Tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami deyiladi. Tasodifiy qiymat

Taqsimot funksiyasi tasodifiy miqdorning universal xarakteristikasidir. U har qanday tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mavjud: diskret va uzluksiz.

Tarqatish funksiyasi xususiyatlari:

1. x 1 > x 2 bo‘lganda F(x 1)> F(x 2)

2. F(-∞)=0

3. F(+∞)=1

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funksiyasi uzluksiz pog'onali funktsiya bo'lib, tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlariga mos keladigan nuqtalarda sakrashlar sodir bo'ladi va bu qiymatlarning ehtimolliklari tengdir. Bu sakrashlarning yig'indisi bittaga teng.

1 F(x)

Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilarning asosiy xarakteristikalari:

tarqatish funktsiyasi;

tarqatish diapazoni;

uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun:

tarqatish funktsiyasi;

tarqatish zichligi.

Har qanday qonun qandaydir funktsiyani ifodalaydi va bu funktsiyaning spetsifikatsiyasi tasodifiy o'zgaruvchini to'liq tavsiflaydi.

Biroq, ketma-ketlikni hal qilish amaliy vazifalar har doim ham tasodifiy miqdorni to'liq tavsiflash shart emas. Tasodifiy o'zgaruvchini tavsiflovchi faqat ba'zi raqamli parametrlarni ko'rsatish kifoya.

Maqsad taqsimotning eng muhim belgilarini konsentrlangan shaklda ifodalashdan iborat bo'lgan bunday xususiyatlar deyiladi tasodifiy miqdorning raqamli xarakteristikalari.

Lavozim xususiyatlari

(MOV, rejim, median)

Amaldagi tasodifiy o'zgaruvchilarning barcha raqamli xarakteristikalari orasida tasodifiy o'zgaruvchining raqamli o'qdagi o'rnini tavsiflovchi xarakteristikalar ko'proq qo'llaniladi, ya'ni ular tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari guruhlangan ba'zi o'rtacha qiymatlarni ko'rsatadi.

Buning uchun quyidagi xususiyatlar qo'llaniladi:

· kutilayotgan qiymat;

median.

Matematik kutish (o'rtacha qiymat) quyidagicha hisoblanadi:

X 1 R 1 +x 2 R 2 +….+x n R n ∑ x i r i

r 1 + r 2 + …..+r n n

Sharti bilan; inobatga olgan holda ∑ p i , CAN ga teng M[X] = ∑ x i p i

Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi - bu tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarning ehtimolliklari mahsuloti yig'indisi.

Yuqoridagi formula faqat diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun amal qiladi.

Uzluksiz miqdorlar uchun

M[X] = ∫ x f(x)dx, qayerda f(x) - tarqatish zichligi X.

Mavjud turli yo'llar bilan o'rtacha qiymatni hisoblash. O'rtacha ko'rsatkichlarni ifodalashning eng keng tarqalgan shakllari arifmetik o'rtacha, median va rejim.

Arifmetik o'rtacha umumiy qiymatni bo'lish yo'li bilan olinadi bu belgi butun bir hil statistik populyatsiya uchun ushbu populyatsiya birliklari soni bo'yicha. O'rtacha arifmetikni hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaniladi:

Xsr = (X1+X2+... +Xn):n,

Bu erda Xi - aholining i-birligi atributining qiymati, n - aholi birliklari soni.

Moda tasodifiy o'zgaruvchiga uning eng ehtimoliy qiymati deyiladi.

M

Median tartiblangan qatorning o'rtasida joylashgan qiymat deyiladi. Seriyadagi toq sonli birliklar uchun mediana noyob bo'lib, aynan qatorning o'rtasida joylashgan; juft son uchun u o'rta pozitsiyani egallagan populyatsiyaning ikkita qo'shni birligining o'rtacha qiymati sifatida aniqlanadi.

Statistika ommaviy hodisalarning miqdoriy tomonini oʻrganuvchi fan sohasi jamoat hayoti alohida elementlardan, birliklardan iborat. Elementlarning kombinatsiyasi statistik populyatsiyani tashkil qiladi. Tadqiqotning maqsadi - bu hodisaning rivojlanishining miqdoriy qonuniyatlarini o'rnatish. U ehtimollar nazariyasi va katta sonlar qonunini qo'llashga asoslangan. Bu qonunning mohiyati shundan iboratki, populyatsiyaning alohida elementlarining individual tasodifiy tebranishlariga qaramay, umumiy massada ma'lum bir qonuniyat namoyon bo'ladi, bu butun populyatsiyaga xosdir. O'rganilayotgan hodisani tavsiflovchi yagona elementlarning soni qanchalik ko'p hisobga olinsa, ushbu hodisaga xos bo'lgan qonuniyat shunchalik aniq namoyon bo'ladi.

Jinoyat - bu ijtimoiy, ommaviy hodisa bo'lib, u yagona jinoiy ko'rinishdagi ko'plab faktlarning statistik majmuidir. Bu statistika nazariyasi usullarini uni o'rganishda qo'llashga asos beradi.

