Onlaynda eng kichik kvadratlar usuli yordamida chiziqli munosabatlarning parametrlarini toping. Chiziqli juftlik regressiya tahlili
Funksiyani 2-darajali ko‘phadga yaqinlashtiramiz. Buning uchun biz oddiy tenglamalar tizimining koeffitsientlarini hisoblaymiz:
, 
, 
Keling, oddiy eng kichik kvadratlar tizimini yaratamiz, u quyidagi shaklga ega:
Tizimning yechimini topish oson:, , .
Shunday qilib, 2-darajali ko'phad topiladi: .
Nazariy ma'lumotlar
Sahifaga qaytish<Введение в вычислительную математику. Примеры>
2-misol. Ko'phadning optimal darajasini topish.
Sahifaga qaytish<Введение в вычислительную математику. Примеры>
3-misol. Empirik bog`liqlik parametrlarini topish uchun normal tenglamalar sistemasini hosil qilish.
Koeffitsientlar va funksiyalarni aniqlash uchun tenglamalar tizimini chiqaramiz 
, bu berilgan funktsiyani nuqtalar bo'yicha ildiz o'rtacha kvadratiga yaqinlashtirishni amalga oshiradi. Keling, funktsiya tuzamiz 
va unga yozing zarur shart ekstremal:
Keyin oddiy tizim quyidagi shaklni oladi:
Biz noma'lum parametrlar uchun chiziqli tenglamalar tizimini oldik va bu oson echiladi.
Nazariy ma'lumotlar
Sahifaga qaytish<Введение в вычислительную математику. Примеры>
Misol.
O'zgaruvchilar qiymatlari bo'yicha eksperimental ma'lumotlar X Va da jadvalda keltirilgan. 
Ularning hizalanishi natijasida funktsiya olinadi 
Foydalanish eng kichik kvadrat usuli, bu ma'lumotlarni chiziqli bog'liqlik bilan yaqinlashtiring y=ax+b(parametrlarni toping A Va b). Ikki qatordan qaysi biri yaxshiroq (eng kichik kvadratlar usuli ma'nosida) tajriba ma'lumotlarini tekislashini aniqlang. Chizma qiling.
Eng kichik kvadratlar usulining (LSM) mohiyati.
Vazifa ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi bajariladigan chiziqli bog'liqlik koeffitsientlarini topishdir A Va b
eng kichik qiymatni oladi. Ya'ni, berilgan A Va b eksperimental ma'lumotlarning topilgan to'g'ri chiziqdan kvadrat og'ishlari yig'indisi eng kichik bo'ladi. Bu eng kichik kvadratlar usulining butun nuqtasidir.
Shunday qilib, misolni yechish ikkita o'zgaruvchining funksiyasining ekstremumini topishga to'g'ri keladi.
Koeffitsientlarni topish formulalarini chiqarish.
Ikki noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasi tuziladi va yechiladi. Funksiyaning qisman hosilalarini topish o'zgaruvchilar bo'yicha A Va b, bu hosilalarni nolga tenglashtiramiz. 
Olingan tenglamalar tizimini har qanday usul yordamida echamiz (masalan almashtirish usuli bilan yoki Kramer usuli) va eng kichik kvadratlar usuli (LSM) yordamida koeffitsientlarni topish formulalarini oling. 
Berilgan A Va b funktsiyasi eng kichik qiymatni oladi. Bu haqiqatning isboti quyida sahifa oxiridagi matnda keltirilgan.
Bu eng kichik kvadratlarning butun usuli. Parametrni topish uchun formula a, , , va parametrlarini o'z ichiga oladi n- eksperimental ma'lumotlarning miqdori. Ushbu miqdorlarning qiymatlarini alohida hisoblashni tavsiya etamiz.
Koeffitsient b hisoblashdan keyin topiladi a.
Asl misolni eslash vaqti keldi.
Yechim.
Bizning misolimizda n=5. Kerakli koeffitsientlar formulalariga kiritilgan miqdorlarni hisoblash qulayligi uchun jadvalni to'ldiramiz. 
Jadvalning to'rtinchi qatoridagi qiymatlar har bir raqam uchun 2-qatorning qiymatlarini 3-qatorning qiymatlariga ko'paytirish yo'li bilan olinadi. i.
Jadvalning beshinchi qatoridagi qiymatlar har bir raqam uchun 2-qatordagi qiymatlarni kvadratga solish orqali olinadi. i.
Jadvalning oxirgi ustunidagi qiymatlar qatorlar bo'ylab qiymatlarning yig'indisidir.
Koeffitsientlarni topish uchun eng kichik kvadratlar usuli formulalaridan foydalanamiz A Va b. Jadvalning oxirgi ustunidagi tegishli qiymatlarni ularga almashtiramiz: 
Demak, y = 0,165x+2,184— kerakli yaqinlashuvchi to‘g‘ri chiziq.
Chiziqlarning qaysi biri ekanligini aniqlash uchun qoladi y = 0,165x+2,184 yoki dastlabki ma'lumotlarni yaxshiroq yaqinlashtiradi, ya'ni eng kichik kvadratlar usulidan foydalangan holda baho beradi.
Eng kichik kvadratlar usulini xato baholash.
Buning uchun ushbu satrlardan dastlabki ma'lumotlarning kvadratik og'ishlari yig'indisini hisoblashingiz kerak 
Va 
, kichikroq qiymat eng kichik kvadratlar usuli ma'nosida asl ma'lumotlarni yaxshiroq yaqinlashtiradigan chiziqqa mos keladi. 
dan beri, keyin to'g'ri y = 0,165x+2,184 asl ma'lumotlarga yaxshiroq yaqinlashadi.
Eng kichik kvadratlar (LS) usulining grafik tasviri.
Grafiklarda hamma narsa aniq ko'rinadi. Qizil chiziq topilgan to'g'ri chiziqdir y = 0,165x+2,184, ko'k chiziq , pushti nuqtalar asl ma'lumotlardir.
Bu nima uchun kerak, nega bu barcha taxminlar?
Shaxsan men undan ma'lumotlarni tekislash, interpolyatsiya va ekstrapolyatsiya muammolarini hal qilish uchun foydalanaman (asl misolda ulardan kuzatilgan qiymatning qiymatini topish so'ralishi mumkin) y da x=3 yoki qachon x=6 eng kichik kvadratlar usuli yordamida). Ammo bu haqda keyinroq saytning boshqa bo'limida gaplashamiz.
Sahifaning yuqorisi
Isbot.
Shunday qilib, topilganda A Va b funktsiya eng kichik qiymatni oladi, bu nuqtada funktsiya uchun ikkinchi tartibli differensialning kvadrat shaklining matritsasi bo'lishi kerak. ijobiy aniqlangan edi. Keling, ko'rsataylik.
Ikkinchi tartibli differensial quyidagi shaklga ega: 
Ya'ni
Demak, kvadrat shaklning matritsasi shaklga ega 
va elementlarning qiymatlari bog'liq emas A Va b.
Keling, matritsa musbat aniq ekanligini ko'rsataylik. Buning uchun burchakli kichiklar ijobiy bo'lishi kerak.
Birinchi tartibli burchakli minor 
. Tengsizlik qat'iy, chunki nuqtalar bir-biriga to'g'ri kelmaydi. Quyida biz buni nazarda tutamiz.
Ikkinchi tartibli burchakli minor 
Keling, buni isbotlaylik 
Matematik induksiya usuli bilan.
Xulosa: topilgan qiymatlar A Va b funksiyaning eng kichik qiymatiga mos keladi , shuning uchun eng kichik kvadratlar usuli uchun kerakli parametrlardir.
Buni tushunishga vaqtingiz yo'qmi?
Yechimni buyurtma qiling
Sahifaning yuqorisi
Eng kichik kvadratlar usuli yordamida prognozni ishlab chiqish. Muammoni hal qilish misoli
Ekstrapolyatsiya usuli hisoblanadi ilmiy tadqiqot, bu o'tmishdagi va hozirgi tendentsiyalarni, naqshlarni, prognoz ob'ektining kelajakdagi rivojlanishi bilan bog'lanishlarni tarqatishga asoslangan. Ekstrapolyatsiya usullari kiradi harakatlanuvchi o'rtacha usuli, eksponensial tekislash usuli, eng kichik kvadratlar usuli.
Mohiyat eng kichik kvadratlar usuli kuzatilgan va hisoblangan qiymatlar orasidagi kvadrat og'ishlar yig'indisini minimallashtirishdan iborat. Hisoblangan qiymatlar tanlangan tenglama - regressiya tenglamasi yordamida topiladi. Haqiqiy qiymatlar va hisoblanganlar orasidagi masofa qanchalik kichik bo'lsa, regressiya tenglamasiga asoslangan prognoz shunchalik aniq bo'ladi.
O'rganilayotgan hodisaning mohiyatini nazariy tahlil qilish, uning o'zgarishi vaqt qatorida aks etadi, egri chiziqni tanlash uchun asos bo'lib xizmat qiladi. Ba'zan ketma-ketlik darajalarining o'sishining tabiati haqidagi fikrlar hisobga olinadi. Shunday qilib, agar mahsulotning o'sishi arifmetik progressiyada kutilsa, tekislash to'g'ri chiziqda amalga oshiriladi. Agar o'sish borligi aniqlansa geometrik progressiya, keyin tekislash eksponensial funktsiya yordamida amalga oshirilishi kerak.
Eng kichik kvadratlar usuli uchun ish formulasi : Y t+1 = a*X + b, bu erda t + 1 - prognoz davri; Ut+1 – bashorat qilingan indikator; a va b koeffitsientlar; X - ramzi vaqt.
a va b koeffitsientlarini hisoblash quyidagi formulalar yordamida amalga oshiriladi:
 |
 |
bu erda, Uf - dinamika seriyasining haqiqiy qiymatlari; n – vaqt seriyalari darajalari soni;
Vaqtinchalik qatorlarni eng kichik kvadratlar usuli yordamida tekislash o‘rganilayotgan hodisaning rivojlanish qonuniyatini aks ettirishga xizmat qiladi. Trendni analitik ifodalashda vaqt mustaqil o'zgaruvchi sifatida qaraladi va qator darajalari ushbu mustaqil o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida ishlaydi.
Hodisaning rivojlanishi boshlang'ich nuqtadan necha yil o'tganiga bog'liq emas, balki uning rivojlanishiga qanday omillar, qaysi yo'nalishda va qanday intensivlik bilan ta'sir qilganiga bog'liq. Bu erdan ko'rinib turibdiki, hodisaning vaqt o'tishi bilan rivojlanishi ushbu omillarning ta'siri natijasidir.
Egri chiziq turini, vaqtga analitik bog'liqlik turini to'g'ri aniqlash bashoratli tahlilning eng qiyin vazifalaridan biridir. .
Parametrlari eng kichik kvadratlar usuli bilan aniqlanadigan tendentsiyani tavsiflovchi funksiya turini tanlash ko'p hollarda empirik tarzda, bir qator funktsiyalarni qurish va ularni bir-biri bilan taqqoslash orqali amalga oshiriladi. formula bo'yicha hisoblangan o'rtacha kvadrat xato:
 |
bu erda UV dinamika seriyasining haqiqiy qiymatlari; Ur - dinamika seriyasining hisoblangan (tekislashtirilgan) qiymatlari; n – vaqt seriyalari darajalari soni; p - trendni tavsiflovchi formulalarda aniqlangan parametrlar soni (rivojlanish tendentsiyasi).
Eng kichik kvadratlar usulining kamchiliklari :
- o‘rganilayotgan iqtisodiy hodisani matematik tenglama yordamida tasvirlashga harakat qilganda, prognoz qisqa vaqt davomida aniq bo‘ladi va yangi ma’lumotlar paydo bo‘lishi bilan regressiya tenglamasini qayta hisoblash kerak;
- standart kompyuter dasturlari yordamida echiladigan regressiya tenglamasini tanlashning murakkabligi.
Prognozni ishlab chiqishda eng kichik kvadratlar usulidan foydalanishga misol
Vazifa . Mintaqada ishsizlik darajasini tavsiflovchi ma'lumotlar mavjud, %
- Noyabr, dekabr, yanvar oylari uchun mintaqadagi ishsizlik darajasi prognozini quyidagi usullardan foydalangan holda tuzing: harakatlanuvchi o'rtacha, eksponensial tekislash, eng kichik kvadratlar.
- Har bir usuldan foydalanib, olingan prognozlardagi xatolarni hisoblang.
- Natijalarni solishtiring va xulosa chiqaring.
Eng kichik kvadratlar yechimi
Buni hal qilish uchun biz ishlab chiqaradigan jadval tuzamiz zarur hisob-kitoblar:
e = 28,63/10 = 2,86% prognozning aniqligi yuqori.
Xulosa : Hisob-kitoblardan olingan natijalarni solishtirish harakatlanuvchi o'rtacha usuli , eksponensial tekislash usuli va eng kichik kvadratlar usuli, biz eksponensial tekislash usuli yordamida hisoblashda o'rtacha nisbiy xatolik 20-50% oralig'iga to'g'ri keladi, deb aytishimiz mumkin. Bu shuni anglatadiki, bu holda prognozning to'g'riligi faqat qoniqarli.
