Crearea teoremei lui Pitagora. Teoreme celebre (teorema lui Pitagora)

Potențialul de creativitate este de obicei atribuit științelor umaniste, lăsând știința naturii la analiză, o abordare practică și limbajul sec al formulelor și numerelor. Matematica nu poate fi clasificată ca materie umaniste. Dar fără creativitate nu vei ajunge departe în „regina tuturor științelor” - oamenii știu asta de mult timp. De pe vremea lui Pitagora, de exemplu.

Manualele școlare, din păcate, de obicei nu explică faptul că în matematică este important nu numai să înghesuim teoreme, axiome și formule. Este important să înțelegeți și să simțiți principiile sale fundamentale. Și, în același timp, încearcă să-ți eliberezi mintea de clișee și adevăruri elementare - numai în astfel de condiții se nasc toate marile descoperiri.

Astfel de descoperiri includ ceea ce cunoaștem astăzi ca teorema lui Pitagora. Cu ajutorul ei, vom încerca să arătăm că matematica nu numai că poate, dar ar trebui să fie incitantă. Și că această aventură este potrivită nu numai pentru tocilarii cu ochelari groși, ci pentru toți cei care sunt puternici la minte și puternici la spirit.

Din istoria problemei

Strict vorbind, deși teorema este numită „teorema lui Pitagora”, Pitagora însuși nu a descoperit-o. Triunghiul dreptunghic și proprietățile sale speciale au fost studiate cu mult înaintea lui. Există două puncte de vedere polare asupra acestei probleme. Potrivit unei versiuni, Pitagora a fost primul care a găsit o demonstrație completă a teoremei. Potrivit altuia, dovada nu aparține paternului lui Pitagora.

Astăzi nu mai poți verifica cine are dreptate și cine greșește. Ceea ce se știe este că dovada lui Pitagora, dacă a existat vreodată, nu a supraviețuit. Cu toate acestea, există sugestii că faimoasa dovadă din Elementele lui Euclid ar putea aparține lui Pitagora, iar Euclid a înregistrat-o doar.

De asemenea, se știe astăzi că problemele despre un triunghi dreptunghic se găsesc în sursele egiptene din vremea faraonului Amenemhat I, pe tăblițele de lut babiloniene din timpul domniei regelui Hammurabi, în vechiul tratat indian „Sulva Sutra” și în vechea lucrare chineză „ Zhou-bi suan jin”.

După cum puteți vedea, teorema lui Pitagora a ocupat mințile matematicienilor din cele mai vechi timpuri. Acest lucru este confirmat de aproximativ 367 de dovezi diferite care există astăzi. În acest sens, nicio altă teoremă nu poate concura cu ea. Printre autorii celebri de dovezi îi putem aminti pe Leonardo da Vinci și pe cel de-al XX-lea președinte american James Garfield. Toate acestea vorbesc despre importanța extremă a acestei teoreme pentru matematică: majoritatea teoremelor de geometrie sunt derivate din ea sau sunt într-un fel legate de ea.

Demonstrații ale teoremei lui Pitagora

Manualele școlare oferă în mare parte dovezi algebrice. Dar esența teoremei este în geometrie, așa că să luăm în considerare mai întâi acele dovezi ale celebrei teoreme care se bazează pe această știință.

Dovada 1

Pentru cea mai simplă demonstrație a teoremei lui Pitagora pentru un triunghi dreptunghic, trebuie să stabiliți condiții ideale: triunghiul să fie nu numai dreptunghic, ci și isoscel. Există motive să credem că tocmai acest tip de triunghi l-au considerat inițial matematicienii antici.

Afirmație „un pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor construite pe catetele sale” poate fi ilustrat cu următorul desen:

Priviți triunghiul dreptunghic isoscel ABC: pe ipotenuza AC, puteți construi un pătrat format din patru triunghiuri egale cu ABC inițial. Și pe laturile AB și BC este construit un pătrat, fiecare dintre ele conține două triunghiuri similare.

Apropo, acest desen a stat la baza numeroaselor glume și desene animate dedicate teoremei lui Pitagora. Cel mai faimos este probabil „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”:

Dovada 2

Această metodă combină algebra și geometria și poate fi considerată o variantă a vechii dovezi indiene a matematicianului Bhaskari.

Construiți un triunghi dreptunghic cu laturile a, b și c(Fig. 1). Apoi construiți două pătrate cu laturile egale cu suma lungimilor celor două picioare - (a+b). În fiecare dintre pătrate, faceți construcții ca în figurile 2 și 3.

În primul pătrat, construiți patru triunghiuri asemănătoare cu cele din Figura 1. Rezultă două pătrate: unul cu latura a, al doilea cu latura b.

În al doilea pătrat, patru triunghiuri similare construite formează un pătrat cu latura egală cu ipotenuza c.

Suma ariilor pătratelor construite din Fig. 2 este egală cu aria pătratului pe care l-am construit cu latura c în Fig. 3. Acest lucru poate fi verificat cu ușurință prin calcularea ariei pătratelor din Fig. 2 conform formulei. Și aria pătratului înscris în figura 3. scăzând ariile a patru triunghiuri dreptunghice egale înscrise în pătrat din aria unui pătrat mare cu o latură (a+b).

Notând toate acestea, avem: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Deschideți parantezele, efectuați toate calculele algebrice necesare și obțineți asta a 2 +b 2 = a 2 +b 2. În acest caz, zona înscrisă în Fig. 3. pătratul poate fi calculat și folosind formula tradițională S=c 2. Acestea. a 2 +b 2 =c 2– ai demonstrat teorema lui Pitagora.

Dovada 3

Dovada indiană antică în sine a fost descrisă în secolul al XII-lea în tratatul „Coroana Cunoașterii” („Siddhanta Shiromani”) și ca argument principal autorul folosește un apel adresat talentelor matematice și abilităților de observare ale studenților și adepților: „ Uite!"

Dar vom analiza această dovadă mai detaliat:

În interiorul pătratului, construiți patru triunghiuri dreptunghiulare așa cum este indicat în desen. Să notăm latura pătratului mare, cunoscută și sub denumirea de ipotenuză, Cu. Să numim catetele triunghiului AȘi b. Conform desenului, latura pătratului interior este (a-b).

Utilizați formula pentru aria unui pătrat S=c 2 pentru a calcula aria pătratului exterior. Și, în același timp, calculați aceeași valoare adunând aria pătratului interior și ariile tuturor celor patru triunghiuri dreptunghiulare: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Puteți folosi ambele opțiuni pentru a calcula suprafața unui pătrat pentru a vă asigura că dau același rezultat. Și asta îți dă dreptul să scrii asta c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Ca rezultat al soluției, veți primi formula teoremei lui Pitagora c 2 =a 2 +b 2. Teorema a fost demonstrată.

Dovada 4

Această curioasă dovadă chineză antică a fost numită „Scaunul miresei” - din cauza figurii asemănătoare unui scaun care rezultă din toate construcțiile:

Folosește desenul pe care l-am văzut deja în Fig. 3 în a doua demonstrație. Și pătratul interior cu latura c este construit în același mod ca în vechea demonstrație indiană dată mai sus.

