Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi nimaga teng? GP ning birinchi n ta shartlari yig'indisi formulasi

Keling, ma'lum bir seriyani ko'rib chiqaylik.

7 28 112 448 1792...

Uning biron bir elementining qiymati avvalgisidan to'liq to'rt baravar katta ekanligi aniq. Bu shuni anglatadiki, bu seriya progressiyadir.

Geometrik progressiya sonlarning cheksiz ketma-ketligidir. asosiy xususiyat ya'ni keyingi raqam oldingisidan qandaydir aniq songa ko'paytirib olinadi. Bu quyidagi formula bilan ifodalanadi.

a z +1 =a z ·q, bu erda z - tanlangan elementning soni.

Shunga ko'ra, z ∈ N.

Maktabda geometrik progressiya o‘rganiladigan davr 9-sinf. Misollar tushunchani tushunishga yordam beradi:

0.25 0.125 0.0625...

Ushbu formulaga asoslanib, progressiyaning maxrajini quyidagicha topish mumkin:

q ham, b z ham nolga teng bo'lishi mumkin emas. Shuningdek, progressiyaning har bir elementi nolga teng bo'lmasligi kerak.

Shunga ko'ra, ketma-ket keyingi raqamni bilish uchun oxirgi raqamni q ga ko'paytirish kerak.

Ushbu progressiyani o'rnatish uchun siz uning birinchi elementi va maxrajini ko'rsatishingiz kerak. Shundan so'ng, har qanday keyingi shartlarni va ularning yig'indisini topish mumkin.

Turlari

q va a 1 ga qarab, bu progressiya bir necha turga bo'linadi:

• Agar 1 ham, q ham birdan katta bo'lsa, bunday ketma-ketlik har bir keyingi element bilan ortib boruvchi geometrik progressiyadir. Bunga misol quyida keltirilgan.

Misol: a 1 =3, q=2 - ikkala parametr ham birdan katta.

Keyin raqamlar ketma-ketligini quyidagicha yozish mumkin:

3 6 12 24 48 ...

• Agar |q| birdan kichik bo'lsa, ya'ni unga ko'paytirish bo'lishga ekvivalent bo'lsa, sharti o'xshash bo'lgan progressiya kamayuvchi geometrik progressiya bo'ladi. Bunga misol quyida keltirilgan.

Misol: a 1 =6, q=1/3 - a 1 birdan katta, q kichik.

Keyin raqamlar ketma-ketligini quyidagicha yozish mumkin:

6 2 2/3 ... - har qanday element undan keyingi elementdan 3 marta katta.

• O'zgaruvchan belgi. Agar q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Misol: a 1 = -3, q = -2 - ikkala parametr ham noldan kichik.

Keyin raqamlar ketma-ketligini quyidagicha yozish mumkin:

3, 6, -12, 24,...

Formulalar

Geometrik progressiyalardan qulay foydalanish uchun ko'plab formulalar mavjud:

• Z-term formulasi. Oldingi raqamlarni hisoblamasdan, ma'lum bir raqam ostida elementni hisoblash imkonini beradi.

Misol:q = 3, a 1 = 4. Progressiyaning to'rtinchi elementini sanash talab qilinadi.

Yechim:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Miqdori teng bo'lgan birinchi elementlarning yig'indisi z. gacha bo'lgan ketma-ketlikning barcha elementlari yig'indisini hisoblash imkonini beradia zinklyuziv.

beri (1-q) maxrajda bo‘lsa, u holda (1 - q)≠ 0, shuning uchun q 1 ga teng emas.

Eslatma: agar q=1 bo'lsa, progressiya cheksiz takrorlanuvchi sonlar qatori bo'ladi.

Geometrik progressiya yig'indisi, misollar:a 1 = 2, q= -2. S5 ni hisoblang.

Yechim:S 5 = 22 - formuladan foydalanib hisoblash.

• Agar |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Misol:a 1 = 2 , q= 0,5. Miqdorini toping.

Yechim:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Ba'zi xususiyatlar:

• Xarakterli xususiyat. Quyidagi shart bo'lsa har qanday uchun ishlaydiz, u holda berilgan sonlar qatori geometrik progressiyadir:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Shuningdek, geometrik progressiyadagi istalgan sonning kvadrati, agar ular ushbu elementdan teng masofada joylashgan bo'lsa, berilgan qatordagi boshqa ikkita raqamning kvadratlarini qo'shish orqali topiladi.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Qayerdat- bu raqamlar orasidagi masofa.

• Elementlarq bilan farqlanadibir marta.
• Progressiya elementlarining logarifmlari ham progressiyani tashkil qiladi, lekin arifmetik, ya'ni ularning har biri oldingisidan ma'lum songa kattaroqdir.

Ba'zi klassik muammolarga misollar

Geometrik progressiya nima ekanligini yaxshiroq tushunish uchun 9-sinf uchun echimlar bilan misollar yordam berishi mumkin.

• Shartlar:a 1 = 3, a 3 = 48. Topingq.

Yechim: har bir keyingi element avvalgisidan kattaroqq bir marta.Ayrim elementlarni maxraj yordamida boshqalar bilan ifodalash kerak.

Demak,a 3 = q 2 · a 1

O'zgartirish paytidaq= 4

• Shartlar:a 2 = 6, a 3 = 12. S 6 ni hisoblang.

Yechim:Buning uchun birinchi element bo'lgan q ni toping va uni formulaga qo'ying.

a 3 = q· a 2 , shuning uchun,q= 2

a 2 = q · a 1,Shunung uchun a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Progressiyaning to‘rtinchi elementini toping.

Yechish: buning uchun to‘rtinchi elementni birinchi va maxraj orqali ifodalash kifoya.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Ilova misoli:

• Bank mijozi 10 000 rubl miqdorida depozit qo'ydi, uning shartlariga ko'ra, har yili mijoz asosiy qarzga uning 6 foizini qo'shib qo'yadi. 4 yildan keyin hisobda qancha pul bo'ladi?

Yechim: Dastlabki miqdor - 10 ming rubl. Bu shuni anglatadiki, investitsiya qilinganidan bir yil o'tgach, hisob 10 000 + 10 000 ga teng bo'ladi. · 0,06 = 10000 1,06

Shunga ko'ra, yana bir yildan keyin hisobvaraqdagi summa quyidagicha ifodalanadi:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Ya'ni, har yili bu miqdor 1,06 barobarga oshadi. Bu shuni anglatadiki, 4 yildan keyin hisobvaraqdagi mablag'lar miqdorini topish uchun birinchi element tomonidan 10 mingga teng va maxraj 1,06 ga teng bo'lgan progressiyaning to'rtinchi elementini topish kifoya.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Yig'indini hisoblash masalalariga misollar:

Geometrik progressiya turli masalalarda qo'llaniladi. Yig'indini topishga quyidagi misolni keltirish mumkin:

a 1 = 4, q= 2, hisoblangS 5.

Yechim: hisoblash uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlar ma'lum, ularni formulaga almashtirish kifoya.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Birinchi olti elementning yig'indisini hisoblang.

