC - CAK va BAD burchaklarining tengligini harakat usuli bilan isbotlash oson: keling, CAK uchburchagini soat miliga teskari yo'nalishda 90° aylantiramiz, shunda ko'rinib turibdiki, ko'rib chiqilayotgan ikki uchburchakning mos tomonlari. mos tushadi (kvadrat tepasidagi burchak 90 ° bo'lganligi sababli).

BCFG kvadrati va BHJI to'rtburchaklar maydonlarining tengligi haqidagi argument butunlay o'xshashdir.

Shunday qilib, biz gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoni oyoqlarda qurilgan kvadratlarning maydonlarining yig'indisi ekanligini isbotladik. Ushbu dalilning g'oyasi yuqoridagi animatsiya bilan yanada ko'proq tasvirlangan.

Leonardo da Vinchining isboti

Leonardo da Vinchining isboti

Isbotning asosiy elementlari simmetriya va harakatdir.

Simmetriyadan, segmentdan ko'rinib turganidek, chizilgan rasmni ko'rib chiqing CI kvadratni ajratadi ABHJ ikkita bir xil qismga (uchburchaklar uchun ABC Va JHI qurilishda teng). 90 daraja soat miliga teskari aylanishdan foydalanib, biz soyali raqamlarning tengligini ko'ramiz CAJI Va GDAB . Endi aniq bo'ldiki, biz tomonidan soyalangan rasmning maydoni oyoqlarda qurilgan kvadratlarning yarmi va asl uchburchakning maydoni yig'indisiga teng. Boshqa tomondan, u gipotenuzada qurilgan kvadrat maydonining yarmiga, shuningdek, asl uchburchakning maydoniga teng. Isbotning oxirgi bosqichi o'quvchiga qoldiriladi.

Infinitesimal usuli bilan isbotlash

Differensial tenglamalar yordamida quyidagi dalil ko'pincha 20-asrning birinchi yarmida yashagan mashhur ingliz matematigi Hardiga tegishli.

Rasmda ko'rsatilgan chizmani hisobga olgan holda va yon tomonning o'zgarishini kuzatish a, cheksiz kichik tomonlar o'sishi uchun quyidagi munosabatni yozishimiz mumkin dan Va a(shunga o'xshash uchburchaklar yordamida):

Infinitesimal usuli bilan isbotlash

O'zgaruvchilarni ajratish usulidan foydalanib, biz topamiz

Ikkala oyoqning o'sishida gipotenuzani o'zgartirishning umumiy ifodasi

Ushbu tenglamani integrallash va dastlabki shartlardan foydalanib, biz hosil bo'lamiz

c 2 = a 2 + b 2 + doimiy.

Shunday qilib, biz kerakli javobga erishamiz

c 2 = a 2 + b 2 .

Yakuniy formuladagi kvadratik bog'liqlik uchburchak tomonlari va o'sishlar o'rtasidagi chiziqli proportsionallik tufayli paydo bo'lishini, yig'indisi esa turli oyoqlarning o'sishidan mustaqil hissalar tufayli paydo bo'lishini ko'rish oson.

Agar oyoqlardan biri o'sishni boshdan kechirmaydi deb hisoblasak, oddiyroq dalil olish mumkin (bu holda, oyoq). b). Keyin integratsiya doimiysi uchun biz olamiz

Variatsiyalar va umumlashtirishlar

• Agar oyoqlarda kvadratlar o'rniga boshqa shunga o'xshash raqamlar qurilgan bo'lsa, Pifagor teoremasining quyidagi umumlashtirilishi to'g'ri bo'ladi: To'g'ri burchakli uchburchakda oyoqlarda qurilgan o'xshash figuralarning maydonlarining yig'indisi gipotenuzada qurilgan figuraning maydoniga teng. Ayniqsa:
  • Oyoqlarda qurilgan muntazam uchburchaklar maydonlarining yig'indisi gipotenuzada qurilgan muntazam uchburchakning maydoniga teng.
  • Oyoqlarda qurilgan yarim doira maydonlarining yig'indisi (diametri bo'yicha) gipotenuzada qurilgan yarim doira maydoniga teng. Bu misol ikki doira yoylari bilan chegaralangan va gippokrat lunula nomini olgan figuralarning xususiyatlarini isbotlash uchun ishlatiladi.

Tarix

Chu-pei miloddan avvalgi 500-200 yillar. Chap tomonda yozuv mavjud: balandlik va poydevor uzunliklarining kvadratlari yig'indisi gipotenuza uzunligining kvadratidir.

Qadimgi Xitoy kitobida Chu-pei 3, 4 va 5 tomonlari bo'lgan Pifagor uchburchagi haqida gapiradi: Xuddi shu kitobda Basxara hindu geometriyasining chizmalaridan biriga to'g'ri keladigan chizma taklif qilingan.

Kantor (eng yirik nemis matematika tarixchisi) 3 ² + 4 ² = 5² tengligi miloddan avvalgi 2300 yillarda misrliklarga ma'lum bo'lgan deb hisoblaydi. e., qirol Amenemhet I davrida (Berlin muzeyining 6619-papirusiga ko'ra). Kantorning so'zlariga ko'ra, xarpedonaptlar yoki "stringerlar" tomonlari 3, 4 va 5 bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchaklar yordamida to'g'ri burchaklarni qurdilar.

Ularning qurilish usulini takrorlash juda oson. 12 m uzunlikdagi arqonni oling va uni 3 m masofada rangli chiziq bo'ylab bog'lang. bir chetidan, ikkinchisidan 4 metr. 3 va 4 metr uzunlikdagi tomonlar o'rtasida to'g'ri burchak o'rnatiladi. Harpedonaptlarga, masalan, barcha duradgorlar ishlatadigan yog'och kvadratdan foydalanilsa, ularning qurilish usuli ortiqcha bo'lib qoladi, deb e'tiroz bildirish mumkin. Darhaqiqat, Misr rasmlari ma'lum, unda bunday asbob topilgan, masalan, duradgorlik ustaxonasi tasvirlangan chizmalar.