Dacă tăiați mental două triunghiuri dreptunghiulare verzi din desenul din fig. 1, mutați-le în laturile opuse ale pătratului cu latura c și atașați ipotenuzele la ipotenuzele triunghiurilor liliac, veți obține o figură numită „scaunul miresei”. (Fig. 2). Pentru claritate, puteți face același lucru cu pătratele și triunghiurile din hârtie. Te vei asigura că „scaunul miresei” este format din două pătrate: mici cu o latură bși mare cu o latură A.

Aceste construcții au permis matematicienilor chinezi antici și nouă, urmându-le, să ajungem la concluzia că c 2 =a 2 +b 2.

Dovada 5

Aceasta este o altă modalitate de a găsi o soluție la teorema lui Pitagora folosind geometria. Se numește Metoda Garfield.

Construiți un triunghi dreptunghic ABC. Trebuie să dovedim asta BC 2 = AC 2 + AB 2.

Pentru a face acest lucru, continuați piciorul ACși construiți un segment CD, care este egal cu piciorul AB. Coborâți perpendiculara ANUNȚ segment de linie ED. Segmente EDȘi AC sunt egale. Uneste punctele EȘi ÎN, și EȘi CUși obțineți un desen ca în imaginea de mai jos:

Pentru a demonstra turnul, recurgem din nou la metoda pe care am încercat-o deja: găsim aria figurii rezultate în două moduri și echivalăm expresiile una cu cealaltă.

Găsiți aria unui poligon UN PAT se poate realiza prin însumarea ariilor celor trei triunghiuri care o formează. Și unul dintre ei, ERU, nu este doar dreptunghiular, ci și isoscel. Să nu uităm nici asta AB=CD, AC=EDȘi BC=SE– acest lucru ne va permite să simplificăm înregistrarea și să nu o supraîncărcăm. Asa de, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

În același timp, este evident că UN PAT- Acesta este un trapez. Prin urmare, calculăm aria sa folosind formula: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Pentru calculele noastre, este mai convenabil și mai clar să reprezentăm segmentul ANUNȚ ca sumă de segmente ACȘi CD.

Să notăm ambele moduri de a calcula aria unei figuri, punând un semn egal între ele: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Folosim egalitatea segmentelor deja cunoscută nouă și descrisă mai sus pentru a simplifica partea dreaptă a notației: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Acum să deschidem parantezele și să transformăm egalitatea: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. După ce am finalizat toate transformările, obținem exact ceea ce ne trebuie: BC 2 = AC 2 + AB 2. Am demonstrat teorema.

Desigur, această listă de dovezi este departe de a fi completă. Teorema lui Pitagora poate fi demonstrată și folosind vectori, numere complexe, ecuații diferențiale, stereometrie etc. Și chiar și fizicienii: dacă, de exemplu, lichidul este turnat în volume pătrate și triunghiulare similare cu cele prezentate în desene. Turnând lichid, puteți demonstra egalitatea suprafețelor și ca rezultat teorema în sine.

Câteva cuvinte despre tripleții pitagoreici

Această problemă este puțin sau deloc studiată în programa școlară. Între timp, el este foarte interesant și are mare importanțăîn geometrie. Triplele pitagoreene sunt folosite pentru a rezolva multe probleme matematice. Înțelegerea acestora vă poate fi utilă în educația ulterioară.

Deci, ce sunt tripleții pitagoreici? Acesta este numele numerelor naturale colectate în grupuri de trei, dintre care suma pătratelor a două este egală cu al treilea număr la pătrat.

Triplele pitagorice pot fi:

• primitive (toate cele trei numere sunt relativ prime);
• nu primitiv (dacă fiecare număr al unui triplu este înmulțit cu același număr, obțineți un nou triplu, care nu este primitiv).

Chiar înainte de epoca noastră, egiptenii antici erau fascinați de mania pentru numerele de tripleți pitagoreici: în probleme considerau un triunghi dreptunghic cu laturile de 3, 4 și 5 unități. Apropo, orice triunghi ale cărui laturi sunt egale cu numerele din triplul lui Pitagora este implicit dreptunghiular.

Exemple de tripleți pitagoreici: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50), etc.

Aplicarea practică a teoremei

Teorema lui Pitagora este folosită nu numai în matematică, ci și în arhitectură și construcții, astronomie și chiar literatură.

În primul rând, despre construcție: teorema lui Pitagora este utilizată pe scară largă în probleme de diferite niveluri de complexitate. De exemplu, uitați-vă la o fereastră romanică:

Să notăm lățimea ferestrei ca b, atunci raza semicercului major poate fi notată ca Rși exprimați prin b: R=b/2. Raza semicercurilor mai mici poate fi exprimată și prin b: r=b/4. În această problemă ne interesează raza cercului interior al ferestrei (să-i spunem p).

Teorema lui Pitagora este doar utilă de calculat R. Pentru a face acest lucru, folosim un triunghi dreptunghic, care este indicat de o linie punctată în figură. Ipotenuza unui triunghi este formată din două raze: b/4+p. Un picior reprezintă raza b/4, o alta b/2-p. Folosind teorema lui Pitagora, scriem: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Apoi, deschidem parantezele și obținem b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Să transformăm această expresie în bp/2=b2/4-bp. Și apoi împărțim toți termenii la b, va prezentam altele asemanatoare pentru a obtine 3/2*p=b/4. Și până la urmă găsim asta p=b/6- care este ceea ce aveam nevoie.

Folosind teorema, puteți calcula lungimea căpriorii pt acoperiș în fronton. Determinați cât de înalt este necesar un turn de comunicații mobile pentru ca semnalul să ajungă într-o anumită zonă populată. Și chiar instalați în mod constant Brad de Crăciun pe piata orasului. După cum puteți vedea, această teoremă trăiește nu numai pe paginile manualelor, ci este adesea utilă în viața reală.

În literatură, teorema lui Pitagora a inspirat scriitori încă din antichitate și continuă să o facă și în timpul nostru. De exemplu, scriitorul german din secolul al XIX-lea Adelbert von Chamisso a fost inspirat să scrie un sonet:

Lumina adevărului nu se va risipi curând,
Dar, după ce a strălucit, este puțin probabil să se risipească
Și, ca acum mii de ani,
Nu va provoca îndoieli sau controverse.

Cel mai înțelept când îți atinge privirea
Lumină a adevărului, mulțumesc zeilor;
Și o sută de tauri, sacrificați, mint -
Un cadou de întoarcere de la norocosul Pitagora.

De atunci taurii au urlă disperați:
A alarmat pentru totdeauna tribul taurului
Evenimentul menționat aici.

Li se pare că timpul este pe cale să vină,
Și vor fi sacrificați din nou
O teoremă grozavă.

(traducere de Viktor Toporov)

Și în secolul al XX-lea, scriitorul sovietic Evgeny Veltistov, în cartea sa „Aventurile electronice”, a dedicat un întreg capitol dovezilor teoremei lui Pitagora. Și încă o jumătate de capitol la povestea despre lumea bidimensională care ar putea exista dacă teorema lui Pitagora ar deveni o lege fundamentală și chiar o religie pentru o singură lume. A trăi acolo ar fi mult mai ușor, dar și mult mai plictisitor: de exemplu, nimeni acolo nu înțelege sensul cuvintelor „rotund” și „pufos”.

