Un triunghi este format din. Triunghi
Probabil că s-ar putea scrie o carte întreagă pe tema „Triunghi”. Dar durează prea mult să citești toată cartea, nu? Prin urmare, aici vom lua în considerare numai faptele care se referă la orice triunghi în general și tot felul de subiecte speciale, cum ar fi, etc. separate în subiecte separate - citiți cartea în bucăți. Ei bine, ca pentru orice triunghi.
1. Suma unghiurilor unui triunghi. Colț exterior.
Amintiți-vă cu fermitate și nu uitați. Nu vom demonstra acest lucru (vezi următoarele niveluri de teorie).
Singurul lucru care vă poate deruta în formularea noastră este cuvântul „intern”.
De ce este aici? Dar tocmai pentru a sublinia că vorbim despre unghiurile care se află în interiorul triunghiului. Chiar există alte colțuri afară? Imaginează-ți, se întâmplă. Triunghiul mai are colțurile exterioare. Și cea mai importantă consecință a faptului că suma colțurile interne triunghiul este egal cu, atinge doar triunghiul exterior. Deci, să aflăm care este acest unghi exterior al triunghiului.
Priviți imaginea: luați un triunghi și (să spunem) continuați pe o parte.
Desigur, am putea părăsi o parte și să continuăm partea. Ca aceasta:
Dar nu poți spune asta despre unghi în nicio circumstanță. este interzis!
Deci nu orice unghi din afara unui triunghi are dreptul de a fi numit unghi exterior, ci doar cel format o parte și o continuare a celeilalte părți.
Deci, ce ar trebui să știm despre unghiurile externe?
Uite, în imaginea noastră asta înseamnă asta.
Cum se leagă aceasta de suma unghiurilor unui triunghi?
Să ne dăm seama. Suma unghiurilor interioare este
dar – pentru că și – sunt adiacente.
Ei bine, aici vine: .
Vezi cât de simplu este?! Dar foarte important. Deci, amintiți-vă:
Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este egală, iar unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma două interne, nu adiacente acestuia.
2. Inegalitatea triunghiului
Următorul fapt se referă nu la unghiuri, ci la laturile triunghiului.
Înseamnă că
Ai ghicit deja de ce acest fapt se numește inegalitatea triunghiulară?
Ei bine, unde poate fi utilă această inegalitate triunghiulară?
Imaginează-ți că ai trei prieteni: Kolya, Petya și Serghei. Și așa, Kolya spune: „De la casa mea până la Petya este în linie dreaptă”. Și Petya: „De la casa mea până la casa lui Serghei, metri în linie dreaptă”. Și Serghei: „Este bine pentru tine, dar de la casa mea până la Kolinoye este o linie dreaptă”. Ei bine, aici trebuie să spui: „Oprește-te, oprește-te! Unii dintre voi spuneți minciuni!”
De ce? Da, pentru că dacă de la Kolya la Petya există m și de la Petya la Sergei sunt m, atunci de la Kolya la Serghei trebuie să fie cu siguranță mai puțini () metri - altfel este încălcată aceeași inegalitate triunghiulară. Ei bine, bunul simț este cu siguranță, firesc, încălcat: la urma urmei, toată lumea știe din copilărie că drumul către o linie dreaptă () ar trebui să fie mai scurtă decât drumul către un punct. (). Deci inegalitatea triunghiului reflectă pur și simplu acest fapt binecunoscut. Ei bine, acum știi cum să răspunzi, să zicem, la o întrebare:
Un triunghi are laturi?
Trebuie să verificați dacă este adevărat că oricare două dintre aceste trei numere se adună mai mult decât al treilea. Să verificăm: asta înseamnă că nu există un triunghi cu laturi! Dar cu părțile laterale - se întâmplă, pentru că
3. Egalitatea triunghiurilor
Ei bine, ce se întâmplă dacă nu există unul, ci două sau mai multe triunghiuri. Cum poți verifica dacă sunt egale? De fapt, prin definiție:
Dar... aceasta este o definiție teribil de incomodă! Cum, vă rog să spuneți, se poate suprapune două triunghiuri chiar și într-un caiet?! Dar din fericire pentru noi există semne de egalitate a triunghiurilor, care vă permit să acționați cu mintea fără a vă pune în pericol caietele.
