uy Isitishni hisoblash Geometrik progressiya yechish shartlari bilan beriladi. Geometrik progressiya nima? Asosiy tushunchalar

Geometrik progressiya yechish shartlari bilan beriladi. Geometrik progressiya nima? Asosiy tushunchalar

Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Saqlar ketma-ketligi. Geometrik progressiya"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, tilaklaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar virusga qarshi dastur tomonidan tekshirilgan.

Integral onlayn do'konida 9-sinf uchun o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
Quvvatlar va ildizlar Funksiyalar va grafiklar

Bolalar, bugun biz progressiyaning yana bir turi bilan tanishamiz.
Bugungi darsimizning mavzusi geometrik progressiya.

Geometrik progressiya

Ta'rif. Ikkinchisidan boshlab har bir had oldingi va qandaydir qat'iy sonning ko'paytmasiga teng bo'lgan sonli ketma-ketlik geometrik progressiya deb ataladi.
Ketma-ketlikni rekursiv tarzda aniqlaymiz: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
Bu erda b va q ma'lum berilgan raqamlardir. q soni progressiyaning maxraji deyiladi.

Misol. 1,2,4,8,16… Geometrik progressiya, birinchi hadi birga teng va $q=2$.

Misol. 8,8,8,8... Birinchi hadi sakkizga teng bo‘lgan geometrik progressiya,
va $q=1$.

Misol. 3,-3,3,-3,3... Birinchi hadi uchga teng geometrik progressiya,
va $q=-1$.

Geometrik progressiya monotonlik xususiyatlariga ega.
Agar $b_(1)>0$, $q>1$,
keyin ketma-ketlik kuchayadi.
Agar $b_(1)>0$, $0 Ketma-ketlik odatda quyidagi shaklda belgilanadi: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Xuddi arifmetik progressiyadagi kabi, agar geometrik progressiyada elementlar soni chekli bo‘lsa, progressiya chekli geometrik progressiya deyiladi.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
E'tibor bering, agar ketma-ketlik geometrik progressiya bo'lsa, u holda hadlar kvadratlari ketma-ketligi ham geometrik progressiyadir. Ikkinchi qatorda birinchi had $b_(1)^2$ ga, maxraj esa $q^2$ ga teng.

Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasi

Geometrik progressiyani analitik shaklda ham ko'rsatish mumkin. Keling, buni qanday qilishni ko'rib chiqaylik:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Biz naqshni osongina sezamiz: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Bizning formulamiz "geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasi" deb ataladi.

Keling, misollarimizga qaytaylik.

Misol. 1,2,4,8,16... Birinchi hadi birga teng geometrik progressiya,
va $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Misol. 16,8,4,2,1,1/2… Birinchi hadi o‘n oltiga teng bo‘lgan geometrik progressiya va $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Misol. 8,8,8,8... Birinchi hadi sakkizga teng bo‘lgan geometrik progressiya va $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Misol. 3,-3,3,-3,3... Birinchi hadi uch ga teng bo‘lgan geometrik progressiya va $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Misol. $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ geometrik progressiya berilgan.
a) Ma'lumki, $b_(1)=6, q=3$. $b_(5)$ toping.
b) $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$ ekanligi ma'lum. n ni toping.
c) $q=-2, b_(6)=96$ ekanligi ma'lum. $b_(1)$ toping.
d) Ma'lumki, $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. q ni toping.

Yechim.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, chunki $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Misol. Geometrik progressiyaning yettinchi va beshinchi hadlarining ayirmasi 192 ga, progressiyaning beshinchi va oltinchi hadlarining yig‘indisi 192 ga teng. Shu progressiyaning o‘ninchi hadini toping.

Yechim.
Biz bilamizki: $b_(7)-b_(5)=192$ va $b_(5)+b_(6)=192$.
Biz ham bilamiz: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Keyin:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Biz tenglamalar tizimini oldik:
$\begin(holatlar)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(holatlar)$.
Tenglamalarimizni tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Biz ikkita yechim oldik q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Ikkinchi tenglamani ketma-ketlik bilan almashtiring:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ yechim yo'q.
Biz buni oldik: $b_(1)=4, q=2$.
O'ninchi hadni topamiz: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Cheklangan geometrik progressiya yig‘indisi

Cheklangan geometrik progressiyaga ega bo'lsin. Keling, xuddi arifmetik progressiya kabi, uning hadlari yig'indisini hisoblaylik.

Cheklangan geometrik progressiya berilsin: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Uning shartlari yig'indisi uchun belgilashni kiritamiz: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
$q=1$ bo'lgan holatda. Geometrik progressiyaning barcha hadlari birinchi hadga teng, u holda $S_(n)=n*b_(1)$ ekanligi ayon boʻladi.
Endi $q≠1$ ishni ko'rib chiqamiz.
Yuqoridagi miqdorni q ga ko'paytiramiz.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Eslatma:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Biz chekli geometrik progressiya yig'indisi formulasini oldik.

Misol.
Birinchi hadi 4 ga, maxraji 3 ga teng bo‘lgan geometrik progressiyaning dastlabki yetti hadining yig‘indisini toping.

Yechim.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Misol.
Geometrik progressiyaning ma'lum beshinchi hadini toping: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Yechim.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Geometrik progressiyaning xarakterli xossasi

Bolalar, geometrik progressiya berilgan. Keling, uning uchta ketma-ket a'zolarini ko'rib chiqaylik: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Biz buni bilamiz:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Keyin:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Agar progressiya chekli bo'lsa, bu tenglik birinchi va oxirgidan tashqari barcha shartlar uchun amal qiladi.
Ketma-ketlik qanday shaklda ekanligi oldindan ma'lum bo'lmasa, lekin ma'lum bo'lsa: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Shunda ishonch bilan aytishimiz mumkinki, bu geometrik progressiya.

Har bir a'zoning kvadrati progressiyaning qo'shni ikkita a'zosining ko'paytmasiga teng bo'lgandagina sonlar ketma-ketligi geometrik progressiya hisoblanadi. Shuni unutmangki, cheklangan progressiya uchun bu shart birinchi va oxirgi hadlar uchun qanoatlanmaydi.

Keling, ushbu identifikatsiyani ko'rib chiqaylik: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ a va b sonlarning geometrik o'rtachasi deyiladi.

Geometrik progressiyaning har qanday hadining moduli uning ikkita qo‘shni hadining o‘rtacha geometrik qiymatiga teng.

Misol.
$x+2 bo'ladigan x toping; 2x+2; 3x+3$ geometrik progressiyaning ketma-ket uchta hadi edi.

Yechim.
Xarakteristik xususiyatdan foydalanamiz:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ va $x_(2)=-1$.
Keling, yechimlarimizni ketma-ket asl ifodaga almashtiramiz:
$x=2$ bilan biz ketma-ketlikni oldik: 4;6;9 – $q=1,5$ bo‘lgan geometrik progressiya.
$x=-1$ uchun biz quyidagi ketma-ketlikni olamiz: 1;0;0.
Javob: $x=2.$

Mustaqil ravishda hal qilinadigan muammolar

1. 16;-8;4;-2… geometrik progressiyaning sakkizinchi birinchi hadini toping.
2. 11,22,44... geometrik progressiyaning o‘ninchi hadini toping.
3. Ma’lumki, $b_(1)=5, q=3$. $b_(7)$ toping.
4. Ma'lumki, $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. n ni toping.
5. 3;12;48... geometrik progressiyaning dastlabki 11 ta hadining yig’indisini toping.
6. $3x+4 bo'ladigan x ni toping; 2x+4; x+5$ geometrik progressiyaning ketma-ket uchta hadi.

Geometrik progressiya arifmetik progressiya bilan bir qatorda 9-sinfda maktab algebrasi kursida o‘rganiladigan muhim sonlar qatoridir. Ushbu maqolada biz geometrik progressiyaning maxrajini va uning qiymati uning xususiyatlariga qanday ta'sir qilishini ko'rib chiqamiz.