Ijtimoiy hodisalarni statistik tadqiqotlarda uch bosqichni ajratish mumkin:

1) statistik kuzatish, ya'ni. birlamchi statistik materiallarni to'plash;

2) to'plangan ma'lumotlarni umumlashtirilgan qayta ishlash, uning davomida natijalar hisoblab chiqiladi, umumlashtirilgan (jamlanma) ko'rsatkichlar hisoblanadi va natijalar jadval va grafiklar shaklida taqdim etiladi;

3) tahlil, uning davomida o'rganilayotgan statistik populyatsiyaning qonuniyatlari, uning turli tarkibiy qismlari o'rtasidagi bog'liqlik ochib beriladi, umumlashtiruvchi ko'rsatkichlarning mazmunli talqini amalga oshiriladi.

Statistik tadqiqotning birinchi bosqichi statistik kuzatishdir. Bu alohida rol o'ynaydi, chunki ma'lumotlarni yig'ish jarayonida yo'l qo'yilgan xatolarni ishning keyingi bosqichlarida tuzatish deyarli mumkin emas, bu oxir-oqibatda o'rganilayotgan hodisaning xususiyatlari haqida noto'g'ri xulosalar chiqarishga, ularning noto'g'ri talqin qilinishiga olib keladi.

Faktlarni qayd etish usuliga ko`ra statistik kuzatish uzluksiz va uzluksizlarga bo`linadi. Uzluksiz yoki joriy deganda faktlarni aniqlash va aniqlash ular yuzaga kelgan paytda amalga oshiriladigan kuzatish tushuniladi. Uzluksiz kuzatishda faktlar muntazam ravishda yoki ma'lum vaqt oralig'ida yoki kerak bo'lganda qayd etiladi.

So'ralgan aholi birliklarining qamroviga ko'ra uzluksiz va uzluksiz kuzatishlar ajratiladi. Uzluksiz kuzatish - bu o'rganilayotgan aholining barcha birliklari hisobga olinadi. Masalan, jinoyatlarni qayd etish nazariy jihatdan uzluksiz kuzatishdir. Biroq, amalda yashirin jinoyatlar deb ataladigan jinoyatlarning ma'lum bir qismi o'rganilayotgan statistik populyatsiyadan tashqarida qoladi va shuning uchun haqiqatda bunday kuzatish doimiy emas. Uzluksiz kuzatish - bu o'rganilayotgan populyatsiyaning barcha birliklari ro'yxatga olinmasligi kerak. U bir necha turlarga bo'linadi: asosiy massivni kuzatish, tanlab kuzatish va boshqalar.

Asosiy massivni kuzatish (uni ba'zan nomukammal uzluksiz usul deb ham ataladi) uzluksiz kuzatishning bir turi bo'lib, unda ob'ektning barcha birliklari to'plamidan ularning eng katta, ustun qismini tashkil etuvchi qismi kuzatiladi. butun to'plamning ulushi. Ushbu usul bo'yicha kuzatish aholining barcha birliklarini uzluksiz qamrab olish muayyan qiyinchiliklar bilan bog'liq bo'lgan va shu bilan birga, ma'lum miqdordagi birliklarni kuzatishdan chiqarib tashlash xususiyatlar to'g'risidagi xulosalarga sezilarli ta'sir ko'rsatmaydigan hollarda qo'llaniladi. butun aholining. Shuning uchun jinoyatlarni ro'yxatga olishni ko'proq kuzatuvning ushbu turiga bog'lash mumkin.

Uzluksiz kuzatishning eng mukammal turi tanlab olinadi, unda butun populyatsiyani tavsiflash uchun uning faqat ma'lum bir qismi tekshiriladi, ammo ma'lum qoidalarga muvofiq namuna olinadi. Namuna olish kuzatuvining to'g'riligining asosiy sharti shunday tanlashdir, buning natijasida birliklarning tanlangan qismi, o'rganiladigan barcha belgilarga ko'ra, butun boshlilikni to'g'ri tavsiflaydi. Ko'pincha sotsiologik tadqiqot jarayonida tanlab kuzatish qo'llaniladi. Kelajakda biz tanlab kuzatish jarayonida birliklarni tanlash qoidalari va usullarini ko'rib chiqamiz.

Birlamchi material to'plangan va tekshirilgandan so'ng, statistik tadqiqotning ikkinchi bosqichi - xulosa o'tkaziladi. Statistik kuzatish o'rganilayotgan ob'ektning alohida birliklarini tavsiflovchi materialni beradi. Xulosa vazifasi - xarakterli xususiyatlar va muhim xususiyatlarni aniqlash, o'rganilayotgan hodisa va jarayonlarning qonuniyatlarini ochish uchun kuzatish natijalarini umumlashtirish, tizimlashtirish va umumlashtirish.

Xulosa qilishning eng oddiy misoli barcha xabar qilingan jinoyatlarning yig'indisidir. Biroq, bunday umumlashtirish kriminogen vaziyatning barcha xususiyatlari haqida to'liq tasavvurni bermaydi. Jinoyatni chuqur va har tomonlama tavsiflash uchun jinoyatlarning umumiy sonining turlari, vaqti, sodir etilgan joyi va usuli va boshqalar bo‘yicha qanday taqsimlanganligini bilish zarur.

O'rganilayotgan ob'ekt birliklarining muhim belgilariga ko'ra bir jinsli guruhlarga taqsimlanishi statistik guruhlash deyiladi. Statistika tomonidan o'rganiladigan ob'ektlar odatda ko'plab xususiyatlar va turli belgilar bilan ifodalangan munosabatlar bilan tavsiflanadi. Shuning uchun tekshirilayotgan ob'ektlarni guruhlash statistik tadqiqotning maqsadlaridan kelib chiqib, ushbu belgilarning bir yoki bir nechtasiga ko'ra amalga oshirilishi mumkin. Shunday qilib, organ xodimlarini lavozimlari, maxsus unvonlari, yoshi, ish staji, oilaviy ahvoli va boshqalar bo'yicha guruhlash mumkin.