Și în cartea „The Adventures of Electronics”, autorul, prin gura profesorului de matematică Taratar, spune: „Principalul lucru în matematică este mișcarea gândirii, ideile noi”. Tocmai acest zbor creator de gândire dă naștere teoremei lui Pitagora - nu degeaba are atât de multe dovezi variate. Te ajută să depășești granițele familiarului și să privești lucrurile familiare într-un mod nou.

Concluzie

Acest articol a fost creat astfel încât să puteți privi dincolo de programa școlară în matematică și să învățați nu numai acele dovezi ale teoremei lui Pitagora care sunt date în manualele „Geometrie 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) și „Geometrie 7” - 11” (A.V. Pogorelov), dar și alte moduri interesante de a demonstra celebra teoremă. Și vedeți, de asemenea, exemple despre cum poate fi aplicată teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi.

În primul rând, aceste informații vă vor permite să vă calificați pentru scoruri mai mari la lecțiile de matematică - informațiile despre subiect din surse suplimentare sunt întotdeauna foarte apreciate.

În al doilea rând, am vrut să vă ajutăm să simțiți cât de interesantă este matematica. Confirmați cu exemple specifice că există întotdeauna loc pentru creativitate. Sperăm că teorema lui Pitagora și acest articol vă vor inspira să explorați în mod independent și să faceți descoperiri interesante în matematică și alte științe.

Spune-ne în comentarii dacă ai găsit interesante dovezile prezentate în articol. Ți s-au părut utile aceste informații în studiile tale? Scrie-ne ce părere ai despre teorema lui Pitagora și despre acest articol - vom fi bucuroși să discutăm despre toate acestea cu tine.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Un lucru de care poți fi sută la sută sigur este că, atunci când este întrebat care este pătratul ipotenuzei, orice adult va răspunde cu îndrăzneală: „Suma pătratelor picioarelor”. Această teoremă este ferm înrădăcinată în mintea fiecărei persoane educate, dar trebuie doar să ceri pe cineva să o demonstreze și pot apărea dificultăți. Deci să ne amintim și să luăm în considerare căi diferite demonstrarea teoremei lui Pitagora.

Scurtă biografie

Teorema lui Pitagora este familiară aproape tuturor, dar din anumite motive biografia persoanei care a adus-o pe lume nu este atât de populară. Acest lucru poate fi reparat. Prin urmare, înainte de a explora diferitele modalități de a demonstra teorema lui Pitagora, trebuie să îi cunoașteți pe scurt personalitatea.

Pitagora - filozof, matematician, gânditor originar din Astăzi este foarte greu să-i deosebești biografia de legendele care s-au dezvoltat în memoria acestui mare om. Dar, după cum rezultă din lucrările adepților săi, Pitagora din Samos s-a născut pe insula Samos. Tatăl său era un tăietor de pietre obișnuit, dar mama lui provenea dintr-o familie nobilă.

Judecând după legendă, nașterea lui Pitagora a fost prezisă de o femeie pe nume Pythia, în cinstea căreia băiatul a fost numit. Conform predicției ei, băiatul născut trebuia să aducă multe beneficii și bine omenirii. Ceea ce a făcut exact.

Nașterea teoremei

În tinerețe, Pitagora s-a mutat în Egipt pentru a se întâlni acolo cu faimoși înțelepți egipteni. După întâlnirea cu ei, i s-a permis să studieze, unde a învățat toate marile realizări ale filozofiei, matematicii și medicinei egiptene.

Probabil că în Egipt, Pitagora s-a inspirat din măreția și frumusețea piramidelor și a creat marea sa teorie. Acest lucru poate șoca cititorii, dar istoricii moderni cred că Pitagora nu și-a dovedit teoria. Dar el a transmis cunoștințele sale doar adepților săi, care ulterior au finalizat toate calculele matematice necesare.

Oricum ar fi, astăzi nu se cunoaște o metodă de demonstrare a acestei teoreme, ci mai multe deodată. Astăzi putem doar ghici cum exact grecii antici și-au efectuat calculele, așa că aici vom analiza diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora.

teorema lui Pitagora

Înainte de a începe orice calcul, trebuie să vă dați seama ce teorie doriți să demonstrați. Teorema lui Pitagora spune astfel: „Într-un triunghi în care unul dintre unghiuri este de 90°, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.”

Există un total de 15 moduri diferite de a demonstra teorema lui Pitagora. Acesta este un număr destul de mare, așa că vom acorda atenție celor mai populare dintre ele.

Metoda unu

Mai întâi, să definim ce ni s-a dat. Aceste date se vor aplica și altor metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora, așa că merită să ne amintim imediat toate notațiile disponibile.

Să presupunem că ni se dă un triunghi dreptunghic cu catetele a, b și o ipotenuză egală cu c. Prima metodă de demonstrare se bazează pe faptul că trebuie să desenați un pătrat dintr-un triunghi dreptunghic.

Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați un segment egal cu piciorul b la piciorul de lungime a și invers. Acest lucru ar trebui să rezulte în două laturi egale ale pătratului. Tot ce rămâne este să desenezi două linii paralele, iar pătratul este gata.

În interiorul figurii rezultate, trebuie să desenați un alt pătrat cu o latură egală cu ipotenuza triunghiului original. Pentru a face acest lucru, din vârfurile ас și св trebuie să desenați două segmente paralele egale cu с. Astfel, obținem trei laturi ale pătratului, dintre care una este ipotenuza triunghiului dreptunghic inițial. Tot ce rămâne este să desenăm al patrulea segment.

Pe baza cifrei rezultate, putem concluziona că aria pătratului exterior este (a + b) 2. Dacă te uiți în interiorul figurii, poți vedea că, pe lângă pătratul interior, există patru triunghiuri dreptunghiulare. Suprafața fiecăruia este de 0,5 av.

Prin urmare, aria este egală cu: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Prin urmare (a+c) 2 =2ab+c 2

Și, prin urmare, c 2 =a 2 +b 2

Teorema a fost demonstrată.

Metoda a doua: triunghiuri similare

Această formulă pentru demonstrarea teoremei lui Pitagora a fost derivată pe baza unei afirmații din secțiunea de geometrie despre triunghiuri asemănătoare. Afirmă că catetul unui triunghi dreptunghic este media proporțională cu ipotenuza sa și cu segmentul ipotenuzei care provine din vârful unghiului de 90°.

Datele inițiale rămân aceleași, așa că să începem imediat cu dovada. Să desenăm un segment CD perpendicular pe latura AB. Pe baza afirmației de mai sus, laturile triunghiurilor sunt egale:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Pentru a răspunde la întrebarea cum să demonstrăm teorema lui Pitagora, demonstrația trebuie completată prin pătrarea ambelor inegalități.

AC 2 = AB * AD și CB 2 = AB * DV

Acum trebuie să adunăm inegalitățile rezultate.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), unde AD + DV = AB

Se pare că:

AC2 + CB2 =AB*AB

Prin urmare:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Demonstrarea teoremei lui Pitagora și diferite căi soluțiile sale necesită o abordare cu mai multe fațete a acestei probleme. Cu toate acestea, această opțiune este una dintre cele mai simple.

O altă metodă de calcul

Descrierile diferitelor metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora pot să nu însemne nimic până când nu începeți să exersați pe cont propriu. Multe tehnici implică nu numai calcule matematice, ci și construcția de noi figuri din triunghiul original.

În acest caz, este necesar să completați un alt triunghi dreptunghic VSD din latura BC. Astfel, acum există două triunghiuri cu catetă comună BC.