Bobilliklar orasida Pifagor teoremasi haqida biroz ko'proq ma'lum. Hammurapi davriga, ya'ni miloddan avvalgi 2000 yilgacha bo'lgan bir matnda. e., to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasining taxminiy hisobi berilgan. Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, Mesopotamiyada ular hech bo'lmaganda ba'zi hollarda to'g'ri burchakli uchburchaklar bilan hisob-kitoblarni amalga oshirishga muvaffaq bo'lishgan. Bir tomondan, Misr va Bobil matematikasi haqidagi hozirgi bilim darajasi, ikkinchi tomondan, yunon manbalarini tanqidiy o'rganish asosida Van der Vaerden (gollandiyalik matematik) quyidagi xulosaga keldi:

Adabiyot

Rus tilida

• Skopets Z.A. Geometrik miniatyuralar. M., 1990 yil
• Yelenskiy Sh. Pifagorning izidan borish. M., 1961 yil
• Van der Vaerden B. L. Uyg'onish ilmi. Qadimgi Misr, Bobil va Gretsiya matematikasi. M., 1959 yil
• Glazer G.I. Maktabda matematika tarixi. M., 1982 yil
• V. Litsman, "Pifagor teoremasi" M., 1960 y.
  • Ko'p sonli dalillarga ega Pifagor teoremasi haqidagi sayt, material V. Litzmanning kitobidan olingan, ko'plab chizmalar alohida grafik fayllar sifatida taqdim etilgan.
• D. V. Anosovning "Matematikaga qarash va undan biror narsa" kitobidan Pifagor teoremasi va Pifagor uchlik bobi
• Pifagor teoremasi va uni isbotlash usullari haqida G. Glazer, Rossiya taʼlim akademiyasi akademigi, Moskva.

Inzgliz tilida

• WolframMathWorld da Pifagor teoremasi
• Cut-The-Knot, Pifagor teoremasi bo'limi, 70 ga yaqin dalillar va keng qamrovli qo'shimcha ma'lumotlar (ing.)

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Kirish

Pifagor nomini uning teoremasi bilan bog'lamagan odamni topish qiyin. Ehtimol, hatto hayotlarida matematika bilan xayrlashganlar ham "Pifagor shimlari" - oyoqlaridagi ikkita kvadratga teng bo'lgan gipotenuzdagi kvadrat haqidagi xotiralarni abadiy saqlab qolishadi.

Uchlik haqidagi Pifagor teoremasining mashhurligi sababi: u

soddalik - go'zallik - ahamiyatlilik. Haqiqatan ham, Pifagor teoremasi oddiy, ammo aniq emas. Bu ikki qarama-qarshilikning kombinatsiyasi

unga o'ziga xos jozibador kuch bera boshladi, uni chiroyli qiladi.

Bundan tashqari, Pifagor teoremasi katta ahamiyatga ega: u geometriyada har qadamda tom ma'noda qo'llaniladi va bu teoremaning 500 ga yaqin turli xil dalillari (geometrik, algebraik, mexanik va boshqalar) mavjudligi uning juda ko'p sonini ko'rsatadi. maxsus ilovalar ..

Zamonaviy darsliklarda teorema quyidagicha tuzilgan: "To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng".

Pifagor davrida shunday yangradi: "To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga qurilgan kvadrat oyoqlarda qurilgan kvadratlar yig'indisiga teng ekanligini isbotlang" yoki "Gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoni" To'g'ri burchakli uchburchakning uzunligi uning oyoqlarida qurilgan kvadratlarning maydonlarining yig'indisiga tengdir.

Maqsad va vazifalar

Bu ishning asosiy maqsadi ko'rsatish ediko'pchilikning fan va texnika taraqqiyotida Pifagor teoremasining ahamiyatidunyo mamlakatlari va xalqlari, shuningdek, eng oddiy va qiziqarliteorema mazmunini o‘rgatish shakli.

Ushbu ishda qo'llaniladigan asosiy usulbu ma'lumotlarni tartibga solish va qayta ishlash usuli.

O'ziga jalb etuvchi axborot texnologiyalari, diversifikatsiyalanganzili materiali turli rang-barang rasmlar.

"OLTIN OYATLAR" PİFAGOR

Soʻzingda ham, ishingda ham adolatli boʻl... Pifagor (miloddan avvalgi 570-500-yillar).

Qadimgi yunon faylasufi va matematikiuning kosmik uyg'unlik haqidagi ta'limoti bilan buralgan varuhlarning ko'chishi. An'ana Pifagorga uning nomi bilan atalgan teoremani isbotlaydi. Ko'pPlatonning ta'limoti Pifagor va uning izdoshlariga borib taqaladi buzoqlar.

Mnesarxning o'g'li Samoslik Pifagor haqida yozma hujjatlar yo'q va keyingi guvohliklarga ko'ra, uning hayoti va yutuqlarining haqiqiy suratini tiklash qiyin.(Elektron ensiklopediya:YulduzDunyo) Ma'lumki, Pifagor o'zining tug'ilgan Samos orolini Egey dengizida tark etganhukmdorning zulmiga qarshi norozilik sifatida Kichik Osiyo gubernatori va allaqachon etukyoshi (afsonaga ko'ra 40 yoshda) Italiyaning janubidagi Yunonistonning Crotone shahrida paydo bo'lgan. Pifagor va uning izdoshlari - pifagorchilar - Italiyadagi yunon koloniyalari hayotida muhim rol o'ynagan yashirin ittifoq tuzdilar.lii. Pifagorchilar bir-birlarini yulduz beshburchak - pentagram orqali tanidilar. Ammo Pifagor Metapontga nafaqaga chiqishi kerak edi, u erda u vavafot etdi. Keyinchalik, ikkinchi yarmidaVMiloddan avvalgi e., uning buyrug'i mag'lub bo'ldi.

Pifagor ta'limotiga falsafa va din katta ta'sir ko'rsatdi.Sharq gia. U Sharq mamlakatlarida ko'p sayohat qildi: u ediMisr va Bobil. U erda Pifagor sharq matematigi bilan ham uchrashgan. teak.