Birinchi va uchinchi hollarda prognozning aniqligi yuqori, chunki o'rtacha nisbiy xatolik 10% dan kam. Ammo harakatlanuvchi o'rtacha usuli yanada ishonchli natijalarga erishishga imkon berdi (noyabr uchun prognoz - 1,52%, dekabr uchun prognoz - 1,53%, yanvar uchun prognoz - 1,49%), chunki bu usuldan foydalanishda o'rtacha nisbiy xato eng kichik - 1 ,13%.
Eng kichik kvadrat usuli
Ushbu mavzu bo'yicha boshqa maqolalar:
Foydalanilgan manbalar ro'yxati
- Ijtimoiy xavflarni diagnostika qilish va muammolar, tahdidlar va ijtimoiy oqibatlarni prognoz qilish bo'yicha ilmiy va uslubiy tavsiyalar. Rossiya davlat ijtimoiy universiteti. Moskva. 2010;
- Vladimirova L.P. Bozor sharoitida prognozlash va rejalashtirish: Darslik. nafaqa. M.: "Dashkov va Ko" nashriyoti, 2001;
- Novikova N.V., Pozdeeva O.G. Prognozlash milliy iqtisodiyot: O'quv va uslubiy qo'llanma. Ekaterinburg: Ural nashriyoti. davlat ekon. Univ., 2007;
- Slutskin L.N. Biznesni bashorat qilish bo'yicha MBA kursi. M.: Alpina biznes kitoblari, 2006 yil.
MNC dasturi
Ma'lumotlarni kiriting
Ma'lumotlar va yaqinlashish y = a + b x
i- tajriba punkti soni;
x i- nuqtadagi sobit parametrning qiymati i;
y i- bir nuqtada o'lchangan parametrning qiymati i;
ōi- bir nuqtada og'irlikni o'lchash i;
y i, hisob.- o'lchangan va regressiya hisoblangan qiymat o'rtasidagi farq y nuqtada i;
S x i (x i)- xatolarni baholash x i o'lchashda y nuqtada i.
Ma'lumotlar va yaqinlashish y = k x
| i | x i | y i | ōi | y i, hisob. | y i | S x i (x i) |
|---|
Diagramma ustiga bosing
MNC onlayn dasturi uchun foydalanuvchi qo'llanmasi.
Ma'lumotlar maydonida har bir alohida qatorga bitta tajriba nuqtasida "x" va "y" qiymatlarini kiriting. Qiymatlar bo'sh joy belgisi (bo'shliq yoki yorliq) bilan ajratilishi kerak.
Uchinchi qiymat "w" nuqtasining og'irligi bo'lishi mumkin. Agar nuqtaning og'irligi ko'rsatilmagan bo'lsa, u birga teng. Aksariyat hollarda eksperimental nuqtalarning og'irligi noma'lum yoki hisoblanmaydi, ya'ni. barcha eksperimental ma'lumotlar ekvivalent deb hisoblanadi. Ba'zida o'rganilayotgan qiymatlar diapazonidagi og'irliklar mutlaqo ekvivalent emas va hatto nazariy jihatdan hisoblanishi mumkin. Misol uchun, spektrofotometriyada og'irliklarni oddiy formulalar yordamida hisoblash mumkin, garchi bu asosan mehnat xarajatlarini kamaytirish uchun e'tiborga olinmaydi.
Ma'lumotlarni almashish buferi orqali Microsoft Office-dan Excel yoki Open Office-dan Calc kabi ofis to'plamidagi elektron jadvaldan joylashtirish mumkin. Buni amalga oshirish uchun elektron jadvalda nusxa ko'chirish uchun ma'lumotlar oralig'ini tanlang, buferga ko'chiring va ma'lumotlarni ushbu sahifadagi ma'lumotlar maydoniga joylashtiring.
Eng kichik kvadratlar usuli yordamida hisoblash uchun ikkita koeffitsientni aniqlash uchun kamida ikkita nuqta kerak bo'ladi `b` - chiziqning moyillik burchagi tangensi va `a` - `y` o'qida chiziq bilan kesishgan qiymat.
Hisoblangan regressiya koeffitsientlarining xatosini baholash uchun siz eksperimental nuqtalar sonini ikkitadan ortiq qilib belgilashingiz kerak.
Eng kichik kvadratlar usuli (LSM).
Qanaqasiga ko'proq miqdor eksperimental ballar, koeffitsientlarni statistik baholash qanchalik aniq bo'lsa (Talaba koeffitsientini kamaytirish orqali) va taxmin umumiy tanlamaning bahosiga qanchalik yaqin bo'lsa.
Har bir eksperimental nuqtada qiymatlarni olish ko'pincha katta mehnat xarajatlari bilan bog'liq, shuning uchun ko'pincha boshqariladigan smetalarni beradigan va ortiqcha mehnat xarajatlariga olib kelmaydigan murosali miqdordagi tajribalar o'tkaziladi. Qoida tariqasida, ikkita koeffitsientli chiziqli eng kichik kvadratlarga bog'liqlik uchun eksperimental nuqtalar soni 5-7 ball mintaqasida tanlanadi.
Chiziqli munosabatlar uchun eng kichik kvadratlarning qisqacha nazariyasi
Aytaylik, bizda [`y_i`, `x_i`] qiymatlar juftligi ko`rinishidagi eksperimental ma`lumotlar to`plami bor, bu erda `i` - 1 dan `n` gacha bo`lgan bitta eksperimental o`lchov soni; `y_i` - `i` nuqtadagi o`lchangan miqdorning qiymati; `x_i` - biz `i` nuqtada o`rnatgan parametrning qiymati.
Misol sifatida, Ohm qonunining ishlashini ko'rib chiqing. Elektr zanjirining bo'limlari orasidagi kuchlanishni (potentsial farqni) o'zgartirib, biz ushbu qismdan o'tadigan oqim miqdorini o'lchaymiz. Fizika bizga eksperimental ravishda topilgan qaramlikni beradi:
`I = U/R`,
bu erda "I" - joriy kuch; `R` - qarshilik; `U` - kuchlanish.
Bunday holda, "y_i" o'lchanadigan oqim qiymati va "x_i" - kuchlanish qiymati.
Yana bir misol sifatida, eritmadagi moddaning eritmasi yorug'likning yutilishini ko'rib chiqaylik. Kimyo bizga formulani beradi:
`A = e l C`,
bu yerda `A` eritmaning optik zichligi; `e` - erigan moddaning o`tkazuvchanligi; `l` - yorug'lik eritmasi bo'lgan kyuvettadan o'tgandagi yo'l uzunligi; `C` - erigan moddaning konsentratsiyasi.
Bunday holda, 'y_i' optik zichlikning o'lchangan qiymati 'A' va 'x_i' biz ko'rsatgan moddaning kontsentratsiya qiymati.
`x_i` topshirig`idagi nisbiy xatolik `y_i` o`lchovidagi nisbiy xatolikdan sezilarli darajada kam bo`lgan holatni ko`rib chiqamiz. Bundan tashqari, barcha o'lchangan qiymatlar "y_i" tasodifiy va normal taqsimlangan deb taxmin qilamiz, ya'ni. normal taqsimot qonuniga rioya qiling.
`y` `x` ga chiziqli bog`liqligi bo`lsa, nazariy bog`liqlikni yozishimiz mumkin:
`y = a + b x`.
BILAN geometrik nuqta Ko'rish nuqtai nazaridan, "b" koeffitsienti chiziqning "x" o'qiga moyillik burchagi tangensini va "a" koeffitsienti - chiziqning kesishish nuqtasidagi "y" qiymatini bildiradi. y` o'qi (`x = 0`da).
Regressiya chizig'i parametrlarini topish.
Eksperimentda "y_i" ning o'lchangan qiymatlari har doim o'ziga xos bo'lgan o'lchash xatolari tufayli nazariy to'g'ri chiziqda aniq yotishi mumkin emas. haqiqiy hayot. Shuning uchun chiziqli tenglama tenglamalar tizimi bilan ifodalanishi kerak:
`y_i = a + b x_i + e_i` (1),
bu yerda `e_i` `i`-tajribadagi `y` ning noma`lum o`lchash xatosi.
Tobelik (1) ham deyiladi regressiya, ya'ni. statistik ahamiyatga ega bo'lgan ikki miqdorning bir-biriga bog'liqligi.
Tobelikni tiklash vazifasi tajriba nuqtalaridan [`y_i`, `x_i`] `a` va `b` koeffitsientlarini topishdan iborat.
Odatda "a" va "b" koeffitsientlarini topish uchun ishlatiladi eng kichik kvadrat usuli(MNC). Bu maksimal ehtimollik printsipining alohida holati.
(1) ni `e_i = y_i - a - b x_i` ko`rinishda qayta yozamiz.
Keyin kvadrat xatolar yig'indisi bo'ladi
`P = summa_(i=1)^(n) e_i^2 = yig'indi_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2`. (2)
Eng kichik kvadratlar (eng kichik kvadratlar) tamoyili “a” va “b” parametrlariga nisbatan yig‘indini (2) minimallashtirishdan iborat..
Minimalga “a” va “b” koeffitsientlariga nisbatan (2) yig‘indining qisman hosilalari nolga teng bo‘lganda erishiladi:
`frac(qisman PH)(qisman a) = frak(qisman yig'indi_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(qisman a) = 0`
`frac(qisman PH)(qisman b) = frak(qisman yig'indi_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(qisman b) = 0`
Hosilalarni kengaytirib, ikkita noma'lumli ikkita tenglamalar tizimini olamiz:
`sum_(i=1)^(n) (2a + 2bx_i — 2y_i) = summa_(i=1)^(n) (a + bx_i — y_i) = 0`
`sum_(i=1)^(n) (2bx_i^2 + 2ax_i — 2x_iy_i) = summa_(i=1)^(n) (bx_i^2 + ax_i — x_iy_i) = 0`
Biz qavslarni ochamiz va kerakli koeffitsientlarga bog'liq bo'lmagan summalarni ikkinchi yarmiga o'tkazamiz, biz chiziqli tenglamalar tizimini olamiz:
`sum_(i=1)^(n) y_i = a n + b summa_(i=1)^(n) bx_i`
`sum_(i=1)^(n) x_iy_i = a summa_(i=1)^(n) x_i + b yig'indisi_(i=1)^(n) x_i^2`
Olingan tizimni yechib, `a` va `b` koeffitsientlari uchun formulalarni topamiz:
`a = frak(sum_(i=1)^(n) y_i sum_(i=1)^(n) x_i^2 — summa_(i=1)^(n) x_i summa_(i=1)^(n) ) x_iy_i) (n summa_(i=1)^(n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.1)
`b = frak(n sum_(i=1)^(n) x_iy_i — summa_(i=1)^(n) x_i sum_(i=1)^(n) y_i) (n sum_(i=1)^ (n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.2)
Bu formulalar `n > 1` (chiziq kamida 2 nuqta yordamida tuzilishi mumkin) va determinant `D = n summa_(i=1)^(n) x_i^2 - (sum_(i= 1) bo'lganda yechimlarga ega. )^(n) x_i)^2 != 0`, ya'ni. tajribadagi `x_i` nuqtalari har xil bo'lganda (ya'ni chiziq vertikal bo'lmaganda).
Regressiya chizig'i koeffitsientlarining xatolarini baholash
`a` va `b` koeffitsientlarini hisoblashda xatolikni aniqroq baholash uchun ko`p sonli eksperimental nuqtalardan foydalanish maqsadga muvofiqdir. `n = 2` bo'lganda, koeffitsientlarning xatosini baholash mumkin emas, chunki yaqinlashuvchi chiziq ikkita nuqtadan noyob tarzda o'tadi.
Xato tasodifiy o'zgaruvchi`V` belgilangan xatolarni to'plash qonuni
`S_V^2 = summa_(i=1)^p (frac(qisman f)(qisman z_i))^2 S_(z_i)^2`,
bu yerda `p` - `S_V` xatosiga ta`sir qiluvchi `S_(z_i)` xatosi bo`lgan `z_i` parametrlar soni;
`f` - `V` ning `z_i` ga bog`liqligi funksiyasi.
`a` va `b` koeffitsientlari xatosi uchun xato to`planish qonunini yozamiz.
`S_a^2 = summa_(i=1)^(n)(frac(qisman a)(qisman y_i))^2 S_(y_i)^2 + summa_(i=1)^(n)(frac(qisman a) )(qisman x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 summa_(i=1)^(n)(frac(qisman a)(qisman y_i))^2 `,
`S_b^2 = summa_(i=1)^(n)(frac(qisman b)(qisman y_i))^2 S_(y_i)^2 + summa_(i=1)^(n)(frac(qisman b) )(qisman x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 summa_(i=1)^(n)(frac(qisman b)(qisman y_i))^2 `,
chunki `S_(x_i)^2 = 0` (biz avvalroq `x` xatosi ahamiyatsiz deb belgilagan edik).