Știind că ariile figurilor similare au un raport ca pătratele dimensiunilor lor liniare similare, atunci:

S avs * c 2 - S avd * în 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(de la 2 - la 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

de la 2 - la 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Deoarece dintre diferitele metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora pentru clasa a 8-a, această opțiune nu este potrivită, puteți utiliza următoarea metodă.

Cel mai simplu mod de a demonstra teorema lui Pitagora. Recenzii

Potrivit istoricilor, această metodă a fost folosită pentru prima dată pentru a demonstra teorema din nou Grecia antică. Este cel mai simplu, deoarece nu necesită absolut niciun calcul. Dacă desenați corect imaginea, atunci dovada afirmației că a 2 + b 2 = c 2 va fi clar vizibilă.

Condițiile pentru această metodă vor fi ușor diferite de cea anterioară. Pentru a demonstra teorema, presupunem că triunghiul dreptunghic ABC este isoscel.

Luăm ipotenuza AC ca latură a pătratului și desenăm cele trei laturi ale acestuia. În plus, este necesar să desenați două linii diagonale în pătratul rezultat. Astfel încât în ​​interiorul ei să obții patru triunghiuri isoscele.

De asemenea, trebuie să desenați un pătrat la picioarele AB și CB și să desenați o linie dreaptă diagonală în fiecare dintre ele. Desenăm prima linie de la vârful A, a doua de la C.

Acum trebuie să vă uitați cu atenție la desenul rezultat. Deoarece pe ipotenuza AC sunt patru triunghiuri egale cu cel inițial, iar pe laturi sunt două, acest lucru indică veridicitatea acestei teoreme.

Apropo, datorită acestei metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora, s-a născut celebra frază: „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”.

Dovada de J. Garfield

James Garfield este al douăzecilea președinte al Statelor Unite ale Americii. Pe lângă faptul că și-a pus amprenta asupra istoriei ca conducător al Statelor Unite, a fost și un autodidact talentat.

La începutul carierei a fost un profesor obișnuit într-o școală publică, dar în curând a devenit directorul uneia dintre cele mai înalte institutii de invatamant. Dorința de auto-dezvoltare i-a permis să propună o nouă teorie pentru demonstrarea teoremei lui Pitagora. Teorema și un exemplu de soluție sunt după cum urmează.

Mai întâi trebuie să desenați două triunghiuri dreptunghiulare pe o bucată de hârtie, astfel încât piciorul unuia dintre ele să fie o continuare a celui de-al doilea. Vârfurile acestor triunghiuri trebuie să fie conectate pentru a forma în cele din urmă un trapez.

După cum știți, aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor sale și înălțimea sa.

S=a+b/2 * (a+b)

Dacă luăm în considerare trapezul rezultat ca o figură formată din trei triunghiuri, atunci aria sa poate fi găsită după cum urmează:

S=av/2 *2 + s2/2

Acum trebuie să egalăm cele două expresii originale

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

S-ar putea scrie mai mult de un volum despre teorema lui Pitagora și despre metodele de demonstrare a acesteia. ajutor didactic. Dar există vreun moment în care aceste cunoștințe nu pot fi aplicate în practică?

Aplicarea practică a teoremei lui Pitagora

Din păcate, în modern programe scolare Această teoremă este destinată a fi utilizată numai în probleme geometrice. Absolvenții vor părăsi în curând școala fără să știe cum își pot aplica cunoștințele și abilitățile în practică.

De fapt, oricine poate folosi teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi. Și nu numai în activitate profesională, dar și în treburile casnice obișnuite. Să luăm în considerare câteva cazuri în care teorema lui Pitagora și metodele de demonstrare a acesteia pot fi extrem de necesare.

Relația dintre teoremă și astronomie

S-ar părea că stelele și triunghiurile de pe hârtie pot fi conectate. De fapt, astronomia este un domeniu științific în care teorema lui Pitagora este utilizată pe scară largă.

De exemplu, luați în considerare mișcarea unui fascicul de lumină în spațiu. Se știe că lumina se mișcă în ambele direcții cu aceeași viteză. Să numim traiectoria AB de-a lungul căreia se mișcă raza de lumină l. Și să numim jumătate din timpul necesar luminii pentru a ajunge din punctul A în punctul B t. Și viteza fasciculului - c. Se pare că: c*t=l

Dacă te uiți la aceeași rază dintr-un alt plan, de exemplu, dintr-o linie spațială care se mișcă cu viteza v, atunci când observăm corpurile în acest fel, viteza lor se va schimba. În acest caz, chiar și elementele staționare vor începe să se miște cu viteza v în direcția opusă.

Să presupunem că linia de benzi desenate navighează spre dreapta. Apoi punctele A și B, între care fasciculul se repezi, vor începe să se miște spre stânga. Mai mult, atunci când fasciculul se deplasează din punctul A în punctul B, punctul A are timp să se miște și, în consecință, lumina va ajunge deja într-un nou punct C. Pentru a găsi jumătate din distanța cu care punctul A s-a deplasat, trebuie să înmulțiți viteza căptușelii cu jumătate din timpul de călătorie al fasciculului (t ").

Și pentru a afla cât de departe ar putea călători o rază de lumină în acest timp, trebuie să marcați jumătatea drumului cu o nouă literă s și să obțineți următoarea expresie:

Dacă ne imaginăm că punctele de lumină C și B, precum și linia spațială, sunt vârfurile unui triunghi isoscel, atunci segmentul de la punctul A la căptușeală îl va împărți în două triunghiuri dreptunghiulare. Prin urmare, datorită teoremei lui Pitagora, puteți afla distanța pe care o poate parcurge o rază de lumină.

Acest exemplu, desigur, nu este cel mai de succes, deoarece doar câțiva pot avea norocul să-l încerce în practică. Prin urmare, să luăm în considerare aplicații mai banale ale acestei teoreme.

Raza de transmisie a semnalului mobil

Viața modernă nu mai poate fi imaginată fără existența smartphone-urilor. Dar cât de mult le-ar folosi dacă nu ar putea conecta abonații prin comunicații mobile?!

Calitatea comunicațiilor mobile depinde direct de înălțimea la care se află antena operatorului de telefonie mobilă. Pentru a calcula cât de departe de un turn mobil un telefon poate primi un semnal, puteți aplica teorema lui Pitagora.

Să presupunem că trebuie să găsiți înălțimea aproximativă a unui turn staționar, astfel încât să poată distribui un semnal pe o rază de 200 de kilometri.

AB (înălțimea turnului) = x;

BC (raza transmisiei semnalului) = 200 km;

OS (raza globului) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Aplicând teorema lui Pitagora, aflăm că înălțimea minimă a turnului ar trebui să fie de 2,3 kilometri.

Teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi

În mod ciudat, teorema lui Pitagora poate fi utilă chiar și în chestiuni de zi cu zi, cum ar fi determinarea înălțimii unui dulap, de exemplu. La prima vedere, nu este nevoie să folosiți astfel de calcule complexe, deoarece puteți efectua pur și simplu măsurători folosind o bandă de măsurare. Dar mulți oameni se întreabă de ce apar anumite probleme în timpul procesului de asamblare dacă toate măsurătorile au fost luate mai mult decât corect.

