Qanday qilib beqaror tizimni barqaror tizimga aylantirish mumkin. Sanoat robotlarini avtomatik boshqarish tizimlarining barqarorligini aniqlash

Ushbu bo'limda boshqariladigan tizimlarning eng muhim sifat xususiyatlari muhokama qilinadi. Bu xususiyatlar tizim barqarorligi, aniqlik va shovqin immunitetidir.

Barqarorlik tushunchasi tizimning kirish signallari nolga teng bo'lgan vaziyatni bildiradi, ya'ni. tashqi ta'sirlar yo'q. Bunday holda, to'g'ri tuzilgan tizim muvozanat (dam olish) holatida bo'lishi yoki asta-sekin bu holatga yaqinlashishi kerak. Beqaror tizimlarda, hatto kirish signallari nolga teng bo'lsa ham, tabiiy tebranishlar paydo bo'ladi va buning natijasida qabul qilib bo'lmaydigan darajada katta xatolar yuzaga keladi.

Aniqlik tushunchasi o'zgaruvchan kirish signallari bilan boshqariladigan tizimlarning ishlash sifati bilan bog'liq. To'g'ri ishlab chiqilgan boshqaruv tizimlarida belgilangan nazorat qonuni g (t) va chiqish signali x (t) o'rtasidagi nomuvofiqlik kattaligi kichik bo'lishi kerak.

Nihoyat, aralashuvning boshqaruv tizimlariga ta'sirini tavsiflash uchun shovqin ta'siridan kelib chiqadigan xato komponentining dispersiyasi yoki standart og'ishi qo'llaniladi.

Barqarorlik tushunchasi

Chiziqli boshqaruv tizimlarini tadqiq qilish va loyihalashda yuzaga keladigan birinchi savollardan biri ularning barqarorligi masalasidir. Chiziqli tizim deyiladi barqaror, agar tashqi ta'sirlar uni muvozanat (dam olish) holatidan olib tashlasa, tashqi ta'sirlar to'xtatilgandan keyin unga qaytadi. Agar tashqi ta'sir to'xtatilgandan keyin tizim muvozanat holatiga qaytmasa, u holda beqaror. Boshqarish tizimining normal ishlashi uchun uning barqaror bo'lishi kerak, chunki aks holda unda katta xatolar yuzaga keladi.

Barqarorlikni aniqlash odatda amalga oshiriladi dastlabki bosqich boshqaruv tizimini yaratish. Bu ikki sababga bog'liq. Birinchidan, barqarorlikni tahlil qilish juda oddiy. Ikkinchidan, beqaror tizimlar tuzatilishi mumkin, ya'ni. maxsus tuzatuvchi havolalarni qo'shish orqali barqarorlarga aylantiriladi.

Algebraik mezonlardan foydalangan holda barqarorlikni tahlil qilish

Tizimning barqarorligi uning o'z tebranishlarining tabiati bilan bog'liq. Buni ko'rsatish uchun sistema differentsial tenglama bilan tasvirlangan deb faraz qilaylik

yoki Laplas konvertatsiyasidan keyin,

Bu erda g(p) - kiritish harakati.

Agar kirish harakati g(p) 0 bo'lsa, barqaror tizim dam olish holatiga qaytadi. Shunday qilib, barqaror tizim uchun bir jinsli differensial tenglamaning yechimi nolga moyil bo'lishi kerak, chunki t cheksizlikka intiladi.

Agar xarakteristik tenglamaning p1, p2, ... , pn ildizlari topilsa, u holda bir jinsli tenglamaning yechimi shaklda yoziladi.

Qanday hollarda tizim barqaror bo'ladi?

Faraz qilaylik, pk = ak haqiqiy ildiz.

ck atamasi unga mos keladi. Qachon ak< 0 это слагаемое будет стремиться к нулю, если t стремится к бесконечности. Если же ak >0, keyin t cheksizlikka intilganda x(t); . Nihoyat, ak = 0 bo'lganda, ko'rib chiqilayotgan atama t cheksizlikka moyil bo'lsa ham o'zgarmaydi,

Keling, bu xarakteristik tenglamaning kompleks ildizi deb faraz qilaylik. E'tibor bering, bu holda u xarakterli tenglamaning ildizi ham bo'ladi. Ikki murakkab konjugat ildizlar shakl shartlariga mos keladi , .

Bundan tashqari, agar ak< 0, то в системе имеются затухающие колебания. При ak >0 – ortib borayotgan amplitudali tebranishlar, ak = 0 da – doimiy amplitudali tebranishlar sk.

Shunday qilib, xarakteristik tenglamaning barcha ildizlarining haqiqiy qismlari manfiy bo'lsa, tizim barqaror hisoblanadi. Agar kamida bitta ildiz ak ³ 0 haqiqiy qismiga ega bo'lsa, u holda tizim beqaror. Agar xarakteristik tenglamaning kamida bitta ildizi nolga teng haqiqiy qismga ega bo'lsa va boshqa barcha ildizlarning haqiqiy qismlari manfiy bo'lsa, tizim barqarorlik chegarasida deyiladi.

Ushbu ta'rif geometrik jihatdan yaxshi tasvirlangan. Xarakteristik tenglamaning ildizlarini kompleks tekislikdagi nuqtalar sifatida tasvirlaymiz (15-rasm).

Agar barcha ildizlar kompleks o'zgaruvchining chap yarim tekisligida yotsa, u holda tizim barqarordir. Agar murakkab o'zgaruvchining o'ng yarim tekisligida kamida bitta ildiz bo'lsa, tizim beqarordir. Agar ildizlar xayoliy o'qda va chap yarim tekislikda bo'lsa, u holda tizim barqarorlik chegarasida deyiladi.

Misol tariqasida, bitta integratsiyalashgan havolaga ega bo'lgan yopiq konturli boshqaruv tizimini ko'rib chiqaylik. Bunda H(p) = , , va yopiq sikl sistemaning uzatish funksiyasi

.

Tizim chiqishi x(p) = W(p)g(p) yoki . E’tibor bering, p+k=0 xarakteristik tenglama yopiq sikl boshqaruv sistemasining uzatish funksiyasining maxrajini nolga tenglashtirib yoziladi. Bu holda bitta ildiz mavjud p1= -k< 0 и поэтому система управления всегда устойчива. Предположим теперь, что . Тогда . Xarakteristik tenglama p2 + + k = 0. Shuning uchun p1,2=. Tizim barqarorlik chegarasida. Unda susaytirilmagan tebranishlar mavjud.

Chastota mezonlari yordamida barqarorlikni tahlil qilish

Turg‘unlikni tahlil qilishda ko‘rib chiqilayotgan algebraik yondashuvning asosiy kamchiligi shundaki, murakkab boshqaruv tizimlarida pk, k=1, 2, ..., n maxrajning ildizlari bilan elementar parametrlar o‘rtasida bog‘lanishni o‘rnatish qiyin. boshqaruv tizimini tashkil etuvchi havolalar. Bu beqaror tizimlarni tuzatishda qiyinchiliklarga olib keladi. Barqarorlik tahlilini soddalashtirish uchun bu tahlilni ochiq tsiklli boshqaruv tizimining H(p) uzatish funksiyasidan foydalangan holda amalga oshirish maqsadga muvofiqdir.

1932 yilda amerikalik olim Nyquist teskari aloqa kuchaytirgichlarining barqarorligini tahlil qilishning samarali usulini ishlab chiqdi. 1938 yilda sovet olimi A.V. Mixaylov Nyquist usulini yopiq konturli avtomatik boshqaruv tizimlariga umumlashtirdi.

Nyquist mezoni ochiq tsiklli boshqaruv tizimining H(jw) uzatish funksiyasining godografini qurishga asoslangan. H(j) uzatish funksiyasining godografiw) w chastotani 0 dan cheksizgacha o'lchashda kompleks tekislikdagi H(jw) =|H(jw)|ejj(w) vektorining oxiri bilan chizilgan egri chiziq.

Nyquist barqarorlik mezoni eng sodda tarzda tuzilgan: yopiq tizim ochiq konturli sistemaning H(jw) uzatish funksiyasining godografi kompleks tekislikdagi (-1, j0) koordinatali nuqtani qamrab olmasa, boshqaruv barqaror hisoblanadi. Raqamlarda barqaror (16-rasm, a) va beqaror (16-rasm, b) boshqaruv tizimlarining godograflari misollari keltirilgan.

Agar godograf -1 nuqtadan o'tsa, u holda sistema barqarorlik chegarasida joylashgan deyiladi. Bunda ma'lum H(jw0)= -1 chastotada sistemada w0 chastotasining so'nmagan tebranishlari mavjud bo'lishi mumkin. Stabil bo'lmagan tizimlarda signal darajasi x(t) vaqt o'tishi bilan ortadi. Barqarorlarda - pasayish.

Barqarorlik chegarasi

Ko'rib chiqilayotgan mezonning yana bir afzalligi - bu boshqaruv tizimining barqarorlik chegarasini aniqlash qobiliyati. Barqarorlik chegarasi ikkita ko'rsatkich bilan tavsiflanadi: mustahkamlash uchun barqarorlik chegarasi Va faza barqarorligi chegarasi.

Mustahkamlash barqarorligi chegarasi g =1/|H(jw0)| qiymati bilan aniqlanadi, bu erda w0 - chastota (17-rasm, a). Barqarorlik chegarasi g yopiq konturli tizim barqarorlik chegarasida bo'lishi uchun ochiq konturli boshqaruv tizimining uzatish funksiyasi moduli necha marta o'zgarishi (ko'tarilishi) kerakligini ko'rsatadi. Kerakli barqarorlik marjasi tizimning uzatish koeffitsienti ish paytida hisoblanganga nisbatan qanchalik ko'payishi mumkinligiga bog'liq.

Faza barqarorligi chegarasi burchak bilan baholanadi , bu erda chastota wsp, deyiladi kesish chastotasi, |H(jwcp)|=1 sharti bilan aniqlanadi (17-rasm, b).

Dj qiymati yopiq tsiklli tizim barqarorlik chegarasida bo'lishi uchun ochiq tsiklli boshqaruv tizimining fazaviy xarakteristikasi qanchalik o'zgarishi kerakligini ko'rsatadi. Faza barqarorligi chegarasi odatda etarli deb hisoblanadi, agar
|Dj| ³ 30o.

Logarifmik amplituda-chastota xarakteristikalari yordamida barqarorlikni tahlil qilish

Ko'p hollarda ochiq tsiklli boshqaruv tizimi uzatish funktsiyalari bilan n ta tipik bog'lanishning ketma-ket ulanishi sifatida ifodalanishi mumkin. . Bunday holda, ochiq-oydin tizimning uzatish funktsiyasi mahsulot bilan belgilanadi . Logarifmik amplituda-chastota javobi alohida havolalarning LAX yig'indisiga teng bo'ladi:

.

Ko'pgina elementar bo'g'inlarning LAC ni to'g'ri chiziqli segmentlar bilan yaqinlashtirish mumkinligi sababli, ochiq tsiklli boshqaruv tizimining LAC ham chastota o'qiga nishablari bo'lgan to'g'ri chiziqli segmentlar shaklida taqdim etiladi, bu o'n yillikda 20 desibelga ko'paytiriladi.