`S_y^2 = S_(y_i)^2` - `y` ni o`lchashda xatolik (dispersiya, kvadratik standart og`ish), agar xato `y` ning barcha qiymatlari uchun bir xil bo`lsa.
Olingan iboralarga `a` va `b` ni hisoblash formulalarini qo`yish
`S_a^2 = S_y^2 frak(sum_(i=1)^(n) (sum_(i=1)^(n) x_i^2 — x_i sum_(i=1)^(n) x_i)^2 ) (D^2) = S_y^2 frak((n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i)^2) summa_(i=1) ^(n) x_i^2) (D^2) = S_y^2 frak(sum_(i=1)^(n) x_i^2) (D)` (4.1)
`S_b^2 = S_y^2 frak(sum_(i=1)^(n) (n x_i — summa_(i=1)^(n) x_i)^2) (D^2) = S_y^2 frak( n (n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i)^2)) (D^2) = S_y^2 frak(n) (D) ` (4.2)
Ko'pgina haqiqiy tajribalarda "Sy" qiymati o'lchanmaydi. Buning uchun rejaning bir yoki bir nechta nuqtalarida bir nechta parallel o'lchovlarni (tajribalarni) o'tkazish kerak, bu esa tajriba vaqtini (ehtimol narxini) oshiradi. Shuning uchun, odatda, `y` ning regressiya chizig`idan chetlanishini tasodifiy deb hisoblash mumkin, deb taxmin qilinadi. Bu holda `y` dispersiyani baholash formula yordamida hisoblanadi.
`S_y^2 = S_(y, qolgan)^2 = frak(sum_(i=1)^n (y_i - a - b x_i)^2) (n-2)`.
`n-2` bo`luvchisi eksperimental ma`lumotlarning bir xil namunasi yordamida ikkita koeffitsientni hisoblash tufayli erkinlik darajalarimiz soni kamayganligi sababli paydo bo`ladi.
Bu baho `S_(y, dam)^2` regressiya chizig'iga nisbatan qoldiq dispersiya deb ham ataladi.
Koeffitsientlarning ahamiyati Student t testi yordamida baholanadi
`t_a = frac(|a|) (S_a)`, `t_b = frac(|b|) (S_b)`
Agar hisoblangan `t_a`, `t_b` mezonlari jadvaldagi `t(P, n-2)` mezonlaridan kam bo`lsa, u holda tegishli koeffitsient berilgan `P` ehtimol bilan noldan sezilarli farq qilmaydi deb hisoblanadi.
Chiziqli munosabatlar tavsifi sifatini baholash uchun Fisher mezonidan foydalanib, `S_(y, dam)^2` va `S_(bar y)`ni o`rtachaga nisbatan solishtirish mumkin.
`S_(bar y) = frak(sum_(i=1)^n (y_i — bar y)^2) (n-1) = frak(sum_(i=1)^n (y_i — (sum_(i=) 1)^n y_i) /n)^2) (n-1)` - o'rtachaga nisbatan `y` dispersiyaning tanlanma bahosi.
Bog'liqlikni tavsiflash uchun regressiya tenglamasining samaradorligini baholash uchun Fisher koeffitsienti hisoblanadi.
`F = S_(bar y) / S_(y, qolgan)^2`,
Bu jadvaldagi Fisher koeffitsienti `F(p, n-1, n-2)` bilan solishtiriladi.
Agar `F > F(P, n-1, n-2)` bo`lsa, `y = f(x)` munosabatini regressiya tenglamasi yordamida tavsiflash va o`rtacha qiymatdan foydalangan holda tavsiflash o`rtasidagi farq ehtimollik bilan statistik ahamiyatga ega hisoblanadi. `P`. Bular. regressiya o'rtacha atrofida "y" tarqalishiga qaraganda bog'liqlikni yaxshiroq tasvirlaydi.
Diagramma ustiga bosing
jadvalga qiymatlarni qo'shish uchun
Eng kichik kvadrat usuli. Eng kichik kvadratlar usuli a, b, c noma'lum parametrlarni, qabul qilingan funktsional bog'liqlikni aniqlashni anglatadi.
Eng kichik kvadratlar usuli noma'lum parametrlarni aniqlashni anglatadi a, b, c,… qabul qilingan funktsional bog'liqlik
y = f(x,a,b,c,…),
bu xatoning o'rtacha kvadratining (variantning) minimalini ta'minlaydi
, (24)
bu yerda x i, y i – tajribadan olingan juft sonlar to‘plami.
Bir necha oʻzgaruvchili funksiyaning ekstremum sharti uning qisman hosilalarining nolga teng boʻlishi sharti boʻlganligi sababli, parametrlar a, b, c,… tenglamalar tizimidan aniqlanadi:
; ; ; … (25)
Shuni esda tutish kerakki, eng kichik kvadratlar usuli funktsiya turidan keyin parametrlarni tanlash uchun ishlatiladi y = f(x) belgilangan
Agar nazariy mulohazalardan empirik formula qanday bo'lishi kerakligi haqida xulosa chiqarish mumkin bo'lmasa, u holda vizual tasvirlarga, birinchi navbatda, kuzatilgan ma'lumotlarning grafik tasvirlariga asoslanish kerak.
Amalda ular ko'pincha quyidagi funktsiyalar turlari bilan cheklanadi:
1) chiziqli 
;
2) kvadratik a.
Ekonometrikada uning parametrlarini aniq iqtisodiy talqin qilish shaklida keng qo'llaniladi.
Chiziqli regressiya shaklning tenglamasini topishga to'g'ri keladi
yoki
Shakl tenglamasi belgilangan parametr qiymatlari asosida ruxsat beradi X natijaviy xususiyatning nazariy qiymatlariga ega bo'lib, unga omilning haqiqiy qiymatlarini almashtiradi. X.
Chiziqli regressiyani qurish uning parametrlarini baholashga to'g'ri keladi - A Va V. Chiziqli regressiya parametrlarini baholashni turli usullar yordamida topish mumkin.
Chiziqli regressiya parametrlarini baholashga klassik yondashuv asoslanadi eng kichik kvadratlar usuli(MNC).
Eng kichik kvadratlar usuli bizga bunday parametr baholarini olish imkonini beradi A Va V, natijaviy xarakteristikaning haqiqiy qiymatlarining kvadratik og'ishlarining yig'indisi (y) hisoblangan (nazariy) eng kam:
Funktsiyaning minimalini topish uchun har bir parametr uchun qisman hosilalarni hisoblash kerak A Va b va ularni nolga tenglashtiring.
S bilan belgilaymiz, keyin:
Formulani o'zgartirib, parametrlarni baholash uchun quyidagi normal tenglamalar tizimini olamiz A Va V:
Oddiy tenglamalar tizimini (3.5) o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish usuli yoki determinantlar usuli bilan yechish, biz parametrlarning kerakli baholarini topamiz. A Va V.
Parametr V regressiya koeffitsienti deb ataladi. Uning qiymati omilning bir birlikka o'zgarishi bilan natijaning o'rtacha o'zgarishini ko'rsatadi.
Regressiya tenglamasi har doim ulanishning yaqinligi ko'rsatkichi bilan to'ldiriladi. Chiziqli regressiyadan foydalanganda bunday ko'rsatkich chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti hisoblanadi. Chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti formulasining turli modifikatsiyalari mavjud. Ulardan ba'zilari quyida keltirilgan:
Ma'lumki, chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti chegaralar ichida: -1 ≤ ≤ 1.
Chiziqli funktsiyani tanlash sifatini baholash uchun kvadrat hisoblab chiqiladi
Chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti deyiladi aniqlash koeffitsienti. Determinatsiya koeffitsienti natijaviy xarakteristikaning dispersiya nisbatini tavsiflaydi y, Regressiya bilan izohlanadi, natijada olingan xususiyatning umumiy dispersiyasi:
Shunga ko'ra, 1 qiymati dispersiya ulushini tavsiflaydi y, modelda hisobga olinmagan boshqa omillar ta'siridan kelib chiqqan.
O'z-o'zini nazorat qilish uchun savollar
1. Eng kichik kvadratlar usulining mohiyati?
2. Juftlik regressiya nechta o‘zgaruvchini beradi?
3. O'zgarishlar orasidagi bog'lanishning yaqinligini qanday koeffitsient aniqlaydi?
4. Determinatsiya koeffitsienti qanday chegaralar doirasida aniqlanadi?
5. Korrelyatsiya-regressiya tahlilida b parametrini baholash?
1. Kristofer Dagerti. Ekonometrikaga kirish. - M.: INFRA - M, 2001 - 402 b.
2. S.A. Borodich. Ekonometriya. Minsk MChJ "Yangi bilimlar" 2001 yil.
3. R.U. Raxmetova Qisqa kurs ekonometrikada. Qo'llanma. Olmaota. 2004. -78p.
4. I.I. Eliseeva. Ekonometriya. - M.: "Moliya va statistika", 2002 yil
5. Oylik axborot-tahliliy jurnal.
Nochiziqli iqtisodiy modellar. Nochiziqli regressiya modellari. O'zgaruvchilarning transformatsiyasi.
Nochiziqli iqtisodiy modellar.
O'zgaruvchilarning transformatsiyasi.
Elastiklik koeffitsienti.
Agar iqtisodiy hodisalar o'rtasida chiziqli bo'lmagan munosabatlar mavjud bo'lsa, ular mos keladigan chiziqli bo'lmagan funktsiyalar yordamida ifodalanadi: masalan, teng tomonli giperbola. , ikkinchi darajali parabolalar va boshqalar.
Chiziqli bo'lmagan regressiyalarning ikkita klassi mavjud:
1. Tahlilga kiritilgan izohli o'zgaruvchilarga nisbatan chiziqli bo'lmagan, lekin taxmin qilingan parametrlarga nisbatan chiziqli regressiyalar, masalan:
Turli darajadagi ko'p nomlilar - , ;
Teng tomonli giperbola - ;
Semilogarifmik funksiya - .
2. Baholanayotgan parametrlarda chiziqli bo'lmagan regressiyalar, masalan:
Quvvat -;
Ko'rgazmali - ;
Eksponensial -.
Olingan xarakteristikaning individual qiymatlarining kvadratik og'ishlarining umumiy yig'indisi da o'rtacha qiymatdan ko'p sabablar ta'siridan kelib chiqadi. Keling, shartli ravishda barcha sabablarni ikki guruhga ajratamiz: o'rganilayotgan omil x Va boshqa omillar.
Agar omil natijaga ta'sir qilmasa, u holda grafikdagi regressiya chizig'i o'qga parallel bo'ladi Oh Va
Keyin olingan xarakteristikaning barcha dispersiyasi boshqa omillar ta'siridan kelib chiqadi va kvadrat og'ishlarning umumiy yig'indisi qoldiq bilan mos keladi. Agar boshqa omillar natijaga ta'sir qilmasa, unda y bog'ladi Bilan X funktsional va kvadratlarning qoldiq yig'indisi nolga teng. Bunday holda, regressiya bilan izohlangan kvadrat og'ishlar yig'indisi kvadratlarning umumiy yig'indisi bilan bir xil bo'ladi.
Korrelyatsiya maydonining barcha nuqtalari regressiya chizig'ida yotmaganligi sababli ularning tarqalishi doimo omil ta'siri natijasida yuzaga keladi. X, ya'ni regressiya da tomonidan X, va boshqa sabablarga ko'ra yuzaga kelgan (tushunmagan o'zgarish). Regressiya chizig'ining prognozlash uchun mosligi belgining umumiy o'zgarishining qaysi qismiga bog'liq. da tushuntirilgan o'zgarishlarni hisobga oladi
Shubhasiz, agar regressiya tufayli kvadratik og'ishlar yig'indisi kvadratlarning qoldiq yig'indisidan katta bo'lsa, regressiya tenglamasi statistik ahamiyatga ega va omil X natijaga sezilarli ta'sir ko'rsatadi u.
, ya'ni xarakteristikaning mustaqil o'zgarishi erkinligi soni bilan. Erkinlik darajalari soni populyatsiya birliklari soni n va undan aniqlangan doimiylar soni bilan bog'liq. O'rganilayotgan muammoga nisbatan erkinlik darajalari soni qancha mustaqil og'ishlarni ko'rsatishi kerak P
Umumiy holda regressiya tenglamasining ahamiyatini baholash yordamida berilgan F- Fisher mezoni. Bunday holda, regressiya koeffitsienti nolga teng bo'lgan nol gipoteza ilgari suriladi, ya'ni. b = 0 va shuning uchun omil X natijaga ta'sir qilmaydi u.
F-testini darhol hisoblashdan oldin dispersiya tahlili o'tkaziladi. Unda markaziy o'rinni o'zgaruvchining kvadrat og'ishlarining umumiy yig'indisining parchalanishi egallaydi. da o'rtacha qiymatdan da ikki qismga - "tushuntirilgan" va "tushuntirilmagan":
Kvadrat og'ishlarning umumiy yig'indisi;
Regressiya bilan izohlangan kvadrat og'ish yig'indisi;
Kvadrat og'ishlarning qoldiq yig'indisi.