Geometrik progressiyaning ta’rifi

Birinchidan, ushbu sonlar qatorining ta'rifini beraylik. Geometrik progressiya ratsional sonlar qatori boʻlib, uning birinchi elementini maxraj deb ataladigan doimiy songa ketma-ket koʻpaytirish yoʻli bilan hosil boʻladi.

Masalan, 3, 6, 12, 24, ... qatoridagi sonlar geometrik progressiyadir, chunki 3 ni (birinchi elementni) 2 ga ko'paytirsangiz, 6 ga erishasiz. 6 ni 2 ga ko'paytirsangiz, hosil bo'ladi. 12 va boshqalar.

Ko'rib chiqilayotgan ketma-ketlikning a'zolari odatda ai belgisi bilan belgilanadi, bu erda i qator elementining sonini ko'rsatadigan butun sondir.

Progressiyaning yuqoridagi ta'rifini matematik tilda quyidagicha yozish mumkin: an = bn-1 * a1, bu erda b - maxraj. Ushbu formulani tekshirish oson: agar n = 1 bo'lsa, u holda b1-1 = 1 va biz a1 = a1 ni olamiz. Agar n = 2 bo'lsa, u holda an = b * a1 va biz yana ko'rib chiqilayotgan raqamlar qatorining ta'rifiga kelamiz. Xuddi shunday mulohazalarni n ning katta qiymatlari uchun ham davom ettirish mumkin.

Geometrik progressiyaning maxraji

b soni butun raqamlar qatori qanday belgiga ega bo'lishini to'liq aniqlaydi. Maxraj b musbat, manfiy yoki birdan katta yoki kichik bo'lishi mumkin. Yuqoridagi barcha variantlar turli xil ketma-ketliklarga olib keladi:

b > 1. Ratsional sonlarning ortib borayotgan qatori mavjud. Masalan, 1, 2, 4, 8, ... Agar a1 elementi manfiy bo'lsa, u holda butun ketma-ketlik faqat mutlaq qiymatda ortadi, lekin raqamlarning belgisiga qarab kamayadi.
b = 1. Ko'pincha bu holat progressiya deb nomlanmaydi, chunki bir xil ratsional sonlarning oddiy qatori mavjud. Masalan, -4, -4, -4.

Miqdor uchun formula

Ko'rib chiqilayotgan progressiya turining maxrajidan foydalangan holda aniq masalalarni ko'rib chiqishga o'tishdan oldin uning birinchi n elementi yig'indisining muhim formulasini keltirish kerak. Formula quyidagicha ko'rinadi: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Progressiya shartlarining rekursiv ketma-ketligini ko'rib chiqsangiz, bu ifodani o'zingiz olishingiz mumkin. Shuni ham yodda tutingki, yuqoridagi formulada ixtiyoriy sonli hadlar yig'indisini topish uchun faqat birinchi element va maxrajni bilish kifoya.

Cheksiz kamayuvchi ketma-ketlik

Bu nima ekanligi haqida yuqorida tushuntirish berilgan. Endi, Sn ning formulasini bilgan holda, uni ushbu sonlar qatoriga qo'llaymiz. Moduli 1 dan oshmaydigan har qanday son katta darajaga koʻtarilganda nolga intiladi, yaʼni -1 boʻlsa b∞ => 0 boʻladi.

Farq (1 - b) maxrajning qiymatidan qat'iy nazar har doim musbat bo'lganligi sababli, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisining belgisi S∞ uning birinchi elementi a1 belgisi bilan yagona aniqlanadi.

Keling, olingan bilimlarni aniq raqamlarda qanday qo'llashni ko'rsatadigan bir nechta muammolarni ko'rib chiqaylik.

Vazifa No 1. Progressiya va yig'indining noma'lum elementlarini hisoblash

Geometrik progressiya berilgan bo‘lsa, progressiyaning maxraji 2 ga, birinchi elementi esa 3 ga teng. Uning 7 va 10 hadlari nimaga teng bo‘ladi va uning yettita boshlang‘ich elementi yig‘indisi nechaga teng?

Muammoning sharti juda oddiy va yuqoridagi formulalardan bevosita foydalanishni o'z ichiga oladi. Demak, n element raqamini hisoblash uchun an = bn-1 * a1 ifodasidan foydalanamiz. 7-element uchun bizda mavjud: a7 = b6 * a1, ma'lum ma'lumotlarning o'rniga, biz olamiz: a7 = 26 * 3 = 192. 10-son uchun ham xuddi shunday qilamiz: a10 = 29 * 3 = 1536.

Keling, yig'indi uchun taniqli formuladan foydalanamiz va bu qiymatni seriyaning birinchi 7 elementi uchun aniqlaymiz. Bizda: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Muammo No 2. Progressiyaning ixtiyoriy elementlari yig’indisini aniqlash

-2 geometrik progressiyaning bn-1 * 4 maxrajiga teng bo'lsin, bu erda n butun son. Ushbu qatorning 5-dan 10-elementigacha bo'lgan summani, shu jumladan, aniqlash kerak.

Qo'yilgan muammoni ma'lum formulalar yordamida to'g'ridan-to'g'ri hal qilib bo'lmaydi. Buni 2 usulda hal qilish mumkin turli usullar. Mavzu taqdimotining to'liqligi uchun biz ikkalasini ham taqdim etamiz.

Usul 1. G'oya oddiy: birinchi shartlarning ikkita mos keladigan summasini hisoblashingiz kerak, so'ngra ikkinchisini biridan ayirish kerak. Biz kichikroq miqdorni hisoblaymiz: S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Endi biz kattaroq summani hisoblaymiz: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. E'tibor bering, oxirgi iborada faqat 4 ta atama jamlangan, chunki 5-o'rin allaqachon muammoning shartlariga ko'ra hisoblanishi kerak bo'lgan miqdorga kiritilgan. Nihoyat, biz farqni olamiz: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

2-usul. Raqamlarni almashtirish va hisoblashdan oldin ko'rib chiqilayotgan qatorning m va n hadlari orasidagi yig'indi formulasini olishingiz mumkin. Biz 1-usulda bo'lgani kabi xuddi shunday qilamiz, faqat biz birinchi navbatda miqdorning ramziy ko'rinishi bilan ishlaymiz. Bizda: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Olingan ifodaga ma'lum raqamlarni almashtirishingiz va yakuniy natijani hisoblashingiz mumkin: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Masala No 3. Maxraj nima?

a1 = 2 bo'lsin, geometrik progressiyaning maxraji topilsin, agar uning cheksiz yig'indisi 3 ga teng bo'lsa va bu sonlarning kamayuvchi qatori ekanligi ma'lum.

Muammoning shartlariga asoslanib, uni hal qilish uchun qaysi formuladan foydalanish kerakligini taxmin qilish qiyin emas. Albatta, cheksiz kamayib borayotgan progressiyaning yig'indisi uchun. Bizda: S∞ = a1 / (1 - b). Maxrajni qaerdan ifodalaymiz: b = 1 - a1 / S∞. Qolgan narsa - almashtirish ma'lum qiymatlar va kerakli raqamni oling: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 yoki -0,333 (3). Agar ushbu turdagi ketma-ketlik uchun modul b 1 dan oshmasligi kerakligini eslasak, bu natijani sifat jihatidan tekshirishimiz mumkin. Ko'rinib turibdiki, |-1 / 3|

Vazifa No 4. Bir qator raqamlarni tiklash

Son qatorining 2 ta elementi berilsin, masalan, 5-chi 30 ga, 10-si 60 ga teng. Bu maʼlumotlardan butun qatorni geometrik progressiyaning xossalarini qanoatlantirishini bilib, qayta qurish kerak.