Misol. Ochiq sikl sistemaning uzatish funksiyasi quyidagi ko rinishga ega bo lsin

.

Bunday tizim ikkita integratorni o'z ichiga oladi, uzatish funktsiyasi bilan majburiy bog'lanish va uzatish funktsiyasi bilan aperiodik bog'lanish . Keling, bunday tizimning alohida bo'g'inlarining LAC ni rasmda grafiklar ko'rinishida keltiramiz. 18, a. Taqdim etilgan grafiklarni umumlashtirib, biz ochiq tsiklli tizimning LAC ni olamiz (18-rasm, b).

Yuqoridagi raqamlardan kelib chiqqan holda, umumiy LAC qurilishi juda oddiy. Faqat majburiy va aperiodik bog'lanishlarning konjugat chastotalariga mos keladigan nuqtalarda LAC qiyaligining o'zgarishini hisobga olish kerak.

Yopiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining barqarorlik shartlarini tekshirish uchun chastota o'qi bo'ylab bir xil logarifmik shkala bo'yicha faza-chastota xarakteristikasini qurish kerak. . Biroq, muhandislik hisob-kitoblari tajribasi shuni ko'rsatadiki, yopiq konturli avtomatik boshqaruv tizimi, qoida tariqasida, barqaror bo'ladi va agar ochiq tizimning LAC chastotasi chastotaga yaqin bo'lsa, barqarorlik chegarasiga ega.

Chiqib ketish -20 dB / dek nishabga ega. Bunday holda, LARning ushbu kesimining uzunligi qanchalik katta bo'lsa, barqarorlik chegarasi shunchalik katta bo'ladi. Odatda 20 dB / dek nishabli uchastkaning uzunligi kamida 1 o'n yil bo'lishi kerak deb ishoniladi. LAC qiyaligi -20 dB / dek dan yuqori bo'lgan barqaror o'ziyurar qurollar mavjud, ammo bunday tizimlar uchun, qoida tariqasida, barqarorlik chegarasi juda kichik.

Faraz qilaylik, o'rganilayotgan ACS chegara chastotasi atrofida - 20 dB/dek dan ortiq nishabga ega (19-rasm).

ACS ning bo'g'inlari ketma-ket ulanganda, ularning LAClari jamlanganligini hisobga olsak, ACSga tizimning barqarorligini ta'minlaydigan bog'lanishni kiritish kerak. Ko'rib chiqilayotgan holatda, bunday havola rasmda ko'rsatilgan LAC bilan bog'lanish bo'lishi mumkin. 20.

Haqiqatan ham, boshqaruv tizimining LAC (19-rasm) va qo'shimcha havolani jamlagandan so'ng, biz barcha chastotalarda, shu jumladan, 20 dB / dek doimiy nishabga ega bo'lgan LACni olamiz.

kesish chastotasi. Ko'rib chiqilayotgan misolda qo'shimcha tuzatuvchi bog'lanishning uzatish funksiyasi Hf(jw) =1+jwTf va w1 = 1/Tph. Boshqaruv tizimlarining barqarorligini ta'minlash uchun qo'shimcha aloqalarni joriy etish deyiladi tuzatish O'ziyurar qurollar va birliklarning o'zlari - tuzatuvchi.

Ushbu bo'limda boshqaruv tizimlari sifatining eng muhim ko'rsatkichlaridan biri - chiziqli tizimlarning barqarorligini o'rganish usullari ko'rib chiqildi. Ushbu usullarni aniq tizimlarni tahlil qilishda qo'llash odatda quyidagicha amalga oshiriladi. Birinchidan, ochiq tsiklli boshqaruv tizimining LAC quriladi. Agar tizim beqaror bo'lsa, tuzatuvchi elementlar tanlanadi va unga shunday kiritiladiki, LACning kesish chastotasidagi qiyaligi 20 dB / dek bo'ladi va kerakli barqarorlik chegarasi ta'minlanadi. Shundan so'ng, Nyquist-Mikhailov mezonidan foydalangan holda sozlangan tizimning barqarorligini o'rganish va daromad va faza bo'yicha barqarorlik chegaralarining aniq qiymatlarini aniqlash kerak. Agar kerak bo'lsa, boshqaruv tizimining parametrlari belgilangan barqarorlik chegarasini ta'minlash uchun o'zgartiriladi.

SAHIF \* MGEFORMAT 14

Ma’ruza № 4

O'ziyurar qurol barqarorligi

Buzilish bartaraf etilgandan so'ng tizimning dastlabki holatiga qaytish xususiyati barqarorlik deb ataladi.

Ta'rif.

1 va 2 egri chiziqlar barqaror tizimni, 3 va 4 egri chiziqlar beqaror tizimlarni xarakterlaydi.e

Barqarorlik chegarasida 5 va 6 tizimlar 5 - neytral tizim, 6 - tebranish barqarorligi chegarasi.

ACS ning operator ko'rinishidagi differentsial tenglamasi ko'rinishga ega bo'lsin

Keyin differentsial tenglamaning yechimi (tizim harakati) ikki qismdan iborat Kirish harakati bilan bir xil turdagi majburiy harakat.

Bir nechta ildizlar bo'lmasa, bu erda C i -dastlabki shartlardan aniqlangan integratsiya konstantalari;

 1 ,  2 …,  n xarakteristik tenglamaning ildizlari

Xarakteristikaning ildizlarining joylashishi

sistemaning kompleks tekislikdagi tenglamalari

Xarakteristik tenglamaning ildizlari buzilish turiga ham, unga ham bog'liq emas

boshlang'ich shartlar, a faqat a koeffitsientlari bilan aniqlanadi 0 , a 1 , a 2 ,…, a n , ya'ni tizimning parametrlari va tuzilishi.

1-ildiz haqiqiy, noldan katta;

2-ildiz haqiqiy, noldan kichik;

3-ildiz nolga teng;

4-ikki nol ildiz;

5-haqiqiy qismi bo'lgan ikkita murakkab konjugat ildiz

Ijobiy;

6-ikkita murakkab konjugat ildiz, haqiqiy qismi manfiy;

7-ikki xayoliy konjugat ildiz.

Barqarorlikni tahlil qilish usullari:

1. To'g'ridan-to'g'ri (differensial tenglamalarni echish asosida);
2. Bilvosita (barqarorlik mezonlari).

A.M.ning teoremalari. Lyapunova.

Teorema 1.

Teorema 2.

Eslatmalar:

1. Agar xarakteristik tenglamaning ildizlari orasida ikki yoki undan ortiq nol ildiz bo'lsa, u holda tizim beqaror hisoblanadi.
2. Agar bitta ildiz nolga teng bo'lsa va qolganlari chap yarim tekislikda bo'lsa, u holda tizim neytral hisoblanadi.
3. Agar ikkita ildiz xayoliy konjugat bo'lsa va qolganlari chap yarim tekislikda bo'lsa, u holda tizim barqarorlikning tebranish chegarasida bo'ladi.

ACS barqarorligi mezonlari.

Barqarorlik mezoni - xarakterli tenglamaning ildizlarini hisoblamasdan tizimning barqarorligini aniqlashga imkon beradigan qoida.

1877 yilda Rout o'rnatilgan:

1. Xurvits barqarorlik mezoni

Mezon 1895 yilda ishlab chiqilgan.

Yopiq sistemaning xarakteristik tenglamasi aniqlansin: tenglamani shunday shaklga keltiramiz a 0 >0.

Keling, quyidagi qoida bo'yicha Xurvitsning asosiy determinantini tuzamiz:

Asosiy diagonal bo'ylab tenglamaning koeffitsientlari yoziladi, ikkinchisidan boshlab, diagonaldan yuqoriga ko'tarilgan ustunlar ko'rsatkichlari ortib boruvchi koeffitsientlar bilan, diagonaldan pastga tushadigan ustunlar esa kamayuvchi koeffitsientlar bilan to'ldiriladi. Tenglamada hech qanday koeffitsient bo'lmasa va indekslari 0 dan kam va undan ko'p bo'lgan koeffitsientlar o'rniga n nol yozing.

Keling, asosiy Xurvits determinantidagi diagonal kichiklarni yoki eng oddiy determinantlarni ajratib ko'rsatamiz:

Mezonni shakllantirish.

Ikkinchi tartibdan yuqori tizimlar uchun xarakteristik tenglamaning barcha koeffitsientlarining musbatligiga qo'shimcha ravishda quyidagi tengsizliklar qondirilishi kerak:

1. Uchinchi tartibli tizimlar uchun:
2. To'rtinchi tartibli tizimlar uchun:
3. Beshinchi tartibli tizimlar uchun:

1. Oltinchi tartibli tizimlar uchun:

Misol. Xurvits bo'yicha tizimning barqarorligini o'rganish uchun xarakterli tenglama berilgan.

Barqaror tizimlar uchun bu zarur va

2. Rout mezoni

Routh mezoni yuqori tartibli tizimlarning barqarorligini o'rganish uchun ishlatiladi.

Kriteriyani shakllantirish:

Rout jadvali.

Jadvalni to'ldirish algoritmi: birinchi va ikkinchi qatorlar juft va toq indeksli tenglama koeffitsientlarini o'z ichiga oladi; Qolgan qatorlarning elementlari quyidagi qoida bo'yicha hisoblanadi:

Mezonning afzalligi: har qanday tartibdagi tizimlarning barqarorligini o'rganish mumkin.

2. Nyquist barqarorlik mezoni

Argument tamoyili

Frequentist usullar argument tamoyiliga asoslanadi.

Shakldagi ko'phadning xossalarini tahlil qilaylik:

Qayerda i - tenglamaning ildizlari

Murakkab tekislikda har bir ildiz aniq belgilangan nuqtaga to'g'ri keladi. Geometrik jihatdan har bir ildiz i boshdan nuqtaga chizilgan vektor sifatida ifodalanishi mumkin i : |  i | - vektor uzunligi, arg i - vektor va x o'qining musbat yo'nalishi orasidagi burchak. Keling, D(p) ni Furye fazosiga keltiraylik, u holda j -  i - elementar vektor.

Elementar vektorlarning uchlari xayoliy o'qda joylashgan.

Vektorning kattaligi va argument (faza)

Vektorning aylanish yo'nalishi soat sohasi farqli o'laroq POSITIVE sifatida qabul qilinadi. Keyin almashtirganda dan har bir elementar vektorga ( j  -  i ) burchak + burchak bilan aylanadi agar  i chap yarim tekislikda yotadi.

D ( )=0 m bo‘lsin o'ng yarim tekislikda ildizlar va n - m ildizlari chapda, keyin esa ortib boradi dan D(j) vektorining argumentini o'zgartirish uchun ) (aylanish burchagi D(j ), summasiga teng elementar vektorlar argumentlaridagi o'zgarishlar) bo'ladi

Argument printsipi:

Nyquist mezoni ACS ning ochiq kontaktlarning zanglashiga olib chastota xususiyatlariga asoslanadi, chunki ochiq kontaktlarning zanglashiga olib keladigan chastota xarakteristikalari yopiq tizimning barqarorligini baholash uchun ishlatilishi mumkin.