Pifagorchilar raqamli naqshlarda yashiringan sir borligiga ishonishgan.dunyoda. Raqamlar dunyosi Pifagoriyaliklar uchun alohida hayot kechirgan, raqamlar ham bor edihayotdagi o'ziga xos maqsad. Ularning bo'luvchilari yig'indisiga teng sonlar mukammal deb qabul qilingan (6, 28, 496, 8128); do'stonahar biri ikkinchisining bo'luvchilari yig'indisiga teng bo'lgan juft sonlar deb ataladigogo (masalan, 220 va 284). Pifagor birinchi bo'lib sonlarni juft va juftlarga ajratgantoq, tub va qo`shma, ko`chma son tushunchasini kiritdi. Uning ichidamaktabda, natural sonlarning Pifagor uchliklari batafsil ko'rib chiqildi, bunda birining kvadrati qolgan ikkitasining kvadratlari yig'indisiga teng edi (Fermatning oxirgi teoremasi).

Pifagor: "Hamma narsa raqamdir" degan so'z bilan mashhur. Raqamlarga(va u faqat natural sonlarni nazarda tutgan) butun dunyoni birlashtirmoqchi edi vaayniqsa matematika. Ammo Pifagor maktabining o'zida bu uyg'unlikni buzgan kashfiyot qilingan. 2 ning kvadrat ildizi emasligi isbotlanganratsional son, ya’ni natural sonlar bilan ifodalanmaydi raqamlar.

Tabiiyki, Pifagorning geometriyasi arifmetikaga bo'ysungan.Bu uning nomi bilan atalgan va keyinchalik aylangan teoremada aniq namoyon bo'ldiariza berish asosi raqamli usullar geometriya. (Keyinchalik Evklid yana geometriyani birinchi oʻringa olib, unga algebrani boʻysundirdi.) Koʻrinishidan, pifagorchilar toʻgʻri qattiq jismlarni: tetraedr, kub va dodekaedrni bilishgan.

Pifagor geometriyaga dalillarni muntazam ravishda kiritish, to'g'ri chiziqli figuralarning planimetriyasini yaratish, ostidagi ta'limot bilan bog'liq. bii.

Pifagor nomi arifmetik, geometrik va garmonik nisbatlar haqidagi ta'limot bilan bog'liq.

Shuni ta'kidlash kerakki, Pifagor Yerni harakatlanuvchi to'p deb hisoblaganquyosh atrofida. Qachon kirganXVIasrda cherkov qattiq ta'qib qilina boshladiKopernik ta'limotiga ko'ra, bu ta'limot o'jarlik bilan Pifagorchi deb nomlangan.(Yosh matematikning entsiklopedik lug'ati: E-68. A.P. Savin.- M.: Pedagogika, 1989, b. 28.)

Ba'zi asosiy tushunchalar, shubhasiz, tegishliPifagorning o'ziga. Birinchisi- kosmosni matematika sifatida tushunishtartibli bir butun. Pifagor uning oldiga asosiy garmonik intervallarni, ya'ni oktava, mukammal beshinchi va mukammal to'rtinchi tebranish torlarining uzunligi bir-biriga bog'langanda paydo bo'lishini aniqlagandan keyin keldi. 2:1, 3:2 va 4:3 (afsonada aytilishicha, kashfiyot qachon qilinganPifagorlar temirxona yonidan o'tdi: turli og'irlikdagi anvillarta'sir paytida tovushlarning mos nisbatlarini keltirib chiqardi). UsmotMusiqadagi tartiblilik, o'zi kashf etgan munosabatlar bilan ifodalangan moddiy olamning tartibliligi o'rtasidagi o'xshatish, Pifagor.matematik munosabatlarga kirib boradi, degan xulosaga keldibutun makon. Pifagorning matematik kashfiyotlarini spekulyativ fizik konstruktsiyalarda qo'llashga urinish qiziquvchan fikrlarga olib keldi.natijalar. Shunday qilib, har bir sayyora o'z inqilobi paytida deb taxmin qilinganer atrofida toza yuqori havo yoki "efir" orqali o'tib, chiqaradima'lum bir ohangning ohangi. Ovoz balandligiga qarab o'zgaradisayyoraning harakati, tezligi Yergacha bo'lgan masofaga bog'liq. Olxo'riShunday qilib, samoviy tovushlar "sferalar uyg'unligi" yoki "sferalar musiqasi" deb ataladigan narsalarni hosil qiladi, ularga murojaatlar Evropa adabiyotida kam uchraydi.

Ilk pifagorchilar er tekis va markazda ekanligiga ishonishganbo'sh joy. Keyinchalik ular Yerning sharsimon shaklga ega ekanligiga va boshqa sayyoralar (ular quyoshni ham o'z ichiga olgan) bilan birga shakllanishga ishonishni boshladilar.kosmosning markazi, ya'ni "o'choq" atrofida aylanadi.

Pifagor antik davrda voiz sifatida tanilgansiyrak turmush tarzi. Uning ta'limotida asosiy g'oya edireenkarnasyon (ruhlarning ko'chishi) kontseptsiyasi, bu, albatta, ruhning tananing o'limidan omon qolish qobiliyatini va shuning uchun uning o'lmasligini nazarda tutadi. Yangi mujassamlanishda ruh hayvon tanasiga o'tishi mumkinligi sababli, Pifagor hayvonlarni o'ldirishga, ularning go'shtini eyishga qarshi edi va hatto hayvonlarni so'ygan yoki tana go'shtini so'yganlar bilan muomala qilmaslik kerakligini e'lon qildi. Pifagorning diniy qarashlarida bo'lgan Empedoklning asarlaridan xulosa qilish mumkinki, qon to'kish bu erda asl gunoh deb hisoblangan, buning uchun ruh o'lik dunyoga haydalgan, u erda sarson bo'lib, bir joyda qamoqqa olinadi. yoki boshqa tana. Ruh ozodlikka intiladi, lekin johillik tufayli u har doim gunohkor ishni takrorlaydi.

Ruhni cheksiz reenkarnasyonlar seriyasidan qutqarish mumkintozalash. Eng oddiy tozalash - ba'zi narsalarni kuzatishtaqiqlar (masalan, mastlik yoki ichishdan saqlanish).loviya yeyish) va xulq-atvor qoidalari (masalan, oqsoqollarni hurmat qilish, qonunga bo'ysunmaslik va g'azablanmaslik).