Yechim:

Geomda. progressiya, har bir keyingi element oldingisidan q marta katta, ya'ni yig'indini hisoblash uchun elementni bilish kerak.a 1 va maxrajq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Xuddi shunday, siz topishingiz keraka 1 , bilisha 2 Vaq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Masalan, ketma-ketlik \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)... geometrik progressiyadir, chunki har bir keyingi element oldingisidan ikki marta farq qiladi (boshqacha aytganda, uni ikkiga koʻpaytirish orqali oldingisidan olish mumkin):

Har qanday ketma-ketlik singari, geometrik progressiya ham kichik lotin harfi bilan belgilanadi. Progressiya hosil qiluvchi sonlar deyiladi a'zolari(yoki elementlar). Ular geometrik progressiya bilan bir xil harf bilan, lekin tartibdagi element soniga teng sonli indeks bilan belgilanadi.

Masalan, geometrik progressiya \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) elementlardan iborat \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) va hokazo. Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Agar siz yuqoridagi ma'lumotlarni tushunsangiz, ushbu mavzu bo'yicha ko'pgina muammolarni allaqachon hal qila olasiz.

Misol (OGE):
Yechim:

Javob : \(-686\).

Misol (OGE): Progressiyaning dastlabki uchta hadi \(324\) berilgan; \(-108\); \(36\)…. \(b_5\) toping.
Yechim:

	Ketma-ketlikni davom ettirish uchun biz maxrajni bilishimiz kerak. Keling, ikkita qo'shni elementdan topamiz: \(-108\) ni olish uchun \(324\) ni nimaga ko'paytirishimiz kerak?
\(324·q=-108\)	Bu yerdan biz maxrajni osongina hisoblashimiz mumkin.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Endi biz kerakli elementni osongina topishimiz mumkin.
	Javob tayyor.

Javob : \(4\).

Misol: Progressiya \(b_n=0,8·5^n\) sharti bilan belgilanadi. Qaysi raqam bu progressiyaning a'zosi:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0,8\) ?

Yechim: Vazifaning matnidan ko'rinib turibdiki, bu raqamlardan biri bizning taraqqiyotimizda. Shuning uchun, biz kerakli qiymatni topgunimizcha, uning shartlarini birma-bir hisoblashimiz mumkin. Bizning progressiyamiz formula bilan berilganligi sababli, biz elementlarning qiymatlarini turli xil \(n\) ni almashtirish orqali hisoblaymiz:
\(n=1\); \(b_1=0.8·5^1=0.8·5=4\) - roʻyxatda bunday raqam yoʻq. Davom etaylik.
\(n=2\); \(b_2=0,8·5^2=0,8·25=20\) - va bu ham mavjud emas.
\(n=3\); \(b_3=0,8·5^3=0,8·125=100\) – va mana bizning chempionimiz!

Javob: \(100\).

Misol (OGE): Geometrik progressiyaning bir necha ketma-ket hadlari berilgan...\(8\); \(x\); \(50\); \(-125\)…. \(x\) bilan belgilangan elementning qiymatini toping.

Yechim:

Javob: \(-20\).

Misol (OGE): Progressiya \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\) shartlari bilan belgilanadi. Bu progressiyaning birinchi \(4\) hadlarining yig‘indisini toping.

Yechim:

Javob: \(105\).

Misol (OGE): Ma'lumki, geometrik progressiyada \(b_6=-11\), \(b_9=704\). \(q\) ning maxrajini toping.

Yechim:

	Chapdagi diagrammadan ko'rish mumkinki, \(b_6\) dan \(b_9\) gacha "olish" uchun biz uchta "qadam", ya'ni \(b_6\) ni maxrajga uch marta ko'paytiramiz. taraqqiyotdan. Boshqacha qilib aytganda, \(b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3\).
\(b_9=b_6·q^3\)	Keling, biz bilgan qadriyatlarni almashtiramiz.
\(704=(-11)q^3\)	Keling, tenglamani aylantiramiz va uni \((-11)\ ga bo'lamiz.
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Qaysi kubik raqam \(-64\) ni beradi? Albatta, \(-4\)!
	Javob topildi. Buni raqamlar zanjirini \(-11\) dan \(704\)gacha tiklash orqali tekshirish mumkin.
	Hammasi birlashdi - javob to'g'ri.

Javob: \(-4\).

Eng muhim formulalar

Ko'rib turganingizdek, ko'pgina geometrik progressiya masalalarini sof mantiq yordamida, shunchaki mohiyatni tushunish orqali hal qilish mumkin (bu odatda matematikaga xosdir). Ammo ba'zida ma'lum formulalar va naqshlarni bilish yechimni tezlashtiradi va sezilarli darajada osonlashtiradi. Biz ikkita shunday formulani o'rganamiz.

\(n\)-chi hadning formulasi: \(b_n=b_1·q^(n-1)\), bu erda \(b_1\) progressiyaning birinchi hadi; \(n\) - kerakli elementning soni; \(q\) – progressiyaning maxraji; \(b_n\) - \(n\) raqami bilan progressiyaning termini.

Ushbu formuladan foydalanib, masalan, birinchi misoldagi muammoni bitta harakatda hal qilishingiz mumkin.

Misol (OGE): Geometrik progressiya shartlar bilan belgilangan \(b_1=-2\); \(q=7\). \(b_4\) toping.
Yechim:

Javob: \(-686\).

Bu misol oddiy edi, shuning uchun formula biz uchun hisob-kitoblarni juda osonlashtirmadi. Keling, muammoni biroz murakkabroq ko'rib chiqaylik.

Misol: Geometrik progressiya shartlar bilan belgilanadi \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). \(b_(12)\) toping.
Yechim:

Javob: \(10\).

Albatta, \(\frac(1)(2)\) ni \(11\)-chi darajaga ko'tarish unchalik quvonchli emas, lekin \(11\) \(20480\) ni ikkiga bo'lishdan ko'ra osonroq.

Birinchi hadlarning yig'indisi \(n\): \(S_n=\)\(\frac(b_1·(q^n-1))(q-1)\) , bu erda \(b_1\) birinchi haddir taraqqiyot haqida; \(n\) - yig'ilgan elementlar soni; \(q\) – progressiyaning maxraji; \(S_n\) - progressiyaning \(n\) birinchi hadlarining yig'indisi.

Misol (OGE): Geometrik progressiya berilgan \(b_n\), uning maxraji \(5\) va birinchi hadi \(b_1=\frac(2)(5)\). Bu progressiyaning dastlabki olti hadining yig‘indisini toping.
Yechim:

Javob: \(1562,4\).

Va yana, biz muammoni birma-bir hal qilishimiz mumkin edi - barcha olti elementni navbat bilan toping va keyin natijalarni qo'shing. Biroq, hisob-kitoblar soni va shuning uchun tasodifiy xatolik ehtimoli keskin oshadi.

Geometrik progressiya uchun yana bir nechta formulalar mavjudki, biz bu erda amaliy jihatdan kam qo'llangani uchun ko'rib chiqmadik. Ushbu formulalarni topishingiz mumkin.