Nyquist mezoni muhandislik amaliyotida quyidagi sabablarga ko'ra keng qo'llaniladi:

1. Yopiq holatdagi tizimning barqarorligi uning ochiq kontaktlarning zanglashiga olib chastotali uzatish funktsiyasi bilan o'rganiladi va bu funktsiya ko'pincha oddiy omillardan iborat. Koeffitsientlar tizimning haqiqiy parametrlari bo'lib, ularni barqarorlik shartlaridan tanlash imkonini beradi.
2. Barqarorlikni o'rganish uchun siz eksperimental ravishda olingan foydalanishingiz mumkin chastota xususiyatlari tizimning eng murakkab elementlari (tartibga solish ob'ekti, ijro etuvchi organ), bu esa olingan natijalarning aniqligini oshiradi.
3. Barqarorlik LFC yordamida o'rganilishi mumkin, ularning tuzilishi oddiy.
4. Barqarorlik chegaralarini aniqlash qulay.

1. Ochiq holatda tizim barqaror

Keling, yordamchi funktsiyani kiritamiz va almashtiramiz p  j  , keyin

Argument printsipiga ko'ra, argumentni o'zgartirish D(j ) va D z (j  ) 0 da<  <  teng bo'lsa, bu godograf W 1 (j  ) kelib chiqishini qamrab olmasligi kerak.

Tahlil va hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun radius vektorining kelib chiqishini koordinatalar boshidan (-1,) nuqtaga o'tkazamiz. j 0) va yordamchi funktsiya o'rniga W 1 (j  ) biz ochiq tsiklli tizimning AFC dan foydalanamiz W (j  ).

No1 mezonni shakllantirish

Misollar.

E'tibor bering, OFKning nuqtaning chap tomoniga ijobiy va salbiy o'tishlari sonidagi farq (-1, j 0) nolga teng.

2. Ochiq holatda xayoliy o'qda qutblarga ega bo'lgan tizim

OFK tizimining barqarorligini tahlil qilish uchun ular cheksiz katta radiusli doira bilan to'ldiriladi. 0 nol qutblarda musbat real yarim o'qqa soat sohasi farqli o'laroq, sof xayoliy ildizlar bo'lsa - OFKning uzilish nuqtasida soat yo'nalishi bo'yicha yarim doira.

No2 mezonni shakllantirish

1. Vaqti-vaqti bilan ochiq tutashuv tizimi

Umumiy holat - ochiq tsiklli tizimning uzatish funktsiyasining maxraji o'ng yarim tekislikda joylashgan ildizlarni o'z ichiga oladi. Ochiq tsiklli tizimda beqarorlikning paydo bo'lishi ikki sababga ko'ra yuzaga keladi:

1. Beqaror havolalar mavjudligining natijasi;
2. Ijobiy yoki salbiy teskari aloqa bilan qoplangan havolalar barqarorligini yo'qotish natijasi.

X Nazariy jihatdan yopiq holatdagi butun tizim mahalliy teskari aloqa pallasida beqarorlik mavjud bo'lganda barqaror bo'lishi mumkin bo'lsa-da, amalda bunday holat istalmagan va faqat barqaror mahalliy qayta aloqalardan foydalanishga harakat qilish orqali oldini olish kerak. Bu istalmagan xususiyatlarning mavjudligi, xususan, shartli barqarorlikning paydo bo'lishi bilan izohlanadi, odatda tizimda mavjud bo'lgan nochiziqliliklarni hisobga olgan holda, ba'zi rejimlarda barqarorlikni yo'qotish va o'z-o'zidan tebranishlarning paydo bo'lishiga olib kelishi mumkin. Shuning uchun, qoida tariqasida, tizimni hisoblashda, asosiy fikr ochiq bo'lganda barqaror bo'ladigan mahalliy fikr-mulohazalar tanlanadi..

Xarakteristik polinom bo'lsin D (p ) ochiq tsiklli tizim mavjud m ijobiy haqiqiy qismga ega bo'lgan ildizlar.

Keyin

O'zgartirishga yordam berish funktsiyasi p  j  Barqaror yopiq tizimlar uchun argument printsipiga ko'ra, at argumentida quyidagi o'zgarishlar bo'lishi kerak

No3 mezonni shakllantirish

Formulani Ya.Z. Tsypkina

LFC uchun Nyquist mezoni

Eslatma: astatik tizimlar LFC ning fazaviy xarakteristikasi monotonik bo'lim + bilan to'ldiriladi /2 da  0 da.

1-misol. Bu yerda m =0  tizim barqaror, lekin pasayish bilan k tizim beqaror bo'lishi mumkin, shuning uchun bunday tizimlar shartli barqaror deb ataladi.

2-misol. 20 lgk 1/ T 0 Bu yerga Har qanday k uchun tizim beqaror. Bunday tizimlar tizimli ravishda beqaror deb ataladi.

3-misol. AFH koordinatali nuqtani qamrab oladi (-1, j 0) 1/2 marta, shuning uchun yopiq tizim barqaror.

4-misol.  da 0 OFK uzilishga ega va shuning uchun uni salbiy real yarim o'qdan cheksiz katta radiusli yoy bilan to'ldirish kerak. -1 dan - gacha bo'lgan hududda bitta ijobiy o'tish va bir yarim salbiy bor. Ijobiy va manfiy o'tishlar orasidagi farq -1/2 ni tashkil qiladi va yopiq tsiklli tizimning barqarorligi uchun +1/2 talab qilinadi, chunki ochiq tsiklli tizimning xarakterli polinomi bitta musbat ildizga ega - tizim beqaror.

Mutlaqo barqarorUlar ochiq zanjirli daromadning har qanday pasayishi uchun barqaror bo'lib qoladigan tizimni chaqirishadi, aks holda tizim shartli ravishda barqarordir.

Parametrlarini o'zgartirish orqali barqaror bo'lishi mumkin bo'lgan tizimlar deyiladitizimli barqaror, aks holda tizimli ravishda beqaror.

Barqarorlik chegaralari

Oddiy ishlash uchun har qanday ACS barqarorlik chegarasidan olib tashlanishi va barqarorlikning etarli chegarasiga ega bo'lishi kerak. Bunga ehtiyoj quyidagi sabablarga ko'ra yuzaga keladi:

1. ACS elementlarining tenglamalari, qoida tariqasida, ideallashtiriladi, ularni tuzishda ikkilamchi omillar hisobga olinmaydi;
2. Tenglamalarni chiziqli qilishda yaqinlashish xatolari yanada ortadi;
3. Elementlarning parametrlari ba'zi xatoliklar bilan aniqlanadi;
4. Bir xil turdagi elementlarning parametrlari texnologik o'zgarishlarga ega;
5. Ishlash jarayonida elementlarning parametrlari qarish tufayli o'zgaradi.

Muhandislik hisob-kitoblari amaliyotida eng ko'p qo'llaniladigan barqarorlik chegarasini aniqlash NYQVIST mezoniga asoslanadi, bu ochiq tsiklli tizimning AFC ning koordinatali kritik nuqtadan masofasiga asoslangan (-1, j 0), bu ikki ko'rsatkich bilan baholanadi: faza barqarorligi marjasi va moduldagi barqarorlik chegarasi (amplituda) H.

ATS kamida barqarorlik chegaralariga ega bo'lishi uchun va H , uning ochiq kontaktlarning zanglashiga olib boradigan OFK, agar barqarorlik mezoni bajarilgan bo'lsa, 2-rasmda ko'rsatilgan halqa qismiga kirmasligi kerak. 1, qayerda H munosabati bilan belgilanadi

Agar barqarorlik shartli barqaror tizimlarning LFC tomonidan aniqlansa, u holda barqarorlik chegaralarini kamida va h kerak bo'lishi uchun:

a) h  L  - h uchun faza-chastota xarakteristikasi tengsizliklarni qanoatlantirdi th > -180  +  yoki th< -180  -  , ya'ni. 1-rasmdagi soyali maydonga kirmadi. 2;

b) -180  +   th  -180  -  da amplituda-chastota xarakteristikasi tengsizliklarni qanoatlantirdi L< - h или L >h , ya'ni. 2-rasmdagi 2" va 2" soyali joylarga kirmagan.

Mutlaq barqaror tizim uchun barqarorlik chegaralari va h - rasmda ko'rsatilganidek aniqlanadi. 3:

1. Faza chegarasi

1. Modul chegarasi h =- L (ō -p), bu erda ō -p th=-180 chastotasi˚ .

Barqarorlik chegaralarining talab qilinadigan qiymatlari ATS sinfiga va tartibga solish sifatiga qo'yiladigan talablarga bog'liq. Taxminan shunday bo'lishi kerak =30  60  va h =6  20dB.

Amplituda minimal ruxsat etilgan barqarorlik chegaralari kamida 6 dB bo'lishi kerak (ya'ni ochiq-oydin tizimning uzatish koeffitsienti kritik qiymatning yarmini tashkil qiladi), fazada esa kamida 25 dB bo'lishi kerak. 30 .

Sof kechikish aloqasi bo'lgan tizimning barqarorligi

Agar ochiq tsiklli tizimning AFK nuqtasi (-1,) nuqtadan o'tsa. j 0), keyin tizim barqarorlik yoqasida.

Agar sxemaga uzatish koeffitsienti 1 dan kam bo'lgan inertsiyasiz zveno kiritilgan bo'lsa, sof kechikishli tizim barqaror bo'lishi mumkin.Boshqa turdagi tuzatish moslamalari ham mumkin.

Strukturaviy barqaror va tizimli barqaror bo'lmagan tizimlar

Tizim sifatini o'zgartirishning bir usuli (barqarorlik nuqtai nazaridan) ochiq tsiklli tizimning uzatish koeffitsientini o'zgartirishdir.

Qachon k L ( ) ko'tariladi yoki tushadi. Agar k oshadi, L ( ) ko'tariladi va  avg ortadi, lekin tizim beqaror bo'lib qoladi. Agar k kamayadi, keyin tizim barqaror bo'lishi mumkin. Bu tizimni tuzatish usullaridan biridir.

Tizim parametrlarini o'zgartirish orqali barqaror bo'lishi mumkin bo'lgan tizimlar TUZILMAYLI BARQAROR deb ataladi.

Ushbu tizimlar uchun juda muhim ochiq tsiklli uzatish nisbati mavjud. K tanqid. bu tizim barqarorlik yoqasida bo'lganda uzatish koeffitsienti.

TUZILIShI BARQAROR bo'lmagan tizimlar mavjud - bu tizim parametrlarini o'zgartirish orqali barqaror bo'lmaydigan tizimlar, ammo barqarorlik uchun tizim tuzilishini o'zgartirish kerak.

Misol.

Keling, uchta holatni ko'rib chiqaylik:

1. Mayli

Keyin

Keling, barqarorlik uchun tizimning ishlashini tekshiramiz.

D = a 3 D 2 >0.

K rs.cr ni aniqlash uchun. nolga tenglashtiramiz 2 .

Keyin

Qachon qachon

Ko'rib chiqilayotgan tizim strukturaviy barqaror, chunki uni havolalar parametrlarini o'zgartirish orqali barqarorlashtirish mumkin.