Și în plus, aruncând glume frivole, vă spun un secret: pentru un matematician, cuvântul „suprapunere triunghiuri” nu înseamnă a le decupa și a le suprapune deloc, ci a spune multe, multe, multe cuvinte care vor dovedi că două triunghiuri vor coincide atunci când sunt suprapuse. Deci, în nici un caz nu trebuie să scrieți în lucrarea dvs. „Am verificat - triunghiurile coincid atunci când sunt aplicate” - nu o vor număra față de dvs. și vor avea dreptate, deoarece nimeni nu vă garantează că nu ați greșit la aplicare, să zicem, un sfert de milimetru.
Deci, unii matematicieni au spus o grămadă de cuvinte, nu vom repeta aceste cuvinte după ele (cu excepția, poate, la ultimul nivel al teoriei), dar vom folosi în mod activ trei semne de egalitate a triunghiurilor.
În utilizarea de zi cu zi (matematică), astfel de formulări scurtate sunt acceptate - sunt mai ușor de reținut și de aplicat.
- Primul semn este pe două laturi și unghiul dintre ele;
- Al doilea semn este pe două colțuri și pe partea adiacentă;
- Al treilea semn este pe trei laturi.
TRIUNGHI. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE
Un triunghi este o figură geometrică formată din trei segmente care leagă trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă.
Noțiuni de bază.
Proprietăți de bază:
- Suma unghiurilor interioare ale oricărui triunghi este egală, adică.
- Unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interne care nu sunt adiacente acestuia, adică.
sau - Suma lungimilor oricăror două laturi ale unui triunghi este mai mare decât lungimea celei de-a treia laturi a acestuia, adică
- Într-un triunghi, latura mai mare se află opusă unghiului mai mare, iar unghiul mai mare se află opus laturii mai mari, adică.
dacă, atunci și invers,
daca atunci.
Semne de egalitate a triunghiurilor.
1. Primul semn- pe două laturi și unghiul dintre ele.
2. Al doilea semn- pe doua colturi si latura adiacenta.
3. Al treilea semn- pe trei laturi.
Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.
Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!
Acum cel mai important lucru.
Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.
Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...
Pentru ce?
Pentru succes promovarea examenului de stat unificat, pentru admiterea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.
Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...
Oamenii care au primit o educație bună, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.
Dar acesta nu este principalul lucru.
Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...
Dar gandeste-te singur...
Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?
CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.
Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.
Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.
Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.
Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.
Găsiți colecția oriunde doriți, neapărat cu soluții, analiză detaliată si decide, decide, decide!
Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.
Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.
Cum? Există două opțiuni:
- Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 499 RUR
Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.
Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.
În concluzie...
Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.
„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.
Găsiți probleme și rezolvați-le!
Știința geometriei ne spune ce sunt un triunghi, un pătrat și un cub. ÎN lumea modernă este studiat în școli de toată lumea fără excepție. De asemenea, știința care studiază direct ce este un triunghi și ce proprietăți are este trigonometria. Ea explorează în detaliu toate fenomenele legate de date Vom vorbi despre ce este un triunghi astăzi în articolul nostru. Tipurile lor vor fi descrise mai jos, precum și unele teoreme asociate acestora.
Ce este un triunghi? Definiție
Acesta este un poligon plat. Are trei colțuri, așa cum reiese din numele său. Are, de asemenea, trei laturi și trei vârfuri, primul dintre ele sunt segmente, al doilea sunt puncte. Știind cu ce sunt egale două unghiuri, îl puteți găsi pe al treilea scăzând suma primelor două din numărul 180.
Ce tipuri de triunghiuri există?
Ele pot fi clasificate după diverse criterii.
În primul rând, ele sunt împărțite în unghi acut, unghi obtuz și dreptunghiular. Primele au unghiuri ascuțite, adică cele care sunt egale cu mai puțin de 90 de grade. În unghiurile obtuze, unul dintre unghiuri este obtuz, adică unul egal cu mai mult de 90 de grade, celelalte două sunt acute. Triunghiurile acute includ și triunghiuri echilaterale. Astfel de triunghiuri au toate laturile și unghiurile egale. Toate sunt egale cu 60 de grade, acest lucru poate fi calculat cu ușurință împărțind suma tuturor unghiurilor (180) la trei.
Triunghi dreptunghic
Este imposibil să nu vorbim despre ce este un triunghi dreptunghic.