Kvadrat og'ishlarning har qanday yig'indisi erkinlik darajalari soniga bog'liq , ya'ni xarakteristikaning mustaqil o'zgarishi erkinligi soni bilan. Erkinlik darajalari soni aholi birliklari soniga bog'liq n va undan aniqlangan doimiylar soni bilan. O'rganilayotgan muammoga nisbatan erkinlik darajalari soni qancha mustaqil og'ishlarni ko'rsatishi kerak P Kvadratlarning berilgan yig'indisini hosil qilish uchun zarur bo'lgan mumkin.
Erkinlik darajasi bo'yicha tarqalishD.
F-nisbatlari (F-testi):
Agar nol gipoteza to'g'ri bo'lsa, keyin omil va qoldiq dispersiya bir-biridan farq qilmaydi. H 0 uchun faktor dispersiyasi qoldiq dispersiyadan bir necha marta oshib ketishi uchun rad etish kerak. Ingliz statistik Snedekor kritik qiymatlar jadvallarini ishlab chiqdi F-nol gipotezaning turli darajadagi ahamiyatlilik darajasidagi munosabatlari va erkinlik darajalarining turli sonlari. Jadval qiymati F-mezon - nol gipoteza mavjudligi ehtimolining ma'lum darajasi uchun tasodifiy divergensiya holatida yuzaga kelishi mumkin bo'lgan dispersiyalarning nisbati maksimal qiymati. Hisoblangan qiymat F-agar o jadvaldan katta bo'lsa, munosabatlar ishonchli hisoblanadi.
Bunday holda, belgilar o'rtasidagi munosabatlarning yo'qligi haqidagi nol gipoteza rad etiladi va bu munosabatlarning ahamiyati haqida xulosa chiqariladi: F fakt > F jadvali H 0 rad etiladi.
Qiymat jadvaldagidan kam bo'lsa F fakt ‹, F jadvali, keyin nol gipoteza ehtimoli belgilangan darajadan yuqori va munosabatlarning mavjudligi haqida noto'g'ri xulosa chiqarishning jiddiy xavfisiz rad etilishi mumkin emas. Bunda regressiya tenglamasi statistik jihatdan ahamiyatsiz hisoblanadi. Lekin u chetga chiqmaydi.
Regressiya koeffitsientining standart xatosi
Regressiya koeffitsientining ahamiyatini baholash uchun uning qiymati uning bilan taqqoslanadi standart xato, ya'ni haqiqiy qiymat aniqlanadi t-Talabaning t-testi: keyin ma'lum bir ahamiyatga ega va erkinlik darajasida jadval qiymati bilan taqqoslanadi ( n- 2).
Standart parametr xatosi A:
Chiziqli korrelyatsiya koeffitsientining ahamiyati xatoning kattaligiga qarab tekshiriladi korrelyatsiya koeffitsienti t r:
Xususiyatlarning umumiy farqi X:
Ko'p chiziqli regressiya
Model qurish
Ko'p regressiya ikki yoki undan ortiq omillar bilan samarali xarakteristikaning regressiyasini ifodalaydi, ya'ni shaklning modeli
Agar tadqiqot ob'ektiga ta'sir etuvchi boshqa omillar ta'sirini e'tiborsiz qoldirish mumkin bo'lsa, regressiya modellashtirishda yaxshi natijalar berishi mumkin. Ayrim iqtisodiy o'zgaruvchilarning xatti-harakatlarini nazorat qilib bo'lmaydi, ya'ni o'rganilayotgan bir omil ta'sirini baholash uchun barcha boshqa shartlarning tengligini ta'minlash mumkin emas. Bunday holda, siz boshqa omillarning ta'sirini modelga kiritish orqali aniqlashga harakat qilishingiz kerak, ya'ni ko'p regressiya tenglamasini tuzing: y = a+b 1 x 1 +b 2 +…+b p x p + .
Ko'p sonli regressiyaning asosiy maqsadi - ularning har birining alohida ta'sirini, shuningdek, modellashtirilgan ko'rsatkichga ularning birgalikdagi ta'sirini aniqlashda ko'p sonli omillarga ega modelni yaratish. Modelning spetsifikatsiyasi ikki qator masalalarni o'z ichiga oladi: omillarni tanlash va regressiya tenglamasi turini tanlash.
Men matematik va dasturchiman. Karyeramdagi eng katta sakrash men aytishni o'rganganimda bo'ldi: "Men hech narsani tushunmayapman!" Endi ilm nuroniysiga u menga ma’ruza o‘qiyotganini aytishdan uyalmayman, u, nuroniy menga nima deyayotganini tushunmayman. Va bu juda qiyin. Ha, johilligingizni tan olish qiyin va uyatli. Kim biror narsaning asoslarini bilmasligini tan olishni yaxshi ko'radi? Kasbim tufayli men juda ko'p taqdimot va ma'ruzalarda qatnashishim kerak, bu erda, tan olaman, aksariyat hollarda men uxlashni xohlayman, chunki men hech narsani tushunmayman. Ammo men tushunmayapman, chunki fandagi hozirgi vaziyatning katta muammosi matematikada. Bu barcha tinglovchilar matematikaning barcha sohalari bilan tanish deb taxmin qiladi (bu bema'nilik). Siz lotin nima ekanligini bilmasligingizni tan olish (u nima ekanligini biroz keyinroq gaplashamiz) uyatdir.
Lekin ko‘paytirish nimaligini bilmayman deyishga o‘rgandim. Ha, Lie algebrasi ustidan subalgebra nima ekanligini bilmayman. Ha, men nima uchun kvadrat tenglamalar hayotda kerakligini bilmayman. Aytgancha, agar siz bilganingizga amin bo'lsangiz, unda gaplashadigan narsamiz bor! Matematika bir qator fokuslardir. Matematiklar jamoatchilikni chalg'itishga va qo'rqitishga harakat qiladilar; chalkashlik bo'lmagan joyda obro' ham, hokimiyat ham bo'lmaydi. Ha, imkon qadar mavhum tilda gapirish obro'li, bu mutlaqo bema'nilik.
Siz hosila nima ekanligini bilasizmi? Katta ehtimol bilan siz menga farq nisbati chegarasi haqida gapirib berasiz. Sankt-Peterburg davlat universitetining matematika va mexanika fakultetining birinchi yilida Viktor Petrovich Xavin menga aytdi. belgilangan hosilaviy funksiyaning Teylor qatorining birinchi hadining nuqtadagi koeffitsienti sifatida (bu Teylor qatorini hosilalarsiz aniqlash uchun alohida gimnastika edi). Men bu ta'rifdan uzoq vaqt kuldim, oxiri nima haqida ekanligini tushunmaguncha. Hosila biz farqlayotgan funktsiyaning y=x, y=x^2, y=x^3 funksiyalariga qanchalik o‘xshashligini ko‘rsatadigan oddiy o‘lchovdan boshqa narsa emas.
Endi men talabalarga ma'ruza o'qish sharafiga egaman qo'rqib matematika. Agar siz matematikadan qo'rqsangiz, biz bir xil yo'ldamiz. Agar siz biron bir matnni o'qishga harakat qilsangiz va u sizga juda murakkab bo'lib tuyulsa, bilingki, u yomon yozilgan. Men aniqlikni yo'qotmasdan "barmoqlarda" muhokama qilib bo'lmaydigan matematikaning biron bir sohasi yo'qligini ta'kidlayman.
Yaqin kelajak uchun topshiriq: Men o'quvchilarimga chiziqli kvadrat regulyator nima ekanligini tushunishni topshirdim. Uyalmang, hayotingizning uch daqiqasini o'tkazing va havolaga rioya qiling. Agar siz hech narsani tushunmasangiz, biz bir xil yo'ldamiz. Men (professional matematik-dasturchi) ham hech narsani tushunmadim. Va sizni ishontirib aytamanki, buni "barmoqlaringiz bilan" tushunishingiz mumkin. Ayni paytda men bu nima ekanligini bilmayman, lekin sizni ishontirib aytamanki, biz buni aniqlay olamiz.
Xullas, shogirdlarim dahshat ichida oldimga yugurib kelib, chiziqli-kvadrat regulyator hayotingizda hech qachon o'zlashtira olmaydigan dahshatli narsa, deganlaridan keyin men ularga o'qimoqchi bo'lgan birinchi ma'ruza: eng kichik kvadratlar usullari. Chiziqli tenglamalarni yecha olasizmi? Agar siz ushbu matnni o'qiyotgan bo'lsangiz, ehtimol yo'q.
Shunday qilib, ikkita nuqta (x0, y0), (x1, y1), masalan, (1,1) va (3,2) berilgan bo'lsa, vazifa bu ikki nuqtadan o'tadigan chiziq tenglamasini topishdir:
illyustratsiya
Ushbu chiziq quyidagi tenglamaga ega bo'lishi kerak:
Bu erda alfa va beta bizga noma'lum, ammo bu chiziqning ikkita nuqtasi ma'lum:
Bu tenglamani matritsa shaklida yozishimiz mumkin:
Bu erda biz lirik digressiya qilishimiz kerak: matritsa nima? Matritsa ikki o'lchovli massivdan boshqa narsa emas. Bu ma'lumotlarni saqlash usuli, unga boshqa ma'nolar qo'shilmasligi kerak. Bu ma'lum bir matritsani qanday talqin qilishimizga bog'liq. Vaqti-vaqti bilan men uni chiziqli xaritalash, vaqti-vaqti bilan kvadratik shakl va ba'zan oddiy vektorlar to'plami sifatida izohlayman. Bularning barchasi kontekstda aniqlashtiriladi.
Keling, aniq matritsalarni ularning ramziy tasviri bilan almashtiramiz:
Keyin (alfa, beta) osongina topish mumkin:
Oldingi ma'lumotlarimiz uchun aniqroq:
Bu (1,1) va (3,2) nuqtalardan o'tuvchi chiziqning quyidagi tenglamasiga olib keladi:
OK, bu erda hamma narsa aniq. O‘tgan chiziq tenglamasini topamiz uch nuqtalar: (x0,y0), (x1,y1) va (x2,y2):
Oh-oh-oh, lekin bizda ikkita noma'lum uchun uchta tenglama bor! Oddiy matematik hech qanday yechim yo'qligini aytadi. Dasturchi nima deydi? Va u birinchi navbatda oldingi tenglamalar tizimini quyidagi shaklda qayta yozadi:
Bizning holatda, i, j, b vektorlari uch o'lchovli, shuning uchun (umumiy holatda) bu tizimning echimi yo'q. Har qanday vektor (alfa\*i + beta\*j) vektorlar (i, j) bilan qoplangan tekislikda yotadi. Agar b bu tekislikka tegishli bo'lmasa, u holda yechim yo'q (tenglamada tenglikka erishib bo'lmaydi). Nima qilish kerak? Keling, murosa izlaylik. bilan belgilaymiz e (alfa, beta) aynan qancha vaqtgacha tenglikka erisha olmadik:
Va biz ushbu xatoni kamaytirishga harakat qilamiz:
Nega kvadrat?
Biz faqat normaning minimalini emas, balki normaning kvadratining minimalini qidiramiz. Nega? Minimal nuqtaning o'zi bir-biriga to'g'ri keladi va kvadrat silliq funktsiyani beradi (argumentlarning kvadratik funktsiyasi (alfa, beta)), oddiygina uzunlik esa minimal nuqtada farqlanmaydigan konus shaklidagi funktsiyani beradi. Brr. Kvadrat qulayroq.
Shubhasiz, vektor bo'lganda xato minimallashtiriladi e vektorlar bilan qoplangan tekislikka ortogonal i Va j.
Tasvir
Boshqacha qilib aytganda: biz shunday to'g'ri chiziq qidiramizki, barcha nuqtalardan bu to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofalarning kvadrat uzunliklarining yig'indisi minimal bo'ladi:
YANGILANISH: Bu erda muammo bor, to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani ortogonal proektsiya bilan emas, balki vertikal ravishda o'lchash kerak. Bu sharhlovchi haq.
Tasvir
Mutlaqo boshqa so'zlar bilan (ehtiyotkorlik bilan, yomon rasmiylashtirilgan, ammo aniq bo'lishi kerak): biz barcha juft nuqtalar orasidagi barcha mumkin bo'lgan chiziqlarni olamiz va barchasi orasidagi o'rtacha chiziqni qidiramiz:
Tasvir
Yana bir tushuntirish oddiy: biz barcha ma'lumotlar nuqtalari (bu erda uchtasi bor) va biz izlayotgan to'g'ri chiziq orasiga buloqni biriktiramiz va muvozanat holatining to'g'ri chizig'i aynan biz izlayotgan narsadir.