Birlamchi statistik materiallarni qayta ishlash va tizimlashtirish natijasida o'rganilayotgan hodisa yoki jarayonlarning ayrim tomonlarini yoki ularning o'zgarishini tavsiflovchi raqamli ko'rsatkichlar seriyasi olinadi. Bu qatorlar deyiladi statistik. Mazmuniga ko'ra statistik qatorlar ikki turga bo'linadi: tarqatish seriyalari va dinamika seriyalari. Tarqatish seriyalari - bu har qanday atribut bo'yicha boshlang'ich populyatsiya birliklarining taqsimlanishini tavsiflovchi seriyalar, ularning navlari ma'lum bir tartibda joylashtirilgan. Masalan, jinoyatlarning umumiy sonini taqsimlash bo'yicha ba'zi turlari, lavozimlar bo'yicha barcha xodimlar soni taqsimot seriyasidir.

Dinamik qatorlar - ijtimoiy hodisalar hajmining vaqt o'tishi bilan o'zgarishini tavsiflovchi qatorlar. Bunday turkumlarni batafsil ko'rib chiqish va ulardan jinoiy vaziyatni tahlil qilish va prognoz qilishda foydalanish alohida ma'ruzaning mavzusidir.

Statistik kuzatish natijalari va uning materiallarining xulosalari birinchi navbatda mutlaq qiymatlarda (ko'rsatkichlar) ifodalanadi. Mutlaq qiymatlar ma'lum joy va vaqt sharoitida ijtimoiy hodisaning o'lchamlarini ko'rsatadi, masalan, sodir etilgan jinoyatlar soni yoki ularni sodir etgan shaxslar soni, xodimlarning haqiqiy soni yoki transport vositalarining soni. Mutlaq qiymatlar individual va umumiy (ya'ni jami) ga bo'linadi. Mutlaq qiymatlar alohida ob'ektlar to'plamining alohida birliklarining miqdoriy xususiyatlarining hajmini ifodalovchi individual deb ataladi (masalan, ma'lum bir jinoyat ishi bo'yicha jabrlanganlar yoki moddiy zarar, ma'lum bir xodimning yoshi yoki ish staji). , uning maoshi va boshqalar). Ular bevosita statistik kuzatish jarayonida olinadi va birlamchi buxgalteriya hujjatlarida qayd etiladi. Shaxsiy mutlaq qiymatlar har qanday statistik tadqiqotning asosidir.

Ayrim jami mutlaq qiymatlardan farqli o'laroq, ular statistik kuzatish bilan qamrab olingan ob'ektlarning ma'lum bir to'plami uchun xususiyatning yakuniy qiymatini tavsiflaydi. Ular kuzatuv birliklari sonini to'g'ridan-to'g'ri hisoblash yo'li bilan (masalan, muayyan turdagi jinoyatlar soni) yoki aholining alohida birliklari uchun belgi qiymatlarini yig'ish natijasida olinadi (masalan, barcha jinoyatlar natijasida etkazilgan zarar).

Biroq, o'z-o'zidan qabul qilingan mutlaq qiymatlar har doim ham o'rganilayotgan hodisa va jarayonlar haqida to'g'ri tasavvurga ega emas. Shuning uchun, mutlaq qiymatlar bilan birga katta ahamiyatga ega statistikada nisbiy qiymatlarga ega.

Taqqoslash - statistik ma'lumotlarni baholashning asosiy usuli va ajralmas qismi ularni tahlil qilishning barcha usullari. Biroq, ularning munosabatlarini to'g'ri baholash uchun ikkita miqdorni oddiy taqqoslash etarli emas. Bu nisbatni ham o'lchash kerak. Bunday nisbatning o'lchovi rolini nisbiy qiymatlar bajaradi.

Mutlaqdan farqli o'laroq, nisbiy qiymatlar olingan ko'rsatkichlardir. Ular oddiy yig'ish natijasida emas, balki mutlaq qiymatlarni nisbiy (ko'p) taqqoslash yo'li bilan olinadi.

O'rganilayotgan hodisaning tabiatiga va o'rganishning aniq maqsadlariga qarab, nisbiy miqdorlar turli xil ifoda shakliga (tashqi ko'rinishiga) ega bo'lishi mumkin. Nisbiy qiymatni ifodalashning eng oddiy shakli bir qiymat ikkinchisidan necha marta katta ekanligini, taqqoslash uchun asos sifatida olingan yoki uning qaysi qismi ekanligini ko'rsatadigan raqam (butun yoki kasr).

Ko'pincha ichki ishlar organlarining tahliliy faoliyatida nisbiy raqamlarni ifodalashning boshqa shakli, foiz qo'llaniladi, bunda asosiy qiymat 100 hisoblanadi. Foizni aniqlash uchun natijani ko'paytirish kerak. bir mutlaq qiymatni boshqasiga (baza) 100 ga bo'lish.