Geometrik progressiyalarni oshirish va kamaytirish

Maqolaning boshida ko'rib chiqilgan \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48...\)\) progressiya uchun \(q\) maxraj birdan katta va shuning uchun har bir keyingi had oldingisidan kattaroqdir. Bunday progressiyalar deyiladi ortib boradi.

Agar \(q\) birdan kichik bo'lsa-da, lekin ijobiy bo'lsa (ya'ni noldan birgacha bo'lgan oraliqda bo'lsa), u holda har bir keyingi element avvalgisidan kichik bo'ladi. Masalan, progressiyada \(4\); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0,25\)... \(q\) ning maxraji \(\frac(1)(2)\) ga teng.

Bu progressiyalar deyiladi kamaymoqda. E'tibor bering, bunday progressiyaning elementlarining hech biri salbiy bo'lmaydi, ular har bir qadamda kichikroq va kichikroq bo'ladi. Ya'ni, biz asta-sekin nolga yaqinlashamiz, lekin biz unga hech qachon erisha olmaymiz va undan nariga o'tmaymiz. Bunday hollarda matematiklar "nolga moyil" deyishadi.

E'tibor bering, manfiy maxraj bilan geometrik progressiyaning elementlari belgini o'zgartirishi shart. Masalan, y progressiya \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)... \(q\) ning maxraji \(-3\) ga teng va shuning uchun elementlarning belgilari “miltillaydi”.

Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasi juda oddiy. Ham ma'noda, ham umumiy ko'rinishda. Ammo n-sonning formulasida har xil muammolar mavjud - juda ibtidoiydan jiddiygacha. Va tanishish jarayonida biz ikkalasini ham ko'rib chiqamiz. Xo'sh, tanishamiz?)

Shunday qilib, boshlash uchun, aslida formulan

Mana u:

b n = b 1 · qn -1

Formula shunchaki formula, g'ayritabiiy narsa emas. Bu shunga o'xshash formuladan ko'ra oddiyroq va ixchamroq ko'rinadi. Formulaning ma'nosi ham kigiz etiklar kabi oddiy.

Bu formula sizga geometrik progressiyaning HAR QANDAY a'zosini UNING SONI BO'YICHA topish imkonini beradi. n".

Ko'rib turganingizdek, ma'no arifmetik progressiya bilan to'liq o'xshashlikdir. Biz n raqamini bilamiz - bu raqam ostidagi terminni ham sanashimiz mumkin. Qaysi birini xohlasak. Qayta-qayta "q" ga ko'p marta ko'paytirmasdan. Hamma gap shu.)

Progressiyalar bilan ishlashning ushbu darajasida formulaga kiritilgan barcha miqdorlar siz uchun allaqachon tushunarli bo'lishi kerakligini tushunaman, lekin baribir har birining shifrini ochishni o'z burchim deb bilaman. Har ehtimolga qarshi.

Shunday qilib, biz boramiz:

b 1 – birinchi geometrik progressiyaning hadi;

q – ;

n- a'zo raqami;

b n – n-chi (nth) geometrik progressiyaning hadi.

Ushbu formula har qanday geometrik progressiyaning to'rtta asosiy parametrini bog'laydi - bn, b 1 , q Va n. Va barcha rivojlanish muammolari ushbu to'rtta asosiy raqam atrofida aylanadi.

"Qanday qilib olib tashlanadi?"– Qiziq savol eshitaman... Boshlang'ich! Qarang!

Nimaga teng ikkinchi progressiya a'zosi? Hammasi joyida! Biz to'g'ridan-to'g'ri yozamiz:

b 2 = b 1 ·q

Uchinchi a'zo haqida nima deyish mumkin? Muammo ham emas! Biz ikkinchi muddatni ko'paytiramiz yana bir borq.

Mana bunday:

B 3 = b 2 q

Endi ikkinchi had o'z navbatida b 1 ·q ga teng ekanligini eslaylik va bu ifodani tengligimiz bilan almashtiramiz:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Biz olamiz:

B 3 = b 1 ·q 2

Keling, rus tilidagi yozuvimizni o'qiymiz: uchinchi had birinchi hadning q ga ko'paytirilganiga teng ikkinchi daraja. Tushundingizmi? Hali emas? Yaxshi, yana bir qadam.

To'rtinchi muddat nima? Hammasi bir xil! Ko'paytiring oldingi(ya'ni uchinchi muddat) q bo'yicha:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Jami:

B 4 = b 1 ·q 3

Va yana rus tiliga tarjima qilamiz: to'rtinchi had birinchi hadning q ga ko'paytirilganiga teng uchinchi daraja.

Va hokazo. Xo'sh, qanday? Shaklni tushundingizmi? Ha! Har qanday sonli har qanday atama uchun bir xil q omillar soni (ya'ni, maxraj darajasi) har doim bo'ladi. kerakli a'zo sonidan bir kamn.

Shunday qilib, bizning formulamiz variantlarsiz bo'ladi:

b n =b 1 · qn -1

Ana xolos.)

Xo'sh, keling, muammolarni hal qilaylik, menimcha?)

Formuladagi masalalarni yechishnGeometrik progressiyaning uchinchi hadi.

Keling, odatdagidek, formulani to'g'ridan-to'g'ri qo'llash bilan boshlaylik. Bu erda odatiy muammo:

Geometrik progressiyada ma'lumki b 1 = 512 va q = -1/2. Progressiyaning o‘ninchi hadini toping.

Albatta, bu muammoni hech qanday formulalarsiz hal qilish mumkin. To'g'ridan-to'g'ri geometrik progressiya ma'nosida. Lekin biz n-sonli formula bilan isinishimiz kerak, to'g'rimi? Mana biz isinamiz.

Formulani qo'llash uchun bizning ma'lumotlarimiz quyidagicha.

Birinchi a'zo ma'lum. Bu 512.

b 1 = 512.

Progressiyaning maxraji ham ma'lum: q = -1/2.

Faqat n a'zosining soni qancha ekanligini aniqlash qoladi. Hammasi joyida! Bizni o'ninchi muddat qiziqtiradimi? Shunday qilib, umumiy formulada n o'rniga o'nni almashtiramiz.

Va arifmetikani diqqat bilan hisoblang:

Javob: -1

Ko'rib turganingizdek, progressiyaning o'ninchi muddati minus bo'lib chiqdi. Hech narsa ajablanarli emas: bizning progressiv maxrajimiz -1/2, ya'ni. salbiy raqam. Va bu bizning rivojlanish belgilarimiz almashinishini aytadi, ha.)

Bu erda hamma narsa oddiy. Mana shunga o'xshash muammo, lekin hisob-kitoblar nuqtai nazaridan biroz murakkabroq.

Geometrik progressiyada ma'lumki:

b 1 = 3

Progressiyaning o‘n uchinchi hadini toping.

Hammasi bir xil, faqat bu safar progressiyaning maxraji mantiqsiz. Ikkining ildizi. Mayli, hammasi joyida. Formula universal narsa, u har qanday raqamlarni boshqarishi mumkin.

Biz to'g'ridan-to'g'ri formula bo'yicha ishlaymiz:

Formula, albatta, kerak bo'lganidek ishladi, lekin ... bu erda ba'zi odamlar tiqilib qolishadi. Ildiz bilan keyin nima qilish kerak? Qanday qilib ildizni o'n ikkinchi darajaga ko'tarish kerak?