Minimal kvadrat shakl
Shunday qilib, bu vektor berilgan b va matritsaning ustun vektorlari bilan qoplangan tekislik A(bu holda (x0,x1,x2) va (1,1,1)) vektorni qidiramiz. e uzunligi minimal kvadrat bilan. Shubhasiz, minimal faqat vektor uchun erishish mumkin e, matritsaning ustun vektorlari bilan qoplangan tekislikka ortogonal A:Boshqacha qilib aytganda, biz x=(alfa, beta) vektorini qidiramiz, shundayki:
Eslatib o‘taman, bu vektor x=(alfa, beta) kvadratik funktsiyaning minimumi ||e(alfa, beta)||^2:
Bu erda matritsani kvadratik shakl sifatida ham talqin qilish mumkinligini eslash foydali bo'ladi, masalan, identifikatsiya matritsasi ((1,0),(0,1)) x^2 + y^ funksiyasi sifatida talqin qilinishi mumkin. 2:
kvadratik shakl
Bu gimnastikaning barchasi chiziqli regressiya nomi bilan ma'lum.
Dirixle chegara sharti bilan Laplas tenglamasi
Endi eng oddiy haqiqiy vazifa: ma'lum bir uchburchak sirt mavjud, uni tekislash kerak. Masalan, mening yuzim modelini yuklaylik:
Asl majburiyat mavjud. Tashqi bog'liqlikni minimallashtirish uchun men Habré'da allaqachon dasturiy ta'minot rendererimning kodini oldim. Chiziqli tizimni hal qilish uchun men OpenNL-dan foydalanaman, bu juda zo'r hal qiluvchi, ammo uni o'rnatish juda qiyin: loyihangiz bilan papkaga ikkita faylni (.h+.c) nusxalashingiz kerak. Barcha tekislash quyidagi kod bilan amalga oshiriladi:
Uchun (int d=0; d<3; d++) {
nlNewContext();
nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size());
nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE);
nlBegin(NL_SYSTEM);
nlBegin(NL_MATRIX);
for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) {
nlBegin(NL_ROW);
nlCoefficient(i, 1);
nlRightHandSide(verts[i][d]);
nlEnd(NL_ROW);
}
for (unsigned int i=0; i
X, Y va Z koordinatalarini ajratish mumkin, men ularni alohida tekislayman. Ya'ni, men uchta chiziqli tenglamalar tizimini echaman, ularning har biri o'zgaruvchilar soni mening modelimdagi tepalar soniga teng. A matritsaning birinchi n qatori har bir satrda faqat bitta 1 ga ega, b vektorining birinchi n qatori esa asl model koordinatalariga ega. Ya'ni, men cho'qqining yangi pozitsiyasi va cho'qqining eski pozitsiyasi o'rtasida kamon bog'layman - yangilari eskilaridan juda uzoqqa ketmasligi kerak.
A matritsasining barcha keyingi qatorlari (faces.size()*3 = toʻrdagi barcha uchburchaklar qirralari soni) bitta takrorlanish 1 va bitta takrorlanish -1 boʻlib, b vektor qarama-qarshi nol komponentga ega. Bu bizning uchburchak to'rimizning har bir chetiga bahor qo'yganimni anglatadi: barcha qirralarning boshlang'ich va tugash nuqtasi bilan bir xil cho'qqilarni olishga harakat qiladi.
Yana bir bor: barcha cho'qqilar o'zgaruvchidir va ular o'zlarining dastlabki holatidan uzoqlasha olmaydilar, lekin ayni paytda ular bir-biriga o'xshash bo'lishga harakat qilishadi.
Mana natija:
Har bir narsa yaxshi bo'lardi, model haqiqatan ham tekislangan, lekin u asl chetidan uzoqlashdi. Keling, kodni biroz o'zgartiraylik:
Uchun (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }
Bizning A matritsamizda chekkada joylashgan cho'qqilar uchun men v_i = verts[i][d] toifasidan qatorni emas, balki 1000*v_i = 1000*verts[i][d] ni qo'shaman. U nimani o'zgartiradi? Va bu xatoning kvadratik shaklini o'zgartiradi. Endi chekkada tepadan bitta og'ish avvalgidek bir birlik emas, balki 1000 * 1000 birlik turadi. Ya'ni, biz o'ta cho'qqilarga kuchliroq buloqni osib qo'ydik, eritma boshqalarni kuchliroq cho'zishni afzal ko'radi. Mana natija:
Keling, cho'qqilar orasidagi bahor kuchini ikki baravar oshiraylik:
nlKoeffitsient(yuz[ j ], 2); nlKoeffitsient(yuz[(j+1)%3], -2);
Sirt silliqroq bo'lishi mantiqan:
Va endi yuz marta kuchliroq:
Nima bu? Tasavvur qiling-a, biz simli halqani sabunlu suvga botirdik. Natijada, hosil bo'lgan sovun plyonkasi chegaraga - bizning tel halqamizga tegib, iloji boricha eng kam egrilikka ega bo'lishga harakat qiladi. Chegarani mahkamlash va ichkarida silliq sirtni so'rash orqali biz aynan shu narsaga erishdik. Tabriklaymiz, biz hozirgina Laplas tenglamasini Dirixlet chegara shartlari bilan yechdik. Ajoyib eshitiladimi? Ammo, aslida, siz faqat bitta chiziqli tenglamalar tizimini echishingiz kerak.
Puasson tenglamasi
Keling, yana bir ajoyib ismni eslaylik.Aytaylik, menda shunday rasm bor:
Hammaga yaxshi ko'rinadi, lekin men stulni yoqtirmayman.
Men rasmni yarmiga bo'laman: 
Va men qo'llarim bilan stul tanlayman: 
Keyin men niqobdagi oq rangdagi hamma narsani rasmning chap tomoniga tortaman va shu bilan birga butun rasm bo'ylab aytamanki, ikkita qo'shni piksel o'rtasidagi farq ikki qo'shni piksel orasidagi farqga teng bo'lishi kerak. to'g'ri rasm:
Uchun (int i=0; i Mana natija: Menda shunday mato namunalarining bir nechta fotosuratlari bor: Mening vazifam - bu sifatli fotosuratlardan uzluksiz teksturalar qilish. Boshlash uchun men (avtomatik ravishda) takrorlanuvchi naqshni qidiraman: Agar men bu to'rtburchakni to'g'ridan-to'g'ri kesib tashlasam, unda buzilish tufayli qirralar bir-biriga mos kelmaydi, bu erda to'rt marta takrorlangan naqshning namunasi: Yashirin matn Bu erda tikuv aniq ko'rinadigan parcha: Shuning uchun men to'g'ri chiziq bo'ylab kesmayman, bu erda kesish chizig'i: Yashirin matn Va bu erda to'rt marta takrorlangan naqsh: Yashirin matn Va aniqroq qilish uchun undan bir parcha: Bu allaqachon yaxshiroq, kesish har xil jingalaklardan qochib, tekis chiziqda ketmadi, lekin asl fotosuratda notekis yorug'lik tufayli tikuv hali ham ko'rinadi. Bu erda Puasson tenglamasi uchun eng kichik kvadratlar usuli yordamga keladi. Yorug'likni tekislashdan keyin yakuniy natija: Tekstura mukammal darajada uzluksiz bo'lib chiqdi va bularning barchasi avtomatik ravishda juda o'rtacha sifatli fotosuratdan. Matematikadan qo'rqmang, oddiy tushuntirishlarni qidiring, shunda siz muhandislikda baxtli bo'lasiz. Misol. O'zgaruvchilar qiymatlari bo'yicha eksperimental ma'lumotlar X Va da jadvalda keltirilgan. Ularning hizalanishi natijasida funktsiya olinadi Foydalanish eng kichik kvadrat usuli, bu ma'lumotlarni chiziqli bog'liqlik bilan yaqinlashtiring y=ax+b(parametrlarni toping A Va b). Ikki qatordan qaysi biri yaxshiroq (eng kichik kvadratlar usuli ma'nosida) tajriba ma'lumotlarini tekislashini aniqlang. Chizma qiling. Vazifa ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi bajariladigan chiziqli bog'liqlik koeffitsientlarini topishdir A Va b
Shunday qilib, misolni yechish ikkita o'zgaruvchining funksiyasining ekstremumini topishga to'g'ri keladi. Ikki noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasi tuziladi va yechiladi. Funksiyaning qisman hosilalarini topish Olingan tenglamalar tizimini har qanday usul yordamida echamiz (masalan almashtirish usuli bilan yoki Kramer usuli) va eng kichik kvadratlar usuli (LSM) yordamida koeffitsientlarni topish formulalarini oling. Berilgan A Va b funktsiyasi Bu eng kichik kvadratlarning butun usuli. Parametrni topish uchun formula a,,, va parametrlarini o'z ichiga oladi n- eksperimental ma'lumotlar miqdori. Ushbu miqdorlarning qiymatlarini alohida hisoblashni tavsiya etamiz. Koeffitsient b hisoblashdan keyin topiladi a. Asl misolni eslash vaqti keldi. Yechim. Bizning misolimizda n=5. Kerakli koeffitsientlar formulalariga kiritilgan miqdorlarni hisoblash qulayligi uchun jadvalni to'ldiramiz. Jadvalning to'rtinchi qatoridagi qiymatlar har bir raqam uchun 2-qatorning qiymatlarini 3-qatorning qiymatlariga ko'paytirish yo'li bilan olinadi. i. Jadvalning beshinchi qatoridagi qiymatlar har bir raqam uchun 2-qatordagi qiymatlarni kvadratga solish orqali olinadi. i. Jadvalning oxirgi ustunidagi qiymatlar qatorlar bo'ylab qiymatlarning yig'indisidir. Koeffitsientlarni topish uchun eng kichik kvadratlar usuli formulalaridan foydalanamiz A Va b. Jadvalning oxirgi ustunidagi tegishli qiymatlarni ularga almashtiramiz: Demak, y = 0,165x+2,184- kerakli yaqinlashuvchi to'g'ri chiziq. Chiziqlarning qaysi biri ekanligini aniqlash uchun qoladi y = 0,165x+2,184 yoki Buning uchun ushbu satrlardan dastlabki ma'lumotlarning kvadratik og'ishlari yig'indisini hisoblashingiz kerak dan beri, keyin to'g'ri y = 0,165x+2,184 asl ma'lumotlarga yaxshiroq yaqinlashadi. Grafiklarda hamma narsa aniq ko'rinadi. Qizil chiziq topilgan to'g'ri chiziqdir y = 0,165x+2,184, ko'k chiziq Amalda, turli jarayonlarni modellashtirishda, xususan, iqtisodiy, fizik, texnik, ijtimoiy - ma'lum sobit nuqtalarda ma'lum qiymatlaridan funktsiyalarning taxminiy qiymatlarini hisoblashning u yoki bu usuli keng qo'llaniladi. Funktsiyani yaqinlashtirish muammosi ko'pincha yuzaga keladi: tajriba natijasida olingan jadval ma'lumotlaridan foydalangan holda o'rganilayotgan jarayonning xarakterli kattaliklarining qiymatlarini hisoblash uchun taxminiy formulalarni qurishda; sonli integrasiya, differensiallash, differensial tenglamalarni yechish va hokazolarda; agar kerak bo'lsa, ko'rib chiqilayotgan intervalning oraliq nuqtalarida funktsiyalar qiymatlarini hisoblang; ko'rib chiqilgan intervaldan tashqarida jarayonning xarakterli miqdorlarining qiymatlarini aniqlashda, xususan, prognozlashda. Agar jadvalda belgilangan muayyan jarayonni modellashtirish uchun eng kichik kvadratlar usuli asosida bu jarayonni taxminan tavsiflovchi funktsiyani tuzadigan bo'lsak, u yaqinlashuvchi funktsiya (regressiya) deb ataladi va yaqinlashuvchi funktsiyalarni qurish masalasining o'zi deyiladi. yaqinlashish muammosi. Ushbu maqolada MS Excel paketining ushbu turdagi masalalarni yechish imkoniyatlari ko‘rib chiqiladi, bundan tashqari, u jadvallashtirilgan funksiyalar uchun regressiyalarni qurish (yaratish) usullari va usullarini taqdim etadi (bu regressiya tahlilining asosidir). Excelda regressiyalarni yaratish uchun ikkita variant mavjud. O'rganilayotgan jarayon xarakteristikasi uchun ma'lumotlar jadvali asosida tuzilgan diagrammaga tanlangan regressiyalarni (trend chiziqlarini) qo'shish (faqat diagramma tuzilgan bo'lsa mavjud); Excel ish varag'ining o'rnatilgan statistik funktsiyalaridan foydalanish, to'g'ridan-to'g'ri manba ma'lumotlar jadvalidan regressiyalarni (trend chiziqlarini) olish imkonini beradi. Grafikga trend chiziqlarini qo'shish Jarayonni tavsiflovchi va diagramma bilan tasvirlangan ma'lumotlar jadvali uchun Excelda samarali regressiya tahlili vositasi mavjud bo'lib, u sizga quyidagilarga imkon beradi: eng kichik kvadratlar usuli asosida qurish va diagrammaga besh turdagi regressiyalarni qo‘shish, ular o‘rganilayotgan jarayonni turli darajadagi aniqlik bilan modellashtirish; tuzilgan regressiya tenglamasini diagrammaga qo‘shish; tanlangan regressiyaning diagrammada ko'rsatilgan ma'lumotlarga muvofiqligi darajasini aniqlash. Grafik ma'lumotlariga asoslanib, Excel sizga tenglama bilan aniqlangan chiziqli, ko'p nomli, logarifmik, quvvatli, eksponensial regressiya turlarini olish imkonini beradi: y = y(x) Bu erda x mustaqil o'zgaruvchi bo'lib, u ko'pincha natural sonlar ketma-ketligining qiymatlarini oladi (1; 2; 3; ...) va, masalan, o'rganilayotgan jarayon vaqtini (xususiyatlar) ortga hisoblashni hosil qiladi. 1