Statistik ma'lumotlarni umumlashtirishda o'rtacha qiymat muhim rol o'ynaydi. Statistik populyatsiyaning har bir alohida birligi boshqa har qanday miqdoriy qiymatdan farq qiluvchi individual xususiyatlarga ega bo'lganligi sababli, butun statistik populyatsiyaning umumiy xususiyatlarini tavsiflash uchun, o'rtacha qiymat . Statistikada o'rtacha qiymat deganda bir jinsli populyatsiyaning birligiga o'zgaruvchan belgi darajasini aks ettiruvchi ko'rsatkich tushuniladi.

Statistik populyatsiyaning bir xilligini tavsiflash

tegishli atributga ko'ra turli ko'rsatkichlar qo'llaniladi: o'zgaruvchanlik, dispersiya, standart og'ish. Ushbu ko'rsatkichlar mos keladigan o'rtacha qiymat butun populyatsiyaning xususiyatlarini qay darajada aks ettirishini, uni umuman ushbu statistik populyatsiyaning umumlashtiruvchi xarakteristikasi sifatida ishlatish mumkinligini baholash imkonini beradi. Ushbu ko'rsatkichlarni batafsil ko'rib chiqish mustaqil masaladir.

Xavfli vaziyatda biz ma'lum bir muqobilning natijalarini va bu natijalar yuzaga kelishi ehtimolini bilamiz. Ya'ni, biz natijalarning ehtimollik taqsimotini bilamiz, shuning uchun ularni shaklda ifodalash (modellash) mumkin. tasodifiy o'zgaruvchi. Ushbu bo'limda biz tasodifiy o'zgaruvchilar haqidagi ehtimollar nazariyasidan ma'lumotni va ularni aniqlash usullarini eslaymiz, bu kitob materialini keyingi o'rganish uchun zarur bo'ladi.

Klassik ta'rifga ko'ra, tasodifiy qiymat - bu qiymati tajribadan tajribaga tasodifiy o'zgarishi mumkin bo'lgan miqdor. Ya'ni, har bir "test"da u ma'lum bir to'plamdan bitta qiymatni olishi mumkin. Shu bilan birga, u qanday qiymatga ega bo'lishini oldindan aytib bo'lmaydi.

Tasodifiy o'zgaruvchilar diskret va uzluksiz bo'linadi. Diskret rezyume faqat cheklangan yoki hisoblanuvchi qiymatlar to'plamini qabul qilishi mumkin. Uzluksiz SW har qanday yopiq yoki ochiq intervaldan, shu jumladan cheksiz qiymatdan ham olishi mumkin.

3.2.2. Tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni

Tasodifiy miqdor uning taqsimot qonuni bilan aniqlanadi. tarqatish qonuni belgilangan hisoblanadi, agar:

• tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami (shu jumladan cheksiz) va
• tasodifiy o'zgaruvchining ushbu to'plamning ixtiyoriy mintaqasiga tushish ehtimoli yoki bunday ehtimolni hisoblash imkonini beruvchi qonun (formula).

Darhaqiqat, ehtimollik ma'lum bir hududda tasodifiy o'zgaruvchining paydo bo'lish imkoniyatini tavsiflovchi ko'rsatkichdir.

Ehtimollarni aniqlashning eng keng tarqalgan va keng tarqalgan usuli turli ma'nolar tasodifiy o'zgaruvchi - bu ish ehtimolliklarni taqsimlash funksiyalari, deb qisqartirilgan tarqatish funktsiyasi.

X tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funksiyasi F(x) funksiyasi bo'lib, u CV ning ma'lum bir x qiymatidan kichik qiymat olishi ehtimolini belgilaydi, ya'ni:

F(x) = P(X< x)

X ("x katta") - tasodifiy o'zgaruvchini bildiradi,

x ("x kichik") - tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari to'plamidan ma'lum bir qiymat.

Tarqatish funksiyasi kamaymaydi. X minus cheksizlikka moyil bo'lsa, u nolga intiladi va x plyus cheksizlikka moyil bo'lsa, u birga intiladi.

Tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini ifodalash shakli har xil bo'lishi mumkin va uning diskret yoki uzluksizligiga bog'liq.

Quyidagi bog'liqliklar taqsimot funktsiyasi ta'rifidan kelib chiqadi:

tasodifiy o'zgaruvchining a dan b gacha bo'lgan oraliqda qiymatlarni olish ehtimoli:

P(a ≤ X< b) = F(b) - F(a)

tasodifiy o'zgaruvchining a dan kam bo'lmagan qiymatlarni olish ehtimoli:

3.2.3. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanishini ifodalash usullari

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi taqsimlash funktsiyasi yoki taqsimot qatori (jadval) bilan to'liq aniqlanishi mumkin. Ular jadval, analitik yoki grafik shakllarda taqdim etilishi mumkin.

Aytaylik, X tasodifiy o'zgaruvchisi mos ravishda 25%, 35% va 40% ehtimollik bilan uchta mumkin bo'lgan 25, 45 va 50 qiymatlarini olishi mumkin. Ushbu SWning tarqatish seriyasi quyidagicha ko'rinadi:

Muayyan qiymatdan oshmaslik ehtimolini ko'rsatadigan bir xil tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funktsiyasini quyidagicha yozish mumkin:

3.1-rasmda ushbu diskret tasodifiy miqdor X ning taqsimot qonunini belgilashning grafik usullari keltirilgan.

3.1-rasm.