1. Ular birinchi holatda bo'lgani kabi bo'lsin.

Endi nazorat kanalida statik xatolik yo'q.

Hurvits barqarorligi shartlari:

 2 bo'lsin =0, agar tizim beqaror bo'lsa.

Bu tizim 1-darajali astatizm bilan TUZILIShI BARARARLI.

1. Mayli

Tizim har doim barqaror emas. Bu tizim strukturaviy jihatdan beqaror.

7-MA'RUZA.

Oldingi ma'ruzalarda avtomatik boshqaruv tizimlarida barqaror holat jarayonlari o'rganildi. Endi biz vaqtinchalik jarayonlarni ko'rib chiqishga o'tamiz. Keling, ularga barqarorlik tushunchasi bilan qarashni boshlaylik.

Har qanday tizim birinchi navbatda ishlayotgan bo'lishi kerak. Bu shuni anglatadiki turli xil tashqi buzilishlar ta'sirida normal ishlashi kerak. Boshqacha aytganda, tizim barqaror ishlashi kerak.

Barqarorlik - Bu har qanday ta'sir natijasida tizimdan chiqqandan keyin asl yoki unga yaqin barqaror holatga qaytish xususiyatidir.

Shaklda. 7.1-rasmda beqaror (7.1-rasm, a) va barqaror (7.1-rasm, b) tizimlardagi vaqtinchalik jarayonlarning tipik egri chiziqlari ko'rsatilgan. Agar tizim beqaror, keyin har qanday surish uning dastlabki barqaror holatdan chiqishning divergent jarayonini boshlashi uchun etarli. Bu jarayon aperiodik (7.1-rasm, a-rasmdagi 1-egri chiziq) yoki tebranuvchi (7.1-rasm, a-rasmdagi 2-egri chiziq) bo'lishi mumkin.

Aperiodik divergent jarayon, masalan, avtomatik boshqaruv tizimida paydo bo'lishi mumkin, agar uning boshqaruv moslamasi ob'ektga ta'sir qilishning qutbliligini noto'g'ri o'zgartirsa, buning natijasida boshqaruv bloki ob'ekt atrofida salbiy emas, balki ijobiy qayta aloqani ta'minlaydi. Bunday holda, boshqaruv bloki og'ishlarni bartaraf etmaydi da, lekin teskari yo'nalishda harakat qilib, ko'chkiga o'xshash o'zgarishlarga olib keladi.

Tebranishli divergent jarayon, masalan, tizimning uzatish koeffitsientining cheksiz ortishi bilan sodir bo'lishi mumkin. Natijada, boshqaruv bloki dastlab yuzaga kelgan og'ishlarni bartaraf etishga harakat qilib, ob'ektga haddan tashqari energetik harakat qiladi. da. Bunday holda, har bir keyingi qaytish bilan da nazorat qilish moslamasining egri chizig'i ta'sirida nolga da ortib borayotgan tezlik bilan x o'qini kesib o'tadi va butun jarayon divergent bo'ladi.

Barqaror tizimda (7.1-rasm, b) har qanday ta'sir natijasida yuzaga kelgan o'tkinchi jarayon vaqt o'tishi bilan aperiodik (1-egri chiziq) yoki tebranish (egri 2) parchalanadi va tizim barqaror holatga qaytadi.

Shunday qilib, barqaror tizimni vaqtinchalik jarayonlar susaytiradigan tizim sifatida ham aniqlash mumkin.

Yuqoridagi barqarorlik tushunchasi aniqlaydi barqaror holat barqarorligi tizimlari. Biroq, tizim doimiy o'zgaruvchan ta'sirlar sharoitida, umuman barqaror holat bo'lmaganda ishlashi mumkin. Bunday ish sharoitlarini hisobga olgan holda barqarorlikning quyidagi umumiy ta'rifini berish mumkin: Agar uning chiqish qiymati cheklangan kattalikdagi buzilishlar ta'siri ostida cheklangan bo'lsa, tizim barqaror hisoblanadi.

Ko'rsatish oson, agar tizimdagi o'tkinchi jarayon susaytirilsa, u holda tizim oxirgi ta'rifni qondiradi.

Chiziqli avtomatik boshqaruv tizimi, agar uning chiqish koordinatasi y(t) mutlaq qiymatda cheklangan x(t) va f(t) har qanday kirish ta'siri uchun cheklangan bo'lib qolsa, barqaror deb ataladi. Chiziqli tizimning barqarorligi uning xususiyatlari bilan belgilanadi va mavjud ta'sirlarga bog'liq emas.

Shunday qilib, chiziqli tizimning barqarorligini aniqlash uchun uning boshqariladigan miqdorining o'zgarishini topish kerak. Chiziqli tizimning blok diagrammasi 7.2-rasmda ko'rsatilgan, bu erda W(lar) ochiq tsiklli tizimning uzatish funktsiyasi bo'lib, u umuman ikkinchi ma'ruzada ta'riflanganidek, quyidagi shaklga ega:

Guruch. 7.2. Chiziqli tizimning blok diagrammasi

Rasmda ko'rsatilgan yopiq tsiklli tizimning uzatish funktsiyasi. 7.2, quyidagi formula bilan aniqlanadi

(7.1) ni (7.2) ga almashtirib, yopiq davrli sistemaning uzatish funksiyasining pay va maxrajidagi kasrlardan ozod qilsak, uni quyidagicha taqdim etishimiz mumkin:

Tizimdagi jarayonlar (7.2-rasm), (7.3) dan quyidagi shakldagi differensial tenglama bilan tavsiflanadi.

Chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamaning (7.4) umumiy ko'rinishdagi yechimi, ma'lumki, ikkita komponentdan iborat:

Bu erda o'tish jarayonining oxirida o'rnatilgan tizimning majburiy rejimini tavsiflovchi o'ng tomoni bilan bir hil bo'lmagan tenglamaning (7.5) alohida yechimi; - bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi

tizimdagi vaqtinchalik jarayonni tavsiflash.

Yuqorida ko'rsatilgandek, har qanday buzilishlar natijasida kelib chiqadigan vaqtinchalik jarayonlar parchalansa, tizim barqaror bo'ladi, ya'ni. vaqt o'tishi bilan u nolga moyil bo'lsa.

Bir jinsli differensial tenglamaning yechimi, ma'lumki, quyidagi ko'rinishga ega:

Bu yerga i bilan- boshlang'ich shartlar va buzilishlar bilan belgilanadigan integratsiya konstantalari; s i– xarakteristik tenglamaning ildizlari

Bu erda xarakteristik deb ataladigan ko'phad tizim dinamikasining (7.4) tenglamasining chap tomonidir.

Kompleks o'zgaruvchilar nazariyasidan ma'lumki, agar ildizning haqiqiy qismi s i manfiy bo'lsa, u holda atama t ® ¥ sifatida nolga intiladi.

Shunday qilib, tizimning barqarorligi uchun zarur va yetarli , uchun xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari manfiy haqiqiy qismlarga ega edi.

Agar tizimning xarakteristik tenglamasining ildizlarini kompleks tekislikdagi nuqtalar sifatida tasvirlasak (7.3-rasm), u holda yuqorida topilgan narsa umumiy holat Chiziqli tizimning barqarorligi ham quyidagicha ifodalanishi mumkin: tizimning barqarorligi sharti xarakterli tenglamaning barcha ildizlarining joylashishi, ya'ni. tizimning uzatish funktsiyasining qutblari, chap murakkab yarim tekislikda yoki qisqasi, ularning barchasi chap qo'l bo'lishi kerak..

Guruch. 7.3. Kompleks tekislikdagi xarakteristik tenglamaning ildizlari.

Xayoliy o'qda ildiz mavjudligi tizim yoqilganligini bildiradi barqarorlik chegarasi. Bunday holda, ikkita holat mumkin:

Kelib chiqishida ildiz;

Bir juft xayoliy ildiz.

Xarakteristik tenglamaning erkin hadi nolga teng bo'lganda nol ildiz paydo bo'ladi. Bunday holda, barqarorlik chegarasi deyiladi aperiodik ; tizim chiqish signaliga nisbatan emas, balki uning hosilasiga nisbatan barqaror: barqaror holatdagi chiqish signali ixtiyoriy qiymatga ega. Bunday tizimlar deyiladi neytral barqaror .

Agar xarakteristik tenglama bir juft xayoliy ildizga ega bo'lsa, barqarorlik chegarasi deyiladi. tebranish , o'tkinchi jarayonda esa so'nmagan garmonik tebranishlar bo'ladi.

Agar ildizlarning kamida bittasi ijobiy haqiqiy qismga ega bo'lsa, ya'ni. xarakterli tenglama ildizlarining kompleks tekisligining o'ng yarim tekisligida yotadi, keyin tizim beqaror.

Tizimning barqarorligini baholash uchun uning xarakterli tenglamasining ildizlarini topish deyarli shart emas, chunki bilvosita belgilar ishlab chiqilgan bo'lib, ular orqali ushbu ildizlarning haqiqiy qismlarining belgilarini va shu bilan barqarorlikni baholash mumkin. xarakteristik tenglamani o'zi hal qilmasdan tizim. Ushbu bilvosita belgilar deyiladi barqarorlik mezonlari.

Barqarorlikning uchta asosiy mezoni mavjud: Rut-Hurvits mezoni, Mixaylov mezoni va Nyquist mezoni. Keling, ularni ketma-ket ko'rib chiqaylik.

Barqarorlik Tizimning tashqi ta'siri uni muvozanat holatidan olib chiqqandan so'ng mustaqil ravishda muvozanat holatiga qaytish xususiyatini chaqiring. Muvozanat - bu nazorat qilinadigan miqdor bo'lganda tizimning holati y(t) doimiy va uning barcha hosilalari nolga teng. Barqarorlikni o'rganish avtomatik boshqaruv nazariyasining asosiy vazifalaridan biridir.

Yuqorida aytib o'tilganidek, boshqaruv jarayoni o'tish jarayoni bilan belgilanadi: o'zgarish qonuni y(t) o'zgartirilgandan keyin x(t). ACSning vaqtinchalik jarayonini ACS differentsial tenglamasini (1) yechish orqali olish mumkin. Ushbu yechim majburiy ravishda ikkita komponentning yig'indisi bilan ifodalanishi mumkin y in(t) va o'tish davri y p(t):

y(t) = y in(t) + y p(t),

Qayerda y in(t) tizimning xususiyatlari va kirish ta'sirining turi bilan belgilanadi. Vaqt o'tishi bilan o'tish komponenti nolga moyil bo'lsa, ACS barqaror bo'ladi:

Tizimning barqarorligini uning o'tish jarayonining turi bo'yicha aniq baholash mumkin: susaytiruvchi o'tish jarayoni (ba'zi bir doimiyga yaqinlashish) barqaror tizimga mos keladi, ajralish (cheksizlikka yaqinlashish) - beqaror.

Stabil bo'lmagan avtomatik boshqaruv tizimlarining vaqtinchalik jarayonlariga misollar.