. Chiziqli regressiya qiymatlari doimiy tezlikda ko'tariladigan yoki kamayadigan xususiyatlarni modellashtirish uchun yaxshi. Bu o'rganilayotgan jarayon uchun qurish uchun eng oddiy model. U quyidagi tenglamaga muvofiq tuzilgan: y = mx + b bu erda m - chiziqli regressiya qiyaligining x o'qiga tegishi; b - chiziqli regressiyaning ordinata o'qi bilan kesishish nuqtasining koordinatasi. 2
. Polinomli tendentsiya chizig'i bir nechta aniq ekstremallarga (maksima va minimal) ega xususiyatlarni tavsiflash uchun foydalidir. Polinom darajani tanlash o'rganilayotgan xarakteristikaning ekstremal soni bilan belgilanadi. Shunday qilib, ikkinchi darajali polinom faqat bitta maksimal yoki minimumga ega bo'lgan jarayonni yaxshi tasvirlashi mumkin; uchinchi darajali polinom - ikkita ekstremaldan ko'p bo'lmagan; to'rtinchi darajali polinom - uchta ekstremaldan ko'p bo'lmagan va hokazo. Bunday holda, tendentsiya chizig'i tenglamaga muvofiq tuziladi: y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6 Bu erda c0, c1, c2,... c6 koeffitsientlari konstantalar bo'lib, ularning qiymatlari qurilish vaqtida aniqlanadi. 3
. Logarifmik trend chizig'i qiymatlari dastlab tez o'zgarib, keyin asta-sekin barqarorlashadigan xususiyatlarni modellashtirishda muvaffaqiyatli qo'llaniladi. y = c ln(x) + b 4
. Agar o'rganilayotgan munosabatlarning qiymatlari o'sish sur'atining doimiy o'zgarishi bilan tavsiflangan bo'lsa, kuch-huquqiy tendentsiya chizig'i yaxshi natijalar beradi. Bunday qaramlikka misol sifatida avtomobilning bir tekis tezlashtirilgan harakati grafigi keltiriladi. Agar ma'lumotlarda nol yoki salbiy qiymatlar mavjud bo'lsa, siz quvvat trend chizig'idan foydalana olmaysiz. Tenglamaga muvofiq tuzilgan: y = c xb bu erda b, c koeffitsientlari doimiydir. 5
. Ma'lumotlarning o'zgarish tezligi doimiy ravishda oshib borayotganda eksponensial trend chizig'idan foydalanish kerak. Nol yoki manfiy qiymatlarni o'z ichiga olgan ma'lumotlar uchun ushbu turdagi yaqinlashtirish ham qo'llanilmaydi. Tenglamaga muvofiq tuzilgan: y = c ebx bu erda b, c koeffitsientlari doimiydir. Trend chizig'ini tanlashda Excel avtomatik ravishda R2 qiymatini hisoblab chiqadi, bu yaqinlashishning ishonchliligini tavsiflaydi: R2 qiymati birlikka qanchalik yaqin bo'lsa, trend chizig'i o'rganilayotgan jarayonga shunchalik ishonchli yaqinlashadi. Agar kerak bo'lsa, R2 qiymati har doim diagrammada ko'rsatilishi mumkin. Formula bilan aniqlanadi: Ma'lumotlar qatoriga trend chizig'ini qo'shish uchun: bir qator ma'lumotlarga asoslangan diagrammani faollashtiring, ya'ni diagramma maydonini bosing. Asosiy menyuda Diagramma elementi paydo bo'ladi; ushbu elementni bosgandan so'ng, ekranda trend chizig'ini qo'shish buyrug'ini tanlashingiz kerak bo'lgan menyu paydo bo'ladi. Xuddi shu harakatlar sichqoncha ko'rsatkichini ma'lumotlar qatoridan biriga mos keladigan grafik ustiga olib borib, sichqonchaning o'ng tugmachasini bosish orqali osonlik bilan amalga oshirilishi mumkin; Ko'rsatilgan kontekst menyusida "Trend chizig'ini qo'shish" buyrug'ini tanlang. Ekranda "Trend" yorlig'i ochilgan holda "Trend chizig'i" dialog oynasi paydo bo'ladi (1-rasm). Shundan so'ng sizga kerak bo'ladi: Tur yorlig'ida kerakli trend chizig'i turini tanlang (Chiziqli tur sukut bo'yicha tanlangan). Polinom turi uchun Degree maydonida tanlangan ko'phadning darajasini belgilang. 1
. O'rnatilgan seriya maydonida ko'rib chiqilayotgan diagrammadagi barcha ma'lumotlar seriyalari ro'yxati keltirilgan. Muayyan ma'lumotlar qatoriga trend chizig'ini qo'shish uchun "O'rnatilgan seriya" maydonida uning nomini tanlang. Agar kerak bo'lsa, Parametrlar yorlig'iga o'tish orqali (2-rasm) trend chizig'i uchun quyidagi parametrlarni o'rnatishingiz mumkin: yaqinlashtiruvchi (tekislashtirilgan) egri chiziq maydoni nomidagi trend chizig'i nomini o'zgartiring. Prognoz maydonida prognoz uchun davrlar sonini (oldinga yoki orqaga) belgilang; diagramma maydonida tendentsiya chizig'i tenglamasini ko'rsatish, buning uchun diagrammadagi katakchada tenglamani ko'rsatishni yoqishingiz kerak; diagramma maydonida R2 taxminiy ishonchlilik qiymatini ko'rsatish, buning uchun siz diagrammada taxminiy ishonchlilik qiymatini joylashtirish (R^2) katagiga belgi qo'yishingiz kerak; trend chizig'ining Y o'qi bilan kesishish nuqtasini o'rnating, buning uchun egri chiziqning Y o'qi bilan bir nuqtada kesishishi uchun katakchani yoqishingiz kerak; Muloqot oynasini yopish uchun OK tugmasini bosing. Chizilgan trend chizig'ini tahrirlashni boshlash uchun uchta usul mavjud: oldindan trend chizig'ini tanlagan holda Format menyusidagi Tanlangan trend chizig'i buyrug'idan foydalaning; kontekst menyusidan trend chizig‘ini sichqonchaning o‘ng tugmasi bilan bosish orqali chaqiriladigan “Format trend line” buyrug‘ini tanlang; trend chizig'ini ikki marta bosing. Ekranda "Trend chizig'i formati" dialog oynasi paydo bo'ladi (3-rasm), unda uchta yorliq mavjud: Ko'rish, Tur, Parametrlar va oxirgi ikkitasining mazmuni Trend chizig'i muloqot oynasining o'xshash yorliqlariga to'liq mos keladi (1-rasm). -2). Ko'rinish yorlig'ida siz chiziq turini, uning rangi va qalinligini belgilashingiz mumkin. Allaqachon chizilgan trend chizig'ini o'chirish uchun o'chiriladigan trend chizig'ini tanlang va Delete tugmasini bosing. Ko'rib chiqilayotgan regressiya tahlili vositasining afzalliklari quyidagilardan iborat: grafiklar bo'yicha trend chizig'ini uning uchun ma'lumotlar jadvalini yaratmasdan qurishning nisbatan qulayligi; taklif qilingan tendentsiyalar turlarining juda keng ro'yxati va bu ro'yxat eng ko'p ishlatiladigan regressiya turlarini o'z ichiga oladi; o'rganilayotgan jarayonning xulq-atvorini o'zboshimchalik bilan (sog'lom fikr doirasida) oldinga va orqaga qadamlar bilan bashorat qilish qobiliyati; trend chizig'i tenglamasini analitik shaklda olish qobiliyati; agar kerak bo'lsa, yaqinlashishning ishonchliligi bahosini olish imkoniyati. Kamchiliklarga quyidagilar kiradi: trend chizig'ini qurish faqat bir qator ma'lumotlarga asoslangan diagramma mavjud bo'lganda amalga oshiriladi; O'rganilayotgan xarakteristikalar uchun olingan trend chizig'i tenglamalari asosida ma'lumotlar seriyasini yaratish jarayoni biroz chalkash: kerakli regressiya tenglamalari dastlabki ma'lumotlar seriyasi qiymatlarining har bir o'zgarishi bilan yangilanadi, lekin faqat diagramma maydonida. , eski chiziq tenglamasi tendentsiyasi asosida tuzilgan ma'lumotlar qatori o'zgarishsiz qoladi; PivotChart hisobotlarida diagramma yoki bogʻlangan jamlanma jadval hisoboti koʻrinishini oʻzgartirish mavjud trend chiziqlarini saqlamaydi, yaʼni trend chiziqlarini chizish yoki PivotChart hisobotini boshqa yoʻl bilan formatlashdan oldin, hisobot tartibi kerakli talablarga javob berishiga ishonch hosil qilishingiz kerak. Grafik, gistogramma, yassi standartlashtirilmagan maydon diagrammalari, shtrixli diagrammalar, tarqalish diagrammalari, pufakchalar diagrammalari va birja grafiklari kabi diagrammalarda taqdim etilgan ma'lumotlar seriyasini to'ldirish uchun trend chiziqlaridan foydalanish mumkin. Siz 3D, normallashtirilgan, radar, pirog va donut diagrammalarida maʼlumotlar seriyasiga trend chiziqlarini qoʻsha olmaysiz. Excelning o'rnatilgan funktsiyalaridan foydalanish Excelda shuningdek, diagramma maydonidan tashqarida trend chiziqlarini chizish uchun regressiya tahlili vositasi mavjud. Bu maqsadda foydalanishingiz mumkin bo'lgan bir qator statistik ish varag'i funktsiyalari mavjud, ammo ularning barchasi faqat chiziqli yoki eksponensial regressiyalarni yaratishga imkon beradi. Excelda chiziqli regressiyani yaratish uchun bir nechta funktsiyalar mavjud, xususan: TREND; SLOPE va CUT. Shuningdek, eksponensial trend chizig'ini yaratish uchun bir nechta funktsiyalar, xususan: LGRFPRIBL. Shuni ta'kidlash kerakki, TREND va GROWTH funktsiyalaridan foydalangan holda regressiyalarni qurish usullari deyarli bir xil. LINEST va LGRFPRIBL funksiyalari juftligi haqida ham xuddi shunday deyish mumkin. Ushbu to'rtta funktsiya uchun qiymatlar jadvalini yaratishda regressiyalarni yaratish jarayonini biroz chalkashtirib yuboradigan massiv formulalari kabi Excel xususiyatlaridan foydalaniladi. Shuni ham ta'kidlab o'tamizki, chiziqli regressiyani qurish, bizning fikrimizcha, SLOPE va INTERCEPT funktsiyalari yordamida eng oson bajariladi, bu erda ularning birinchisi chiziqli regressiyaning qiyaligini aniqlaydi, ikkinchisi esa regressiya bilan kesilgan segmentni aniqlaydi. y o'qi. Regressiya tahlili uchun o'rnatilgan funktsiyalar vositasining afzalliklari quyidagilardan iborat: trend chiziqlarini aniqlaydigan barcha o'rnatilgan statistik funktsiyalar uchun o'rganilayotgan xarakteristikaning ma'lumotlar seriyasini yaratishning juda oddiy, bir xil jarayoni; ishlab chiqarilgan ma'lumotlar seriyalari asosida trend chiziqlarini qurishning standart metodologiyasi; o'rganilayotgan jarayonning harakatini oldinga yoki orqaga kerakli miqdordagi qadamlar bilan bashorat qilish qobiliyati. Kamchiliklar qatoriga Excel-da boshqa (chiziqli va eksponensial) trend chiziqlarini yaratish uchun o'rnatilgan funktsiyalar mavjud emas. Bu holat ko'pincha o'rganilayotgan jarayonning etarlicha aniq modelini tanlashga, shuningdek, haqiqatga yaqin prognozlarni olishga imkon bermaydi. Bundan tashqari, TREND va GROWTH funksiyalaridan foydalanilganda, tendentsiya chiziqlari tenglamalari noma'lum. Shuni ta'kidlash kerakki, mualliflar regressiya tahlili kursini to'liqlik darajasi bilan taqdim etishni maqsad qilmaganlar. Uning asosiy vazifasi - taxminiy masalalarni yechishda aniq misollar yordamida Excel paketining imkoniyatlarini ko'rsatish; regressiya va prognozlash uchun Excelning qanday samarali vositalari mavjudligini ko'rsatish; regressiya tahlili bo'yicha keng ma'lumotga ega bo'lmagan foydalanuvchi tomonidan ham bunday muammolarni qanday qilib nisbatan oson hal qilish mumkinligini ko'rsating. Muayyan muammolarni hal qilish misollari Keling, sanab o'tilgan Excel vositalaridan foydalangan holda muayyan muammolarni hal qilishni ko'rib chiqaylik. Muammo 1 1995-2002 yillardagi avtotransport korxonasining foydasi to'g'risidagi ma'lumotlar jadvali bilan. quyidagilarni qilishingiz kerak: Diagramma tuzing. Grafikga chiziqli va polinom (kvadrat va kub) trend chiziqlarini qo'shing. Trend chizig'i tenglamalaridan foydalanib, 1995-2004 yillardagi har bir trend chizig'i uchun korxona foydasi bo'yicha jadval ma'lumotlarini oling. 