Ehtimollar taqsimoti qatori p j grafigida har bir mumkin bo'lgan x j qiymatining realizatsiyalari balandligi ehtimolga teng bo'lgan chiziqlar bilan ifodalanadi. Barcha M satrlarning (ya'ni barcha ehtimollar) balandliklari yig'indisi bittaga teng, chunki ular barcha mumkin bo'lgan x qiymatlarini qamrab oladi:

Ba'zan, ustunlar o'rniga, CB qiymatlarini amalga oshirish ehtimolini bog'laydigan siniq chiziq chiziladi.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining a dan kichik qiymat olishi ehtimoli a dan kichik bo'lgan barcha natijalar ehtimoli yig'indisiga teng:

Ta'rifga ko'ra, bu x = a nuqtadagi taqsimot funksiyasining qiymatiga teng. Agar biz koordinata tekisligida taqsimlash funksiyasining qiymatlarini x sifatida minus cheksizlikdan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan barcha qiymatlar bo'ylab "ishlaydi" deb chizsak, biz taqsimlash funktsiyasining grafigini olamiz. Diskret SW uchun u qadamlanadi. Minus cheksizlikdan birinchi mumkin bo'lgan x 1 qiymatigacha bo'lgan oraliqda u nolga teng, chunki bu oraliqda hech qanday qiymatni qabul qilib bo'lmaydi.

Bundan tashqari, x j ning har bir mumkin bo'lgan qiymati taqsimlash funktsiyasini ushbu qiymatning paydo bo'lish ehtimoli p j ga teng miqdorda oshiradi. X j va x j+1 ning ikkita ketma-ket qiymatlari o'rtasida taqsimlash funktsiyasi o'zgarmaydi, chunki boshqa mumkin bo'lgan x qiymatlari va sakrashlar yo'q. Oxir-oqibat, oxirgi mumkin bo'lgan qiymat nuqtasida x M, ehtimollik qiymati bo'yicha sakrash mavjud p M , va tarqatish funktsiyasi birga teng chegara qiymatiga etadi. Bundan tashqari, grafik x o'qiga parallel ravishda shu darajada boradi. U hech qachon yuqori ko'tarilmaydi, chunki ehtimollik birdan katta bo'lishi mumkin emas.

3.2.4. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimlanishini ifodalash usullari

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi qoida tariqasida analitik shaklda taqdim etilgan taqsimot funksiyasi bilan ham beriladi. Bundan tashqari, uni F(x) taqsimot funksiyasining birinchi hosilasi bo‘lgan f(x) ehtimollik zichligi funksiyasi bilan to‘liq tasvirlash mumkin:

Ehtimollar zichligi funksiyasi manfiy emas va uning cheksiz chegaralardagi integrali birga teng.

Oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan uzluksiz tasodifiy miqdorni misol qilib olaylik.

Uning ehtimollik zichligi funktsiyasi analitik tarzda quyidagi formula bilan berilgan:

Bu yerda m X va s X taqsimot parametrlari. m X tarqatish markazining joylashishini tavsiflaydi va s X - bu "markaz" ga nisbatan dispersiya.

Tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi diskret, agar uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami chekli yoki cheksiz bo'lsa, lekin majburiy ravishda hisoblab chiqiladigan qiymatlar to'plami bo'lsa, ya'ni. barcha elementlari (hech bo'lmaganda nazariy jihatdan) raqamlangan va tegishli ketma-ketlikda yozilishi mumkin bo'lgan bunday to'plam.

Yuqorida sanab o'tilgan bunday tasodifiy o'zgaruvchilar, masalan, zar otishda tushadigan ochkolar soni, kun davomida dorixonaga tashrif buyuruvchilar soni, daraxtdagi olma soni diskret tasodifiy o'zgaruvchilardir.

Diskret tasodifiy miqdor haqida eng to'liq ma'lumot tomonidan berilgan tarqatish qonuni bu qiymat - bu tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning mos keladigan ehtimolliklari o'rtasidagi muvofiqlik.

Diskret tasodifiy miqdorni taqsimlash qonuni ko'pincha ikki qatorli jadval shaklida o'rnatiladi, uning birinchi qatorida ushbu o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari (o'sish tartibida), ikkinchi qatorda esa Ushbu qiymatlarga mos keladigan ehtimolliklar:

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari to'liq tizimni ifodalaganligi sababli, ehtimollar yig'indisi bittaga teng ( normalizatsiya holati):

4-misol 12, 10, 8, 10, 9, 12, 8, 11,10 va 9 oʻquvchidan iborat oʻnta talabalar guruhi mavjud. Tasodifiy tanlangan guruhdagi talabalar soni sifatida aniqlangan X tasodifiy o'zgaruvchisi uchun taqsimot qonunini yozing.

Yechim. Ko'rib chiqilayotgan X tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari (o'sish tartibida) 8, 9, 10, 11, 12. Tasodifiy tanlangan guruhda 8 nafar talaba bo'lish ehtimoli teng.