Faptul este că dulapul este asamblat în poziție orizontală și abia apoi ridicat și instalat pe perete. Prin urmare, în timpul procesului de ridicare a structurii, partea laterală a dulapului trebuie să se miște liber atât de-a lungul înălțimii, cât și în diagonală a încăperii.

Să presupunem că există un dulap cu o adâncime de 800 mm. Distanța de la podea la tavan - 2600 mm. Un producător de mobilier cu experiență va spune că înălțimea dulapului ar trebui să fie cu 126 mm mai mică decât înălțimea camerei. Dar de ce exact 126 mm? Să ne uităm la un exemplu.

Cu dimensiunile ideale ale cabinetului, să verificăm funcționarea teoremei lui Pitagora:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - totul se potrivește.

Să presupunem că înălțimea dulapului nu este de 2474 mm, ci de 2505 mm. Apoi:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Prin urmare, acest dulap nu este potrivit pentru instalarea în această cameră. Pentru că ridicarea acestuia într-o poziție verticală poate provoca deteriorarea corpului.

Poate, având în vedere diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora de către diferiți oameni de știință, putem concluziona că este mai mult decât adevărată. Acum puteți folosi informațiile primite în viața de zi cu zi și puteți fi complet încrezător că toate calculele vor fi nu numai utile, ci și corecte.

teorema lui Pitagora: Suma suprafețelor pătratelor care se sprijină pe picioare ( AȘi b), egal cu aria pătratului construit pe ipotenuză ( c).

Formulare geometrică:

Teorema a fost formulată inițial după cum urmează:

Formulare algebrică:

Adică notând lungimea ipotenuzei triunghiului cu c, iar lungimile picioarelor prin AȘi b :

A 2 + b 2 = c 2

Ambele formulări ale teoremei sunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară; nu necesită conceptul de zonă. Adică, a doua afirmație poate fi verificată fără a ști nimic despre zonă și măsurând doar lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

Teorema inversă a lui Pitagora:

Dovada

În prezent, 367 de dovezi ale acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Probabil, teorema lui Pitagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de demonstrații. O astfel de diversitate poate fi explicată doar prin semnificația fundamentală a teoremei pentru geometrie.

Desigur, conceptual toate pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cele mai cunoscute dintre ele: dovezi prin metoda zonei, dovezi axiomatice și exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).

Prin triunghiuri asemănătoare

Următoarea demonstrație a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezi, construită direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a unei figuri.

Lăsa ABC există un triunghi dreptunghic cu un unghi drept C. Să tragem înălțimea de la Cși notează-i baza prin H. Triunghi ACH asemănător cu un triunghi ABC la două colţuri. La fel, triunghiul CBH asemănătoare ABC. Prin introducerea notaţiei

primim

Ce este echivalent

Adunând totul, obținem

Dovezi folosind metoda zonei

Dovezile de mai jos, în ciuda aparentei lor simplități, nu sunt deloc atât de simple. Toate folosesc proprietăți ale ariei, a căror demonstrație este mai complexă decât demonstrarea teoremei lui Pitagora în sine.

Dovada prin echicomplementare

1. Să aranjam patru triunghiuri dreptunghiulare egale, așa cum se arată în figura 1.
2. Patraunghi cu laturi c este un pătrat, deoarece suma a două unghiuri ascuțite este de 90°, iar unghiul drept este de 180°.
3. Aria întregii figuri este egală, pe de o parte, cu aria unui pătrat cu latura (a + b), iar pe de altă parte, cu suma ariilor a patru triunghiuri și două interne. pătrate.

Q.E.D.

Dovezi prin echivalență

Dovadă elegantă folosind permutarea

Un exemplu de astfel de demonstrație este prezentat în desenul din dreapta, unde un pătrat construit pe ipotenuză este rearanjat în două pătrate construite pe catete.

Dovada lui Euclid

Desen pentru demonstrația lui Euclid

Ilustrație pentru demonstrația lui Euclid

Ideea demonstrației lui Euclid este următoarea: să încercăm să demonstrăm că jumătate din aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma jumătăților ariilor pătratelor construite pe catete și apoi ariile lui pătratele mari și cele două pătrate mici sunt egale.

Să ne uităm la desenul din stânga. Pe el am construit pătrate pe laturile unui triunghi dreptunghic și am desenat o rază s de la vârful unghiului drept C perpendicular pe ipotenuza AB, ea taie pătratul ABIK, construit pe ipotenuză, în două dreptunghiuri - BHJI și HAKJ, respectiv. Se pare că ariile acestor dreptunghiuri sunt exact egale cu ariile pătratelor construite pe picioarele corespunzătoare.

Să încercăm să demonstrăm că aria pătratului DECA este egală cu aria dreptunghiului AHJK. Pentru a face acest lucru, vom folosi o observație auxiliară: aria unui triunghi cu aceeași înălțime și bază ca dreptunghiul dat este egal cu jumătate din aria dreptunghiului dat. Aceasta este o consecință a definirii ariei unui triunghi ca jumătate din produsul bazei și înălțimii. Din această observație rezultă că aria triunghiului ACK este egală cu aria triunghiului AHK (neprezentată în figură), care, la rândul său, este egală cu jumătate din aria dreptunghiului AHJK.

Să demonstrăm acum că aria triunghiului ACK este, de asemenea, egală cu jumătate din aria pătratului DECA. Singurul lucru care trebuie făcut pentru aceasta este să demonstrați egalitatea triunghiurilor ACK și BDA (deoarece aria triunghiului BDA este egală cu jumătate din aria pătratului conform proprietății de mai sus). Egalitatea este evidentă, triunghiurile sunt egale pe ambele părți și unghiul dintre ele. Și anume - AB=AK,AD=AC - egalitatea unghiurilor CAK și BAD este ușor de demonstrat prin metoda mișcării: rotim triunghiul CAK cu 90° în sens invers acelor de ceasornic, atunci este evident că laturile corespunzătoare ale celor două triunghiuri din întrebarea va coincide (datorită faptului că unghiul la vârful pătratului este de 90°).

Raționamentul pentru egalitatea ariilor pătratului BCFG și dreptunghiului BHJI este complet similar.

Astfel, am demonstrat că aria unui pătrat construit pe ipotenuză este compusă din ariile pătratelor construite pe catete. Ideea din spatele acestei dovezi este ilustrată în continuare de animația de mai sus.

Dovada lui Leonardo da Vinci

Dovada lui Leonardo da Vinci

Elementele principale ale demonstrației sunt simetria și mișcarea.

Să considerăm desenul, după cum se vede din simetrie, un segment Ceu taie pătratul ABHJ în două părți identice (deoarece triunghiuri ABCȘi JHeu egale în construcţie). Folosind o rotație de 90 de grade în sens invers acelor de ceasornic, vedem egalitatea figurilor umbrite CAJeu Și GDAB . Acum este clar că aria figurii pe care am umbrit-o este egală cu suma a jumătate din suprafețele pătratelor construite pe picioare și aria triunghiului original. Pe de altă parte, este egal cu jumătate din aria pătratului construit pe ipotenuză, plus aria triunghiului original. Ultimul pas în demonstrație este lăsat cititorului.

Dovada prin metoda infinitezimală

Următoarea demonstrație folosind ecuații diferențiale este adesea atribuită celebrului matematician englez Hardy, care a trăit în prima jumătate a secolului al XX-lea.