O'ziyurar qurollarning barqarorligini o'rganishda quyidagi vazifalar hal qilinadi:

Berilgan parametrlar bo'yicha ACS barqaror yoki yo'qligini aniqlash;

Barqarorlikni buzmasdan ACS parametrlarida ruxsat etilgan o'zgarishlarni aniqlash;

Avtomatik boshqaruv tizimining parametrlarini va/yoki tuzilmasini qidiring, bunda u barqaror bo'lishi mumkin.

Lyapunov teoremasi

Kerakli va yetarli barqarorlik holati chiziqli o'ziyurar qurollar ishlab chiqilgan Lyapunov teoremasi:

Agar ACS ning xarakteristik tenglamasi manfiy haqiqiy qismga ega bo'lgan barcha ildizlarga ega bo'lsa, u holda tizim barqarordir;

Agar kamida bitta ildiz ijobiy haqiqiy qismga ega bo'lsa, u holda ACS beqaror.

ACSning xarakteristik tenglamasi tizimning differentsial tenglamasi yoki uzatish funktsiyasi ko'rinishida yoziladi. Shunday qilib, (1) tenglamadan Laplas konvertatsiyasidan so'ng biz (2-xulosaga qarang):

Tenglamaning chap tomonidagi polinom quyidagi ko'rinishga ega:

chaqirdi xarakterli. Xarakteristik ko'phadni nolga tenglash hosil bo'ladi xarakterli tenglama tizim yoki havola:

Xarakteristik tenglamaning ildizlari, ularning soni ACS ning xarakteristik tenglamasi tartibiga mos keladi, haqiqiy, murakkab va sof xayoliy bo'lishi mumkin. Ular murakkab kattalik tekisligidagi nuqtalar sifatida ifodalanishi mumkin R. Teoremaga ko'ra, tizim barqarorligi uchun barcha ildizlarning chap yarim tekislikda yotishi zarur va etarli. Xarakteristik tenglama ildizlarining kompleks tekisligida mumkin bo'lgan taqsimotlarga misol barqaror 5-tartibli o'ziyurar qurol rasmda ko'rsatilgan. 75.

Agar xarakteristik tenglamaning ildizlari orasida nol ildiz yoki xayoliy o'qda joylashgan juft sof xayoliy ildizlar mavjud bo'lsa, tizim o'zini barqarorlik chegarasida topadi. 5-darajali avtomatik boshqaruv tizimining xarakteristik tenglamasi ildizlarining murakkab tekisligida mumkin bo'lgan taqsimotlarga misollar, barqarorlik chegarasida joylashgan, shaklda ko'rsatilgan. 77.

Bir juft xayoliy ildizga ega bo'lgan tizimlar o'chirishsiz tebranishlarni (o'z-o'zidan tebranishlarni) amalga oshirishi mumkin. Bunday tizimlar amalda ishlamaydi.

Guruch. 77

Lyapunov teoremasidan foydalangan holda barqarorlikni baholash misollarini va baholash natijalari va avtomatik boshqaruv tizimining o'tish xususiyatlari o'rtasidagi bog'liqlikni ko'rib chiqaylik.

3-tartibli ACS quyidagi shakldagi xarakterli tenglamaga ega bo'lsin:

Shaklda. 78-rasmda Mathcad matematik paketi yordamida olingan ushbu tenglamani yechish natijasi ko'rsatilgan. Tenglamaning ildizlar to'plami qavslar ichida ko'rsatilgan. Ko'rib turganingizdek, tenglamaning ildizlaridan biri bo'lib chiqdi salbiy haqiqiy son -3,55, qolgan ikkitasi esa murakkab konjugat sonlardir salbiy haqiqiy qism –0,525: (–0,525 – 0,657 j) va (–0,525 + 0,657 j).

Keling, xuddi shunday shakldagi xarakterli tenglamaga ega bo'lgan boshqa 3-tartibli ACSni ko'rib chiqaylik:

Shaklda. 80-rasmda Mathcad matematik paketi yordamida olingan ushbu tenglamani yechish natijasi ko'rsatilgan. Tenglamaning ildizlar to'plami qavslar ichida ko'rsatilgan. Ko'rib turganingizdek, tenglamaning ildizlaridan biri bo'lib chiqdi salbiy haqiqiy son -7,2, qolgan ikkitasi esa murakkab konjugat sonlardir ijobiy haqiqiy qism 1.31: (1.31 + 4.64 j) va (1,31 - 4,64 j), ya'ni. Murakkab tekislikda ildizlarning taqsimlanishi, Lyapunov teoremasiga ko'ra, avtomatik boshqaruv tizimining beqarorligini ko'rsatadi.

ACS barqarorligi mezonlari

Barqarorlikni baholash uchun tizimning xarakteristik tenglamasi ildizlarining kompleks tekislikning koordinata o'qlariga nisbatan joylashishini taxmin qilish kerak. Bu baho xarakteristik tenglamani to'g'ridan-to'g'ri yechish orqali amalga oshirilishi mumkin. Ammo barqarorlikni aniqlash uchun xarakterli tenglamaning ildizlari qiymatlarini bilish shart emas, barcha ildizlarning haqiqiy qismlari manfiy yoki yo'qligini tekshirish kifoya.

Xarakteristik tenglamaning ildizlarini to'g'ridan-to'g'ri topmasdan tizimning barqarorligini o'rganishga imkon beradigan qoidalar deyiladi. barqarorlik mezonlari.

Boshqarish nazariyasi rivojlanishining dastlabki bosqichida ko'phadning ildizlarini hisoblamasdan turib uning barqarorligini aniqlash muammosi dolzarb edi, chunki yuqori tartibli xarakterli tenglamalarni qo'lda yechish qiyin edi. Endi xarakterli polinomning ildizlarini topish oson kompyuter dasturlari, ammo bu yondashuv barqarorlikni nazariy jihatdan o'rganishga, masalan, ACSning individual parametrlarining barqarorlik sohalari chegaralarini aniqlashga imkon bermaydi.

Barqarorlik mezonlaridan foydalanib, nafaqat tizim barqarorligi fakti belgilanadi, balki tizimdagi ma'lum parametrlar va tarkibiy o'zgarishlarning barqarorlikka ta'siri ham baholanadi. Matematik jihatdan barqarorlik mezonlarining barcha shakllari ekvivalentdir, chunki ular xarakteristik tenglamaning ildizlari murakkab koordinatalar tizimining chap yarim tekisligiga tushish shartlarini belgilaydi.

6.2.1. Hurvits mezoni

Xurvits mezoni algebraik barqarorlik mezonlariga taalluqlidir, bu esa xarakteristik tenglamaning koeffitsientlari bo'yicha algebraik amallar natijalari asosida ACS barqaror yoki barqaror emasligini aniqlash imkonini beradi.

Haqiqiy o'ziyurar qurollarning aksariyati yopiq, ya'ni. umumiy birlik mulohazasiga va shunga mos ravishda shaklni uzatish funktsiyasiga ega:

,

Qayerda W marta(R) – ochiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining uzatish funksiyasi (umumiy fikr-mulohazalarni hisobga olmagan holda).

Agar mos keladigan ochiq konturli ACS ning uzatish funksiyasi berilgan bo'lsa, yopiq konturli ACS ning xarakteristik tenglamasining kelib chiqishini ko'rib chiqaylik. (17) ga binoan, ACS ning xarakteristik tenglamasi uning uzatish funktsiyasining maxrajini nolga o'rnatish orqali olinadi, shuning uchun yopiq tizim uchun biz yozamiz:

Biroq, (2) ga binoan ochiq tsiklli tizimning uzatish funktsiyasi quyidagi ko'rinishga ega:

shuning uchun yopiq tsiklli tizimning xarakteristik tenglamasini quyidagicha yozish mumkin:

Kasr nolga teng bo'lsa, uning numeratori nolga teng bo'ladi, shuning uchun yopiq tsiklli tizimning xarakteristik tenglamasi ochiq tsiklli tizimning o'tkazish funktsiyasining payi va maxrajining ko'phadlari yig'indisi sifatida yozilishi mumkin. natijada ifoda nolga teng:

(18)

Muhim! Hurvits mezonini qo'llash uchun xarakterli tenglamani yozishning maxsus shakli qo'llaniladi, u (16) dan polinom koeffitsientlarining teskari raqamlanishi bilan farqlanadi:

Hurvits mezoni o'lchamning xarakterli tenglama koeffitsientlari matritsasidan foydalanadi n´ n, quyidagicha tuzilgan:

Xarakteristik tenglamaning barcha koeffitsientlari dan boshlab asosiy diagonal bo'ylab yoziladi a 1 va tugashi a n;

Har bir satr chapdan o'ngga indekslari ortib boruvchi koeffitsientlar bilan to'ldiriladi, shunda juft va toq indeksli chiziqlar almashinadi;

Koeffitsient yo'q bo'lganda, shuningdek indeks 0 dan kam yoki undan ko'p bo'lsa n, uning o'rniga 0 yoziladi.

Natijada birinchi qatorda (19) tenglama koeffitsientlari mavjud bo'lgan matritsa hosil bo'ladi. a 1 ,a 3 ,a 5 ,… (barchasi toq raqamlar bilan) va etishmayotgan elementlar oʻrniga nollar, ikkinchi qator – koeffitsientlar a 0 ,a 2 ,a 4 ,... (barchasi juft raqamlar bilan) va etishmayotgan elementlar oʻrniga nol. Uchinchi qator birinchi qatorni bir pozitsiyani o'ngga siljitish orqali olinadi, to'rtinchisi - ikkinchi qatorni bir pozitsiyani o'ngga siljitish va hokazo. Masalan, 5-darajali o'ziyurar qurol uchun ( n= 5) bu matritsa quyidagi shaklga ega:

Hurvits mezoni ACS barqarorligi uchun zarur va etarli shartni quyidagicha belgilaydi: ACS ning xarakteristik tenglamasining barcha ildizlari a uchun manfiy haqiqiy qismlarga ega 0 > 0koeffitsient matritsasining barcha n Hurvits determinantlari ijobiydir.

Hurvits determinantlari quyidagicha hisoblanadi:

Xarakteristik tenglamaning barcha koeffitsientlari ijobiy bo'lishi sharti bilan, faqat tekshirish kifoya n– 1 ta birinchi Hurvits determinanti, to‘liq matritsa uchun determinantni hisoblamasdan. Bu shartda koeffitsient matritsasining determinantlarini ochib, past tartibli tizimlar uchun Xurvits mezonining maxsus holatlari olinadi. Shunday qilib, determinantlarni aniqlash natijasida birinchi va ikkinchi darajali ACS uchun barqarorlikning zarur va etarli sharti xarakterli tenglamaning barcha koeffitsientlarining haqiqiy musbatligi hisoblanadi. 3-darajali avtomatik boshqaruv tizimi uchun barcha koeffitsientlar ijobiy va shaklning sharti:

Keling, Hurvits mezonidan foydalanib, boshqaruvchining statik konversiya koeffitsientining qaysi qiymatlarida ekanligini aniqlaylik. k ko'rib chiqilayotgan tizim barqaror bo'ladi. Ochiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining uzatish funksiyasini yozamiz:

(18) dan foydalanib, biz yopiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining xarakteristik tenglamasini yozamiz:

Ushbu tenglama uchun (19) shaklga ko'ra, koeffitsientlar mos ravishda teng:

Agar ushbu 3-tartibli tenglamaning barcha koeffitsientlari ijobiy bo'lsa zaruriy shart Barqarorlik ham shartning bajarilishidir (20):

a 1× a 2 – a 0 × a 3 > 0,

Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan ACS barqaror bo'ladi, agar statik konvertatsiya koeffitsienti qiymati k shartni qondiradi:

Lyapunov teoremasi yordamida ilgari o'rganilgan 3-tartibli tizimlarning Hurvits mezoni yordamida barqarorlikni baholash misollarini ko'rib chiqaylik (78-rasm va 80-rasmga qarang). 3-darajali o'ziyurar qurollar uchun Hurvits koeffitsienti matritsasi mavjud umumiy shakl:

,

bular. Ko'rib chiqilayotgan avtomatik boshqaruv tizimlari uchun Hurvits matritsalari mos ravishda teng:

Va
.