2003 va 2004 yillar uchun korxona foydasi prognozini tuzing. Muammoning yechimi Excel ish varag'ining A4:C11 katakchalari oralig'iga rasmda ko'rsatilgan ish varag'ini kiriting. 4. B4:C11 katakchalari diapazonini tanlab, biz diagramma tuzamiz. Biz tuzilgan diagrammani faollashtiramiz va yuqorida tavsiflangan usulga ko'ra, "Trend chizig'i" dialog oynasida (1-rasmga qarang) trend chizig'ining turini tanlagandan so'ng, diagrammaga navbat bilan chiziqli, kvadratik va kubik tendentsiya chiziqlarini qo'shamiz. Xuddi shu dialog oynasida Parametrlar yorlig'ini oching (2-rasmga qarang), yaqinlashtiruvchi (tekislashtirilgan) egri chiziq nomi maydoniga qo'shilayotgan tendentsiya nomini kiriting va oldinga prognoz: davrlar maydoniga o'rnating. 2-qiymat, chunki kelgusi ikki yil uchun foyda prognozini tuzish rejalashtirilgan. Diagramma maydonida regressiya tenglamasini va yaqinlashuv ishonchliligi qiymati R2 ni ko'rsatish uchun ekranda belgilash katakchalarida tenglamani ko'rsatishni yoqing va diagrammaga yaqinlashish ishonchliligi qiymatini (R^2) qo'ying. Yaxshiroq vizual idrok etish uchun biz tuzilgan trend chiziqlarining turini, rangini va qalinligini o'zgartiramiz, buning uchun biz "Trend chizig'i formati" muloqot oynasining "Ko'rish" yorlig'idan foydalanamiz (3-rasmga qarang). Olingan diagramma qo'shilgan trend chiziqlari bilan rasmda ko'rsatilgan. 5. 1995-2004 yillardagi har bir tendentsiya yo'nalishi bo'yicha korxona foydasi bo'yicha jadval ma'lumotlarini olish. Shaklda keltirilgan tendentsiya chizig'i tenglamalaridan foydalanamiz. 5. Buning uchun D3:F3 diapazonidagi katakchalarga tanlangan trend chizig’i turi haqidagi matnli ma’lumotlarni kiriting: Chiziqli trend, Kvadrat trend, Kub trend. Keyinchalik, D4 katakchaga chiziqli regressiya formulasini kiriting va to'ldirish belgisidan foydalanib, ushbu formuladan D5: D13 katakcha diapazoniga nisbiy havolalar bilan nusxa oling. Shuni ta'kidlash kerakki, D4:D13 katakchalari diapazonidagi chiziqli regressiya formulasiga ega bo'lgan har bir katak argument sifatida A4:A13 diapazonidagi mos keladigan katakka ega. Xuddi shunday, kvadratik regressiya uchun E4:E13 katakchalar diapazonini, kubik regressiya uchun esa F4:F13 katakchalar diapazonini to‘ldiring. Shunday qilib, korxonaning 2003 va 2004 yillardagi foydasi prognozi tuzildi. uchta tendentsiyadan foydalanish. Olingan qiymatlar jadvali rasmda ko'rsatilgan. 6. Muammo 2 Diagramma tuzing. Grafikga logarifmik, quvvat va eksponensial tendentsiya chiziqlarini qo'shing. Olingan tendentsiya chiziqlari tenglamalarini, shuningdek ularning har biri uchun R2 ga yaqinlik ishonchlilik qiymatlarini chiqaring. Trend chizig'i tenglamalaridan foydalanib, 1995-2002 yillardagi har bir trend chizig'i uchun korxona foydasi to'g'risida jadval ma'lumotlarini oling. Ushbu tendentsiya chiziqlaridan foydalangan holda kompaniyaning 2003 va 2004 yillardagi foydasi prognozini tuzing. Muammoning yechimi 1-masalani yechishda berilgan metodologiyaga amal qilib, unga logarifmik, quvvat va eksponensial trend chiziqlari qo‘shilgan diagramma olamiz (7-rasm). Keyinchalik, olingan tendentsiya chizig'i tenglamalaridan foydalanib, biz korxona foydasi uchun qiymatlar jadvalini, shu jumladan 2003 va 2004 yillar uchun bashorat qilingan qiymatlarni to'ldiramiz. (8-rasm). Shaklda. 5 va rasm. logarifmik tendentsiyaga ega model taxminiy ishonchlilikning eng past qiymatiga mos kelishini ko'rish mumkin R2 = 0,8659 R2 ning eng yuqori qiymatlari polinom tendentsiyasiga ega modellarga mos keladi: kvadratik (R2 = 0,9263) va kubik (R2 = 0,933). Muammo 3 1-topshiriqda berilgan 1995-2002 yillardagi avtotransport korxonasining foydasi to'g'risidagi ma'lumotlar jadvali bilan siz quyidagi amallarni bajarishingiz kerak. TREND va GROW funktsiyalaridan foydalangan holda chiziqli va eksponensial trend chiziqlari uchun ma'lumotlar seriyasini oling. TREND va GROWTH funksiyalaridan foydalanib, korxonaning 2003 va 2004 yillardagi foydasi prognozini tuzing. Dastlabki ma'lumotlar va olingan ma'lumotlar seriyasi uchun diagramma tuzing. Muammoning yechimi 1-muammo uchun ishchi varaqdan foydalanamiz (4-rasmga qarang). TREND funksiyasidan boshlaylik: korxona foydasi to'g'risidagi ma'lum ma'lumotlarga mos keladigan TREND funktsiyasi qiymatlari bilan to'ldirilishi kerak bo'lgan D4: D11 katakchalari diapazonini tanlang; Insert menyusidan Function buyrug'ini chaqiring. Ko'rsatilgan Funktsiya ustasi muloqot oynasida Statistik kategoriyadan TREND funksiyasini tanlang va keyin OK tugmasini bosing. Xuddi shu amalni standart asboblar panelidagi (Vstavit funksiyasi) tugmasini bosish orqali bajarish mumkin. Ko'rsatilgan Funktsiya argumentlari dialog oynasida "Ma'lum_qiymatlar_y" maydoniga C4:C11 katakchalar oralig'ini kiriting; ma'lum_qiymatlar_x maydonida - B4:B11 katakchalar diapazoni; Kiritilgan formulani massiv formulasiga aylantirish uchun ++ tugmalar birikmasidan foydalaning. Formulalar qatoriga kiritgan formulamiz quyidagicha ko'rinadi: =(TREND(C4:C11,B4:B11)). Natijada, D4: D11 katakchalari diapazoni TREND funksiyasining mos qiymatlari bilan to'ldiriladi (9-rasm). Korxonaning 2003 va 2004 yillardagi foydasi prognozini tuzish. zarur: TREND funksiyasi tomonidan bashorat qilingan qiymatlar kiritiladigan D12:D13 katakchalar diapazonini tanlang. TREND funksiyasini chaqiring va paydo bo'lgan Funktsiya argumentlari dialog oynasida "Ma'lum_qiymatlar_y" maydoniga - C4:C11 katakchalar diapazoni kiriting; ma'lum_qiymatlar_x maydonida - B4:B11 katakchalar diapazoni; va New_values_x maydonida - B12:B13 katakchalar diapazoni. Ctrl + Shift + Enter tugmalar birikmasi yordamida ushbu formulani massiv formulasiga aylantiring. Kiritilgan formula quyidagicha ko'rinadi: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)) va D12:D13 katakchalari diapazoni TREND funktsiyasining taxmin qilingan qiymatlari bilan to'ldiriladi (2-rasmga qarang). 9). Ma'lumotlar seriyasi xuddi shunday tarzda to'ldiriladi GROWTH funktsiyasi, bu chiziqli bo'lmagan bog'liqliklarni tahlil qilishda qo'llaniladi va uning chiziqli hamkasbi TREND bilan bir xil ishlaydi. 10-rasmda formulani ko'rsatish rejimida jadval ko'rsatilgan. Dastlabki ma'lumotlar va olingan ma'lumotlar seriyasi uchun rasmda ko'rsatilgan diagramma. o'n bir. Muammo 4 Avtotransport korxonasining dispetcherlik xizmati tomonidan joriy oyning 1-dan 11-sanasigacha bo'lgan davrda xizmatlar uchun arizalarni qabul qilish to'g'risidagi ma'lumotlar jadvali bilan siz quyidagi amallarni bajarishingiz kerak. Chiziqli regressiya uchun ma'lumotlar qatorini oling: SLOPE va INTERCEPT funksiyalaridan foydalanish; LINEST funksiyasidan foydalanish. LGRFPRIBL funktsiyasidan foydalanib, eksponensial regressiya uchun bir qator ma'lumotlarni oling. Yuqoridagi funksiyalardan foydalanib, joriy oyning 12-dan 14-kuniga qadar dispetcherlik xizmatiga arizalar kelib tushishi haqida prognoz tuzing. Asl va olingan ma'lumotlar seriyasi uchun diagramma yarating. Muammoning yechimi E'tibor bering, TREND va GROWTH funksiyalaridan farqli o'laroq, yuqorida sanab o'tilgan funksiyalarning hech biri (SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB) regressiya emas. Bu funktsiyalar zarur regressiya parametrlarini belgilab, faqat yordamchi rol o'ynaydi. SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB funksiyalari yordamida tuzilgan chiziqli va eksponensial regressiyalar uchun TREND va GROWTH funksiyalariga mos keladigan chiziqli va eksponensial regressiyalardan farqli o‘laroq, ularning tenglamalarining ko‘rinishi doimo ma’lum bo‘ladi. 1
. Keling, tenglama bilan chiziqli regressiya quramiz: y = mx+b SLOPE va INTERCEPT funksiyalaridan foydalanib, regressiya qiyaligi m SLOPE funksiyasi bilan, erkin termin b esa INTERCEPT funksiyasi bilan aniqlanadi. Buning uchun biz quyidagi harakatlarni bajaramiz: asl jadvalni A4:B14 yacheyka diapazoniga kiriting; m parametrining qiymati C19 katakchasida aniqlanadi. Statistik kategoriyadan Slope funksiyasini tanlang; ma'lum_qiymatlar_y maydoniga B4:B14 katakchalar diapazonini va ma'lum_qiymatlar_x maydoniga A4:A14 katakchalar diapazonini kiriting. Formula C19 katakchaga kiritiladi: =SLOPE(B4:B14,A4:A14); Shunga o'xshash texnikadan foydalanib, D19 katakdagi b parametrining qiymati aniqlanadi. Va uning mazmuni quyidagicha ko'rinadi: =SEGMENT(B4:B14,A4:A14). Shunday qilib, chiziqli regressiyani yaratish uchun zarur bo'lgan m va b parametrlarining qiymatlari mos ravishda C19, D19 kataklarida saqlanadi; Keyin C4 katagiga chiziqli regressiya formulasini quyidagi shaklda kiriting: =$C*A4+$D. Ushbu formulada C19 va D19 katakchalari mutlaq havolalar bilan yoziladi (mumkin bo'lgan nusxa ko'chirish paytida hujayra manzili o'zgarmasligi kerak). Mutlaq mos yozuvlar belgisi $ kursorni katak manziliga qo'ygandan so'ng klaviaturadan yoki F4 tugmasi yordamida terilishi mumkin. To'ldirish dastagidan foydalanib, ushbu formulani C4:C17 katakchalari oralig'iga ko'chiring. Biz kerakli ma'lumotlar seriyasini olamiz (12-rasm). So'rovlar soni butun son bo'lganligi sababli, Hujayra formati oynasining Raqam yorlig'ida o'nli kasrlar soni bilan raqam formatini 0 ga o'rnatishingiz kerak. 2