Pifagorchilar do'stlikni juda qadrlashgan va ularning tushunchalariga ko'ra, do'stlarning barcha mulki umumiy bo'lishi kerak. Tanlangan bir nechta odamlarga poklanishning eng yuqori shakli - falsafa, ya'ni donolikka bo'lgan muhabbat va shuning uchun unga intilish taklif qilindi (bu so'z, Tsitseronning so'zlariga ko'ra, birinchi marta Pifagor tomonidan ishlatilgan, u o'zini donishmand emas, balki oshiq deb atagan. donolik). Bu vositalar orqali ruh fazoviy tartib tamoyillari bilan aloqaga kiradi va ular bilan uyg'unlashadi, u tanaga bog'liqlikdan, qonunsiz va tartibsiz istaklardan xalos bo'ladi. Matematika ulardan biridir tarkibiy qismlar dinlarXudo raqamni dunyoning asosiga qo'yganligini o'rgatgan Pifagorchilarbuyurtma.

Birinchi yarmida Pifagor birodarligining ta'siriVichida. Miloddan avvalgi e. emasvaqti-vaqti bilan ortdi. Ammo uning hokimiyatni "eng yaxshilarga" berish istagi Italiyaning janubidagi yunon shaharlarida demokratik kayfiyatning kuchayishi bilan va miloddan avvalgi 450 yildan keyin to'qnash keldi. e. Krotonda sodir bo'ldipifagorchilarga qarshi qoʻzgʻolon koʻtarilib, birodarlik aʼzolarining hammasi boʻlmasa ham, qotillik va surgunga olib keldi. Biroq, hatto ichidaIVichida. Miloddan avvalgi e. pifagoreylar janubiy Italiyada ta'sirga ega bo'lgan va Aflotunning do'sti Arxitas yashagan Tarentumda u uzoqroq davom etgan. Biroq, falsafa tarixi uchun Yunonistonning o'zida Pifagor markazlarining yaratilishi muhimroq edi.masalan, Thebesda, ikkinchi yarmidaVichida. Miloddan avvalgi e. Shuning uchun Pifagorchig'oyalar Afinaga kirib bordi, bu erda Platonik dialogga ko'raFedonular Sokrat tomonidan assimilyatsiya qilindi va keng mafkuraviy harakatga aylandi,Platon va uning shogirdi Aristotel tomonidan boshlangan.

Keyingi asrlarda Pifagorning o'zi qurshab olingan
ko'plab afsonalar: u reenkarnatsiya qilingan xudo Apollon hisoblangan,
u oltin songa ega va dars berishga qodir ekanligiga ishongan
bir vaqtning o'zida ikkita joyda. Ilk nasroniy cherkovi otalarining javobi
Pifagorning Muso va Aflotun o'rtasida hurmatli joyi bormi. Shuningdek, ichidaXVIichida[
Pifagorning obro'siga nafaqat fan masalalarida tez-tez murojaat qilingan |.:
balki sehr ham.(Elektron ensiklopediya:YulduzDunyo.).

Afsonaning orqasida haqiqat bor

Pifagor teoremasining kashfiyoti go'zal afsonalar bilan o'ralganProklus, oxirgi jumlani sharhlaydiIEvklidning "Boshlanishlari" kitobi,deb yozadi: “Agar siz qadimgi afsonalarni takrorlashni yaxshi ko'radiganlarga quloq solsangiz, undashuni aytish kerakki, bu teorema Pifagorga borib taqaladi; ayting,buning sharafiga bir buqani qurbon qilgani. Bu afsona mustahkam ildiz otganPifagor teoremasi bilan va 2000 yildan keyin issiq sabab davom etdi bosish. Shunday qilib, optimist Mixailo Lomonosov shunday deb yozgan edi: "Pifagor bitta geometrik ixtiro uchun.Zevs hukmronligi davrida u yuzta ho'kizni qurbon qildi.Ammo hozirgi zamonda topilganlar uchununing xurofotlari tomonidan boshqariladigan aqlli matematiklarharakat qilish uchun rashk, keyin zo'rg'abutun dunyoda juda ko'p bo'lar ediqoramollar topilgan.

Ammo istehzoli Geynrix Geyne xuddi shu vaziyatning rivojlanishini biroz boshqacha tarzda ko'rdi. : « Kim biladi ! Kim biladi ! Balki , Pif Gorning ruhi kambag'al nomzodga ko'chdi , Pifagor teoremasini isbotlay olmagan va muvaffaqiyatsizlikka uchragan - Buning uchun imtihonlarda , uning imtihonchilari esa o'sha ho'kizlarning ruhlari bilan yashaydi , qaysi Pifagor , teoremasining kashf etilishidan xursand bo'ldi , o'lmas xudolarga qurbonlik qilingan ».

Teoremaning ochilish tarixi

Odatda Pifagor teoremasining kashfiyoti qadimgi yunon faylasufi va matematigi Pifagorga tegishli (VIichida. Miloddan avvalgi e.). Ammo Bobil mixxatlari jadvallarini va qadimgi Xitoy qo'lyozmalarini (bundan ham qadimiy qo'lyozmalarning nusxalari) o'rganish shuni ko'rsatdiki, bu bayonot Pifagordan ancha oldin, ehtimol undan ming yillar oldin ma'lum bo'lgan. Pifagorning xizmati shundaki, u bu teoremaning isbotini topdi.

Keling, tarixiy sharhimizni qadimgi Xitoydan boshlaylik. Bu erda maxsusMania Chu-pei matematik kitobini o'ziga tortadi. Ushbu inshoda tomonlari 3, 4 va 5 bo'lgan Pifagor uchburchagi haqida aytilgan:"Agar to'g'ri burchak uning tarkibiy qismlariga ajralsa, u holda uning tomonlari uchlarini bog'laydigan chiziq asosi 3 va balandligi 4 bo'lganda 5 ga teng bo'ladi."

Xuddi shu kitobda Basharaning hind geometriyasi chizmalaridan biriga to'g'ri keladigan chizma taklif qilingan.

Shuningdek, Pifagor teoremasi qadimgi Xitoyning "Chjou - Bi Suan Jin" ("Matematik traktat") risolasida kashf etilgan.gnomon haqida"), uning yaratilish vaqti aniq ma'lum emas, lekin qaerda aytilganXVichida. Miloddan avvalgi e. xitoyliklar Misr uchburchagining xususiyatlarini bilishgan va ichidaXVIichida. Miloddan avvalgi e. - va teoremaning umumiy shakli.