Privind desenul prezentat în figură și observând schimbarea laturii A, putem scrie următoarea relație pentru incremente infinitezimale CuȘi A(folosind asemănarea triunghiului):

Dovada prin metoda infinitezimală

Folosind metoda separării variabilelor, găsim

Mai mult expresie generală pentru a schimba ipotenuza în cazul creșterilor ambelor catete

Integrând această ecuație și folosind condițiile inițiale, obținem

c 2 = A 2 + b 2 + constantă.

Astfel ajungem la răspunsul dorit

c 2 = A 2 + b 2 .

După cum este ușor de observat, dependența pătratică în formula finală apare datorită proporționalității liniare dintre laturile triunghiului și incremente, în timp ce suma este asociată cu contribuții independente din incrementul diferitelor catete.

O dovadă mai simplă poate fi obținută dacă presupunem că unul dintre picioare nu experimentează o creștere (în acest caz, piciorul b). Atunci pentru constanta de integrare obținem

Variații și generalizări

• Dacă în loc de pătrate construim alte figuri similare pe laturi, atunci următoarea generalizare a teoremei lui Pitagora este adevărată: Într-un triunghi dreptunghic, suma ariilor figurilor similare construite pe laturi este egală cu aria figurii construite pe ipotenuză.În special:
  • Suma ariilor triunghiurilor regulate construite pe catete este egală cu aria unui triunghi regulat construit pe ipotenuză.
  • Suma ariilor semicercurilor construite pe picioare (ca și pe diametru) este egală cu aria semicercurilor construite pe ipotenuză. Acest exemplu este folosit pentru a demonstra proprietățile figurilor mărginite de arcele a două cercuri și numite lunule hipocratice.

Poveste

Chu-pei 500–200 î.Hr. În stânga este inscripția: suma pătratelor lungimilor înălțimii și bazei este pătratul lungimii ipotenuzei.

Cartea antică chineză Chu-pei vorbește despre un triunghi pitagoreic cu laturile 3, 4 și 5: Aceeași carte oferă un desen care coincide cu unul dintre desenele geometriei hinduse a lui Bashara.

Cantor (cel mai mare istoric german al matematicii) crede că egalitatea 3² + 4² = 5² era deja cunoscută egiptenilor în jurul anului 2300 î.Hr. e., pe vremea regelui Amenemhat I (conform papirusului 6619 al Muzeului din Berlin). Potrivit lui Cantor, harpedonapții, sau „trăgătorii de frânghii”, construiau unghiuri drepte folosind triunghiuri dreptunghiulare cu laturile de 3, 4 și 5.

Este foarte ușor să reproduci metoda lor de construcție. Să luăm o frânghie de 12 m lungime și să legăm de ea o bandă colorată la o distanță de 3 m. de la un capăt și la 4 metri de celălalt. Unghiul drept va fi închis între laturile de 3 și 4 metri lungime. S-ar putea obiecta harpedonaptienilor că metoda lor de construcție devine de prisos dacă se folosește, de exemplu, un pătrat de lemn, care este folosit de toți dulgherii. Într-adevăr, se cunosc desene egiptene în care se găsește un astfel de instrument, de exemplu, desene înfățișând atelierul unui tâmplar.

Se cunosc ceva mai multe despre teorema lui Pitagora la babilonieni. Într-un text datând din vremea lui Hammurabi, adică din anul 2000 î.Hr. e., se dă un calcul aproximativ al ipotenuzei unui triunghi dreptunghic. Din aceasta putem concluziona că în Mesopotamia au fost capabili să efectueze calcule cu triunghiuri dreptunghiulare, cel puțin în unele cazuri. Bazându-se, pe de o parte, pe nivelul actual de cunoștințe despre matematica egipteană și babiloniană, iar pe de altă parte, pe un studiu critic al surselor grecești, Van der Waerden (matematician olandez) a ajuns la următoarea concluzie:

Literatură

In rusa

• Skopets Z. A. Miniaturi geometrice. M., 1990
• Elensky Shch. Pe urmele lui Pitagora. M., 1961
• Van der Waerden B.L. Trezirea Științei. Matematica Egiptului Antic, Babilonului și Greciei. M., 1959
• Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. M., 1982
• W. Litzman, „Teorema lui Pitagora” M., 1960.
  • Un site despre teorema lui Pitagora cu un număr mare de dovezi, material preluat din cartea lui V. Litzmann, un număr mare de desene sunt prezentate sub formă de fișiere grafice separate.
• Teorema lui Pitagora și capitolul triplelor lui Pitagora din cartea lui D. V. Anosov „O privire asupra matematicii și ceva din ea”
• Despre teorema lui Pitagora și metodele de demonstrare a acesteia G. Glaser, academician al Academiei Ruse de Educație, Moscova

În limba engleză

• Teorema lui Pitagora la WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, secțiune despre teorema lui Pitagora, aproximativ 70 de dovezi și informații suplimentare extinse (engleză)

Fundația Wikimedia. 2010.

Introducere

Este dificil să găsești o persoană care să nu asocieze numele lui Pitagora cu teorema sa. Poate chiar și cei care și-au luat rămas bun de la matematică pentru totdeauna în viața lor păstrează amintiri despre „pantaloni pitagoreici” - un pătrat pe ipotenuză, egal ca dimensiune cu două pătrate pe laturi.

Motivul pentru popularitatea teoremei lui Pitagora este triun: ea

simplitate - frumusețe - semnificație. Într-adevăr, teorema lui Pitagora este simplă, dar nu evidentă. Aceasta este o combinație a două contradictorii

a început să-i dea o forță de atracție deosebită, o face frumoasă.

În plus, teorema lui Pitagora este de mare importanță: este folosită în geometrie literalmente la fiecare pas, iar faptul că există aproximativ 500 de dovezi diferite ale acestei teoreme (geometrice, algebrice, mecanice etc.) mărturisește numărul gigantic de implementările sale specifice .

În manualele moderne, teorema este formulată după cum urmează: „Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.”

Pe vremea lui Pitagora, suna așa: „Demonstrați că un pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor construite pe picioarele sale” sau „Aria unui pătrat construit pe ipotenuză a unui triunghi dreptunghic este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe picioarele sale.”

Teluri si obiective

Scopul principal al lucrării a fost să arateimportanța teoremei lui Pitagora în dezvoltarea științei și tehnologiei multorațări și popoare ale lumii, precum și în cele mai simple și interesanteformă pentru a preda conținutul teoremei.

Metoda principală folosită în lucrare esteeste o metodă de organizare și prelucrare a datelor.

Atragerea tehnologia de informație, diversematerial zili cu diverse ilustrații colorate.

„VERSE DE AUR” ALE PITAGORUS

Fii corect atât în ​​cuvintele tale, cât și în acțiunile tale... Pitagora (c. 570-c. 500 î.Hr.)

Filosof și matematician grec anticdezvoltat cu învăţătura sa despre armonia cosmică şitransmigrarea sufletelor. Tradiția îl creditează pe Pitagora pentru că a demonstrat teorema care îi poartă numele. Mult înÎnvățăturile lui Platon se întorc la Pitagora și succesorii săi tel.