Muammoni hal qilish uchun, avvalo, har bir ma'lum atama uchun tegishli iborani yozishingiz kerak. Bizda: a5 = b4 * a1 va a10 = b9 * a1. Endi ikkinchi ifodani birinchisiga ajratamiz, biz olamiz: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Bu yerdan muammo bayonidan ma'lum bo'lgan atamalar nisbatining beshinchi ildizini olib, maxrajni aniqlaymiz, b = 1,148698. Olingan sonni ma'lum element uchun ifodalardan biriga almashtiramiz, biz quyidagilarni olamiz: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Shunday qilib, biz progressiyaning maxrajini topdik bn va geometrik progressiya bn-1 * 17,2304966 = an, bu erda b = 1,148698.

Geometrik progressiyalar qayerda ishlatiladi?

Agar ushbu raqamlar seriyasining amaliy qo'llanilishi bo'lmaganida, uni o'rganish faqat nazariy qiziqishga aylangan bo'lar edi. Ammo bunday dastur mavjud.

Quyida 3 ta eng mashhur misollar keltirilgan:

Zenon paradoksi, bunda chaqqon Axilles sekin toshbaqaga yetib borolmaydi, cheksiz kamayib boruvchi raqamlar ketma-ketligi tushunchasi yordamida hal qilinadi.
Agar har bir hujayra uchun shaxmat taxtasi bug'doy donalarini qo'ying, shunda 1-hujayraga 1 don, 2-ga - 2, 3-ga - 3 va hokazo, keyin taxtaning barcha hujayralarini to'ldirish uchun sizga 18446744073709551615 dona kerak bo'ladi!
"Xanoy minorasi" o'yinida disklarni bir novdadan ikkinchisiga o'tkazish uchun 2n - 1 amalni bajarish kerak, ya'ni ularning soni ishlatilgan disklar soni n soniga qarab eksponent ravishda o'sadi.

Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasi juda oddiy. Ham ma'noda, ham umumiy ko'rinishda. Ammo n-sonning formulasida har xil muammolar mavjud - juda ibtidoiydan jiddiygacha. Va tanishish jarayonida biz ikkalasini ham ko'rib chiqamiz. Xo'sh, tanishamiz?)

Shunday qilib, boshlash uchun, aslida formulan

Mana u:

b n = b 1 · qn -1

Formula shunchaki formula, g'ayritabiiy narsa emas. Bu shunga o'xshash formuladan ko'ra oddiyroq va ixchamroq ko'rinadi. Formulaning ma'nosi ham kigiz etiklar kabi oddiy.

Bu formula sizga geometrik progressiyaning HAR QANDAY a'zosini UNING SONI BO'YICHA topish imkonini beradi. n".

Ko'rib turganingizdek, ma'no arifmetik progressiya bilan to'liq o'xshashlikdir. Biz n raqamini bilamiz - bu raqam ostidagi terminni ham sanashimiz mumkin. Qaysi birini xohlasak. Qayta-qayta "q" ga ko'p marta ko'paytirmasdan. Hamma gap shu.)

Progressiyalar bilan ishlashning ushbu darajasida formulaga kiritilgan barcha miqdorlar siz uchun allaqachon tushunarli bo'lishi kerakligini tushunaman, lekin baribir har birining shifrini ochishni o'z burchim deb bilaman. Har ehtimolga qarshi.

Shunday qilib, biz boramiz:

b 1 – birinchi geometrik progressiyaning hadi;

q – ;

n- a'zo raqami;

b n – n-chi (nth) geometrik progressiyaning hadi.

Ushbu formula har qanday geometrik progressiyaning to'rtta asosiy parametrini bog'laydi - bn, b 1 , q Va n. Va barcha rivojlanish muammolari ushbu to'rtta asosiy raqam atrofida aylanadi.

"Qanday qilib olib tashlanadi?"– Qiziq savol eshitaman... Boshlang'ich! Qarang!

Nimaga teng ikkinchi progressiya a'zosi? Hammasi joyida! Biz to'g'ridan-to'g'ri yozamiz:

b 2 = b 1 ·q

Uchinchi a'zo haqida nima deyish mumkin? Muammo ham emas! Biz ikkinchi muddatni ko'paytiramiz yana bir borq.

Mana bunday:

B 3 = b 2 q

Endi ikkinchi had o'z navbatida b 1 ·q ga teng ekanligini eslaylik va bu ifodani tengligimiz bilan almashtiramiz:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Biz olamiz:

B 3 = b 1 ·q 2

Keling, rus tilidagi yozuvimizni o'qiymiz: uchinchi had birinchi hadning q ga ko'paytirilganiga teng ikkinchi daraja. Tushundingizmi? Hali emas? Yaxshi, yana bir qadam.

To'rtinchi muddat nima? Hammasi bir xil! Ko'paytiring oldingi(ya'ni uchinchi muddat) q bo'yicha:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Jami:

B 4 = b 1 ·q 3

Va yana rus tiliga tarjima qilamiz: to'rtinchi had birinchi hadning q ga ko'paytirilganiga teng uchinchi daraja.

Va hokazo. Xo'sh, qanday? Shaklni tushundingizmi? Ha! Har qanday sonli har qanday atama uchun bir xil q omillar soni (ya'ni, maxraj darajasi) har doim bo'ladi. kerakli a'zo sonidan bir kamn.

Shunday qilib, bizning formulamiz variantlarsiz bo'ladi:

b n =b 1 · qn -1

Ana xolos.)

Xo'sh, keling, muammolarni hal qilaylik, menimcha?)

Formuladagi masalalarni yechishnGeometrik progressiyaning uchinchi hadi.

Keling, odatdagidek, formulani to'g'ridan-to'g'ri qo'llash bilan boshlaylik. Bu erda odatiy muammo:

Geometrik progressiyada ma'lumki b 1 = 512 va q = -1/2. Progressiyaning o‘ninchi hadini toping.

Albatta, bu muammoni hech qanday formulalarsiz hal qilish mumkin. To'g'ridan-to'g'ri geometrik progressiya ma'nosida. Lekin biz n-sonli formula bilan isinishimiz kerak, to'g'rimi? Mana biz isinamiz.

Formulani qo'llash uchun bizning ma'lumotlarimiz quyidagicha.

Birinchi a'zo ma'lum. Bu 512.

b 1 = 512.

Progressiyaning maxraji ham ma'lum: q = -1/2.

Faqat n a'zosining soni qancha ekanligini aniqlash qoladi. Hammasi joyida! Bizni o'ninchi muddat qiziqtiradimi? Shunday qilib, biz almashtiramiz umumiy formula n o‘rniga o‘n.

Va arifmetikani diqqat bilan hisoblang:

Javob: -1

Ko'rib turganingizdek, progressiyaning o'ninchi muddati minus bo'lib chiqdi. Hech narsa ajablanarli emas: bizning progressiv maxrajimiz -1/2, ya'ni. salbiy raqam. Va bu bizning rivojlanish belgilarimiz almashinishini aytadi, ha.)

Bu erda hamma narsa oddiy. Mana shunga o'xshash muammo, lekin hisob-kitoblar nuqtai nazaridan biroz murakkabroq.

Geometrik progressiyada ma'lumki:

b 1 = 3

Progressiyaning o‘n uchinchi hadini toping.

Hammasi bir xil, faqat bu safar progressiyaning maxraji mantiqsiz. Ikkining ildizi. Mayli, hammasi joyida. Formula universal narsa, u har qanday raqamlarni boshqarishi mumkin.

Biz to'g'ridan-to'g'ri formula bo'yicha ishlaymiz:

Formula, albatta, kerak bo'lganidek ishladi, lekin ... bu erda ba'zi odamlar tiqilib qolishadi. Ildiz bilan keyin nima qilish kerak? Qanday qilib ildizni o'n ikkinchi darajaga ko'tarish kerak?

Qanday qilib... Siz tushunishingiz kerakki, har qanday formula, albatta, yaxshi narsa, lekin oldingi barcha matematika bilimlari bekor qilinmaydi! Qanday qilib qurish kerak? Ha, darajalarning xususiyatlarini eslang! Keling, ildizni aylantiramiz kasr darajasi va - darajani darajaga ko'tarish formulasiga muvofiq.