O astfel de figură are un unghi egal cu 90 de grade (dreaptă), adică două dintre laturile sale sunt perpendiculare. Cele două unghiuri rămase sunt acute. Ele pot fi egale, atunci va fi isoscel. Teorema lui Pitagora este legată de triunghiul dreptunghic. Folosind-o, puteți găsi a treia latură, cunoscând primele două. Conform acestei teoreme, dacă adăugați pătratul unui catete la pătratul celuilalt, puteți obține pătratul ipotenuzei. Pătratul catetei poate fi calculat scăzând pătratul catetei cunoscute din pătratul ipotenuzei. Vorbind despre ce este un triunghi, ne putem aminti și un triunghi isoscel. Acesta este unul în care două dintre laturi sunt egale și două unghiuri sunt, de asemenea, egale.
Ce sunt catetul și ipotenuza?
Un catete este una dintre laturile unui triunghi care formează un unghi de 90 de grade. Ipotenuza este latura rămasă care este opusă unghiului drept. Puteți coborî o perpendiculară de pe picior. Raportul dintre latura adiacentă și ipotenuză se numește cosinus, iar latura opusă se numește sinus.
- care sunt caracteristicile sale?
Este dreptunghiulară. Picioarele sale sunt trei și patru, iar ipotenuza este cinci. Dacă vezi că catetele unui triunghi dat sunt egale cu trei și patru, poți fi sigur că ipotenuza va fi egală cu cinci. De asemenea, folosind acest principiu, puteți determina cu ușurință că catetul va fi egal cu trei dacă al doilea este egal cu patru, iar ipotenuza este egală cu cinci. Pentru a demonstra această afirmație, puteți aplica teorema lui Pitagora. Dacă două catete sunt egale cu 3 și 4, atunci 9 + 16 = 25, rădăcina lui 25 este 5, adică ipotenuza este egală cu 5. Un triunghi egiptean este și un triunghi dreptunghic ale cărui laturi sunt egale cu 6, 8 și 10; 9, 12 și 15 și alte numere cu raportul 3:4:5.
Ce altceva ar putea fi un triunghi?
Triunghiurile pot fi, de asemenea, înscrise sau circumscrise. Figura în jurul căreia este descris cercul se numește înscrisă; toate vârfurile sale sunt puncte situate pe cerc. Un triunghi circumscris este unul în care este înscris un cerc. Toate laturile sale intră în contact cu el în anumite puncte.
Cum este localizat?
Aria oricărei figuri este măsurată în unități pătrate (metri pătrați, milimetri pătrați, centimetri pătrați, decimetri pătrați etc.) Această valoare poate fi calculată într-o varietate de moduri, în funcție de tipul de triunghi. Aria oricărei figuri cu unghiuri poate fi găsită prin înmulțirea laturii sale cu perpendiculara căzută pe ea din colțul opus și împărțind această cifră la două. De asemenea, puteți găsi această valoare înmulțind cele două părți. Apoi înmulțiți acest număr cu sinusul unghiului situat între aceste laturi și împărțiți acest rezultat la doi. Cunoscând toate laturile unui triunghi, dar neștiind unghiurile acestuia, puteți găsi zona într-un alt mod. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți jumătate din perimetru. Apoi scădeți alternativ diferite laturi din acest număr și înmulțiți cele patru valori rezultate. Apoi, găsiți din numărul care a ieșit. Aria unui triunghi înscris poate fi găsită înmulțind toate laturile și împărțind numărul rezultat la cel circumscris în jurul lui, înmulțit cu patru.
Aria unui triunghi circumscris se găsește în acest fel: înmulțim jumătate din perimetru cu raza cercului care este înscris în el. Dacă atunci aria sa poate fi găsită după cum urmează: pătratează latura, înmulțiți cifra rezultată cu rădăcina lui trei, apoi împărțiți acest număr la patru. Într-un mod similar, puteți calcula înălțimea unui triunghi în care toate laturile sunt egale; pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți una dintre ele cu rădăcina a trei, apoi împărțiți acest număr la doi.
Teoreme legate de triunghi
Principalele teoreme care sunt asociate cu această figură sunt teorema lui Pitagora descrisă mai sus și cosinusurile. Al doilea (din sinusuri) este că, dacă împărțiți orice latură cu sinusul unghiului opus acesteia, puteți obține raza cercului descris în jurul ei, înmulțită cu două. Al treilea (cosinus) este că dacă din suma pătratelor celor două laturi scădem produsul lor, înmulțit cu doi și cosinusul unghiului situat între ele, atunci obținem pătratul celei de-a treia laturi.
Triunghiul Dali - ce este?