Xuddi shunday, siz X tasodifiy o'zgaruvchining qolgan qiymatlari ehtimolini topishingiz mumkin:

Shunday qilib, kerakli taqsimot qonuni:

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni ushbu o'zgaruvchining har bir mumkin bo'lgan qiymatiga mos keladigan ehtimollikni aniqlash imkonini beruvchi formula yordamida ham aniqlanishi mumkin (masalan, Bernulli taqsimoti, Puasson taqsimoti). Diskret tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum xususiyatlarini tavsiflash uchun undan foydalaning asosiy raqamli xarakteristikalar: matematik kutish, dispersiya va standart og'ish (standart).

matematik kutish Diskret tasodifiy o'zgaruvchining M (X) ("m" belgisi ham ishlatiladi) x uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va mos keladigan ehtimolliklarning har birining mahsuloti yig'indisidir:

Diskret tasodifiy miqdorni matematik kutishning asosiy ma'nosi uning ifodalashidir o'rtacha qiymati berilgan qiymat. Boshqacha qilib aytganda, agar X diskret tasodifiy o'zgaruvchining barcha kuzatilgan qiymatlarining arifmetik o'rtacha qiymati topilgan ma'lum miqdordagi testlar o'tkazilgan bo'lsa, unda bu arifmetik o'rtacha taxminan teng bo'ladi (qanchalik aniq bo'lsa, raqam shunchalik katta bo'ladi). testlar) ushbu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutishiga.

Keling, matematik kutishning ba'zi xususiyatlarini keltiraylik.

1. Doimiy qiymatning matematik kutilishi shu doimiy qiymatga teng:

M(S)=S

2. O‘zgarmas omilning diskret tasodifiy miqdorning ko‘paytmasining matematik kutilishi ushbu doimiy omilning berilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasiga ko‘paytmasiga teng:

M(kX)=kM(X)

3. Ikki tasodifiy miqdor yig‘indisining matematik kutilishi bu o‘zgaruvchilarning matematik kutilmalari yig‘indisiga teng:

M(X+Y)=M(X)+M(Y)

4. Mustaqil tasodifiy miqdorlar ko‘paytmasining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari ko‘paytmasiga teng:

M(XY)=M(X)M(Y)

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining alohida qiymatlari markaz sifatida matematik kutish atrofida guruhlangan. Diskret tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarining uning matematik kutilishiga nisbatan tarqalish darajasini tavsiflash uchun kontseptsiya kiritilgan. diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi.

dispersiyaX diskret tasodifiy miqdorning D(X) (“s 2” belgisi ham ishlatiladi) bu miqdorning matematik kutilmasidan chetlanish kvadratining matematik kutilishidir:

D(X)=s 2 =M((X - m) 2),(11)

Amalda, formula bo'yicha dispersiyani hisoblash qulayroqdir

D (X) \u003d s 2 \u003d M (X 2) - m 2, (12)

Dispersiyaning asosiy xususiyatlarini sanab o'tamiz.

1. Doimiy qiymatning dispersiyasi nolga teng:

1. Har qanday tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi manfiy bo'lmagan sondir:

D(X)≥0

1. Diskret tasodifiy o‘zgaruvchiga doimiy k omil ko‘paytmasining dispersiyasi ushbu doimiy omil kvadratining ko‘paytmasiga va berilgan tasodifiy miqdorning dispersiyasiga teng:

D(kX)=k 2 D(X).

Hisoblash nuqtai nazaridan, dispersiya emas, balki tasodifiy o'zgaruvchining tarqalishining yana bir o'lchovi qulayroqdir. X, bu eng ko'p qo'llaniladi standart og'ish(standart og'ish yoki oddiygina standart).

Standart og'ish Diskret tasodifiy o'zgaruvchiga uning dispersiyasining kvadrat ildizi deyiladi:

Standart og'ishning qulayligi shundaki, u tasodifiy o'zgaruvchining o'lchamiga ega X, dispersiya esa o'lchamning kvadratini ifodalovchi o'lchamga ega x.

Ishning oxiri -

Ushbu mavzu quyidagilarga tegishli:

Ehtimollar nazariyasining elementlari

Mavzuning ilmiy va uslubiy asoslanishi .. ehtimollar nazariyasi bundaylarni o'rganishda o'zini namoyon qiladigan qonuniyatlarni o'rganadi.. ko'plab tasodifiy hodisalarni ..da qiymatlarni qabul qiladigan tasodifiy o'zgaruvchilar bilan aniqlash mumkin.

Agar sizga ushbu mavzu bo'yicha qo'shimcha material kerak bo'lsa yoki siz qidirayotgan narsangizni topa olmasangiz, bizning ishlar ma'lumotlar bazasida qidiruvdan foydalanishni tavsiya etamiz:

Qabul qilingan material bilan nima qilamiz:

Agar ushbu material siz uchun foydali bo'lib chiqsa, uni ijtimoiy tarmoqlardagi sahifangizga saqlashingiz mumkin:

Ta'rif. Tasodifiy o'zgaruvchi - bu raqamli qiymat bo'lib, uning qiymati tasodifiy natija bilan tajriba natijasida qanday elementar natija yuzaga kelganiga bog'liq. Tasodifiy o'zgaruvchi qabul qilishi mumkin bo'lgan barcha qiymatlar to'plamiga ushbu tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami deyiladi.

Tasodifiy o'zgaruvchilar quyidagilarni bildiradi: X, Y 1, Zi; ξ , ē 1, m i, va ularning mumkin bo'lgan qiymatlari x 3, y 1k, zij.

Misol. Zarni bir marta tashlash bilan tajribada tasodifiy o'zgaruvchi raqam hisoblanadi X ochko yo'qotdi. Tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami X shaklga ega

{x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x 6 \u003d 6}.