Mana bunday:

Javob: 192

Va bu hammasi.)

n-sonli formulani to'g'ridan-to'g'ri qo'llashda asosiy qiyinchilik nimada? Ha! Asosiy qiyinchilik - bu darajalar bilan ishlash! Ya'ni, eksponentatsiya manfiy raqamlar, kasrlar, ildizlar va boshqalar. shunga o'xshash dizaynlar. Shunday qilib, bu bilan muammoga duch kelganlar, iltimos, darajalarni va ularning xususiyatlarini takrorlang! Aks holda bu mavzuni ham sekinlashtirasiz, ha...)

Endi odatiy qidiruv muammolarini hal qilaylik formulaning elementlaridan biri, agar barcha boshqalar berilgan bo'lsa. Bunday muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun retsept bir xil va juda oddiy - formulani yozingnth a'zosi umumiy ko'rinish! Shart yonidagi daftarda. Va keyin shartdan biz bizga nima berilganligini va nima etishmayotganini aniqlaymiz. Va formuladan kerakli qiymatni ifodalaymiz. Hammasi!

Misol uchun, bunday zararsiz muammo.

Maxraji 3 bo‘lgan geometrik progressiyaning beshinchi hadi 567. Shu progressiyaning birinchi hadini toping.

Hech narsa murakkab emas. Biz to'g'ridan-to'g'ri afsunga ko'ra ishlaymiz.

n-sonning formulasini yozamiz!

b n = b 1 · qn -1

Bizga nima berildi? Birinchidan, progressiyaning maxraji berilgan: q = 3.

Bundan tashqari, bizga berilgan beshinchi a'zo: b 5 = 567 .

Hammasi? Yo'q! Bizga n raqami ham berilgan! Bu besh: n = 5.

Umid qilamanki, siz yozuvda nima borligini allaqachon tushundingiz b 5 = 567 bir vaqtning o'zida ikkita parametr yashiringan - bu beshinchi atamaning o'zi (567) va uning soni (5). Men bu haqda shunga o'xshash darsda gapirganman, lekin menimcha, bu erda ham eslatib o'tish kerak.)

Endi biz ma'lumotlarimizni formulaga almashtiramiz:

567 = b 1 ·3 5-1

Biz arifmetika qilamiz, soddalashtiramiz va oddiy chiziqli tenglamani olamiz:

81 b 1 = 567

Biz hal qilamiz va olamiz:

b 1 = 7

Ko'rib turganingizdek, birinchi atamani topishda hech qanday muammo yo'q. Lekin maxrajni qidirganda q va raqamlar n Bundan tashqari, kutilmagan hodisalar bo'lishi mumkin. Va siz ham ularga tayyor bo'lishingiz kerak (syurprizlar), ha.)

Masalan, bu muammo:

Musbat maxrajli geometrik progressiyaning beshinchi hadi 162 ga, bu progressiyaning birinchi hadi 2 ga teng. Progressiyaning maxrajini toping.

Bu safar bizga birinchi va beshinchi hadlar beriladi va progressiyaning maxrajini topish so'raladi. Qani boshladik.

Formulani yozamizna'zosi!

b n = b 1 · qn -1

Bizning dastlabki ma'lumotlarimiz quyidagicha bo'ladi:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Qiymat yetishmayapti q. Hammasi joyida! Keling, hozir topamiz.) Biz bilgan hamma narsani formulaga almashtiramiz.

Biz olamiz:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

To'rtinchi darajali oddiy tenglama. Va hozir - ehtiyotkorlik bilan! Yoniq bu bosqichda echimlar, ko'plab talabalar darhol quvonch bilan ildizni (to'rtinchi darajali) ajratib olishadi va javob oladilar q=3 .

Mana bunday:

q4 = 81

q = 3

Lekin, aslida, bu tugallanmagan javob. Aniqrog'i, to'liq bo'lmagan. Nega? Gap shundaki, javob q = -3 ham mos keladi: (-3) 4 ham 81 bo'ladi!

Buning sababi, quvvat tenglamasi x n = a har doim bor ikkita qarama-qarshi ildiz da hatton . Plyus va minus bilan:

Ikkalasi ham mos keladi.

Masalan, qaror qabul qilishda (ya'ni. ikkinchi daraja)

x 2 = 9

Negadir tashqi ko'rinish sizni hayratda qoldirmaydi ikki ildizlar x=±3? Bu yerda ham xuddi shunday. Va boshqa har qanday bilan hatto daraja (to'rtinchi, oltinchi, o'ninchi va boshqalar) bir xil bo'ladi. Tafsilotlar mavzuda

Shunung uchun to'g'ri yechim shunday bo'ladi:

q 4 = 81

q= ±3

OK, biz belgilarni ajratdik. Qaysi biri to'g'ri - ortiqcha yoki minus? Keling, muammo bayonotini qidirishda yana bir bor o'qib chiqamiz Qo'shimcha ma'lumot. Albatta, u mavjud bo'lmasligi mumkin, ammo bu muammoda bunday ma'lumotlar mavjud. Bizning shartimiz oddiy matnda progressiya bilan berilganligini bildiradi ijobiy maxraj.

Shuning uchun javob aniq:

q = 3

Bu erda hamma narsa oddiy. Agar muammo bayoni shunday bo'lsa, nima bo'lardi deb o'ylaysiz:

Geometrik progressiyaning beshinchi hadi 162 ga, bu progressiyaning birinchi hadi 2 ga teng. Progressiyaning maxrajini toping.

Farqi nimada? Ha! Holatda Hech narsa maxraj belgisi haqida so‘z yuritilmaydi. Na to'g'ridan-to'g'ri, na bilvosita. Va bu erda muammo allaqachon mavjud edi ikkita yechim!

q = 3 Va q = -3

Ha ha! Plyus bilan ham, minus bilan ham.) Matematik jihatdan bu fakt borligini bildiradi ikkita progressiya, bu muammoning shartlariga mos keladi. Va har birining o'z maxraji bor. Faqat o'yin-kulgi uchun mashq qiling va har birining birinchi besh shartini yozing.)

Endi a'zo raqamini topishni mashq qilaylik. Bu muammo eng qiyin, ha. Ammo yana ijodiy.)

Geometrik progressiya berilgan:

3; 6; 12; 24; …

768 soni bu progressiyadagi qaysi raqamdan iborat?

Birinchi qadam hali ham bir xil: formulani yozingna'zosi!

b n = b 1 · qn -1

Va endi, odatdagidek, biz bilgan ma'lumotlarni unga almashtiramiz. Hm... ishlamayapti! Birinchi atama qani, maxraj qani, qolganlari qani?!

Qaerda, qayerda... Nega bizga ko'zlar kerak? Kirpiklaringizni qoqib qo'yasizmi? Bu safar progressiya bizga to'g'ridan-to'g'ri shaklda beriladi ketma-ketliklar. Birinchi a'zoni ko'ra olamizmi? Ko'ramiz! Bu uchlik (b 1 = 3). Denominator haqida nima deyish mumkin? Biz buni hali ko'rmayapmiz, lekin hisoblash juda oson. Agar, albatta, tushunsangiz ...

Shunday qilib, biz hisoblaymiz. To'g'ridan-to'g'ri geometrik progressiyaning ma'nosiga ko'ra: biz uning har qanday atamasini (birinchisidan tashqari) olamiz va oldingisiga bo'lamiz.

Hech bo'lmaganda shunday:

q = 24/12 = 2

Yana nimani bilamiz? Biz bu progressiyaning 768 ga teng ba'zi hadini ham bilamiz. Ba'zi n soni ostida:

b n = 768

Biz uning raqamini bilmaymiz, lekin bizning vazifamiz uni topishdir.) Shunday qilib, biz qidirmoqdamiz. Biz formulaga almashtirish uchun barcha kerakli ma'lumotlarni yuklab oldik. O'zingiz bilmagan holda.)

Bu erda biz almashtiramiz:

768 = 3 2n -1

Keling, elementar narsalarni qilaylik - ikkala tomonni uchga bo'linib, tenglamani odatiy shaklda qayta yozing: noma'lum chapda, ma'lum - o'ngda.