Qanday qilib... Siz tushunishingiz kerakki, har qanday formula, albatta, yaxshi narsa, lekin oldingi barcha matematika bilimlari bekor qilinmaydi! Qanday qilib qurish kerak? Ha, darajalarning xususiyatlarini eslang! Keling, ildizni aylantiramiz kasr darajasi va - darajani darajaga ko'tarish formulasiga muvofiq.

Mana bunday:

Javob: 192

Va bu hammasi.)

n-sonli formulani to'g'ridan-to'g'ri qo'llashda asosiy qiyinchilik nimada? Ha! Asosiy qiyinchilik - bu darajalar bilan ishlash! Ya'ni, manfiy sonlar, kasrlar, ildizlar va shunga o'xshash konstruktsiyalarni kuchlarga ko'tarish. Shunday qilib, bu bilan muammoga duch kelganlar, iltimos, darajalarni va ularning xususiyatlarini takrorlang! Aks holda bu mavzuni ham sekinlashtirasiz, ha...)

Endi odatiy qidiruv muammolarini hal qilaylik formulaning elementlaridan biri, agar barcha boshqalar berilgan bo'lsa. Bunday muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun retsept bir xil va juda oddiy - formulani yozingn-umuman a'zo! Shart yonidagi daftarda. Va keyin shartdan biz bizga nima berilganligini va nima etishmayotganini aniqlaymiz. Va formuladan kerakli qiymatni ifodalaymiz. Hammasi!

Misol uchun, bunday zararsiz muammo.

Maxraji 3 bo‘lgan geometrik progressiyaning beshinchi hadi 567. Shu progressiyaning birinchi hadini toping.

Hech narsa murakkab emas. Biz to'g'ridan-to'g'ri afsunga ko'ra ishlaymiz.

n-sonning formulasini yozamiz!

b n = b 1 · qn -1

Bizga nima berildi? Birinchidan, progressiyaning maxraji berilgan: q = 3.

Bundan tashqari, bizga berilgan beshinchi a'zo: b 5 = 567 .

Hammasi? Yo'q! Bizga n raqami ham berilgan! Bu besh: n = 5.

Umid qilamanki, siz yozuvda nima borligini allaqachon tushundingiz b 5 = 567 bir vaqtning o'zida ikkita parametr yashiringan - bu beshinchi atamaning o'zi (567) va uning soni (5). Men bu haqda shunga o'xshash darsda gapirganman, lekin menimcha, bu erda ham eslatib o'tish kerak.)

Endi biz ma'lumotlarimizni formulaga almashtiramiz:

567 = b 1 ·3 5-1

Biz arifmetika qilamiz, soddalashtiramiz va oddiy chiziqli tenglamani olamiz:

81 b 1 = 567

Biz hal qilamiz va olamiz:

b 1 = 7

Ko'rib turganingizdek, birinchi atamani topishda hech qanday muammo yo'q. Lekin maxrajni qidirganda q va raqamlar n Bundan tashqari, kutilmagan hodisalar bo'lishi mumkin. Va siz ham ularga tayyor bo'lishingiz kerak (syurprizlar), ha.)

Masalan, bu muammo:

Musbat maxrajli geometrik progressiyaning beshinchi hadi 162 ga, bu progressiyaning birinchi hadi 2 ga teng. Progressiyaning maxrajini toping.

Bu safar bizga birinchi va beshinchi hadlar beriladi va progressiyaning maxrajini topish so'raladi. Qani boshladik.

Formulani yozamizna'zosi!

b n = b 1 · qn -1

Bizning dastlabki ma'lumotlarimiz quyidagicha bo'ladi:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Qiymat yetishmayapti q. Hammasi joyida! Keling, hozir topamiz.) Biz bilgan hamma narsani formulaga almashtiramiz.

Biz olamiz:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

To'rtinchi darajali oddiy tenglama. Va hozir - ehtiyotkorlik bilan! Yechimning ushbu bosqichida ko'plab talabalar darhol (to'rtinchi darajali) ildizni quvonch bilan ajratib olishadi va javob olishadi q=3 .

Mana bunday:

q4 = 81

q = 3

Lekin, aslida, bu tugallanmagan javob. Aniqrog'i, to'liq bo'lmagan. Nega? Gap shundaki, javob q = -3 ham mos keladi: (-3) 4 ham 81 bo'ladi!

Buning sababi, quvvat tenglamasi x n = a har doim bor ikkita qarama-qarshi ildiz da hatton . Plyus va minus bilan:

Ikkalasi ham mos keladi.

Masalan, qaror qabul qilishda (ya'ni. ikkinchi daraja)

x 2 = 9

Negadir tashqi ko'rinish sizni hayratda qoldirmaydi ikki ildizlar x=±3? Bu yerda ham xuddi shunday. Va boshqa har qanday bilan hatto daraja (to'rtinchi, oltinchi, o'ninchi va boshqalar) bir xil bo'ladi. Tafsilotlar mavzuda

Shunday qilib, to'g'ri yechim quyidagicha bo'ladi:

q 4 = 81

q= ±3

OK, biz belgilarni ajratdik. Qaysi biri to'g'ri - ortiqcha yoki minus? Keling, muammo bayonotini qidirishda yana bir bor o'qib chiqamiz Qo'shimcha ma'lumot. Albatta, u mavjud bo'lmasligi mumkin, ammo bu muammoda bunday ma'lumotlar mavjud. Bizning shartimiz oddiy matnda progressiya bilan berilganligini bildiradi ijobiy maxraj.

Shuning uchun javob aniq:

q = 3

Bu erda hamma narsa oddiy. Agar muammo bayoni shunday bo'lsa, nima bo'lardi deb o'ylaysiz:

Geometrik progressiyaning beshinchi hadi 162 ga, bu progressiyaning birinchi hadi 2 ga teng. Progressiyaning maxrajini toping.

Farqi nimada? Ha! Holatda Hech narsa maxraj belgisi haqida so‘z yuritilmaydi. Na to'g'ridan-to'g'ri, na bilvosita. Va bu erda muammo allaqachon mavjud edi ikkita yechim!

q = 3 Va q = -3

Ha ha! Plyus bilan ham, minus bilan ham.) Matematik jihatdan bu fakt borligini bildiradi ikkita progressiya, bu muammoning shartlariga mos keladi. Va har birining o'z maxraji bor. Faqat o'yin-kulgi uchun mashq qiling va har birining birinchi besh shartini yozing.)

Endi a'zo raqamini topishni mashq qilaylik. Bu muammo eng qiyin, ha. Ammo yana ijodiy.)

Geometrik progressiya berilgan:

3; 6; 12; 24; …

768 soni bu progressiyadagi qaysi raqamdan iborat?

Birinchi qadam hali ham bir xil: formulani yozingna'zosi!

b n = b 1 · qn -1

Va endi, odatdagidek, biz bilgan ma'lumotlarni unga almashtiramiz. Hm... ishlamayapti! Birinchi atama qani, maxraj qani, qolganlari qani?!