Ikkala avtomatik boshqaruv tizimining xarakterli tenglamalari barcha koeffitsientlarning pozitivlik mezonini qondiradi, shuning uchun Hurvits mezonidan foydalangan holda barqarorlikni baholash uchun ijobiylikni hisoblash va tekshirish kifoya. n- 1 ta birinchi Hurvits determinantlari, ya'ni. 3-tartib uchun - ikkinchi determinant. Mathcad yordamida olingan ko'rib chiqilayotgan tizimlar uchun Hurvits matritsasining ikkinchi determinantlarini hisoblash natijalari (78-rasm va 80-rasmga qarang) rasmda ko'rsatilgan. 83– A va guruch 83– b mos ravishda. Ko'rib turganingizdek, Hurvits bo'yicha barqarorlikni baholash natijalari Lyapunov bo'yicha ilgari olingan baholarga va ko'rib chiqilayotgan ACSning o'tish xususiyatlarini qurish natijalariga to'g'ri keladi (mos ravishda 79-rasm va 81-rasmga qarang) - ijobiy determinant barqaror ACS ga, salbiy determinant esa beqarorga mos keladi.

(21) formula bo'yicha godograf chastotani w ni 0 dan +¥ ga o'zgartirish orqali hisoblanadi va kompleks tekislikda chiziladi.

Mixaylov mezoni ACS barqarorligi uchun zarur va etarli shartni quyidagicha belgilaydi: Agar chastota o'zgarganda, ACS barqaror bo'ladi 0+ ga¥ Mixaylov vektor godografi A(j w ) haqiqiy o'qning musbat qismidan boshlanadi va nolga burilmasdan, soat miliga teskari burilib, ketma-ket n ta kompleks tekislikning kvadrantlaridan o'tadi, bu erda n - ACS xarakterli polinomining tartibi.

Barqaror tizimlar uchun Mixaylov godografi silliq spiral shaklga ega va w = 0 bo'lganda, ijobiy yo'nalishda haqiqiy o'qdagi xarakteristik tenglamaning erkin muddatiga teng segmentni kesib tashlaydi. A 0 .

Mixaylovning godografining turiga asoslanib, ACS barqarorligining chegaraviy holatini aniqlash mumkin: birinchi turdagi barqarorlik chegarasi holatida, ya'ni. Agar ACSning xarakteristik tenglamasi nol ildizga ega bo'lsa (77-rasmga qarang), xarakterli tenglamaning erkin hadi yo'q. A 0 = 0 va godograf koordinatadan boshlanadi. Ikkinchi turdagi barqarorlik chegarasida, ya'ni. ACSning xarakteristik tenglamasida bir juft sof xayoliy ildizlarning mavjudligi (77-rasmga qarang), godograf w ning nolga teng bo'lmagan ba'zi bir qiymatida koordinatalarning kelib chiqishidan o'tadi (nolga aylanadi) va bu qiymat chastotadir. tizimning o'chirilgan tebranishlari.

Lyapunov teoremasi yordamida ilgari o'rganilgan 3-tartibli tizimlarning Mixaylov mezoni bo'yicha barqarorlikni baholash misollarini ko'rib chiqaylik (78-rasm va 80-rasmga qarang). Ushbu tizimlarning Mixaylov godograflarini hisoblash uchun formulalar mos ravishda quyidagi shaklga ega:

Birinchi o'ziyurar qurol uchun Mixaylovning godografi rasmda ko'rsatilgan. 84. Ko'rinib turibdiki, uning shakli mezonning barcha shartlarini qanoatlantiradi:

Godograf haqiqiy o'qning musbat qismidan boshlanadi (haqiqiy o'qda w = 0 da xarakteristik tenglamaning erkin muddatiga teng segmentni kesish) A 0 = 3);

Nolga tushmaydi;

Chastotaning qiymati w ortishi bilan soat miliga teskari burilib, u birinchi va ikkinchi kvadrantlardan ketma-ket o'tadi va uchinchi kvadrantda, w ® ¥ da, abadiylikka o'tadi.

Shuni ta'kidlash kerakki, xarakteristik tenglamaning yuqori tartibiga ega tizimlar uchun ( n= 5 yoki undan ko'p) to'rtinchidan keyin Mixaylov mezonining shartlarini tekshirishda kvadrantlarni hisoblash xuddi shu tartibda soat miliga teskari yo'nalishda davom etadi. Ya'ni, masalan, barqaror 5-darajali o'ziyurar qurol uchun godograf ketma-ket to'rtta kvadrantdan o'tib, birinchisiga qaytishi kerak (hodograf uchun, tartibda beshinchi) va u erda cheksizlikka borishi kerak. Shaklning godografini hisoblash formulasi bilan barqaror 5-darajali o'ziyurar qurol uchun Mixaylov godografiga misol:

shaklda ko'rsatilgan. 86. Tahlil qulayligi uchun w chastotasining past qiymatlarida olingan godografning dastlabki bo'limi alohida fragment sifatida ko'rsatilgan. Ko'rinib turibdiki, w = 0 dagi godograf haqiqiy o'qning musbat qismidan boshlanadi va ketma-ket soat miliga teskari yo'nalishda beshta kvadrantdan o'tib, beshinchida cheksizlikka boradi.

Amplituda-faza xarakteristikasi (APC) uchun Nyquist mezoni quyidagicha tuzilgan: agar chastota 0 dan 0 gacha o'zgarganda tegishli ochiq tizimning AFC koordinatalari [–1, j0] bilan nuqtani qamrab olmasa, yopiq konturli tizim barqaror bo'ladi.

Keling, birlashtiruvchi havolalarni o'z ichiga olmaydigan ixtiyoriy ochiq tsiklli avtomatik boshqaruv tizimini ko'rib chiqaylik. Bunday holda, w = 0 chastotasi uchun AFC qiymati ACS ning statik konvertatsiya koeffitsientiga teng:

V(j w) = V(j 0) = k.

Bundan tashqari, agar uzatish funktsiyasining hisoblagichi darajasi maxraj darajasidan kichik bo'lsa, u holda AFC grafigi koordinatali nuqtadan boshlanadi ( k, j 0) chastota 0 dan ¥ gacha o'zgarganda boshlang'ichga intiladi. Shaklda. 88– A OFK ko'rsatilgan barqaror ACS - grafik nuqtani koordinatali qamrab olmaydi [–1, j 0] va rasmda. 88– b– beqaror(grafik nuqtani qamrab oladi).

Agar ACS integratsiyalashuvchi havolalarni o'z ichiga olsa, u holda W = 0 da AFC abadiylikka o'tadi, ya'ni. Bu holatda AFC grafigi haqiqiy o'qdan boshlanmaydi, lekin cheksizlikdan keladi. Bunday holda, Nyquist mezonidan foydalangan holda barqarorlikni baholash uchun kontur nafaqat AFC egri chizig'ini, balki haqiqiy o'qdan soat yo'nalishi bo'yicha chizilgan cheksiz radiusli doiraning bir qismini ham o'z ichiga oladi. Misol barqaror Ushbu turdagi avtomatik boshqaruv tizimiga ega o'ziyurar qurol rasmda ko'rsatilgan. 90– A, beqaror- rasmda. 90– b.

Guruch. 90

A)

b)

OFK uchun Nyquist mezonidan foydalangan holda barqarorlikni baholash misolini ko'rib chiqaylik, bu shaklning uzatish funktsiyasi bilan ochiq tsiklli tizimga mos keladigan yopiq konturli avtomatik boshqaruv tizimi misolida:

Berilganiga ko'ra yozamiz W marta(p) AFCni hisoblash formulasi:

va chastotani w ni 0 dan +¥ ga o'zgartirib, Mathcad matematik paketi yordamida ochiq tsiklli avtomatik boshqaruv tizimining AFC grafigini chizamiz (91-rasm). Tahlil qilish qulayligi uchun OFK bo'limi [–1, nuqta hududida. j 0], w chastotasining katta qiymatlari uchun olingan, rasmda ko'rsatilgan. 91 ta alohida parcha. Fragment aniq ko'rsatadiki, grafik qoplaydi nuqta [–1, j 0], shuning uchun yopiq ACS hisoblanadi beqaror.

Guruch. 91

6.2.4. LFC va LFFC uchun Nyquist mezoni

Logarifmik amplituda-chastota va faza-chastota xarakteristikalari uchun Nyquist mezoni quyidagicha tuzilgan: Agar tegishli ochiq tizimning xarakteristikalari uchun ikkita shart bajarilsa, yopiq konturli tizim barqaror hisoblanadi:

- ACS ning kesish chastotasiga teng chastotada w Fazali chastotali javob moduli 180 darajadan kam bo'lsa: < 180° ;

- ga teng chastotada w p LFC qiymati noldan kichik: L(wp)< 0.

Mezonni shakllantirishdan kelib chiqqan holda, ochiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining xususiyatlaridan kelib chiqqan holda uning shartlarini tekshirish uchun dastlab ikkita chastotani aniqlash kerak: kesish chastotasi w Bilan va chastotasi w p. Shundan so'ng, topilgan chastota qiymatlari uchun ikkala mezon shartining maqsadga muvofiqligi tekshirilishi kerak.

ACS kesish chastotasi- tizimning LFC chastotasi o'qini kesish chastotasi, ya'ni L(w Bilan) = 0. Bu chastota ham deyiladi birlikni olish chastotasi ACS, chunki ACS chiqishidagi ushbu chastotaning signali kirishdagi kabi bir xil amplitudaga ega: Va tashqariga = Kirish. Bu holatda bu to'g'ri:

Muhim! ACSning alohida standart birliklari va umuman butun tizimning kesish chastotasi tushunchalarini aralashtirib yubormang. Oddiy havolalarning kesish chastotalarini aniqlash "Eslatmalar" ustunida muhokama qilinadi Ilovalar 1.

Chastotasi w p ACS - ACS ning fazaviy javobi ortiqcha yoki minus belgisi bilan 180 ° ga teng bo'lgan chastotadir. Agar fazaviy javob ±180 ordinatani bir necha marta kesib o'tsa, u holda shartning bajarilishi eng o'ng nuqta uchun tekshiriladi.