Biz olamiz:

2 n -1 = 256

Bu qiziqarli tenglama. Biz "n" ni topishimiz kerak. Nima, g'alati? Ha, men bahslashmayman. Aslida, bu eng oddiy narsa. Noma'lum bo'lgani uchun shunday deb ataladi (bu holda bu raqam n) xarajatlar indikator daraja.

Geometrik progressiyani o'rganish bosqichida (bu to'qqizinchi sinf), ular sizga ko'rsatkichli tenglamalarni qanday echishni o'rgatmaydi, ha ... Bu o'rta maktab uchun mavzu. Ammo qo'rqinchli narsa yo'q. Agar siz bunday tenglamalar qanday yechilishini bilmasangiz ham, keling, bizni topishga harakat qilaylik n, oddiy mantiq va sog'lom fikrga asoslangan.

Gapni boshlaylik. Chap tomonda bizda ikkilik bor ma'lum darajada. Biz bu daraja nima ekanligini hali bilmaymiz, lekin bu qo'rqinchli emas. Lekin bu daraja 256 ga teng ekanligini aniq bilamiz! Shunday qilib, biz ikkitaning bizga qanchalik berishini eslaymiz 256. Esingizdami? Ha! IN sakkizinchi darajalar!

256 = 2 8

Agar siz eslamasangiz yoki darajalarni tanib olishda muammolarga duch kelsangiz, unda bu ham yaxshi: ketma-ket ikki kvadrat, kub, to'rtinchi, beshinchi va hokazo. Tanlash, aslida, lekin bu darajada juda yaxshi ishlaydi.

Qanday bo'lmasin, biz quyidagilarni olamiz:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Shunday qilib, 768 to'qqizinchi bizning taraqqiyotimiz a'zosi. Mana, muammo hal qilindi.)

Javob: 9

Nima? Zerikarlimi? Oddiy narsalardan charchadingizmi? Rozi. Va men ham. Keling, keyingi bosqichga o'tamiz.)

Keyinchalik murakkab vazifalar.

Endi yanada murakkab muammolarni hal qilaylik. Juda ajoyib emas, lekin javob olish uchun biroz mehnat talab qiladiganlar.

Masalan, bu.

Geometrik progressiyaning to‘rtinchi hadi -24 va yettinchi hadi 192 bo‘lsa, uning ikkinchi hadini toping.

Bu janrning klassikasi. Progressiyaning ikki xil atamasi ma'lum, ammo boshqa atama topish kerak. Bundan tashqari, barcha a'zolar qo'shni emas. Avvaliga bu chalkash, ha ...

Xuddi shunday muammolarni hal qilish uchun biz ikkita usulni ko'rib chiqamiz. Birinchi usul universaldir. Algebraik. Har qanday manba ma'lumotlari bilan mukammal ishlaydi. Shunday qilib, biz boshlaymiz.)

Biz har bir atamani formula bo'yicha tavsiflaymiz na'zosi!

Hamma narsa arifmetik progressiya bilan bir xil. Faqat bu safar biz ishlaymiz boshqa umumiy formula. Hammasi shu.) Lekin mohiyati bir xil: biz olamiz va birma-bir Biz dastlabki ma'lumotlarimizni n-sonli formulaga almashtiramiz. Har bir a'zo uchun - o'z.

To'rtinchi muddat uchun biz yozamiz:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Yemoq. Bitta tenglama tayyor.

Ettinchi muddat uchun biz yozamiz:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Hammasi bo'lib biz ikkita tenglama oldik bir xil rivojlanish .

Biz ulardan tizimni yig'amiz:

Qo'rqinchli ko'rinishiga qaramay, tizim juda oddiy. Eng aniq yechim oddiy almashtirishdir. ifodalaymiz b 1 yuqori tenglamadan va uni pastki tenglamaga almashtiring:

Pastki tenglama bilan biroz o'ynagandan so'ng (kuchlarni qisqartirish va -24 ga bo'lish) biz quyidagilarni olamiz:

q 3 = -8

Aytgancha, xuddi shu tenglamaga oddiyroq tarzda erishish mumkin! Qaysi biri? Endi men sizga yana bir sirni ko'rsataman, lekin bunday tizimlarni hal qilishning juda chiroyli, kuchli va foydali usuli. Bunday tizimlar, ularning tenglamalari faqat ishlaydi. Hech bo'lmaganda bittasida. Chaqirildi bo'linish usuli bir tenglama boshqasiga.

Shunday qilib, oldimizda tizim mavjud:

Chapdagi ikkala tenglamada - ish, va o'ng tomonda faqat raqam mavjud. Bu juda yaxshi belgi). Nimani anglatadi, bir tenglamani boshqa tenglamaga ajratamiz? Juda oddiy. Keling, olamiz chap tomoni bitta tenglama (pastki) va bo'lmoq u yoqadi chap tomoni boshqa tenglama (yuqori). O'ng tomoni shunga o'xshash: o'ng tomon bitta tenglama bo'lmoq yoqilgan o'ng tomon boshqa.

Butun bo'linish jarayoni quyidagicha ko'rinadi:

Endi, qisqartirilishi mumkin bo'lgan hamma narsani qisqartirib, biz quyidagilarni olamiz:

q 3 = -8

Bu usulning nimasi yaxshi? Ha, chunki bunday bo'linish jarayonida yomon va noqulay hamma narsa xavfsiz tarzda kamayishi mumkin va butunlay zararsiz tenglama qoladi! Shuning uchun unga ega bo'lish juda muhimdir faqat ko'paytirish tizim tenglamalaridan kamida bittasida. Ko'paytirish yo'q - kamaytiradigan narsa yo'q, ha ...

Umuman olganda, bu usul (tizimlarni hal qilishning boshqa ko'plab noaniq usullari kabi) hatto alohida darsga loyiqdir. Men buni, albatta, batafsilroq ko'rib chiqaman. Bir kun…

Biroq, tizimni qanday aniq hal qilishingiz muhim emas, har holda, endi biz hosil bo'lgan tenglamani echishimiz kerak:

q 3 = -8

Muammo yo'q: kub ildizini chiqarib oling va ish tugadi!

Esda tutingki, qazib olishda bu erda ortiqcha/minus qo'yishning hojati yo'q. Bizning ildizimiz toq (uchinchi) darajada. Va javob ham bir xil, ha.)

Demak, progressiyaning maxraji topildi. Minus ikki. Ajoyib! Jarayon davom etmoqda.)

Birinchi muddat uchun (masalan, yuqori tenglamadan) biz quyidagilarni olamiz:

Ajoyib! Biz birinchi atamani bilamiz, maxrajni bilamiz. Va endi bizda progressiyaning istalgan a'zosini topish imkoniyati mavjud. Shu jumladan ikkinchisi.)

Ikkinchi muddat uchun hamma narsa juda oddiy:

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Javob: -6

Shunday qilib, biz muammoni hal qilishning algebraik usulini ajratdik. Qiyinmi? Haqiqatan ham emas, men roziman. Uzoq va zerikarlimi? Ha, albatta. Ammo ba'zida siz ish hajmini sezilarli darajada kamaytirishingiz mumkin. Buning uchun bor grafik usuli. Qadimgi va bizga tanish.)

Keling, muammoni chizamiz!

Ha! Aynan shunday. Yana biz raqamlar o'qi bo'yicha progressimizni tasvirlaymiz. O'lchagichga amal qilish shart emas, shartlar orasidagi teng oraliqlarni saqlash shart emas (aytmoqchi, bu bir xil bo'lmaydi, chunki progressiya geometrik!), lekin oddiygina. sxematik tarzda Keling, ketma-ketlikni chizamiz.

Men buni shunday oldim:

Endi rasmga qarang va buni aniqlang. "q" qancha bir xil omillarni ajratib turadi to'rtinchi Va yettinchi a'zolar? To'g'ri, uchta!