Kantor (eng buyuk nemis matematika tarixchisi) tenglik 3 deb hisoblaydi 2 + 4 2 = 5 2 Miloddan avvalgi 2300-yillarda misrliklarga ma'lum bo'lgan. e. Amenemhat hukmronligi davridaI(Berlin muzeyining 6619-papirusiga ko'ra).

Kantorning so'zlariga ko'ra, arpedonaptlar yoki "stringerlar" to'g'ri burchaklarni qurdilar

tomonlari bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchaklar yordami 3, 4 va 5.

Ularning usulini takrorlash juda osonqurilish. 12 m uzunlikdagi arqonni oling va uni uzoqdan rangli chiziq bo'ylab bog'langBir chetidan 3 m, ikkinchisidan 4 m. To'g'ri burchak3 va 4 m uzunlikdagi tomonlari orasiga o'ralgan bo'ladi.Garpedonaptlarga, masalan, barcha duradgorlar ishlatadigan yog'och kvadratdan foydalanilsa, ularning qurilish usuli ortiqcha bo'lib qolishi e'tiroz bildirilishi mumkin. Darhaqiqat, Misr rasmlari ma'lum, unda bunday asbob topilgan, masalan, duradgorlik ustaxonasi tasvirlangan chizmalar.Biroz ko'proq ma'lumBobilliklar orasida Pifagor teoremasi.Vaqt bilan bog'liq bir matndameni Hammurabi, ya'ni 2000 yilga kelibMiloddan avvalgi e., gipotenuzaning taxminiy hisobi to'g'ridan-to'g'ri berilganburchakli uchburchak. Bu yerdanDvurada degan xulosaga kelish mumkinkim hisob-kitob qila oladito'g'ri uchburchaklar bilanbiz, hech bo'lmaganda ba'zilaridaholatlar. Biriga asoslanganpartiyalar, hozirgi darajadaMisr va Bobil tillarini bilishmatematika, boshqa tomondan - kritidayunon manbalarini shaxmat o'rganish, Van der Waerden (Gollandmatematik) quyidagi xulosaga keldi:

"Birinchi yunon matematiklarining xizmatlari, masalan, Thales, Pifagor va Pifagorchilar, matematikaning kashfiyoti emas, balki uning kashfiyotidir tizimlashtirish va asoslash. Ularning qo'llarida hisoblash retseptlari mavjud noaniq g'oyalarga asoslanib, aniqlikka aylandingiz fan."

Hindlarning geometriyasi, xuddi misrliklar va bobilliklar kabi, yaqin edikult bilan bog'liq. Hipo-kvadrat teoremasi katta ehtimolga egatenuse Hindistonda taxminan ma'lum bo'lganXVIIIasrlar oldin va e., shuningdekqadimgi hind geometriyasida ham ma'lum bo'lganteologik risolaVII- Vasrlar Miloddan avvalgi e. "Sulva Sutra" ("Qoidalararqonlar").

Ammo bu dalillarga qaramay, Pifagorning nomi shundayPifagor teoremasi bilan mustahkam birlashtirilgan, bu endi imkonsizdirbu iboraning parchalanishini tasavvur qilish mumkin. Xuddi shu danPifagor buqalarining sehri haqidagi afsonaga ham kiyiladi. Ha, va deyarlitarixiy va matematik skalpel bilan parchalanishi kerakkulrang qadimiy afsonalar.

Teoremani isbotlash usullari

O'rta asr talabalari Pifagor teoremasining isbotijuda qiyin deb hisobladi va uni chaqirdidons asinorum - eshak ko'prigi yokielefuga - jiddiy matematik tayyorgarligi bo'lmagan ba'zi "bechora" talabalar yugurganidek, "bechoralarning" parvozigeometriyadan bo'lsin. Teoremalarni yod olgan zaif talabalartushunmasdan va shuning uchun "eshaklar" laqabini olganlar, qila olmadilarularga xizmat qilganday tuyulgan Pifagor teoremasini yengish uchuno'tish mumkin bo'lgan ko'prik. Teorema bilan birga chizmalar tufayliPifagor, talabalar uni "shamol tegirmoni" deb ham atashgan,kabi she'rlar qo'yish "Pifagor shimi har tomondan teng", karikaturalar chizdi.

lekin). Eng oddiy dalil

Ehtimol, Pifagor teoremasida aytilgan haqiqat tush ediChala teng yonli to'rtburchaklar uchun o'rnatiladi. Faqat qora va engil uchburchaklar mozaikasiga qarang,uchburchak uchun teoremaning haqiqiyligini tekshirishka ABC : gipotenuzada qurilgan kvadrat to'rtta uchburchakni o'z ichiga oladi va har bir oyoqda o'z ichiga olgan kvadrat qurilganikkita uchburchak (1, 2-rasm).

Raqamlarning teng maydoni tushunchasidan foydalanishga asoslangan dalillar.

Shu bilan birga, to'rtburchak bo'lgan dalillarni ko'rib chiqish mumkinberilgan to'rtburchaklar uchburchakning gipotenuzasiga qurilgan kalamushkvadrat, oyoqlarda qurilgan kvadratchalar bilan bir xil raqamlardan "tarkib". Bunday dalillarni ham ko'rib chiqish mumkinva, unda raqamlarning shartlarini almashtirish vaqator yangi g‘oyalar inobatga olindi.

Shaklda. 3 ikkita teng kvadratni ko'rsatadi. Har bir tomon uzunligiuzun kvadrat ga tenga + b. Kvadratlarning har biri qismlarga bo'lingan,kvadrat va to'g'ri burchakli uchburchaklardan iborat. Agar kvadratning maydonidan oyoqlari bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning to'rt karrali maydonini ayirsak, aniq.a, b, keyin ular teng bo'lib qoladilar rahm-shafqat qiling, ya'ni. dan 2 = a 2 + b 2 . Biroq, tegishli bo'lgan qadimgi hindularbu mulohaza yolg'on, odatda ular buni yozmagan, balki hamroh qilganfaqat bitta so'z bilan chizish: "Qarang!". Bu shunday bo'lishi mumkinPifagor ham ba'zi dalillar keltirdi.

b). Kengaytma usuli bo'yicha dalillar.