Qaerda, qayerda... Nega bizga ko'zlar kerak? Kirpiklaringizni qoqib qo'yasizmi? Bu safar progressiya bizga to'g'ridan-to'g'ri shaklda beriladi ketma-ketliklar. Birinchi a'zoni ko'ra olamizmi? Ko'ramiz! Bu uchlik (b 1 = 3). Denominator haqida nima deyish mumkin? Biz buni hali ko'rmayapmiz, lekin hisoblash juda oson. Agar, albatta, tushunsangiz ...

Shunday qilib, biz hisoblaymiz. To'g'ridan-to'g'ri geometrik progressiyaning ma'nosiga ko'ra: biz uning har qanday atamasini (birinchisidan tashqari) olamiz va oldingisiga bo'lamiz.

Hech bo'lmaganda shunday:

q = 24/12 = 2

Yana nimani bilamiz? Biz bu progressiyaning 768 ga teng ba'zi hadini ham bilamiz. Ba'zi n soni ostida:

b n = 768

Biz uning raqamini bilmaymiz, lekin bizning vazifamiz uni topishdir.) Shunday qilib, biz qidirmoqdamiz. Biz formulaga almashtirish uchun barcha kerakli ma'lumotlarni yuklab oldik. O'zingiz bilmagan holda.)

Bu erda biz almashtiramiz:

768 = 3 2n -1

Keling, elementar narsalarni qilaylik - ikkala tomonni uchga bo'linib, tenglamani odatiy shaklda qayta yozing: noma'lum chapda, ma'lum - o'ngda.

Biz olamiz:

2 n -1 = 256

Bu qiziqarli tenglama. Biz "n" ni topishimiz kerak. Nima, g'alati? Ha, men bahslashmayman. Aslida, bu eng oddiy narsa. Noma'lum bo'lgani uchun shunday deb ataladi (bu holda bu raqam n) xarajatlar indikator daraja.

Geometrik progressiyani o'rganish bosqichida (bu to'qqizinchi sinf), ular sizga ko'rsatkichli tenglamalarni qanday echishni o'rgatmaydi, ha ... Bu o'rta maktab uchun mavzu. Ammo qo'rqinchli narsa yo'q. Agar siz bunday tenglamalar qanday yechilishini bilmasangiz ham, keling, bizni topishga harakat qilaylik n, oddiy mantiq va sog'lom fikrga asoslangan.

Gapni boshlaylik. Chap tomonda bizda ikkilik bor ma'lum darajada. Biz bu daraja nima ekanligini hali bilmaymiz, lekin bu qo'rqinchli emas. Lekin bu daraja 256 ga teng ekanligini aniq bilamiz! Shunday qilib, biz ikkitaning bizga qanchalik berishini eslaymiz 256. Esingizdami? Ha! IN sakkizinchi darajalar!

256 = 2 8

Agar siz eslamasangiz yoki darajalarni tanib olishda muammolarga duch kelsangiz, unda bu ham yaxshi: ketma-ket ikki kvadrat, kub, to'rtinchi, beshinchi va hokazo. Tanlash, aslida, lekin bu darajada juda yaxshi ishlaydi.

Qanday bo'lmasin, biz quyidagilarni olamiz:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Shunday qilib, 768 to'qqizinchi bizning taraqqiyotimiz a'zosi. Mana, muammo hal qilindi.)

Javob: 9

Nima? Zerikarlimi? Oddiy narsalardan charchadingizmi? Rozi. Va men ham. Keling, keyingi bosqichga o'tamiz.)

Keyinchalik murakkab vazifalar.

Endi yanada murakkab muammolarni hal qilaylik. Juda ajoyib emas, lekin javob olish uchun biroz mehnat talab qiladiganlar.

Masalan, bu.

Geometrik progressiyaning to‘rtinchi hadi -24 va yettinchi hadi 192 bo‘lsa, uning ikkinchi hadini toping.

Bu janrning klassikasi. Progressiyaning ikki xil atamasi ma'lum, ammo boshqa atama topish kerak. Bundan tashqari, barcha a'zolar qo'shni emas. Avvaliga bu chalkash, ha ...

Xuddi shunday muammolarni hal qilish uchun biz ikkita usulni ko'rib chiqamiz. Birinchi usul universaldir. Algebraik. Har qanday manba ma'lumotlari bilan mukammal ishlaydi. Shunday qilib, biz boshlaymiz.)

Biz har bir atamani formula bo'yicha tavsiflaymiz na'zosi!

Hamma narsa arifmetik progressiya bilan bir xil. Faqat bu safar biz ishlaymiz boshqa umumiy formula. Hammasi shu.) Lekin mohiyati bir xil: biz olamiz va birma-bir Biz dastlabki ma'lumotlarimizni n-sonli formulaga almashtiramiz. Har bir a'zo uchun - o'z.

To'rtinchi muddat uchun biz yozamiz:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Yemoq. Bitta tenglama tayyor.

Ettinchi muddat uchun biz yozamiz:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Hammasi bo'lib biz ikkita tenglama oldik bir xil rivojlanish .

Biz ulardan tizimni yig'amiz:

Qo'rqinchli ko'rinishiga qaramay, tizim juda oddiy. Eng aniq yechim oddiy almashtirishdir. ifodalaymiz b 1 yuqori tenglamadan va uni pastki tenglamaga almashtiring:

Pastki tenglama bilan biroz o'ynagandan so'ng (kuchlarni qisqartirish va -24 ga bo'lish) biz quyidagilarni olamiz:

q 3 = -8

Aytgancha, xuddi shu tenglamaga oddiyroq tarzda erishish mumkin! Qaysi biri? Endi men sizga yana bir sirni ko'rsataman, lekin bunday tizimlarni hal qilishning juda chiroyli, kuchli va foydali usuli. Bunday tizimlar, ularning tenglamalari faqat ishlaydi. Hech bo'lmaganda bittasida. Chaqirildi bo'linish usuli bir tenglama boshqasiga.

Shunday qilib, oldimizda tizim mavjud:

Chapdagi ikkala tenglamada - ish, va o'ng tomonda faqat raqam mavjud. Bu juda yaxshi belgi). Nimani anglatadi, bir tenglamani boshqa tenglamaga ajratamiz? Juda oddiy. Keling, olamiz chap tomoni bitta tenglama (pastki) va bo'lmoq u yoqadi chap tomoni boshqa tenglama (yuqori). O'ng tomoni shunga o'xshash: o'ng tomon bitta tenglama bo'lmoq yoqilgan o'ng tomon boshqa.

Butun bo'linish jarayoni quyidagicha ko'rinadi:

Endi, qisqartirilishi mumkin bo'lgan hamma narsani qisqartirib, biz quyidagilarni olamiz:

q 3 = -8

Bu usulning nimasi yaxshi? Ha, chunki bunday bo'linish jarayonida yomon va noqulay hamma narsa xavfsiz tarzda kamayishi mumkin va butunlay zararsiz tenglama qoladi! Shuning uchun unga ega bo'lish juda muhimdir faqat ko'paytirish tizim tenglamalaridan kamida bittasida. Ko'paytirish yo'q - kamaytiradigan narsa yo'q, ha ...