Shunday qilib, biz yozishga to'liq haqlimiz:

-24·q 3 = 192

Bu yerdan endi q ni topish oson:

q 3 = -8

q = -2

Bu juda zo'r, bizning cho'ntagimizda allaqachon denominator bor. Endi rasmga yana qaraylik: qancha bunday maxrajlar orasida o'tiradi ikkinchi Va to'rtinchi a'zolar? Ikki! Shuning uchun, bu atamalar orasidagi bog'lanishni qayd qilish uchun biz maxrajni tuzamiz kvadrat.

Shunday qilib, biz yozamiz:

b 2 · q 2 = -24 , qayerda b 2 = -24/ q 2

Topilgan maxrajni b 2 ifodasiga almashtiramiz, hisoblaymiz va olamiz:

Javob: -6

Ko'rib turganingizdek, hamma narsa tizim orqali qaraganda ancha sodda va tezroq. Bundan tashqari, bu erda biz birinchi atamani umuman hisoblashimiz shart emas edi! Umuman.)

Mana shunday oddiy va vizual yo'l-yorug'lik. Ammo uning jiddiy kamchiligi ham bor. Siz taxmin qildingizmi? Ha! Bu faqat progressning juda qisqa qismlari uchun yaxshi. Bizni qiziqtirgan a'zolar orasidagi masofalar unchalik katta bo'lmaganlar. Ammo boshqa barcha holatlarda rasm chizish allaqachon qiyin, ha ... Keyin biz muammoni analitik tarzda, tizim orqali hal qilamiz.) Va tizimlar universal narsalardir. Ular har qanday raqamlarni boshqarishi mumkin.

Yana bir epik muammo:

Geometrik progressiyaning ikkinchi hadi birinchisidan 10 ga, uchinchi hadi ikkinchisidan 30 ga ko‘p. Progressiyaning maxrajini toping.

Nima, zo'rmi? Umuman yo'q! Hammasi bir xil. Yana muammo bayonini sof algebraga aylantiramiz.

1) Biz har bir atamani formula bo'yicha tavsiflaymiz na'zosi!

Ikkinchi had: b 2 = b 1 q

Uchinchi had: b 3 = b 1 q 2

2) Masala gapidan a’zolar orasidagi bog‘lanishni yozamiz.

Biz shartni o'qiymiz: "Geometrik progressiyaning ikkinchi hadi birinchisidan 10 ga katta." To'xta, bu qimmatli!

Shunday qilib, biz yozamiz:

b 2 = b 1 +10

Va biz bu iborani sof matematikaga tarjima qilamiz:

b 3 = b 2 +30

Biz ikkita tenglama oldik. Keling, ularni tizimga birlashtiramiz:

Tizim oddiy ko'rinadi. Lekin harflar uchun juda ko'p turli indekslar mavjud. Ikkinchi va uchinchi hadlar o‘rniga ularning ifodalarini birinchi had va maxraj orqali almashtiramiz! Bekorga ularni chizganmizmi?

Biz olamiz:

Ammo bunday tizim endi sovg'a emas, ha ... Buni qanday hal qilish kerak? Afsuski, kompleksni hal qilish uchun universal maxfiy sehr yo'q chiziqli bo'lmagan Matematikada tizimlar yo'q va bo'lishi ham mumkin emas. Bu fantastika! Ammo bunday qattiq yong'oqni yormoqchi bo'lganingizda, aqlga kelishi kerak bo'lgan birinchi narsa - buni aniqlash Ammo tizim tenglamalaridan biri kamayishi mumkin emas go'zal manzara, masalan, o'zgaruvchilardan birini boshqasi bilan osongina ifodalash imkonini beradimi?

Keling, buni aniqlaylik. Tizimning birinchi tenglamasi ikkinchisiga qaraganda aniqroq. Biz uni qiynoqqa solamiz.) Birinchi tenglamadan harakat qilsak bo'lmaydimi nimadur orqali ifodalash nimadur? Chunki biz maxrajni topmoqchimiz q, keyin ifodalash biz uchun eng foydali bo'ladi b 1 orqali q.

Shunday qilib, keling, eski tenglamalardan foydalanib, ushbu protsedurani birinchi tenglama bilan bajarishga harakat qilaylik:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Hammasi! Shunday qilib, biz ifoda etdik keraksiz bizga o'zgaruvchini (b 1) orqali bering zarur(q). Ha, bu biz olgan eng oddiy ifoda emas. Qandaydir kasr... Lekin bizning tizimimiz munosib darajada, ha.)

Oddiy. Biz nima qilishni bilamiz.

Biz ODZ deb yozamiz (Majburiy!) :

q ≠ 1

Biz hamma narsani maxrajga (q-1) ko'paytiramiz va barcha kasrlarni bekor qilamiz:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Biz hamma narsani o'nga ajratamiz, qavslarni ochamiz va hamma narsani chapdan yig'amiz:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Natijani hal qilamiz va ikkita ildiz olamiz:

q 1 = 1

q 2 = 3

Faqat bitta yakuniy javob bor: q = 3 .

Javob: 3

Ko‘rib turganingizdek, geometrik progressiyaning n-haddining formulasi bilan bog‘liq ko‘pchilik masalalarni yechish yo‘li har doim bir xil bo‘ladi: o‘qing. diqqat bilan masalaning sharti va n-sonning formulasidan foydalanib, barcha foydali ma'lumotlarni sof algebraga aylantiramiz.

Aynan:

1) Masalada berilgan har bir atamani formula bo‘yicha alohida ta’riflaymiznth a'zosi.

2) Masala shartlaridan a'zolar orasidagi bog'lanishni matematik shaklga o'tkazamiz. Biz tenglama yoki tenglamalar tizimini tuzamiz.

3) Hosil bo'lgan tenglama yoki tenglamalar tizimini yechamiz, progressiyaning noma'lum parametrlarini topamiz.

4) Agar noaniq javob bo'lsa, qo'shimcha ma'lumotni (agar mavjud bo'lsa) qidirishda muammo bayonini diqqat bilan o'qing. Shuningdek, biz qabul qilingan javobni DL shartlari bilan (agar mavjud bo'lsa) tekshiramiz.

Keling, geometrik progressiya masalalarini yechish jarayonida ko'pincha xatolarga olib keladigan asosiy muammolarni sanab o'tamiz.

1. Elementar arifmetika. Kasr va manfiy sonlar bilan amallar.

2. Agar ushbu uchta nuqtadan kamida bittasi bilan bog'liq muammolar mavjud bo'lsa, unda siz muqarrar ravishda ushbu mavzuda xato qilasiz. Afsuski... Shuning uchun dangasa bo'lmang va yuqorida aytib o'tilganlarni takrorlang. Va havolalarga rioya qiling - boring. Ba'zan yordam beradi.)

O'zgartirilgan va takrorlanuvchi formulalar.

Keling, vaziyatning kamroq tanish taqdimoti bilan bir nechta odatiy imtihon muammolarini ko'rib chiqaylik. Ha, ha, siz taxmin qildingiz! Bu tahrirlangan Va takrorlanuvchi n-sonli formulalar. Biz allaqachon bunday formulalarga duch kelganmiz va arifmetik progressiya ustida ishlaganmiz. Bu erda hamma narsa o'xshash. Mohiyat bir xil.

Masalan, OGE dan bu muammo:

Geometrik progressiya formula bilan berilgan b n = 3 2 n . Uning birinchi va to‘rtinchi hadlari yig‘indisini toping.

Bu safargi taraqqiyot biz uchun odatdagidek emas. Biror turdagi formulalar shaklida. Nima bo'libdi? Bu formula formula hamna'zosi! Siz va men bilamizki, n-son uchun formulani umumiy shaklda ham, harflar yordamida ham, uchun ham yozish mumkin muayyan progressiya. BILAN xos birinchi muddat va maxraj.