. Endi tenglama bilan berilgan chiziqli regressiya quramiz: y = mx+b LINEST funksiyasidan foydalanish. Buning uchun: LINEST funksiyasini massiv formulasi sifatida C20:D20 katakcha diapazoniga kiriting: =(LINEST(B4:B14,A4:A14)). Natijada C20 katakchada m parametr qiymatini, D20 katakda b parametr qiymatini olamiz; formulani D4 katakka kiriting: =$C*A4+$D; ushbu formulani to'ldirish belgisi yordamida D4:D17 katakcha diapazoniga ko'chiring va kerakli ma'lumotlar seriyasini oling. 3
. Eksponensial regressiyani tenglama bilan quramiz: LGRFPRIBL funksiyasidan foydalangan holda u xuddi shunday amalga oshiriladi: C21:D21 hujayra diapazonida biz LGRFPRIBL funksiyasini massiv formulasi sifatida kiritamiz: =( LGRFPRIBL (B4:B14,A4:A14)). Bunda C21 katakda m parametrning qiymati, D21 katakda b parametrining qiymati aniqlanadi; formula E4 katakka kiritiladi: =$D*$C^A4; to'ldirish belgisi yordamida bu formula E4:E17 katakchalari diapazoniga ko'chiriladi, bu erda eksponensial regressiya uchun ma'lumotlar seriyasi joylashadi (12-rasmga qarang). Shaklda. 13-rasmda biz foydalanadigan funktsiyalarni kerakli hujayra diapazonlari, shuningdek formulalar bilan ko'rishingiz mumkin bo'lgan jadval ko'rsatilgan. Kattalik R
2
chaqirdi aniqlash koeffitsienti. Regressiyaga bog'liqlikni qurish vazifasi (1) modelning m koeffitsientlari vektorini topishdir, bunda R koeffitsienti maksimal qiymatni oladi. R ning ahamiyatini baholash uchun formula yordamida hisoblangan Fisherning F testi qo'llaniladi Qayerda n- namuna hajmi (tajribalar soni); k - model koeffitsientlari soni. Agar F ma'lumotlar uchun kritik qiymatdan oshsa n Va k va qabul qilingan ishonch ehtimoli, keyin R qiymati muhim hisoblanadi. F ning kritik qiymatlari jadvallari matematik statistika bo'yicha ma'lumotnomalarda keltirilgan. Shunday qilib, R ning ahamiyati nafaqat uning qiymati, balki tajribalar soni va modelning koeffitsientlari (parametrlari) soni o'rtasidagi nisbat bilan ham aniqlanadi. Darhaqiqat, oddiy chiziqli model uchun n=2 uchun korrelyatsiya nisbati 1 ga teng (tekislikdagi 2 nuqta orqali har doim bitta to'g'ri chiziq o'tkazilishi mumkin). Biroq, agar tajriba ma'lumotlari tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsa, R ning bunday qiymatiga juda ehtiyotkorlik bilan ishonish kerak. Odatda, sezilarli R va ishonchli regressiyani olish uchun ular tajribalar soni model koeffitsientlari sonidan (n>k) sezilarli darajada oshib ketishini ta'minlashga intiladi. Chiziqli regressiya modelini yaratish uchun sizga kerak bo'ladi: 1) eksperimental ma'lumotlarni o'z ichiga olgan n ta satr va m ustun ro'yxatini tayyorlang (chiqish qiymatini o'z ichiga olgan ustun) Y ro'yxatda birinchi yoki oxirgi bo'lishi kerak); Misol uchun, oldingi vazifadan ma'lumotlarni olaylik, "Davr raqami" deb nomlangan ustunni qo'shib, davr raqamlarini 1 dan 12 gacha raqamlang. (bu qiymatlar bo'ladi. X) 2) Ma'lumotlar/Ma'lumotlarni tahlil qilish/Regressiya menyusiga o'ting Agar "Asboblar" menyusidagi "Ma'lumotlarni tahlil qilish" bandi yo'q bo'lsa, siz xuddi shu menyudagi "Qo'shimchalar" bandiga o'tishingiz va "Tahlil paketi" katagiga belgi qo'yishingiz kerak. 3) "Regressiya" dialog oynasida quyidagilarni o'rnating: · kiritish oralig'i Y; · kirish oralig'i X; · chiqish oralig'i - hisoblash natijalari joylashtiriladigan intervalning yuqori chap katakchasi (ularni yangi ish varag'iga joylashtirish tavsiya etiladi); 4) "Ok" tugmasini bosing va natijalarni tahlil qiling. Eng kichik kvadratlar usulining mohiyati shundan iborat
har qanday tasodifiy hodisaning vaqt yoki makonda rivojlanish tendentsiyasini eng yaxshi tavsiflovchi trend modeli parametrlarini topishda (trend - bu rivojlanish tendentsiyasini tavsiflovchi chiziq). Eng kichik kvadratlar usuli (LSM) vazifasi nafaqat trend modelini topish, balki eng yaxshi yoki optimal modelni topishdan iborat. Kuzatilgan haqiqiy qiymatlar va mos keladigan hisoblangan trend qiymatlari o'rtasidagi kvadrat og'ishlar yig'indisi minimal (eng kichik) bo'lsa, ushbu model optimal bo'ladi: bu erda kuzatilgan haqiqiy qiymat orasidagi kvadrat og'ish va mos keladigan hisoblangan trend qiymati, O'rganilayotgan hodisaning haqiqiy (kuzatilgan) qiymati, Trend modelining hisoblangan qiymati, O'rganilayotgan hodisani kuzatishlar soni. MNC o'z-o'zidan juda kam qo'llaniladi. Qoidaga ko'ra, u ko'pincha korrelyatsiya tadqiqotlarida faqat zarur texnik texnika sifatida ishlatiladi.
Shuni esda tutish kerakki, OLS ning axborot asosi faqat ishonchli statistik qator bo'lishi mumkin va kuzatishlar soni 4 tadan kam bo'lmasligi kerak, aks holda OLSni tekislash tartib-qoidalari aqlni yo'qotishi mumkin. MNC asboblar to'plami quyidagi tartiblarni o'z ichiga oladi: Birinchi protsedura.
Tanlangan omil-argument o'zgarganda natijaviy atributni o'zgartirish tendentsiyasi mavjudmi yoki boshqacha qilib aytganda, "o'rtasida bog'liqlik bormi?" da
"Va" X
». Ikkinchi protsedura.
Qaysi chiziq (traektoriya) ushbu tendentsiyani eng yaxshi tavsiflashi yoki tavsiflashi mumkinligi aniqlanadi. Uchinchi protsedura.
Misol. Aytaylik, bizda o‘rganilayotgan xo‘jalik bo‘yicha kungaboqarning o‘rtacha hosildorligi haqida ma’lumot bor (9.1-jadval). 9.1-jadval Kuzatuv raqami Hosildorlik, c/ga Mamlakatimizda kungaboqar yetishtirish texnologiyasi darajasi so‘nggi 10 yil ichida deyarli o‘zgarmaganligi sababli, demak, tahlil qilinayotgan davrda hosildorlikning o‘zgarishi ko‘p jihatdan ob-havo va iqlim sharoitlarining o‘zgarishiga bog‘liq bo‘lgan. Bu haqiqatan ham rostmi? Birinchi OLS protsedurasi.
Tahlil qilinayotgan 10 yil davomida ob-havo va iqlim sharoitlarining o'zgarishiga qarab kungaboqar hosildorligining o'zgarishi tendentsiyasi mavjudligi haqidagi gipoteza sinovdan o'tkazildi. Ushbu misolda " uchun y
"kungaboqar hosilini olish tavsiya etiladi va" x
» – tahlil qilinayotgan davrda kuzatilgan yil soni. o'rtasidagi har qanday munosabatlarning mavjudligi haqidagi gipotezani sinab ko'rish " x
"Va" y
"Ikki usulda amalga oshirilishi mumkin: qo'lda va kompyuter dasturlari yordamida. Albatta, kompyuter texnologiyalari mavjudligi bilan bu muammoni o'z-o'zidan hal qilish mumkin. Ammo MNC vositalarini yaxshiroq tushunish uchun "o'rtasidagi munosabatlarning mavjudligi haqidagi gipotezani sinab ko'rish tavsiya etiladi" x
"Va" y
» qo'lda, faqat qalam va oddiy kalkulyator qo'lda bo'lganda. Bunday hollarda tendentsiya mavjudligi haqidagi gipoteza tahlil qilinadigan dinamika seriyasining grafik tasvirining joylashuvi - korrelyatsiya maydoni bilan eng yaxshi vizual tarzda tekshiriladi: Bizning misolimizdagi korrelyatsiya maydoni asta-sekin o'sib boruvchi chiziq atrofida joylashgan. Bu o'z-o'zidan kungaboqar hosildorligi o'zgarishida ma'lum bir tendentsiya mavjudligidan dalolat beradi. Korrelyatsiya maydoni aylana, aylana, qat'iy vertikal yoki qat'iy gorizontal bulutga o'xshagan yoki tartibsiz tarqalgan nuqtalardan iborat bo'lsa, har qanday tendentsiya mavjudligi haqida gapirish mumkin emas. Boshqa barcha holatlarda, "o'rtasidagi munosabatlarning mavjudligi haqidagi gipoteza" x
"Va" y
", va tadqiqotni davom ettiring. Ikkinchi OLS protsedurasi.
Qaysi chiziq (traektoriya) tahlil qilinayotgan davr mobaynida kungaboqar hosildorligining o'zgarish tendentsiyasini eng yaxshi tavsiflashi yoki tavsiflashi mumkinligi aniqlanadi. Agar sizda kompyuter texnologiyasi mavjud bo'lsa, optimal tendentsiyani tanlash avtomatik ravishda sodir bo'ladi. "Qo'lda" ishlov berishda optimal funktsiyani tanlash, qoida tariqasida, vizual ravishda - korrelyatsiya maydonining joylashuvi bo'yicha amalga oshiriladi. Ya'ni, grafik turidan kelib chiqib, empirik tendentsiyaga (haqiqiy traektoriya) eng mos keladigan chiziq tenglamasi tanlanadi. Ma'lumki, tabiatda juda ko'p turli xil funktsional bog'liqliklar mavjud, shuning uchun ularning kichik qismini ham vizual tahlil qilish juda qiyin. Yaxshiyamki, real iqtisodiy amaliyotda ko'pchilik munosabatlarni parabola yoki giperbola yoki to'g'ri chiziq bilan juda aniq tasvirlash mumkin. Shu munosabat bilan, eng yaxshi funktsiyani tanlashning "qo'lda" opsiyasi bilan siz o'zingizni faqat ushbu uchta model bilan cheklashingiz mumkin. Giperbola: Ikkinchi tartibli parabola: Bizning misolimizda kungaboqar hosildorligining tahlil qilinayotgan 10 yil davomida o'zgarishi tendentsiyasi to'g'ri chiziq bilan eng yaxshi tavsiflanganligini ko'rish oson, shuning uchun regressiya tenglamasi to'g'ri chiziq tenglamasi bo'ladi. Uchinchi protsedura.
Ushbu chiziqni tavsiflovchi regressiya tenglamasining parametrlari hisoblab chiqiladi yoki boshqacha aytganda, eng yaxshi trend modelini tavsiflovchi analitik formula aniqlanadi. Regressiya tenglamasi parametrlarining qiymatlarini topish, bizning holatlarimizda va parametrlari OLS ning yadrosidir. Bu jarayon normal tenglamalar tizimini yechishgacha boradi. Bu tenglamalar tizimini Gauss usuli bilan juda oson yechish mumkin. Eslatib o'tamiz, yechim natijasida bizning misolimizda va parametrlarining qiymatlari topilgan. Shunday qilib, topilgan regressiya tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: 
Hayotdan misol
Men ataylab yomon natijalarga erishmadim, chunki... Men eng kichik kvadratlar usullarini qanday aniq qo'llash mumkinligini ko'rsatmoqchi edim, bu o'quv kodi. Endi hayotdan bir misol keltiraman: 
Eng kichik kvadratlar usulining (LSM) mohiyati.
eng kichik qiymatni oladi. Ya'ni, berilgan A Va b eksperimental ma'lumotlarning topilgan to'g'ri chiziqdan kvadrat og'ishlari yig'indisi eng kichik bo'ladi. Bu eng kichik kvadratlar usulining butun nuqtasidir.Koeffitsientlarni topish formulalarini chiqarish.
o'zgaruvchilar bo'yicha A Va b, bu hosilalarni nolga tenglashtiramiz. 
eng kichik qiymatni oladi. Bu faktning isboti keltirilgan sahifaning oxiridagi matnda quyida.
dastlabki ma'lumotlarni yaxshiroq yaqinlashtiradi, ya'ni eng kichik kvadratlar usulidan foydalangan holda baho beradi.Eng kichik kvadratlar usulini xato baholash.
Va 
, kichikroq qiymat eng kichik kvadratlar usuli ma'nosida asl ma'lumotlarni yaxshiroq yaqinlashtiradigan chiziqqa mos keladi. 
Eng kichik kvadratlar (LS) usulining grafik tasviri.
, pushti nuqtalar asl ma'lumotlardir.
:
(9.2)