Umuman olganda, bu usul (tizimlarni hal qilishning boshqa ko'plab noaniq usullari kabi) hatto alohida darsga loyiqdir. Men buni, albatta, batafsilroq ko'rib chiqaman. Bir kun…

Biroq, tizimni qanday aniq hal qilishingiz muhim emas, har holda, endi biz hosil bo'lgan tenglamani echishimiz kerak:

q 3 = -8

Muammo yo'q: kub ildizini chiqarib oling va ish tugadi!

Esda tutingki, qazib olishda bu erda ortiqcha/minus qo'yishning hojati yo'q. Bizning ildizimiz toq (uchinchi) darajada. Va javob ham bir xil, ha.)

Demak, progressiyaning maxraji topildi. Minus ikki. Ajoyib! Jarayon davom etmoqda.)

Birinchi muddat uchun (masalan, yuqori tenglamadan) biz quyidagilarni olamiz:

Ajoyib! Biz birinchi atamani bilamiz, maxrajni bilamiz. Va endi bizda progressiyaning istalgan a'zosini topish imkoniyati mavjud. Shu jumladan ikkinchisi.)

Ikkinchi muddat uchun hamma narsa juda oddiy:

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Javob: -6

Shunday qilib, biz muammoni hal qilishning algebraik usulini ajratdik. Qiyinmi? Haqiqatan ham emas, men roziman. Uzoq va zerikarlimi? Ha, albatta. Ammo ba'zida siz ish hajmini sezilarli darajada kamaytirishingiz mumkin. Buning uchun bor grafik usuli. Qadimgi va bizga tanish.)

Keling, muammoni chizamiz!

Ha! Aynan shunday. Yana biz raqamlar o'qi bo'yicha progressimizni tasvirlaymiz. O'lchagichga amal qilish shart emas, shartlar orasidagi teng oraliqlarni saqlash shart emas (aytmoqchi, bu bir xil bo'lmaydi, chunki progressiya geometrik!), lekin oddiygina. sxematik tarzda Keling, ketma-ketlikni chizamiz.

Men buni shunday oldim:

Endi rasmga qarang va buni aniqlang. "q" qancha bir xil omillarni ajratib turadi to'rtinchi Va yettinchi a'zolar? To'g'ri, uchta!

Shunday qilib, biz yozishga to'liq haqlimiz:

-24·q 3 = 192

Bu yerdan endi q ni topish oson:

q 3 = -8

q = -2

Bu juda zo'r, bizning cho'ntagimizda allaqachon denominator bor. Endi rasmga yana qaraylik: qancha bunday maxrajlar orasida o'tiradi ikkinchi Va to'rtinchi a'zolar? Ikki! Shuning uchun, bu atamalar orasidagi bog'lanishni qayd qilish uchun biz maxrajni tuzamiz kvadrat.

Shunday qilib, biz yozamiz:

b 2 · q 2 = -24 , qayerda b 2 = -24/ q 2

Topilgan maxrajni b 2 ifodasiga almashtiramiz, hisoblaymiz va olamiz:

Javob: -6

Ko'rib turganingizdek, hamma narsa tizim orqali qaraganda ancha sodda va tezroq. Bundan tashqari, bu erda biz birinchi atamani umuman hisoblashimiz shart emas edi! Umuman.)

Mana shunday oddiy va vizual yo'l-yorug'lik. Ammo uning jiddiy kamchiligi ham bor. Siz taxmin qildingizmi? Ha! Bu faqat progressning juda qisqa qismlari uchun yaxshi. Bizni qiziqtirgan a'zolar orasidagi masofalar unchalik katta bo'lmaganlar. Ammo boshqa barcha holatlarda rasm chizish allaqachon qiyin, ha ... Keyin biz muammoni analitik tarzda, tizim orqali hal qilamiz.) Va tizimlar universal narsalardir. Ular har qanday raqamlarni boshqarishi mumkin.

Yana bir epik muammo:

Geometrik progressiyaning ikkinchi hadi birinchisidan 10 ga, uchinchi hadi ikkinchisidan 30 ga ko‘p. Progressiyaning maxrajini toping.

Nima, zo'rmi? Umuman yo'q! Hammasi bir xil. Yana muammo bayonini sof algebraga aylantiramiz.

1) Biz har bir atamani formula bo'yicha tavsiflaymiz na'zosi!

Ikkinchi had: b 2 = b 1 q

Uchinchi had: b 3 = b 1 q 2

2) Masala gapidan a’zolar orasidagi bog‘lanishni yozamiz.

Biz shartni o'qiymiz: "Geometrik progressiyaning ikkinchi hadi birinchisidan 10 ga katta." To'xta, bu qimmatli!

Shunday qilib, biz yozamiz:

b 2 = b 1 +10

Va biz bu iborani sof matematikaga tarjima qilamiz:

b 3 = b 2 +30

Biz ikkita tenglama oldik. Keling, ularni tizimga birlashtiramiz:

Tizim oddiy ko'rinadi. Lekin harflar uchun juda ko'p turli indekslar mavjud. Ikkinchi va uchinchi hadlar o‘rniga ularning ifodalarini birinchi had va maxraj orqali almashtiramiz! Bekorga ularni chizganmizmi?

Biz olamiz:

Ammo bunday tizim endi sovg'a emas, ha ... Buni qanday hal qilish kerak? Afsuski, kompleksni hal qilish uchun universal maxfiy sehr yo'q chiziqli bo'lmagan Matematikada tizimlar yo'q va bo'lishi ham mumkin emas. Bu fantastika! Ammo bunday qattiq yong'oqni yormoqchi bo'lganingizda, aqlga kelishi kerak bo'lgan birinchi narsa - buni aniqlash Ammo tizimning tenglamalaridan biri, masalan, o'zgaruvchilardan birini boshqasi bilan osongina ifodalash imkonini beruvchi go'zal shaklga tushirilmaganmi?

Keling, buni aniqlaylik. Tizimning birinchi tenglamasi ikkinchisiga qaraganda aniqroq. Biz uni qiynoqqa solamiz.) Birinchi tenglamadan harakat qilsak bo'lmaydimi nimadur orqali ifodalash nimadur? Chunki biz maxrajni topmoqchimiz q, keyin ifodalash biz uchun eng foydali bo'ladi b 1 orqali q.

Shunday qilib, keling, eski tenglamalardan foydalanib, ushbu protsedurani birinchi tenglama bilan bajarishga harakat qilaylik:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Hammasi! Shunday qilib, biz ifoda etdik keraksiz bizga o'zgaruvchini (b 1) orqali bering zarur(q). Ha, bu biz olgan eng oddiy ifoda emas. Qandaydir kasr... Lekin bizning tizimimiz munosib darajada, ha.)

Oddiy. Biz nima qilishni bilamiz.

Biz ODZ deb yozamiz (Majburiy!) :

q ≠ 1

Biz hamma narsani maxrajga (q-1) ko'paytiramiz va barcha kasrlarni bekor qilamiz:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Biz hamma narsani o'nga ajratamiz, qavslarni ochamiz va hamma narsani chapdan yig'amiz:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Natijani hal qilamiz va ikkita ildiz olamiz:

q 1 = 1

q 2 = 3

Faqat bitta yakuniy javob bor: q = 3 .