Bizning holatda, bizga, aslida, quyidagi parametrlarga ega bo'lgan geometrik progressiya uchun umumiy atama formulasi berilgan:

b 1 = 6

q = 2

Tekshiramizmi?) n-sonning formulasini umumiy shaklda yozamiz va uni quyidagiga almashtiramiz. b 1 Va q. Biz olamiz:

b n = b 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

Faktorizatsiya va kuchlarning xossalaridan foydalanishni soddalashtiramiz va biz quyidagilarni olamiz:

b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Ko'rib turganingizdek, hamma narsa adolatli. Ammo bizning maqsadimiz ma'lum bir formulaning kelib chiqishini ko'rsatish emas. Bu shunday, lirik chekinish. Sof tushunish uchun.) Maqsadimiz shartda berilgan formula bo‘yicha masalani yechishdir. Siz tushunasizmi?) Shunday qilib, biz to'g'ridan-to'g'ri o'zgartirilgan formula bilan ishlaymiz.

Biz birinchi davrni hisoblaymiz. Keling, almashtiramiz n=1 umumiy formulada:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Mana bunday. Aytgancha, men dangasa bo'lmayman va yana bir bor e'tiboringizni birinchi muddatni hisoblashda odatiy xatoga qarataman. EMAS, formulaga qarab b n= 3 2n, darhol birinchi muddat uchta ekanligini yozishga shoshiling! Bu qo'pol xato, ha...)

Davom etaylik. Keling, almashtiramiz n=4 va to'rtinchi muddatni hisoblang:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Va nihoyat, biz kerakli miqdorni hisoblaymiz:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Javob: 54

Yana bir muammo.

Geometrik progressiya quyidagi shartlar bilan belgilanadi:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Progressiyaning to‘rtinchi hadini toping.

Bu erda progressiya takrorlanuvchi formula bilan beriladi. Ha mayli.) Ushbu formula bilan qanday ishlash kerak - biz ham bilamiz.

Shunday qilib, biz harakat qilamiz. Qadam ba qadam.

1) Ikkini sanang ketma-ket progressiyaning a'zosi.

Birinchi muddat bizga allaqachon berilgan. Minus etti. Ammo keyingi, ikkinchi muddatni takrorlash formulasi yordamida osongina hisoblash mumkin. Agar siz uning ishlash tamoyilini tushunsangiz, albatta.)

Shunday qilib, biz ikkinchi muddatni hisoblaymiz birinchi bo'lib taniqli bo'lganlarga ko'ra:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Progressiyaning maxrajini hisoblang

Muammo ham yo'q. To'g'ri, bo'linaylik ikkinchi tik birinchi.

Biz olamiz:

q = -21/(-7) = 3

3) Formulani yozingnth a'zosi odatiy shaklda va kerakli a'zoni hisoblang.

Demak, biz birinchi hadni bilamiz, maxraj ham. Shunday qilib, biz yozamiz:

b n= -7·3n -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Javob: -189

Ko'rib turganingizdek, geometrik progressiya uchun bunday formulalar bilan ishlash arifmetik progressiyadan deyarli farq qilmaydi. Faqatgina ushbu formulalarning umumiy mohiyatini va ma'nosini tushunish muhimdir. Xo'sh, siz ham geometrik progressiyaning ma'nosini tushunishingiz kerak, ha.) Va keyin hech qanday ahmoqona xatolar bo'lmaydi.

Xo'sh, keling, o'zimiz qaror qilaylikmi?)

Isitish uchun juda asosiy vazifalar:

1. Qaysi geometrik progressiya berilgan b 1 = 243, a q = -2/3. Progressiyaning oltinchi hadini toping.

2. Geometrik progressiyaning umumiy hadi formula bilan berilgan b n = 5∙2 n +1 . Bu progressiyaning oxirgi uch xonali hadining sonini toping.

3. Geometrik progressiya shartlar bilan beriladi:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Progressiyaning beshinchi hadini toping.

Biroz murakkabroq:

4. Geometrik progressiya berilgan:

b 1 =2048; q =-0,5

Oltinchi manfiy had nimaga teng?

Nima juda qiyin ko'rinadi? Umuman yo'q. Mantiq va geometrik progressiyaning ma'nosini tushunish sizni qutqaradi. Albatta, n-son uchun formula.

5. Geometrik progressiyaning uchinchi hadi -14, sakkizinchi hadi 112. Progressiyaning maxrajini toping.

6. Geometrik progressiyaning birinchi va ikkinchi hadlari yig‘indisi 75 ga, ikkinchi va uchinchi hadlari yig‘indisi 150 ga teng. Progressiyaning oltinchi hadini toping.

Javoblar (tartibsiz): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Bu deyarli hammasi. Biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa - hisoblashni o'rganish geometrik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi ha kashf cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya va uning miqdori. Aytgancha, juda qiziqarli va g'ayrioddiy narsa! Bu haqda keyingi darslarda batafsilroq.)

Matematika bu nimaodamlar tabiatni va o'zlarini nazorat qiladilar.

Sovet matematigi, akademik A.N. Kolmogorov

Geometrik progressiya.

Matematikadan kirish imtihonlarida arifmetik progressiyalarga oid masalalar bilan bir qatorda geometrik progressiya tushunchasiga oid masalalar ham keng tarqalgan. Bunday masalalarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun siz geometrik progressiyalarning xususiyatlarini bilishingiz va ulardan foydalanishda yaxshi ko'nikmalarga ega bo'lishingiz kerak.

Ushbu maqola geometrik progressiyaning asosiy xususiyatlarini taqdim etishga bag'ishlangan. Bu erda odatiy muammolarni hal qilish misollari ham keltirilgan., matematikadan kirish imtihonlari topshiriqlaridan olingan.

Keling, birinchi navbatda geometrik progressiyaning asosiy xususiyatlarini qayd etamiz va eng muhim formulalar va bayonotlarni eslaylik, ushbu kontseptsiya bilan bog'liq.

Ta'rif. Agar ikkinchisidan boshlab har bir son oldingisiga teng bo'lsa, bir xil songa ko'paytirilsa, sonlar ketma-ketligi geometrik progressiya deb ataladi. Bu raqam geometrik progressiyaning maxraji deb ataladi.

Geometrik progressiya uchunformulalar haqiqiydir

, (1)

Qayerda. Formula (1) geometrik progressiyaning umumiy hadining formulasi deb ataladi va (2) formula geometrik progressiyaning asosiy xususiyatini ifodalaydi: progressiyaning har bir hadi qo'shni hadlarining geometrik o'rtacha qiymatiga to'g'ri keladi va .

Eslatma, Aynan shu xususiyat tufayli ko'rib chiqilayotgan progressiya "geometrik" deb ataladi.

Yuqoridagi (1) va (2) formulalar quyidagicha umumlashtiriladi:

, (3)

Miqdorni hisoblash uchun birinchi geometrik progressiyaning a'zolariformula qo'llaniladi

Agar ni belgilasak, u holda

Qayerda. Chunki (6) formula (5) formulani umumlashtirishdir.

Qachon va geometrik progressiyacheksiz kamayib bormoqda. Miqdorni hisoblash uchuncheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning barcha hadlari uchun formuladan foydalaniladi

. (7)

Masalan , formula (7) yordamida ko'rsatishimiz mumkin, Nima

Qayerda. Bu tengliklar (7) formuladan , (birinchi tenglik) va , (ikkinchi tenglik) sharti bilan olinadi.

Teorema. Agar , keyin

Isbot. Agar , keyin

Teorema isbotlangan.

Keling, "Geometrik progressiya" mavzusidagi muammolarni echish misollarini ko'rib chiqaylik.

1-misol. Berilgan: , va . Toping.

Yechim. Agar (5) formulani qo'llasak, u holda

Javob: .

2-misol. Tinch qo'y, hamma narsa o'z holidagiday qo'sin; shunday bo'lsin. Toping.

Yechim. va dan beri, (5), (6) formulalardan foydalanamiz va tenglamalar tizimini olamiz

Agar (9) sistemaning ikkinchi tenglamasi birinchisiga bo'linsa, keyin yoki . Bundan kelib chiqadiki . Keling, ikkita holatni ko'rib chiqaylik.