Muhim! Ko'rib chiqilayotgan xarakteristikalar - kesish chastotalari w Bilan va chastota w p - har bir o'ziyurar qurol ularga ega emas. Agar tizimning LFC chastotasi o'qini umuman kesib o'tmasa, ya'ni L(w) w ning har qanday qiymati uchun ¹ 0, u holda bunday tizim kesish chastotasiga ega emas. Xuddi shunday, agar tizimning fazaviy javobi har qanday chastota qiymatida ± 180 ° qiymatini olmasa, u holda bu ACS w p parametri bilan tavsiflanmaydi. Bunday hollarda barqarorlikni baholash uchun boshqa mezonlarni tanlash kerak.

Shaklda. 92– A ochiq tsiklli avtomatik boshqaruv tizimining LFC va LPFC grafiklari yordamida w chastotalarini qanday aniqlashni ko'rsatadi Bilan va wp.

Guruch. 92

A)

b)

Misollar: 1) kesish chastotasi bo'lmagan LACHS w c; 2) chastotasiz LFCH ACS w p .

Keling, Nyquist mezonining shartlari rasmda ko'rsatilgan ochiq tsiklli avtomatik boshqaruv tizimining xarakteristikalari uchun qanoatlantirilishini tekshirib ko'raylik. 92– A. Keling, miqdorlarni grafik tarzda aniqlaymiz L(w p) va j(w Bilan) rasmda ko'rsatilganidek. 92– b. Ko'rinib turganidek, L(wp)< 0, а < 180 °, ya'ni. Nyquist mezonining ikkala sharti ham qondiriladi, shuning uchun ko'rib chiqilayotgan ochiq tsiklga mos keladigan yopiq konturli ACS barqaror. Rasmdan. 92– b Bundan tashqari, Nyquist mezoniga ko'ra ACS barqarorligi uchun w shartining bajarilishi etarli degan xulosaga kelishimiz mumkin. Bilan < w p .

Shaklda ochiq ACS xususiyatlari uchun. 93– va L(w p) > 0, va > 180 °, ya'ni. Nyquist mezonining ikkala sharti ham qondirilmaydi, shuning uchun ko'rib chiqilayotgan ochiq tsiklga mos keladigan yopiq tsiklli ACS beqaror. Rasmdan. 93– A Bundan tashqari, Nyquist mezoniga ko'ra ACS beqaror bo'lishi uchun w shartining bajarilishi kifoya degan xulosaga kelishimiz mumkin. Bilan> w p.

Guruch. 93

A)

b)

Joylashgan yopiq kontur tizimiga mos keladigan ochiq konturli ACS xususiyatlari uchun barqarorlik chegarasida, L(w p) = 0 va = 180°, g Bilan= w p (93-rasmga qarang). b). Bunday tizim uchun, chastotasi w bo'lgan signal uchun Bilan, ya'ni. birlik daromad chastotasi bilan, kirishga nisbatan chiqish signalining faza siljishi -180 ° ni tashkil qiladi. Bu shuni ko'rsatadiki, ACS orqali o'tgandan so'ng, signal kattaligi uning mutlaq qiymatini (energiyasini) saqlab, belgini o'zgartiradi, ya'ni o'zgarmas tebranishlar o'rnatiladi. Bunday ACS ning AFC rasmda ko'rsatilgan. 89.

Keling, LFC va LFFC uchun Nyquist mezonidan foydalangan holda barqarorlikni baholash misolini ko'rib chiqaylik, bu shaklning uzatish funktsiyasi bilan ochiq tsiklli tizimga mos keladigan yopiq tsiklli avtomatik boshqaruv tizimi misolida:

Formulalar (11) va (12) yordamida Mathcad matematik paketi yordamida tuzilgan ochiq tsiklli avtomatik boshqaruv tizimining LFC va LPFC grafiklari rasmda ko'rsatilgan. 94. Rasmdan ko'rinib turibdiki, LFC w da nolga teng Bilan» 13,5 s -1. LFFC w p » 5,7 s chastotada -1 belgisini o'zgartiradi - j (w) -180 ° qiymatiga etganidan keyin (radius vektori soat yo'nalishi bo'yicha burilib, yuqori yarim tekislikka kiradi), fazalar almashinuvini hisoblash davom etadi ijobiy qiymatlar mintaqasida. Bunday holda, Nyquist mezonining ikkita shartidan faqat ikkinchisi rasmiy ravishda buziladi: kesish chastotasidagi LFC qiymati salbiy emas ( L(w p) » 18 > 0). Birinchi shart ( < 180°) rasman bajarilgan: » 130° < 180°. Shu bilan birga, shuni tushunish kerakki, fazaning 130 ° oldinga siljishi, belgini o'zgartirmasdan soat yo'nalishi bo'yicha hisoblashda, miqdor bo'yicha kechikishga to'g'ri keladi:

j(w Bilan) = –360° + 130° = –230°,

shuning uchun yopiq ACS beqaror. Xuddi shu xulosaga w ning qiymatlarini solishtirish orqali erishish mumkin Bilan va w p: w Bilan> w p. Ushbu ACS barqarorligini OFK uchun Nyquist mezoniga muvofiq baholash, oxirida amalga oshiriladi Bo'lim 6.2.3 ham barqarorlikning yo'qligini ko'rsatdi.

Lyapunov teoremasidan foydalanib, Nyquist mezonlari yordamida barqarorlik bahosini tekshiramiz. Belgilanganidek Formuladan (18) foydalanib, biz yopiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining xarakteristik tenglamasini yozamiz:

Mathcad matematik paketi yordamida olingan yopiq tsiklli boshqaruv tizimining xarakteristik tenglamasining yechimi quyidagi shaklga ega:

Tenglamaning ildizlar to'plami qavslar ichida ko'rsatilgan. Ko'rib turganingizdek, tenglamaning ildizlaridan biri bo'lib chiqdi salbiy haqiqiy son -17,74, qolgan ikkitasi esa murakkab konjugat sonlardir ijobiy Haqiqiy qism 3.657. Bu ildizlar mos ravishda teng (3.657 + 12.22 j) va (3.657– 12.22 j). Bu. Lyapunov teoremasiga ko'ra, yopiq o'ziyurar boshqaruv tizimi beqaror, bu ikkala Nyquist mezonlari yordamida olingan barqarorlikni baholash natijalariga mos keladi.

Guruch. 94

O'ziyurar qurol barqarorligi chegaralari

Texnik xususiyatlari ACS tarkibiga kiradigan qurilmalar ish paytida o'zgaradi va shuning uchun ACS uzatish funktsiyasining konstantalari ham vaqt o'tishi bilan o'zgaradi. Tergovchi, faqat barqaror tizimni loyihalashning o'zi etarli emas, u hisoblanganlarga nisbatan ACS parametrlarida ba'zi o'zgarishlar bilan barqaror bo'lib qolishi kerak, ya'ni. bor edi barqarorlik zaxiralari. Marja tizimning barqarorlik chegarasidan masofasini aniqlaydi.

Amplituda barqarorlik chegarasi D L- desibeldagi qiymat, unga ko'ra ochiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining LFC mos keladigan barqaror yopiq tizimni barqarorlik chegarasiga olib kelishi uchun yuqoriga siljishi kerak. Shaklda. 95-rasmda barqaror o'ziyurar qurolning LFC ning yuqoriga siljishi ko'rsatilgan, uning dastlabki xususiyatlari Nyquist mezonidan foydalangan holda barqarorlikni baholash misolida ko'rib chiqilgan (92-rasmga qarang). b).

bu erda A(w p)< 1 – модуль АФХ на частоте w p .

Bilish D L, biz ochiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining statik konversiya koeffitsientining qiymatini aniqlashimiz mumkin, bunda tegishli yopiq tizim barqarorlik chegarasida bo'ladi:

;

,

(23)

Qayerda k

Shaklning uzatish funksiyasi bilan ochiq konturli avtomatik boshqaruv tizimi uchun statik konvertatsiya koeffitsientining chegara qiymatini aniqlash misolini ko'rib chiqaylik:

Ushbu o'ziyurar qurolning LFC va LFFC-lari rasmda ko'rsatilgan. 96. Xarakteristika grafiklaridan ACSning kesish chastotasi w ekanligini ko'rish mumkin Bilan» 50 s -1 , va LFFC w p » 100 s -1 chastotada –180° qiymatiga etadi va keyin belgini o'zgartiradi. Ushbu o'ziyurar qurol uchun amplituda barqarorlik chegarasi teng
, shuning uchun (23) formulaga muvofiq:

.

ACS ning statik konvertatsiya koeffitsientini teng qiymatga o'zgartirganda k gr, o'ziyurar qurolning LFC o'zgarmaydi, lekin LFC yuqoriga siljiydi (96-rasmga qarang). Ko'rinib turibdiki, topilgan qiymat bilan k gr= 425.975 ochiq ACSning kesish chastotasi w Bilan 1 100 s -1 ga teng bo'ladi, ya'ni. w Bilan 1 = w p. Bu shuni anglatadiki, LFC va LPFC uchun Nyquist mezoniga muvofiq, ko'rib chiqilayotgan ochiq tsiklli ACSga mos keladigan yopiq tizim haqiqatan ham barqarorlik chegarasida bo'ladi.

Shaklda. 97-rasmda ochiq konturli ACS LFFC ning pastga siljishi ko'rsatilgan, uning boshlang'ich xarakteristikalari Nyquist mezonidan foydalangan holda barqarorlikni baholash misolida ko'rib chiqilgan (92-rasmga qarang). b). Ko'rinib turibdiki, dastlabki LFFC ning o'ziga parallel ravishda Dj (w) miqdori bilan pastga siljishi. Bilan) ochiq ACS ning w p chastota siljishiga olib keladi chap: nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan yangi LFFC uchun bu chastotaning qiymati w p1 = w Bilan, bu LFC va LFFC uchun Nyquist mezoniga ko'ra, yopiq tizim barqarorlik chegarasida ekanligini ko'rsatadi. Rasmdan. 97 shundan kelib chiqadiki, Dj(w Bilan) quyidagicha aniqlanishi mumkin:

Eslatib o'tamiz, w Bilan bu birlik kuchayishi chastotasi: ACS chiqishidagi bu chastotali signal kirishdagi kabi bir xil amplitudaga ega. Binobarin, w ga to'g'ri keladigan AFC nuqtasiga tortilgan radius vektorining uzunligi Bilan, 1 ga teng. Bu nuqtani OFK grafigida birlik radiusi doirasi bilan kesishgan joyda topish mumkin (98-rasmga qarang).

Rasmdan. 98 aniq ko'rinib turibdiki, agar ochiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining AFC grafigi Dj(w) ga teng burchakka aylantirilsa. Bilan), keyin grafik nuqtadan o'tadi [–1, j 0], bu yopiq tizimni OFK uchun Nyquist mezoniga muvofiq barqarorlik chegarasiga olib boradi.