Ushbu usulning mohiyati shundan iboratki, kvadratchalarga, qurilganoyoqlarda va gipotenuzada qurilgan kvadratga, bilanteng raqamlarni teng bo'ladigan tarzda bog'langyangi raqamlar.

Shaklda. 4-rasmda oddiy Pifago tasvirlanganRova shakli to'g'ri burchakli uchburchakABCyon tomonlarida kvadratchalar qurilgan. Ushbu raqamga uchtasi biriktirilgangons 1 va 2, asl tekisga tengburchakli uchburchak.

Pifagor teoremasining to'g'riligi oltiburchaklarning teng o'lchamidan kelib chiqadiAEDFPB Va ACBNMQ. Bu erda to'g'ridan-to'g'ri ep deyondirilgan olti burchakliAEDFPBikkita teng to'rtburchakka, CM chizig'i olti burchakni ajratadiACBNMQikkita teng to'rtburchak; tekislikning markaz atrofida 90° ga aylanishi A to'rtburchak AERBni to'rtburchakka ko'rsatadi.ACMQ.

(Bu dalil birinchi marta Leonard tomonidan berilgan da Vinchiga.)

Pifagor figurasi tugallanditomonlari parallel boʻlgan toʻrtburchakkakvadratning mos keladigan tomonlariga mos keladiO'rtoq, oyoqlarga qurilgan. Keling, bu to'rtburchakni uchburchaklarga va to'g'ridan-to'g'ri ajratamizkvadratlar. Olingan to'rtburchakdanbirinchidan, barcha ko'pburchaklar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ni ayirib, gipotenuzada qurilgan kvadrat qoldiramiz. Keyin xuddi shu to'rtburchakdan biz 5, 6, 7 to'rtburchaklarni olib tashlaymiz va to'g'ridan-to'g'ri soya qilamizkvadratchalar, biz oyoqlarda qurilgan kvadratlarni olamiz.

Keling, birinchi holatda ayirib tashlangan raqamlarni isbotlaylikikkinchi holatda ayirib tashlangan raqamlarga teng.

Bu dalilni ko'rsatadiNosir-ed-Din (1594) tomonidan keltirilgan. Bu yerda: PL- to'g'ri chiziq;

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO= SVMR = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO= 2 bilan;

bu yerdan 2 = bilan a 2 + b 2 .

Guruch. 7 dalilni ko'rsatadi,Xoffman tomonidan keltirilgan (1821). Bu yerdaPifagor figurasi shunday qurilgankvadratlar to'g'ri chiziqning bir tomonida yotadiAB. Bu yerda:

OCLP = ACLF = ACED = b 2 ;

CBML=CBNQ= lekin 2 ;

OVMR =ABMF= dan 2 ;

OVMR = OCLP + CBML;

Demak, c 2 = a 2 + b.

Bu yana bir narsani ko'rsatadiasl dalil taqdim etiladiHoffmann. Bu erda: uchburchakABC ip bilan mening burchagim C; Bo'limbfperpendikulyarSW va unga teng, segmentBO'LINGperpendikulyarAB va unga teng, segmentAD perpendikulyar ren AC va unga teng; ballF, FROM, D egalik qiladi bitta to'g'ri chiziqni yig'ish; to'rtburchaklarADFBva ACBE teng, chunkiABF= ERU; uchburchaklarADF Va ACE teng;

ikkala teng to'rtburchakdan ayirishNiklarda ular uchun umumiy uchburchak mavjudABC, biz ½ olamiz a* a + ½ b* b – ½ c* c

ichida). Algebraik isbotlash usuli.

Rasmda buyuk hind matematigi Bxaskari (mashhur muallif Li-lavati,XIIin.). Chizma faqat bitta so'z bilan birga edi: QARA! Pifagor teoremasining algebraik usul bo'yicha isbotlari orasida birinchi o'rin (ehtimol eng qadimgi)ostidan foydalanib dalilni qabul qiladi ari.

Tarixchilar Bxaskara deb hisoblashadi 2 bilan sting kvadrat kvadrat ustiga qurilgangipotenuza to'rtta uchburchak maydonlarining yig'indisi sifatida 4(ab/2) va tomoni oyoqlar farqiga teng bo'lgan kvadrat maydoni.

Biz zamonaviy taqdimotda ana shunday isbotlardan birini taqdim etamiz.Pifagorga tegishli dalillar.

I "

Shaklda. 10 ABC - to'rtburchaklar, C - to'g'ri burchak ( SML AB) b - oyoq proyeksiyasi b gipotenuzaga lekin - oyoq proyeksiyasilekin gipotenuzaga h - chizilgan uchburchakning balandligi gipotenuza. ABC ning ACM ga o'xshashligidan kelib chiqadib 2 = cb; (1) ABC ning BCM ga o'xshashligi shundan kelib chiqadi 2 = SA (2) Tengliklarni (1) va (2) hadlar bo'yicha qo'shib, biz a hosil qilamiz 2 + b 2 = cb + taxminan = = c (b + a) = c 2 .

Agar Pifagor haqiqatan ham shunday dalil keltirgan bo'lsa,keyin u bir qator muhim geometrik teoremalar bilan ham tanish edi,Zamonaviy matematika tarixchilari odatda bunga bog'lashadi Evklid.

Mohlning isboti manna. Dan hududi to'g'ri uchburchaknika, bir tomondan, ga teng 0,5 a* b, boshqa tomondan 0,5* p*r, qayerda p - uchburchakning yarim perimetrir - unda yozilganlarning radiusi taxminan.yumaloqlik (r \u003d 0,5- (a + b - c)).Bizda: 0,5 * a * b - 0,5 * p * g - 0,5 (a + b + c) * 0,5- (a + b - c), qayerdan shundan kelib chiqadiki, c 2 = a 2 + b 2 .

d) Garfildning isboti.