Bizda elementar natijalar o'rtasida quyidagi yozishmalar mavjud ω va tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari X:

Ya'ni, har bir elementar natija uchun ō i, i=1, …, 6, raqam beriladi i.

Misol. Tanga "gerb" birinchi paydo bo'lgunga qadar tashlanadi. Ushbu tajribada siz, masalan, quyidagi tasodifiy o'zgaruvchilarni kiritishingiz mumkin: X- ko'plab mumkin bo'lgan qiymatlarga ega "gerb" ning birinchi paydo bo'lishidan oldin otishlar soni ( 1, 2, 3, … ) Va Y- ko'plab mumkin bo'lgan qiymatlarga ega "gerb" birinchi paydo bo'lishidan oldin tushgan "raqamlar" soni {0, 1, 2, …} (bu aniq X=Y+1). Ushbu tajribada elementar natijalar maydoni Ω ko‘pchilik bilan aniqlash mumkin

{G, CG, CG, …, C…CG, …},

va elementar natija ( Ts … TsG) raqamga tayinlanadi m+1 yoki m, qayerda m- "C" harfining takroriy soni.

Ta'rif. skalyar funksiya X(ō), elementar natijalar fazosida berilgan, agar mavjud bo'lsa, tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi x ∈ R (ō:X(ō)< x} hodisa hisoblanadi.

Tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasi

Tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik xususiyatlarini o'rganish uchun tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari kichik to'plamidan qiymat olish ehtimolini topishga imkon beruvchi qoidani bilish kerak. Har qanday bunday qoida ehtimollik taqsimoti qonuni yoki tasodifiy miqdorning taqsimlanishi deb ataladi.

Barcha tasodifiy miqdorlarga xos bo'lgan umumiy taqsimot qonuni taqsimot funktsiyasidir.

Ta'rif. Tasodifiy miqdorning taqsimlanish funksiyasi (ehtimolliklari). X funksiyani chaqiring F(x), qiymati nuqtada bo'lgan x hodisaning ehtimoliga teng (X< x} , ya'ni o'sha va faqat elementar natijalardan iborat hodisa ω , buning uchun X(ō)< x :

F(x) = P(X< x} .

Odatda, bir nuqtada taqsimlash funktsiyasining qiymati deyiladi x tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoliga teng X dan kichik qiymatni oladi x.

Teorema. Tarqatish funktsiyasi quyidagi xususiyatlarni qondiradi:

Tarqatish funksiyasining tipik shakli.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar

Ta'rif. Tasodifiy qiymat X Agar uning mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami chekli yoki sanab bo'ladigan bo'lsa, diskret deyiladi.

Ta'rif. Diskret tasodifiy miqdorning yaqin taqsimoti (ehtimolliklari). X Ikki qatordan iborat jadvalni chaqiring: yuqori qatorda tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va pastki qatorda ehtimolliklar ro'yxati keltirilgan. p i =P\(X=x i \) tasodifiy o'zgaruvchi bu qiymatlarni oladi.

Jadvalning to'g'riligini tekshirish uchun ehtimolliklarni yig'ish tavsiya etiladi pi. Normallashtirish aksiomasi tufayli:

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qatoriga asoslanib, uning taqsimot funksiyasini qurish mumkin F(x). Bo'lsin X- , uning taqsimot qatori bilan berilgan va x 1< x 2 < … < x n . Keyin hamma uchun x ≤ x 1 voqea (X< x} shuning uchun ta'rifiga ko'ra mumkin emas F(x)=0. Agar x 1< x≤ x 2 , keyin voqea (X< x} ular uchun faqat o'sha elementar natijalardan iborat X(ō)=x 1. Binobarin, F(x)=p 1. Xuddi shunday, qachon x2< x ≤ x 3 voqea (X< x} elementar natijalardan iborat ω , buning uchun ham X(ō)=x 1, yoki X(ō)=x2, ya'ni (X< x}={X=x 1 }+{X=x 2 } . Binobarin, F(x)=p1 +p2 va hokazo. Da x > xn voqea (X< x} albatta, unda F(x)=1.

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni analitik tarzda qandaydir formula yoki grafik ko'rinishda ham aniqlanishi mumkin. Masalan, zarning taqsimlanishi formula bilan tavsiflanadi

P(X=i) = 1/6, i=1, 2, …, 6.

Ba'zi diskret tasodifiy o'zgaruvchilar

Binomiy taqsimot. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X binomial qonun bo'yicha taqsimlanadi, agar u 0, 1, 2, ... qiymatlarini qabul qilsa, n Bernulli formulasi bilan berilgan taqsimotga muvofiq:

Bu taqsimot muvaffaqiyatlar sonini taqsimlashdan boshqa narsa emas X ichida n muvaffaqiyat ehtimoli bilan Bernoulli sxemasi bo'yicha testlar p va muvaffaqiyatsizlik q=1-p.

Puasson taqsimoti. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X Agar ehtimollik bilan manfiy bo'lmagan butun son qiymatlarini qabul qilsa, Puasson qonuniga muvofiq taqsimlanadi

qayerda λ > 0 Puasson taqsimot parametridir.

Puasson taqsimoti kamdan-kam uchraydigan hodisalar qonuni deb ham ataladi, chunki u har doim ko'p sonli sinovlar o'tkaziladigan joyda paydo bo'ladi, ularning har birida "nodir" hodisa kichik ehtimollik bilan sodir bo'ladi.