Javob: 3

Ko‘rib turganingizdek, geometrik progressiyaning n-haddining formulasi bilan bog‘liq ko‘pchilik masalalarni yechish yo‘li har doim bir xil bo‘ladi: o‘qing. diqqat bilan masalaning sharti va n-sonning formulasidan foydalanib, barcha foydali ma'lumotlarni sof algebraga aylantiramiz.

Aynan:

1) Masalada berilgan har bir atamani formula bo‘yicha alohida ta’riflaymiznth a'zosi.

2) Masala shartlaridan a'zolar orasidagi bog'lanishni matematik shaklga o'tkazamiz. Biz tenglama yoki tenglamalar tizimini tuzamiz.

3) Hosil bo'lgan tenglama yoki tenglamalar tizimini yechamiz, progressiyaning noma'lum parametrlarini topamiz.

4) Agar noaniq javob bo'lsa, qo'shimcha ma'lumotni (agar mavjud bo'lsa) qidirishda muammo bayonini diqqat bilan o'qing. Shuningdek, biz qabul qilingan javobni DL shartlari bilan (agar mavjud bo'lsa) tekshiramiz.

Keling, geometrik progressiya masalalarini yechish jarayonida ko'pincha xatolarga olib keladigan asosiy muammolarni sanab o'tamiz.

1. Elementar arifmetika. Kasr va manfiy sonlar bilan amallar.

2. Agar ushbu uchta nuqtadan kamida bittasi bilan bog'liq muammolar mavjud bo'lsa, unda siz muqarrar ravishda ushbu mavzuda xato qilasiz. Afsuski... Shuning uchun dangasa bo'lmang va yuqorida aytib o'tilganlarni takrorlang. Va havolalarga rioya qiling - boring. Ba'zan yordam beradi.)

O'zgartirilgan va takrorlanuvchi formulalar.

Keling, vaziyatning kamroq tanish taqdimoti bilan bir nechta odatiy imtihon muammolarini ko'rib chiqaylik. Ha, ha, siz taxmin qildingiz! Bu tahrirlangan Va takrorlanuvchi n-sonli formulalar. Biz allaqachon bunday formulalarga duch kelganmiz va arifmetik progressiya ustida ishlaganmiz. Bu erda hamma narsa o'xshash. Mohiyat bir xil.

Masalan, OGE dan bu muammo:

Geometrik progressiya formula bilan berilgan b n = 3 2 n . Uning birinchi va to‘rtinchi hadlari yig‘indisini toping.

Bu safargi taraqqiyot biz uchun odatdagidek emas. Biror turdagi formulalar shaklida. Nima bo'libdi? Bu formula formula hamna'zosi! Siz va men bilamizki, n-son uchun formulani umumiy shaklda ham, harflar yordamida ham, uchun ham yozish mumkin muayyan progressiya. BILAN xos birinchi muddat va maxraj.

Bizning holatda, bizga, aslida, quyidagi parametrlarga ega bo'lgan geometrik progressiya uchun umumiy atama formulasi berilgan:

b 1 = 6

q = 2

Tekshiramizmi?) n-sonning formulasini umumiy shaklda yozamiz va uni quyidagiga almashtiramiz. b 1 Va q. Biz olamiz:

b n = b 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

Faktorizatsiya va kuchlarning xossalaridan foydalanishni soddalashtiramiz va biz quyidagilarni olamiz:

b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Ko'rib turganingizdek, hamma narsa adolatli. Ammo bizning maqsadimiz ma'lum bir formulaning kelib chiqishini ko'rsatish emas. Bu shunday, lirik chekinish. Sof tushunish uchun.) Maqsadimiz shartda berilgan formula bo‘yicha masalani yechishdir. Siz tushunasizmi?) Shunday qilib, biz to'g'ridan-to'g'ri o'zgartirilgan formula bilan ishlaymiz.

Biz birinchi davrni hisoblaymiz. Keling, almashtiramiz n=1 umumiy formulada:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Mana bunday. Aytgancha, men dangasa bo'lmayman va yana bir bor e'tiboringizni birinchi muddatni hisoblashda odatiy xatoga qarataman. EMAS, formulaga qarab b n= 3 2n, darhol birinchi muddat uchta ekanligini yozishga shoshiling! Bu qo'pol xato, ha...)

Davom etaylik. Keling, almashtiramiz n=4 va to'rtinchi muddatni hisoblang:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Va nihoyat, biz kerakli miqdorni hisoblaymiz:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Javob: 54

Yana bir muammo.

Geometrik progressiya quyidagi shartlar bilan belgilanadi:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Progressiyaning to‘rtinchi hadini toping.

Bu erda progressiya takrorlanuvchi formula bilan beriladi. Ha mayli.) Ushbu formula bilan qanday ishlash kerak - biz ham bilamiz.

Shunday qilib, biz harakat qilamiz. Qadam ba qadam.

1) Ikkini sanang ketma-ket progressiyaning a'zosi.

Birinchi muddat bizga allaqachon berilgan. Minus etti. Ammo keyingi, ikkinchi muddatni takrorlash formulasi yordamida osongina hisoblash mumkin. Agar siz uning ishlash tamoyilini tushunsangiz, albatta.)

Shunday qilib, biz ikkinchi muddatni hisoblaymiz birinchi bo'lib taniqli bo'lganlarga ko'ra:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Progressiyaning maxrajini hisoblang

Muammo ham yo'q. To'g'ri, bo'linaylik ikkinchi tik birinchi.

Biz olamiz:

q = -21/(-7) = 3

3) Formulani yozingnth a'zosi odatiy shaklda va kerakli a'zoni hisoblang.

Demak, biz birinchi hadni bilamiz, maxraj ham. Shunday qilib, biz yozamiz:

b n= -7·3n -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Javob: -189

Ko'rib turganingizdek, geometrik progressiya uchun bunday formulalar bilan ishlash arifmetik progressiyadan deyarli farq qilmaydi. Faqatgina ushbu formulalarning umumiy mohiyatini va ma'nosini tushunish muhimdir. Xo'sh, siz ham geometrik progressiyaning ma'nosini tushunishingiz kerak, ha.) Va keyin hech qanday ahmoqona xatolar bo'lmaydi.

Xo'sh, keling, o'zimiz qaror qilaylikmi?)

Isitish uchun juda asosiy vazifalar:

1. Qaysi geometrik progressiya berilgan b 1 = 243, a q = -2/3. Progressiyaning oltinchi hadini toping.

2. Geometrik progressiyaning umumiy hadi formula bilan berilgan b n = 5∙2 n +1 . Bu progressiyaning oxirgi uch xonali hadining sonini toping.

3. Geometrik progressiya shartlar bilan beriladi:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Progressiyaning beshinchi hadini toping.

Biroz murakkabroq:

4. Geometrik progressiya berilgan:

b 1 =2048; q =-0,5

Oltinchi manfiy had nimaga teng?