1. Agar, u holda (9) sistemaning birinchi tenglamasidan biz bor.

2. Agar , keyin .

3-misol. Keling, va. Toping.

Yechim. Formuladan (2) kelib chiqadiki, yoki. O'shandan beri, keyin yoki.

Shart bo'yicha. Biroq, shuning uchun. O'shandan beri va u holda bizda tenglamalar tizimi mavjud

Agar tizimning ikkinchi tenglamasi birinchisiga bo'linsa, u holda yoki .

Chunki tenglama noyob mos ildizga ega. Bunday holda, u tizimning birinchi tenglamasidan kelib chiqadi.

Formula (7) ni hisobga olgan holda, biz olamiz.

Javob: .

4-misol. Berilgan: va . Toping.

Yechim. O'shandan beri.

dan beri, keyin yoki

Formula (2) bo'yicha bizda mavjud. Shu munosabat bilan (10) tenglikdan yoki ni olamiz.

Biroq, shartga ko'ra, shuning uchun.

5-misol. Ma'lumki. Toping.

Yechim. Teoremaga ko'ra, biz ikkita tenglikka egamiz

O'shandan beri, keyin yoki. Chunki, keyin.

Javob: .

6-misol. Berilgan: va . Toping.

Yechim. Formula (5) ni hisobga olgan holda, biz olamiz

O'shandan beri. Buyon, va, keyin.

7-misol. Tinch qo'y, hamma narsa o'z holidagiday qo'sin; shunday bo'lsin. Toping.

Yechim. Formula (1) bo'yicha biz yozishimiz mumkin

Shuning uchun bizda yoki . Ma'lumki va , shuning uchun va .

Javob: .

8-misol. Agar cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning maxrajini toping

Va .

Yechim. (7) formuladan kelib chiqadi Va . Bu yerdan va masala shartlaridan tenglamalar sistemasini olamiz

Agar tizimning birinchi tenglamasi kvadrat bo'lsa, va keyin hosil bo'lgan tenglamani ikkinchi tenglamaga bo'ling, keyin olamiz

Yoki .

Javob: .

9-misol., , ketma-ketligi geometrik progressiya bo'lgan barcha qiymatlarni toping.

Yechim. Keling, va. Geometrik progressiyaning asosiy xossasini belgilovchi (2) formulaga asosan yoki yozishimiz mumkin.

Bu yerdan kvadrat tenglamani olamiz, kimning ildizlari Va .

Keling, tekshiramiz: agar, keyin va ; agar , keyin , va .

Birinchi holda bizda bor va , ikkinchisida esa – va .

Javob: , .

10-misol.Tenglamani yeching

, (11)

qayerda va.

Yechim. (11) tenglamaning chap tomoni cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiya yig’indisi bo’lib, unda va , bo’ysunadi: va.

(7) formuladan kelib chiqadi, Nima . Shu munosabat bilan (11) tenglama shaklni oladi yoki . Tegishli ildiz kvadrat tenglama hisoblanadi

Javob: .

11-misol. P musbat sonlar ketma-ketligiarifmetik progressiya hosil qiladi, A - geometrik progressiya, bunga nima aloqasi bor. Toping.

Yechim. Chunki arifmetik ketma-ketlik, Bu (arifmetik progressiyaning asosiy xossasi). Chunki, keyin yoki . Bu shuni anglatadiki, geometrik progressiya shaklga ega ekanligini. Formula bo'yicha (2), keyin biz buni yozamiz.

Shundan beri va , keyin . Bunday holda, ifoda yoki shaklini oladi. Shartiga ko'ra, shuning uchun tenglamadan.biz ko'rib chiqilayotgan muammoning yagona yechimini olamiz, ya'ni. .

Javob: .

12-misol. Sumni hisoblash

. (12)

Yechim. Tenglikning ikkala tomonini (12) 5 ga ko'paytiring va oling

Olingan ifodadan (12) ayirilsa, Bu

yoki .

Hisoblash uchun biz qiymatlarni formula (7) ga almashtiramiz va ni olamiz. O'shandan beri.

Javob: .

Bu erda keltirilgan muammolarni hal qilish misollari abituriyentlarga kirish imtihonlariga tayyorgarlik ko'rishda foydali bo'ladi. Muammoni hal qilish usullarini chuqurroq o'rganish uchun, geometrik progressiya bilan bog'liq, foydalanish mumkin o'quv qurollari tavsiya etilgan adabiyotlar ro'yxatidan.

1. Kollejlarga abituriyentlar uchun matematikadan masalalar to'plami / Ed. M.I. Skanavi. – M.: Mir va Ta’lim, 2013. – 608 b.

2. Suprun V.P. O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika: qo'shimcha bo'limlar maktab o'quv dasturi. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 b.

3. Medinskiy M.M. Muammolar va mashqlarda elementar matematikaning to'liq kursi. 2-kitob: Sonlar ketma-ketligi va taraqqiyoti. – M.: Editus, 2015. – 208 b.

Hali ham savollaringiz bormi?

Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Geometrik progressiya matematikada arifmetikadan kam ahamiyatga ega emas. Geometrik progressiya b1, b2,..., b[n] sonlar ketma-ketligi boʻlib, ularning har bir keyingi hadi oldingisini doimiy songa koʻpaytirish yoʻli bilan olinadi. Progressiyaning o'sish yoki pasayish tezligini tavsiflovchi bu raqam deyiladi geometrik progressiyaning maxraji va belgilang

Geometrik progressiyani to'liq ko'rsatish uchun maxrajdan tashqari uning birinchi hadini bilish yoki aniqlash kerak. Maxrajning ijobiy qiymati uchun progressiya monotonik ketma-ketlikdir va agar bu raqamlar ketma-ketligi monoton ravishda kamayib borayotgan bo'lsa va monoton ravishda ortib borayotgan bo'lsa. Maxraj birga teng bo'lgan holat amalda ko'rib chiqilmaydi, chunki bizda bir xil sonlar ketma-ketligi mavjud va ularning yig'indisi amaliy ahamiyatga ega emas.

Geometrik progressiyaning umumiy atamasi formula bo'yicha hisoblanadi

Geometrik progressiyaning birinchi n ta hadining yig‘indisi formula bilan aniqlanadi

Keling, klassik geometrik progressiya masalalarining yechimlarini ko'rib chiqaylik. Keling, tushunish uchun eng oddiylaridan boshlaylik.

1-misol. Geometrik progressiyaning birinchi hadi 27 ga, maxraji esa 1/3 ga teng. Geometrik progressiyaning dastlabki oltita hadini toping.

Yechish: Masalaning shartini shaklga yozamiz

Hisoblash uchun geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasidan foydalanamiz

Unga asoslanib, biz progressiyaning noma'lum shartlarini topamiz

Ko'rib turganingizdek, geometrik progressiyaning shartlarini hisoblash qiyin emas. Rivojlanishning o'zi shunday ko'rinadi

2-misol. Geometrik progressiyaning dastlabki uchta hadi berilgan: 6; -12; 24. Ayiruvchi va uning yettinchi hadini toping.

Yechish: Geomitrik progressiyaning maxrajini uning ta’rifi asosida hisoblaymiz

Biz maxraji -2 ga teng bo'lgan o'zgaruvchan geometrik progressiyani oldik. Ettinchi muddat formula yordamida hisoblanadi

Bu muammoni hal qiladi.

3-misol. Geometrik progressiya uning ikkita hadi bilan berilgan . Progressiyaning o‘ninchi hadini toping.

Yechim:

Berilgan qiymatlarni formulalar yordamida yozamiz

Qoidalarga ko'ra, biz maxrajni topib, keyin kerakli qiymatni izlashimiz kerak edi, ammo o'ninchi muddat uchun bizda

Xuddi shu formulani kirish ma'lumotlari bilan oddiy manipulyatsiyalar asosida olish mumkin. Seriyaning oltinchi hadini boshqasiga bo'ling va natijada biz olamiz