Puasson qonuniga muvofiq taqsimlanadi, masalan, telefon stantsiyasida kun davomida qabul qilingan qo'ng'iroqlar soni; ma'lum bir hududga tushgan meteoritlar soni; moddaning radioaktiv parchalanishida parchalangan zarrachalar soni.

Geometrik taqsimot. Bernulli sxemasini yana bir bor ko'rib chiqing. Bo'lsin X birinchi muvaffaqiyatga erishgunga qadar amalga oshiriladigan sinovlar soni. Keyin X- 0, 1, 2, … qiymatlarini oladigan diskret tasodifiy o'zgaruvchilar, n, … Hodisa ehtimolini aniqlang (X=n).

• X=0, agar birinchi sinov muvaffaqiyatli bo'lsa, demak, P(X=0)=p.
• X=1 Agar birinchi sinov muvaffaqiyatsizlikka uchrasa va ikkinchisi muvaffaqiyatli bo'lsa, unda P(X=1)=qp.
• X=2, agar dastlabki ikkita sinovda - muvaffaqiyatsizlikka uchragan bo'lsa, uchinchisida - muvaffaqiyat, keyin P(X=2)=q 2 p.
• Jarayonni davom ettirib, biz olamiz P(X=i)=q i p, i=0, 1, 2, …

  Bunday taqsimot qatoriga ega tasodifiy miqdor geometrik qonunga muvofiq taqsimlangan deb ataladi.

TASOSODIY QIYMATLAR

Ehtimollar nazariyasining eng muhim tushunchalaridan biri (tasodifiy hodisa va ehtimollik bilan birga) tasodifiy miqdor tushunchasidir.

Ta'rif. Tasodifiy o'zgaruvchi deganda men tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qiladigan va qaysi biri oldindan ma'lum bo'lmagan o'zgaruvchini tushunaman.

Tasodifiy o'zgaruvchilar (qisqartirilgan r.v.) katta lotin harflari bilan belgilanadi. X, Y, Z,… (yoki kichik yunon harflari x (xi), h (eta), q (teta), y (psi) va boshqalar) va ularning mumkin bo'lgan qiymatlari mos keladigan kichik harflarda X,da,z.

r.v.ga misollar. quyidagicha xizmat qilishi mumkin: 1) yuzta yangi tug'ilgan chaqaloq orasida tug'ilgan o'g'il bolalar soni tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, quyidagi mumkin bo'lgan qiymatlarga ega: 0, 1, 2, ..., 100;

2) quroldan otilganda snaryad uchadigan masofa tasodifiy miqdordir. Haqiqatan ham, masofa nafaqat ko'rishni o'rnatishga, balki to'liq hisobga olinmaydigan ko'plab boshqa omillarga (shamolning kuchi va yo'nalishi, harorat va boshqalar) bog'liq. Ushbu miqdorning mumkin bo'lgan qiymatlari ma'lum bir intervalga tegishli ( lekin, b).

3) X- zar otishda paydo bo'ladigan ochkolar soni;

4) Y- nishonga birinchi zarba berishdan oldingi o'qlar soni;

5) Z- qurilmaning ish vaqti va boshqalar. (odamning balandligi, dollar kursi, partiyadagi nuqsonli qismlar soni, havo harorati, o'yinchining to'lovlari, agar u tasodifiy tanlangan bo'lsa, nuqta koordinatasi, kompaniyaning foydasi, ...).

Birinchi misolda tasodifiy o'zgaruvchi X quyidagi mumkin bo'lgan qiymatlardan birini qabul qilishi mumkin: 0, 1, 2, . . ., 100. Bu qiymatlar bir-biridan mumkin bo'lgan qiymatlar bo'lmagan bo'shliqlar bilan ajratilgan. X. Shunday qilib, ushbu misolda tasodifiy o'zgaruvchi alohida, izolyatsiya qilingan mumkin bo'lgan qiymatlarni oladi. Ikkinchi misolda tasodifiy o'zgaruvchi har qanday interval qiymatlarini olishi mumkin ( lekin, b). Bu erda bitta mumkin bo'lgan qiymatni boshqasidan tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarini o'z ichiga olmaydigan oraliq bilan ajratib bo'lmaydi.

Yuqorida aytilganlardan faqat alohida, ajratilgan qiymatlarni qabul qiladigan tasodifiy o'zgaruvchilar va mumkin bo'lgan qiymatlari ma'lum bir bo'shliqni to'liq to'ldiradigan tasodifiy o'zgaruvchilarni ajratish maqsadga muvofiq degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Ta'rif. Diskret(uzluksiz) tasodifiy o'zgaruvchi (qisqartirilgan d.r.v.) bo'lib, u ma'lum ehtimolliklarga ega bo'lgan alohida, sanaladigan mumkin bo'lgan qiymatlarni oladi. Diskret tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin.

Ta'rif. Agar r.v ning mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami bo'lsa. sanab bo'lmaydigan bo'lsa, unda bunday miqdor deyiladi davomiy(qisqartirilgan n.s.v.). Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi ma'lum bir chekli yoki cheksiz oraliqdan barcha qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Shubhasiz, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni cheksizdir.

tasodifiy o'zgaruvchilar X Va Y(3 va 4-misollar) diskretdir. S.v. Z(5-misol) uzluksiz: uning mumkin bo'lgan qiymatlari intervalga tegishli)