Mulți, când se confruntă cu acest concept, cred la început că acesta este un fel de definiție în geometrie, dar nu este deloc așa. Triunghiul lui Dali este denumirea comună trei locuri care sunt strâns legate de viață artist faimos. „Vârfurile” sale sunt casa în care a locuit Salvador Dali, castelul pe care l-a dăruit soției sale, precum și muzeul de picturi suprarealiste. Puteți învăța multe în timpul unui tur al acestor locuri. fapte interesante despre acest artist creativ unic cunoscut în întreaga lume.
Se spune că două triunghiuri sunt congruente dacă pot fi reunite prin suprapunere. Figura 1 prezintă triunghiuri egale ABC și A 1 B 1 C 1. Fiecare dintre aceste triunghiuri poate fi suprapus peste celălalt astfel încât să fie complet compatibile, adică vârfurile și laturile lor să fie compatibile în perechi. Este clar că unghiurile acestor triunghiuri se vor potrivi și în perechi.
Astfel, dacă două triunghiuri sunt congruente, atunci elementele (adică laturile și unghiurile) unui triunghi sunt, respectiv, egale cu elementele celuilalt triunghi. Rețineți că în triunghiuri egale împotriva laturilor egale corespunzător(adică, suprapunerea atunci când este suprapusă) unghiuri egale se află si inapoi: Laturile egale sunt opuse, respectiv unghiuri egale.
Deci, de exemplu, în triunghiuri egale ABC și A 1 B 1 C 1, prezentate în figura 1, laturile egale opuse AB și, respectiv, A 1 B 1, se află unghiuri egale C și C 1. Vom nota egalitatea triunghiurilor ABC și A 1 B 1 C 1 astfel: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Rezultă că egalitatea a două triunghiuri poate fi stabilită prin compararea unora dintre elementele lor.
Teorema 1. Primul semn al egalității triunghiurilor. Dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente (Fig. 2).
Dovada. Luați în considerare triunghiurile ABC și A 1 B 1 C 1, în care AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (vezi Fig. 2). Să demonstrăm că Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .
Deoarece ∠ A = ∠ A 1, atunci triunghiul ABC poate fi suprapus pe triunghiul A 1 B 1 C 1 astfel încât vârful A să fie aliniat cu vârful A 1, iar laturile AB și AC sunt suprapuse razelor A 1 B 1 și A 1. C 1 . Deoarece AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, atunci latura AB se va alinia cu latura A 1 B 1 și latura AC se va alinia cu latura A 1 C 1; în special, punctele B și B 1, C și C 1 vor coincide. În consecință, laturile BC și B 1 C 1 se vor alinia. Deci, triunghiurile ABC și A 1 B 1 C 1 sunt complet compatibile, ceea ce înseamnă că sunt egale.
Teorema 2 este demonstrată în mod similar folosind metoda suprapunerii.
Teorema 2. Al doilea semn al egalității triunghiurilor. Dacă o latură și două unghiuri adiacente ale unui triunghi sunt egale cu latura și, respectiv, două unghiuri adiacente ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente (Fig. 34).
Cometariu. Pe baza teoremei 2 se stabilește teorema 3.
Teorema 3. Suma oricăror două unghiuri interioare ale unui triunghi este mai mică de 180°.
Teorema 4 rezultă din ultima teoremă.
Teorema 4. Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât orice unghi interior care nu este adiacent acestuia.
Teorema 5. Al treilea semn al egalității triunghiurilor. Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente ().
Exemplul 1.În triunghiuri ABC și DEF (Fig. 4)
∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Comparați triunghiurile ABC și DEF. Ce unghi din triunghiul DEF este egal cu unghiul B?
Soluţie. Aceste triunghiuri sunt egale conform primului semn. Unghiul F al triunghiului DEF este egal cu unghiul B al triunghiului ABC, deoarece aceste unghiuri sunt opuse, respectiv, laturile egale DE și AC.
Exemplul 2. Segmentele AB și CD (Fig. 5) se intersectează în punctul O, care este mijlocul fiecăruia dintre ele. Care este lungimea segmentului BD dacă segmentul AC este de 6 m?
Soluţie.
Triunghiurile AOC și BOD sunt egale (după primul criteriu): ∠ AOC = ∠ BOD (vertical), AO = OB, CO = OD (după condiție).
Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă că laturile lor sunt egale, adică AC = BD. Dar deoarece conform condiției AC = 6 m, atunci BD = 6 m.