Nu au mai rămas documente scrise despre Pitagora din Samos, fiul lui Mnesarchus, iar din dovezile ulterioare este dificil de reconstruit imaginea adevărată a vieții și realizărilor sale.(Enciclopedia electronică:SteaLume) Se știe că Pitagora și-a părăsit insula natală, Samos, în Marea Egee, la malguvernatorul Asiei Mici în semn de protest împotriva tiraniei domnitorului și deja la maturitatevârsta (conform legendei, 40 de ani) a apărut în orașul grecesc Crotone din sudul Italiei. Pitagora și adepții săi - pitagoreicii - au format o alianță secretă care a jucat un rol semnificativ în viața coloniilor grecești din Ita.Lii. Pitagoreii s-au recunoscut unul pe altul după un pentagon în formă de stea - o pentagramă. Dar Pitagora a trebuit să se retragă la Metapontum, unde eldecedat. Mai târziu, în a doua jumătateVî.Hr e., ordinul lui a fost distrus.

Învățăturile lui Pitagora au fost foarte influențate de filozofie și religiegia a Estului. A călătorit mult în țările din Orient: a fost înEgipt și Babilon. Acolo Pitagora a întâlnit și matematica orientală tikoy.

Pitagorei credeau că secretele erau ascunse în modele numerice.în lume. Lumea numerelor a trăit o viață specială pentru pitagora; numerele au avutpropriul său sens special de viață. numere, egal cu suma divizorii lor erau percepuți ca perfecti (6, 28, 496, 8128); prietenosperechi de numere numite, fiecare dintre acestea fiind egal cu suma divizorilor celuilaltgogo (de exemplu, 220 și 284). Pitagora a fost primul care a împărțit numerele în pare șiimpare, prime și compuse, a introdus conceptul de numere figurate. În a luiȘcoala a examinat în detaliu tripletele pitagoreene ale numerelor naturale, în care pătratul unuia era egal cu suma pătratelor celorlalte două (ultima teoremă a lui Fermat).

Lui Pitagora i se atribuie faptul că a spus: „Totul este un număr”. La numere(și se referea doar la numere naturale) voia să aducă lumea întreagă împreună șimatematica in special. Dar chiar în școala lui Pitagora s-a făcut o descoperire care a încălcat această armonie. S-a dovedit că rădăcina lui 2 nu esteeste un număr rațional, adică nu poate fi exprimat în termeni de numere naturale numere.

Desigur, geometria lui Pitagora a fost subordonată aritmeticii.Acest lucru s-a manifestat clar în teorema care îi poartă numele și a devenit mai târziubaza de aplicare metode numerice geometrie. (Mai târziu, Euclid a adus din nou geometria în prim-plan, subordonându-i algebra.) Aparent, pitagoreicii cunoșteau solidele corecte: tetraedrul, cubul și dodecaedrul.

Lui Pitagora i se atribuie introducerea sistematică a demonstrațiilor în geometrie, crearea planimetriei figurilor rectilinii, doctrina lui bii.

Numele lui Pitagora este asociat cu doctrina proporțiilor aritmetice, geometrice și armonice.

Trebuie remarcat faptul că Pitagora considera că Pământul este o minge în mișcareîn jurul soarelui. Când înXVIsecolul biserica a început să fie persecutată aprigDacă luăm învăţătura lui Copernic, această învăţătură a fost numită cu încăpăţânare pitagoreică.(Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician: E-68. A. P. Savin.- M.: Pedagogie, 1989, p. 28.)

Unele concepte fundamentale aparțin, fără îndoialălui Pitagora însuși. Primul- ideea de spațiu ca matematicăun întreg ordonat tic. Pitagora a venit la el după ce a descoperit că intervalele armonice fundamentale, adică octava, quinta perfectă și patra perfectă, apar atunci când lungimile corzilor care vibrează sunt legate ca 2:1, 3:2 și 4:3 (legenda spune că descoperirea a fost făcută cândPitagora a trecut pe lângă o forjă: nicovale cu mase diferitea generat rapoartele de sunet corespunzătoare la impact). UsmotDezvăluind o analogie între ordinea în muzică, exprimată prin relațiile descoperite de aceasta, și ordinea lumii materiale, Pitagoraa ajuns la concluzia că este pătruns de relații matematiceîntregul spațiu. O încercare de a aplica descoperirile matematice ale lui Pitagora la construcții fizice speculative a dus la consecințe interesante.rezultate. Astfel, s-a presupus că fiecare planetă în timpul revoluției saleîn jurul Pământului emite pe măsură ce trece prin aerul limpede superior, sau „eter”,tonul unei anumite tonuri. Înălțimea sunetului se modifică în funcție de vitezăviteza de mișcare a planetei, viteza depinde de distanța până la Pământ. PrunăCând sunetele cerești se unesc, ele formează ceea ce se numește „armonia sferelor” sau „muzica sferelor”, referiri la care sunt frecvente în literatura europeană.

Primii pitagoreici credeau că Pământul este plat și în centruspaţiu. Mai târziu au început să creadă că Pământul are o formă sferică și, împreună cu alte planete (din care au inclus Soarele), are formăse învârte în jurul centrului spațiului, adică „vatră”.

În antichitate, Pitagora era cel mai bine cunoscut ca predicatorstil de viață retras. Esențial pentru învățătura lui a fost ideeavorbim despre reîncarnare (transmigrarea sufletelor), care, desigur, presupune capacitatea sufletului de a supraviețui morții trupului și, prin urmare, nemurirea acestuia. Întrucât într-o nouă încarnare sufletul se poate muta în corpul unui animal, Pitagora s-a opus uciderii animalelor, consumului de carne a acestora și chiar a afirmat că nu trebuie să avem de-a face cu cei care sacrifică animalele sau le măcelează cadavrele. Din câte se poate judeca din scrierile lui Empedocle, care împărtășea părerile religioase ale lui Pitagora, vărsarea sângelui a fost considerată aici ca un păcat originar, pentru care sufletul este izgonit în lumea muritorilor, unde rătăcește, fiind închis în un corp sau altul. Sufletul dorește cu pasiune eliberarea, dar din ignoranță repetă invariabil actul păcătos.

Poate salva sufletul dintr-o serie nesfârșită de reîncarnăricuratare Cea mai simplă curățare constă în observarea anumitorinterdicții (de exemplu, abținerea de la intoxicare sau de la băuturăconsumul de fasole) și reguli de comportament (de exemplu, onorarea bătrânilor, respectarea legii și a nu fi supărat).

Pitagoreii apreciau foarte mult prietenia și, conform conceptelor lor, toate proprietățile prietenilor ar trebui să fie comune. Câțiva aleși li s-a oferit cea mai înaltă formă de purificare - filozofia, adică dragostea de înțelepciune și, prin urmare, dorința pentru aceasta (acest cuvânt, potrivit lui Cicero, a fost folosit pentru prima dată de Pitagora, care s-a numit nu un înțelept, ci un iubitor. de înțelepciune). Prin intermediul acestor mijloace sufletul intră în contact cu principiile ordinii cosmice și devine în ton cu ele, se eliberează de atașamentul său față de corp, de dorințele sale fără de lege și dezordonate. Matematica este una dintre componente religiePitagorei, care au învățat că Dumnezeu a pus numărul la baza lumiiOrdin.