12-rasmda uchta ip ko'rsatilganmoangular uchburchaklar trapetsiyani tashkil qiladi. Shunung uchun.bu raqamning maydoni mumkin.\ maydon formulasi bo'yicha topingto'rtburchaklar trapezoid,yoki maydonlar yig'indisi sifatidauchta uchburchak. Bo'lakdaBunday holda, bu hudud0,5 ga (a + c) (a + c), ikkinchisida rom - 0,5* a* b+ 0,5*a* b+ 0,5*s 2

Bu ifodalarni tenglashtirib, Pifagor teoremasini olamiz.

Pifagor teoremasining ko'plab dalillari mavjud,nyh tasvirlangan usullarning har biri sifatida va kombinatsiya yordamidaturli usullar. Turli doklarning misollarini ko'rib chiqishni yakunlashzation uchun biz ko'proq tasvirlangan raqamlarni taqdim etamizbov, unga Evklidning "Boshlanishlari" da havolalar mavjud (13 - 20-rasm).Ushbu chizmalarda Pifagor figurasi qattiq chiziq sifatida tasvirlanganunga va qo'shimcha konstruktsiyalar - nuqta.

Yuqorida aytib o'tilganidek, qadimgi misrliklar 2000 yildan ortiqoldin tomonlari 3, 4, 5 boʻlgan uchburchakning xossalaridan toʻgʻri burchak qurish uchun amalda foydalanganlar, yaʼni aslida Pifagor teoremasiga teskari teoremadan foydalanganlar. Keling, uchburchaklar tengligi testiga asoslanib, ushbu teoremaning isbotini keltiramiz (ya'ni, maktabda juda erta kiritilishi mumkin bo'lgan).yangi amaliyot). Shunday qilib, uchburchakning tomonlari bo'lsinABC (21-rasm) bog'liq bo'lgan 2 = a 2 + b 2 . (3)

Keling, bu uchburchak to'g'ri burchakli uchburchak ekanligini isbotlaylik.

Keling, to'g'ri burchakli uchburchak quraylikA B C ikki oyoqda, ularning uzunliklari uzunliklarga tenglekin Va b bu uchburchakning oyoqlari. Tuzilgan uchburchakning gipotenuzasi uzunligi bo'lsin ustida c . Tuzilgan uchburchak to'g'ri burchakli bo'lgani uchun, teoga ko'raBizda Pifagorning xotirasi borc = a + b (4)

(3) va (4) munosabatlarini taqqoslab, biz buni olamizdan= yoki bilan c = c Shunday qilib, berilgan va qurilgan uchburchaklar tengdir, chunki ularning uchta teng tomoni bor. Burchak Cto'g'ri burchak, shuning uchun bu uchburchakning C burchagi ham to'g'ri.

qo'shimcha dalillar.

Bu dalillar oyoqlarda qurilgan kvadratlarni to'rtlik hosil qilish mumkin bo'lgan raqamlarga parchalanishiga asoslangan.gipotenuzaga qurilgan kalamush.

Eynshteynning isboti ( guruch. 23) parchalanishga asoslangangipotenuzada qurilgan kvadrat 8 ta uchburchak.

Bu yerda: ABC- to'rtburchaklar to'g'ri burchakli uchburchak C;COMN; SC MN; PO|| MN; EF|| MN.

O'zingiz isbotlanguchburchaklarning nee tengligi, yarimbo'yicha kvadratlarni bo'lishda hisoblanganoyoq va gipotenuzaga qurilgan.

b) Al-Nairiziya isboti asosida kvadratlarni juft-juft teng figuralarga navbatdagi parchalanishi ham amalga oshirildi (bu yerdaABC - to'g'ri burchakli uchburchak C).

Bundan tashqari, bu dalil "menteşeli" deb ataladi, chunkiBu erda dastlabki uchburchakka teng bo'lgan faqat ikkita qism o'z o'rnini o'zgartiradi va ular go'yo qolganlarga biriktirilgan.ular atrofida aylanadigan ilgaklardagi rasm (25-rasm).

c) Kvadratchalarni kengaytirish usuli bilan yana bir dalil"pichoqli g'ildirak" deb nomlangan teng qismlar ko'rsatilgan guruch. 26. Bu yerda: ABC - to'g'ri burchakli uchburchak parcha S, O - katta oyoqqa qurilgan kvadratning markazi; nuqtadan o'tuvchi nuqtali chiziqlarHAQIDA, perpendikulyar yokigipotenuzaga parallel.

Kvadratchalarning bu parchalanishi qiziq, chunki uning juftlikdagi teng to'rtburchaklari parallel tarjima orqali bir-biriga o'rnatilishi mumkin.

"Pifagor shimlari" (Evklidning isboti).

Ikki ming yil davomida,ixtiro qilingan dalilni o'zgartirdiUning ichiga joylashtirilgan Evklidmashhur "Boshlanishlar". Evklid asari kal balandlik VN to'g'ri burchakli uchburchakning tepasidan gipotenuzaga qadar va uning kengaytmasi gipotenuzaga qurilgan kvadratni maydonlari teng bo'lgan ikkita to'rtburchakka bo'lishini isbotladi.

oyoqlarda qurilgan mos keladigan kvadratlarning maydonlari. Evklidning isboti qadimgi xitoy yoki qadimgi hind bilan solishtirganda shunday ko'rinadihaddan tashqari murakkab. Shu sababdanuni ko'pincha "stilted" va "o'ylab topilgan" deb atashgan. Ammo bunday fikryuzaki. Teoremani isbotlashda foydalanilgan chizma hazil bilan “Pifagor shimi” deb ataladi. Davomidauzoq vaqt davomida matematika fanining ramzlaridan biri hisoblangan.

Qadimgi Xitoy dalillari.

Matematik risolalar Qadimgi Xitoy tahririyatida bizga keldiIIichida. Miloddan avvalgi e. Gap shundaki, miloddan avvalgi 213 yilda. e. xitoy imperatori

Shi Huang-di eski urf-odatlarni yo'q qilishga intilib, barcha qadimiy kitoblarni yoqib yuborishni buyurdi. InIIichida. Miloddan avvalgi e. qog'oz Xitoyda ixtiro qilingan va shu bilan birga qayta qurish boshlanadiqadimiy kitoblar. Shunday qilib, "To'qqiz kitobda matematika" bor edi -saqlanib qolgan matematik va astronomik kompozitsiyalarning eng muhimi ny.