Nima juda qiyin ko'rinadi? Umuman yo'q. Mantiq va geometrik progressiyaning ma'nosini tushunish sizni qutqaradi. Albatta, n-son uchun formula.

5. Geometrik progressiyaning uchinchi hadi -14, sakkizinchi hadi 112. Progressiyaning maxrajini toping.

6. Geometrik progressiyaning birinchi va ikkinchi hadlari yig‘indisi 75 ga, ikkinchi va uchinchi hadlari yig‘indisi 150 ga teng. Progressiyaning oltinchi hadini toping.

Javoblar (tartibsiz): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Bu deyarli hammasi. Biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa - hisoblashni o'rganish geometrik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi ha kashf cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya va uning miqdori. Aytgancha, juda qiziqarli va g'ayrioddiy narsa! Bu haqda keyingi darslarda batafsilroq.)

Geometrik progressiya sonli ketma-ketlik boʻlib, uning birinchi hadi nolga teng boʻlmagan va har bir keyingi had oldingi hadning bir xil nolga teng boʻlmagan songa koʻpaytirilganiga teng. Geometrik progressiya b1,b2,b3, …, bn, … bilan belgilanadi.

Geometrik progressiyaning xossalari

Geometrik xatoning istalgan hadining oldingi hadiga nisbati bir xil songa teng, ya’ni b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Bu to'g'ridan-to'g'ri arifmetik progressiyaning ta'rifidan kelib chiqadi. Bu son geometrik progressiyaning maxraji deb ataladi. Odatda geometrik progressiyaning maxraji q harfi bilan belgilanadi.

Geometrik progressiyani aniqlash usullaridan biri uning birinchi hadi b1 va q geometrik xatosining maxrajini ko'rsatishdir. Masalan, b1=4, q=-2. Bu ikki shart 4, -8, 16, -32, … geometrik progressiyani aniqlaydi.

Agar q>0 (q 1 ga teng bo'lmasa), progressiya monotonik ketma-ketlikdir. Masalan, 2, 4,8,16,32, ... ketma-ketlik monoton ortib boruvchi ketma-ketlikdir (b1=2, q=2).

Agar geometrik xatodagi maxraj q=1 bo'lsa, geometrik progressiyaning barcha hadlari bir-biriga teng bo'ladi. Bunday hollarda progressiya doimiy ketma-ketlik deyiladi.

Progressiyaning n-chi hadi formulasi

Sonlar ketma-ketligi (bn) geometrik progressiya bo'lishi uchun uning har bir a'zosi ikkinchidan boshlab qo'shni a'zolarning geometrik o'rtasi bo'lishi kerak. Ya'ni, quyidagi tenglamani bajarish kerak - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), har qanday n>0 uchun, bu erda n natural sonlar to'plamiga tegishlidir.

Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasi:

bn=b1*q^(n-1), bu yerda n N natural sonlar to‘plamiga tegishli.

Keling, oddiy misolni ko'rib chiqaylik:

Geometrik progressiyada b1=6, q=3, n=8 bn toping.

Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasidan foydalanamiz.

Arifmetik va geometrik progressiyalar

Nazariy ma'lumotlar

Nazariy ma'lumotlar

	Arifmetik progressiya	Geometrik progressiya
Ta'rif	Arifmetik progressiya a n ikkinchidan boshlab har bir a'zo bir xil songa qo'shilgan oldingi a'zoga teng bo'lgan ketma-ketlikdir d (d- progressiv farq)	Geometrik progressiya b n nolga teng bo'lmagan raqamlar ketma-ketligi bo'lib, ularning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab oldingi hadning bir xil songa ko'paytirilishiga teng. q (q- progressiyaning maxraji)
Takrorlanish formulasi	Har qanday tabiiy uchun n a n + 1 = a n + d	Har qanday tabiiy uchun n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula n-chi davr	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Xarakterli xususiyat
Birinchi n ta shartlar yig'indisi

Izohlar bilan topshiriqlarga misollar

1-mashq

Arifmetik progressiyada ( a n) a 1 = -6, a 2

n-sonning formulasiga ko'ra:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d

Shart bo'yicha:

a 1= -6, keyin a 22= -6 + 21 d.

Progressiyalar farqini topish kerak:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Javob: a 22 = -48.

Vazifa 2

Geometrik progressiyaning beshinchi hadini toping: -3; 6;......

1-usul (n-term formulasidan foydalangan holda)

Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasiga ko‘ra:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Chunki b 1 = -3,

2-usul (takroriy formuladan foydalangan holda)

Progressiyaning maxraji -2 (q = -2) bo'lgani uchun, u holda:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Javob: b 5 = -48.

Vazifa 3

Arifmetik progressiyada ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Shu progressiyaning yetmish beshinchi hadini toping.

Arifmetik progressiya uchun xarakteristik xususiyat shaklga ega .

Shuning uchun:

.

Keling, ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

Javob: 95.

Vazifa 4

Arifmetik progressiyada ( a n ) a n= 3n - 4. Birinchi o'n yetti hadning yig'indisini toping.

Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig‘indisini topish uchun ikkita formuladan foydalaniladi:

.

Bu holatda ulardan qaysi birini ishlatish qulayroq?

Shartga ko'ra, dastlabki progressiyaning n-chi hadi formulasi ma'lum ( a n) a n= 3n - 4. Siz darhol topishingiz mumkin va a 1, Va a 16 topmasdan d. Shuning uchun biz birinchi formuladan foydalanamiz.

Javob: 368.

Vazifa 5

Arifmetik progressiyada ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Progressiyaning yigirma ikkinchi hadini toping.

n-sonning formulasiga ko'ra:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 kun.

Shart bo'yicha, agar a 1= -6, keyin a 22= -6 + 21d. Progressiyalar farqini topish kerak:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Javob: a 22 = -48.

Vazifa 6

Geometrik progressiyaning bir necha ketma-ket hadlari yoziladi:

X bilan ko'rsatilgan progressiyaning hadini toping.

Yechishda n-son uchun formuladan foydalanamiz b n = b 1 ∙ q n - 1 geometrik progressiyalar uchun. Progressiyaning birinchi muddati. q progressiyasining maxrajini topish uchun progressiyaning berilgan har qanday hadini olish va oldingisiga bo‘lish kerak. Bizning misolimizda biz olishimiz va bo'lishimiz mumkin. Biz q = 3 ni olamiz. Formulada n o'rniga 3 ni qo'yamiz, chunki berilgan geometrik progressiyaning uchinchi hadini topish kerak.

Topilgan qiymatlarni formulaga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

.

Javob:.

Vazifa 7

n-sonli had formulasi bilan berilgan arifmetik progressiyalardan qaysi shart bajarilganini tanlang. a 27 > 9:

Berilgan shart progressiyaning 27-chi hadi uchun bajarilishi kerakligi sababli, to‘rtta progressiyaning har birida n o‘rniga 27 ni qo‘yamiz. 4-bosqichda biz quyidagilarni olamiz:

.

Javob: 4.

Vazifa 8

Arifmetik progressiyada a 1= 3, d = -1,5. Belgilang eng yuqori qiymat n uchun tengsizlik amal qiladi a n > -6.