Xuddi shu OFK uchun amplituda barqarorlik chegarasini aniqlashni ko'rib chiqaylik. Chastota w p ±180° faza siljishiga to'g'ri keladi, shuning uchun bu chastotaga mos keladigan AFC nuqtasini grafikning haqiqiy o'q bilan kesishishi orqali topish mumkin (99-rasm). ACS chiqishida shunday chastotali signal amplitudasining susaytirish koeffitsientini aniqlaydigan AFC moduli koordinatalar kelib chiqishidan AFC ning tegishli nuqtasiga chizilgan radius vektorining uzunligiga teng. OFK uchun rasmda. 99 bu qiymat A(w p) ga teng va undan (22) formuladan foydalanib, D ni hisoblash mumkin L.

Qayerda k– asl ochiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining statik konversiya koeffitsienti.

Oldingi hisob-kitob qilingan ochiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining AFC asosida statik konvertatsiya koeffitsientining chegara qiymatini aniqlash misolini ko'rib chiqaylik. k gr logarifmik xarakteristikalar bo'yicha amalga oshirildi (23-formuladan boshlab 96-rasmga qarang). Asl qiymati bilan bu o'ziyurar qurol AFC k= 107 rasmda ko'rsatilgan. 100. [–1, nuqta sohasida grafikni tahlil qilish qulayligi uchun. j 0] uning fragmenti alohida ko'rsatilgan. Ko'rib turganingizdek, dastlabki qiymatga ega o'ziyurar qurollar k AFC moduli A(w p) » 0,25, shuning uchun (25) formulaga muvofiq:

Qiymat topildi k gr= 428 LFC yordamida hisoblash natijasi bilan qoniqarli aniqlik bilan mos keladi ( k gr= 425.975). Hisoblashdagi xatolar D grafiklaridan taxminiy aniqlash bilan bog'liq L va A(w p).

Guruch. 100

Shakldan ko'rinib turibdiki. 100, ACS ning statik konvertatsiya koeffitsientini teng qiymatga o'zgartirganda k gr= 428, o'ziyurar qurol koordinatali nuqtadan o'tadi [–1, j 0], ya'ni OFK uchun Nyquist mezoniga muvofiq, ko'rib chiqilayotgan ochiq tsiklli ACSga mos keladigan yopiq tsiklli tizim haqiqatan ham barqarorlik chegarasida bo'ladi.

O'ziyurar qurollarning amplituda barqarorligi chegaralari D L va faza Dj(w Bilan), o'tish xususiyati bilan belgilanadigan ko'rsatkichlar bilan bir qatorda (qarang. bob 2.3.2.), boshqaruv sifatining asosiy ko'rsatkichlari hisoblanadi.

Adabiyot

1. Anximyuk, V.L. Avtomatik boshqaruv nazariyasi. / V.L. Anximyuk, O.F. Opeiko, N.N. Mixeev; tomonidan tahrirlangan V.L. Anximyuk. – Mn.: Design PRO, 2000. – 352 b.

2. Besekerskiy, V.A. Avtomatik boshqaruv tizimlari nazariyasi / V.A. Besekerskiy, V.P. Popov. – M.: Nauka, 1975. – 766 b.

3. Andryushchenko, V.A. Avtomatik boshqaruv tizimlari nazariyasi / V.A. Andryushchenko. – L.: Leningrad davlat universiteti, 1990. – 256 b.

4. Klyuev, A.S. Avtomatlashtirish tizimlarini loyihalash texnologik jarayonlar: ma'lumotnoma / A.S. Klyuev, B.V. Glazov va boshqalar - M.: Energoatomizdat, 1990. - 464 b.

5. Klyuev, A.S. Avtomatik boshqaruv va texnologik boshqaruv sxemalarini o'qish texnikasi / A.S. Klyuev, B.V. Glazov va boshqalar - M.: Energoatomizdat, 1991. - 432 b.

6. Fedorov, Yu.N. Avtomatlashtirilgan jarayonlarni boshqarish tizimlari bo'yicha muhandis uchun qo'llanma: loyihalash va ishlab chiqish: o'quv va amaliy ish. nafaqa / Yu.N. Fedorov. – M.: Infra-muhandislik, 2008. – 928 b.

7. Polyakov, K.Yu. Qo'g'irchoqlar uchun avtomatik boshqarish nazariyasi. K.Yu. Polyakov // O'qitish, fan va hayot [Elektron resurs]. – 2009. – Kirish rejimi: http://kpolyakov.narod.ru/uni/teapot.htm. – Kirish sanasi: 06.01.2011.

8. Tixonov, A.I. Avtomatik boshqaruv nazariyasi: ma'ruzalar kursi / A.I. Tixonov. – Ivanovo: ISEU, 2002. – 188 p.

9. Yakovlev, A.V. Elektr dvigatel tezligini barqarorlashtirish tizimi: laboratoriya ishi stavkada" Texnik vositalar O'ziyurar qurollar / A.V. Yakovlev. – M.: MSTU im. N.E. Bauman, 2007. – 24 b.

10. Zaitsev, G.F. Avtomatik boshqarish va tartibga solish nazariyasi / G.F. Zaitsev. – K.: Oliy maktab, 1989. – 431 b.

11. Tumanov, M.P. Nazorat nazariyasi. Chiziqli avtomatik boshqaruv tizimlari nazariyasi: Qo'llanma/ M.P. Tumanov. – M.: MGIEM, 2005. – 82 b.

12. Kuzmenko, N.V. “Texnologik jarayonlar va ishlab chiqarishni avtomatlashtirish” fanidan ma’ruza matnlari: darslik. nafaqa / N.V. Kuzmenko. – Angarsk: AGTA, 2005. – 77 p.

13. Bespalov, A.V. Dinamik havolalar. Vaqtinchalik xususiyatlar. Darslik nafaqa / A.V. Bespalov, N.I. Xaritonov va boshqalar - M.: RKhTU im. DI. Mendeleeva, 2001. – 80 b.

14. Savin, M.M. Avtomatik boshqaruv nazariyasi: darslik. nafaqa / M.M. Savin, V.S. Elsukov, O.N. Pyatina. - Rostov-na-Donu: Feniks, 2007. - 469 p.

15. Phillips, Ch. Teskari aloqani boshqarish tizimlari / Ch. Phillips, R. Harbor. – M.: Asosiy bilimlar laboratoriyasi, 2001. – 616 b.

Yuqorida muhokama qilingan barqarorlik (uni aniqlash mezonlari bilan birga) avtomatik boshqaruv tizimlarining yagona xususiyati emas. Tizimlar quyidagilar bilan tavsiflanadi: barqarorlik chegarasi, barqarorlik sohalari, jalb qilish, tartibga solish sifati va boshqa xususiyatlar. Keling, ulardan ba'zilarini ko'rib chiqaylik.

Strukturaviy barqarorlik (barqarorlik)

Bu yopiq tizimning xususiyati bo'lib, uning mavjudligida uni parametrlardagi har qanday o'zgarishlarda barqaror qilib bo'lmaydi.

Mayli
. Ushbu tizim uchun Nyquist godografi A-rasmda ko'rsatilgan. Ushbu tizimning barqarorligi parametrlarning qiymatlari bilan belgilanadi Va
. Ko'rib chiqilayotgan tizim tizimli barqaror.

Mayli
. (B-rasm). Barqarorlik parametrlarga ham bog'liq Va . Tizim konstruktiv jihatdan barqaror.

Mayli
. Har qanday holatda (har qanday parametr qiymatlari uchun) tizim beqaror bo'ladi. Ya'ni, tizim tizimli ravishda beqaror.

Muayyan holatda uzatish funktsiyasi shaklga ega
. Bunda yopiq sistemaning tegishli xarakteristik tenglamasi: . Ildizlar va qutblarning uzilishlari printsipi buziladi. Tizim beqaror. Strukturaviy jihatdan beqaror.

Transfer funksiyasi tizimi
- tizimli ravishda beqaror, chunki yopiq tizim uchun koeffitsientlar
,
,
,
, - hammasi ijobiy, lekin shartdan kelib chiqadiki
, qayerda
, yoki
. Ya'ni, tizim beqaror.

Tizim
tizimli jihatdan ham barqaror. Mana havola
- kvazi davriy (statik jihatdan beqaror). Yopiq sistemaning xarakteristik tenglamasi. Ikki chegara shartini qayerdan olishimiz mumkin:
Va
.

Bir devirli tizimlar uchun quyidagi shartlar qo'llaniladi (Meyerov M.V.):

Bir zanjirli tizim quyidagilardan iborat bo'lsin:

- integratsiyalashgan havolalar,

- beqaror havolalar,

- konservativ aloqalar. Keyinchalik, tizimda farqlovchi bog'lanishlar bo'lmasa, u tizimli ravishda barqaror bo'ladi, agar

Ko'p tsiklli tizimlarda Meyer munosabatlari tizimga kiritilgan har bir tsiklga qo'llanilishi kerak.

Barqarorlik chegarasi

Barqarorlikning aniqlanganligi tizimning ishlashiga ishonchni ta'minlamaydi.

Noaniqliklar (xatolar) mumkin, chunki:

tizimning matematik tavsifi ideallashtiriladi;

Bog'lanishlar ko'pincha chiziqli bo'ladi;

parametrlarni aniqlashda noaniqlik;

ish sharoitlarining o'zgarishi (simulyatsiya qilinganlarga nisbatan).

Shuning uchun barqarorlik chegarasi talab qilinadi.

Hurwitz mezonidan foydalanganda marja oxirgidan oldingi minorning qiymati bilan belgilanadi:

Agar
- barqarorlik chegarasi yo'q;
- zaxira bor.

Tizimdagi barqarorlik marjasi barqarorlik darajasini tavsiflaydi.

Barqarorlik chegarasi va barqarorlik darajasi xarakterli tenglama ildizlarining joylashuvi va tizimning chastotali xarakteristikalari bilan aniqlanishi mumkin.

Xuddi shunday, siz logarifmik xususiyatlar yordamida barqarorlik chegarasini aniqlashingiz mumkin L( ) Va  ( ) , Nyquist mezoni yordamida barqarorlikni aniqlashda foydalaniladi.

Barqarorlik maydoni

Amalda, avtomatik boshqaruv tizimlarining dizaynerlari tizim barqaror bo'lgan parametrlar maydoni (maydoni, chegaralari, diapazoni) bilan qiziqishadi. Tizim barqarorlik xususiyatiga ega bo'lgan parametr qiymatlari to'plami tizimning barqarorlik mintaqasi deb ataladi.

Barqarorlik sohalarini aniqlash uchun bir nechta texnikalar mavjud.

Algebraik Xurvits barqarorlik mezoniga asoslanib;

D-bo'lim usuli;

Ildiz godografi usuli.

Barqarorlik maydoni Xurvitsga ko'ra tengsizliklar o'rniga Xurvits sharoitida tengliklarni qo'llash orqali aniqlanadi. Ko'pincha, kerakli maydonning chegarasi shart ostida aniqlanishi mumkin
. ("Muhim daromadni aniqlash" bandiga qarang). Bu yerdan bizni qiziqtirayotgan parametrning bog'liqligi aniqlanadi parametrdan. Natijada paydo bo'lgan bog'liqlik() tizim barqarorlik mintaqasining chegarasidir.

Yuqori darajadagi tizimlarda boshqa voyaga etmaganlarni hisobga olish kerak bo'ladi. Bunday holda, barqarorlik maydoni torayishi mumkin.