"Matematika" ning 9-kitobida qora borteg, Pifagor teoremasini isbotlash.Bu dalilning kalitini topish qiyin emas (27-rasm).

Darhaqiqat, qadimgi Xitoydabir xil to'rtta teng to'rtburchaklar uchburchaklaroyoqlari bilan kvadrata, in va gipotenuza dan ularning tashqi kontur shunday hasrattomoni bo'lgan kvadratdira + b, va ichki gipotenuzada qurilgan tomoni c bo'lgan kvadrat (28-rasm).

Agar tomoni bo'lgan kvadrat bo'lsadan kesish va qolgan 4 ta soyali uchburchakikkita to'rtburchakga qo'ying, natijada bo'shliq, bir tomondan,

ga teng dan, va boshqa tomondan

a + b 2 , ya'ni dan 2 = a 2 + b

Teorema isbotlangan.

E'tibor bering, bu dalil bilan

Gipotenus ustidagi kvadrat ichidagi binolarbiz ko'rganlar
qadimgi Xitoy chizmasida dim sum ishlatilmaydi (30-rasm). Ko'rinishidan, qadimgi xitoy matematiklarida ilgari boshqa narsa bo'lgandalil, ya'ni: kvadrat bo'lsa
tomonidan ikkita soyali uchburchaknikni kesib oling va gipotenuslarni biriktiringikkita boshqa gipotenus, uni topish osonBuning natijasida shuni aniqlang ba'zan "kelinning kursisi" deb ataladi,tomonlari boʻlgan ikkita kvadratdan iboratlekin Vab, ya'ni bilan 2 = lekin 2 + b 2 .

Rasm takrorlanaditezh "Chjou-bi ..." risolasidan. Bu yerdauchun Pifagor teoremasi ko'rib chiqiladiOyoqli Misr uchburchagi3, 4 va gipotenuza 5 birlik.Gipotenuzadagi kvadrat 25 dan iboratkatakchalardan iborat bo'lib, unda kattaroq oyoqqa yozilgan kvadrat 16. Qolgan qismda 9 ta katak borligi aniq. Bu vakichikroq oyog'ida kvadrat bo'ladi.

Matematik Pifagorning buyuk kashfiyotlari o'z qo'llanilishini topdi turli vaqtlar va butun dunyo bo'ylab. Bu, ayniqsa, Pifagor teoremasi uchun to'g'ri keladi.

Masalan, Xitoyda Maxsus e'tibor Shu munosabat bilan Chu-peyning matematik kitobiga murojaat qilish kerak, unda 3, 4, 5 tomonlari bo'lgan mashhur Pifagor uchburchagi haqida shunday deyilgan: “Agar biz to'g'ri burchakni uning tarkibiy qismlariga ajratsak, u holda chiziqni bog'laydigan chiziq. uning barcha tomonlarining uchlari 5 bo'ladi, keyin poydevor sifatida 3 va balandligi 4" bo'ladi. Xuddi shu kitobda Basharaning hind geometriyasidagi chizmalardan biriga o'xshash chizma ko'rsatilgan.

Matematika tarixidagi taniqli nemis tadqiqotchisi Kantor Pifagor tengligi 3?+4?=5? Miloddan avvalgi 2300-yillarda Misrda ma'lum bo'lgan. e., qirol Amenemhat I davrida (Berlin muzeyining 6619-papirusiga ko'ra). Kantorning so'zlariga ko'ra, arpedonaptlar yoki "torli tortuvchilar" to'g'ri burchakli uchburchaklar yordamida to'g'ri burchaklarni qurdilar, ularning tomonlari - 3, 4, 5. Ularning qurilish usuli juda oson takrorlanadi. Agar siz 12 m uzunlikdagi arqon bo'lagini olsangiz, unga rangli chiziqlar bog'lang - biri bir uchidan uch metr, ikkinchisi ikkinchisidan 4 metr masofada, keyin ikki tomon o'rtasida to'g'ri burchak hosil bo'ladi - 3 va 4 metr. Harpedonaptlarga e'tiroz bildirish mumkinki, agar biz, masalan, barcha duradgorlar foydalanadigan yog'och uchburchakni olsak, bu qurilish usuli ortiqcha bo'ladi. Darhaqiqat, Misr chizmalari mavjud, masalan, duradgorlik ustaxonasi tasvirlangan, unda bunday asbob topilgan. Ammo shunga qaramay, haqiqat saqlanib qolmoqda va Pifagor uchburchagi qadimgi Misrda ishlatilgan.

Bobilliklar ishlatgan Pifagor teoremasi haqida ko'proq ma'lumot yo'q. Topilgan matnda Hammurapi davriga oid va bu miloddan avvalgi 2000 yil. e., to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasining taxminiy ta'rifi mavjud. Shuning uchun, bu Mesopotamiyada hech bo'lmaganda ba'zi hollarda to'g'ri burchakli uchburchaklarning tomonlari bilan hisob-kitoblar allaqachon amalga oshirilganligini tasdiqlaydi. Gollandiyalik matematik Van der Vaerden, bir tomondan, Bobil va Misr matematikasi haqidagi hozirgi bilim darajasidan foydalangan holda, ikkinchi tomondan, yunon manbalarini chuqur o'rganishga asoslanib, quyidagi xulosalarga keldi: “ birinchi yunon matematiklari: Fales, Pifagor va Pifagorchilar - matematikaning kashfiyoti emas, balki uni asoslash va tizimlashtirish. Ular noaniq fikrlarga asoslangan hisoblash retseptlarini aniq fanga aylantira oldilar.

Hindular orasida bobilliklar va misrliklar bilan bir qatorda geometriya kult bilan chambarchas bog'liq edi. Pifagor teoremasi Hindistonda miloddan avvalgi 18-asrda allaqachon ma'lum bo'lgan bo'lishi mumkin. e.

Go'yoki Evdemus tuzgan "Matematiklar ro'yxati"da Pifagor haqida shunday deyilgan: "Pifagor bilimning bu sohasini (geometriyani) haqiqiy fanga aylantirgan, uning asoslarini eng yuqori nuqtai nazardan tahlil qilgan va nazariyalarini o'rgangan. ko'proq aqliy va kamroq moddiy yo'l ".