Influența Frăției Pitagoreice în prima reprizăVV. î.Hr e. Nucrescut continuu. Dar dorința lui de a da putere celor „cei mai buni” a intrat în conflict cu creșterea sentimentului democratic în orașele grecești din sudul Italiei și la scurt timp după 450 î.Hr. e. a fost un focar la Crotoneo rebeliune împotriva pitagoreenilor care a dus la uciderea și expulzarea multor, dacă nu a tuturor, membri ai frăției. Cu toate acestea, încă înIVV. î.Hr e. pythagoReich-ul s-a bucurat de influență în sudul Italiei, iar în Tarentum, unde a locuit prietenul lui Platon, Archytas, a rămas și mai mult. Cu toate acestea, mult mai importantă pentru istoria filozofiei a fost crearea centrelor pitagoreice chiar în Grecia,de exemplu la Teba, în a doua jumătateVV. î.Hr e. De aici pitagoricaideile au pătruns până la Atena, unde, după dialogul lui PlatonPhaedo,au fost adoptate de Socrate și transformate într-o mișcare ideologică largă,început de Platon și studentul său Aristotel.

În secolele următoare, figura lui Pitagora însuși a fost înconjurată
multe legende: a fost considerat zeul reîncarnat Apollo,
se credea că avea o coapsă de aur și era capabil să predea în
în același timp în două locuri. Părinții Bisericii Creștine timpurii răspund
dacă Pitagora are un loc de cinste între Moise şi Platon. De asemenea, înXVIV[
au existat frecvente referiri la autoritatea lui Pitagora în chestiuni nu numai de știință |.:
dar și magie.(Enciclopedia electronică:SteaLume.).

În spatele legendei se află adevărul

Descoperirea teoremei lui Pitagora este înconjurată de un halou de legende frumoaseProclus, comentând ultima propozițieeucărțile „Elemente” de Euclid,scrie: „Dacă îi asculți pe cei cărora le place să repete legende străvechi, atuncitrebuie să spunem că această teoremă se întoarce la Pitagora; ei spuncă a sacrificat un taur în cinstea asta”. Această legendă a crescut ferm împreunăcu teorema lui Pitagora și după 2000 de ani a continuat să provoace fierbinte clicuri. Astfel, optimistul Mihailo Lomonosov a scris: „Pitagora pentru inventarea unui geometricConform domniei lui Zeus, el a sacrificat o sută de boi.Dar dacă pentru cele găsite în vremurile moderne dinmatematicienii duhovnici guvernează după superstițiosul săugelozie de a acţiona, apoi abiadacă ar fi atât de mulţi în lumea întreagăau fost găsite vite”.

Dar ironicul Heinrich Heine a văzut evoluția aceleiași situații oarecum diferit : « Cine ştie ! Cine ştie ! Pot fi , sufletul lui Pythus muntele s-a mutat în bietul candidat , care nu a putut demonstra teorema lui Pitagora şi a eşuat din - pentru asta la examene , în timp ce în examinatorii săi locuiesc sufletele acelor tauri , pe care Pitagora , încântat de descoperirea teoremei sale , sacrificat zeilor nemuritori ».

Istoria descoperirii teoremei

Descoperirea teoremei lui Pitagora este de obicei atribuită filozofului și matematicianului grec antic Pitagora (VIV. î.Hr e.). Dar un studiu al tabelelor cuneiforme babiloniene și al manuscriselor chinezești antice (copii ale manuscriselor și mai vechi) a arătat că această afirmație era cunoscută cu mult înaintea lui Pitagora, poate cu milenii înaintea lui. Meritul lui Pitagora a fost că a descoperit demonstrația acestei teoreme.

Să începem recenzia noastră istorică cu China antică. Există o notă specială aicimania este atrasă de cartea de matematică Chu-pei. Această lucrare vorbește despre triunghiul lui Pitagora cu laturile 3, 4 și 5:„Dacă un unghi drept este descompus în părțile sale componente, atunci linia care leagă capetele laturilor sale va fi 5, când baza este 3 și înălțimea este 4.”

În aceeași carte este propus un desen care coincide cu unul dintre desenele geometriei hinduse a lui Bashara.

De asemenea, teorema lui Pitagora a fost descoperită în vechiul tratat chinezesc „Zhou-bi suan jin” („Tratat de matematicădespre gnomon"), al cărui moment de creație este necunoscut cu exactitate, dar unde se precizează că înXVV. î.Hr e. chinezii cunoşteau proprietăţile triunghiului egiptean, iar înXVIV. î.Hr e. - Și forma generala teoreme.

Cantor (cel mai mare istoric german al matematicii) consideră că egalitatea 3 2 + 4 2 = 5 2 era deja cunoscută egiptenilor în jurul anului 2300 î.Hr. e. pe vremea regelui Amenemheteu(conform papirusului 6619 al Muzeului din Berlin).

Potrivit lui Cantor, harpedonaptes, sau „trăgători de frânghii”, au construit unghiuri drepte când

folosind triunghiuri dreptunghiulare cu laturi 3, 4 și 5.

Este foarte ușor să reproduci metoda lorconstructie. Să luăm o frânghie de 12 m lungime și să legăm de ea o bandă colorată la distanță3 m de un capăt și 4 m de celălalt. Unghi dreptvor fi închise între laturile lungi de 3 și 4 m. S-ar putea obiecta harpedonapților că metoda lor de construcție devine redundantă dacă se folosește, de exemplu, un pătrat de lemn, care este folosit de toți dulgherii. Într-adevăr, se cunosc desene egiptene în care se găsește un astfel de instrument, de exemplu, desene înfățișând atelierul unui tâmplar.Se știe ceva mai mult despreTeorema lui Pitagora la babilonieni.Într-un text datând din timpMeni Hammurabi, adică până în 2000î.Hr e., se dă direct un calcul aproximativ al ipotenuzeitriunghiul cărbunelui. De aiciputem concluziona că în Dvuracare știa să facă calculecu triunghiuri dreptunghiularemi, cel puțin în unelecazuri. Bazat pe unullaturi, la nivelul de azicunoștințe despre egiptean și babilonianmatematică, iar pe de altă parte - în criticăstudiu logic al surselor grecești, Van der Waerden (olandezămatematician rus) a făcut următoarea concluzie:

„Meritul primilor matematicieni greci, precum Thales, Pitagora și pitagoreenii, nu este descoperirea matematicii, ci ea sistematizare si justificare. Rețeta de calcul este în mâinile lor tu, pe baza unor idei vagi, te-ai transformat în precis nouă știință”.

Geometria hindușilor, ca și cea a egiptenilor și babilonienilor, era strânsăasociat cu un cult. Este foarte probabil ca teorema pătratului să fie hipotenuse era cunoscut în India deja despreXVIIIsecolul î.Hr e., de asemeneaera cunoscut și în geometria indiană anticătratat teologicVII- Vsecole î.Hr e. „Sulva Sutra” („Regulifrânghii").

Dar, în ciuda tuturor acestor dovezi, numele lui Pitagora este așafuzionat ferm cu teorema lui Pitagora, ceea ce este pur și simplu imposibil acumse poate imagina că această frază se va destrama. La fel de lase referă și la legenda vrajei taurilor lui Pitagora. Și este puțin probabiltrebuie disecat cu un bisturiu istorico-matematicprofunde legende antice.

Metode de demonstrare a teoremei

Dovada teoremei lui Pitagora de către studenții din Evul Mediua considerat-o foarte dificil și a numit-oDons asinorum - podul măgarului, sauelefuga - fuga „săracilor”, întrucât au fugit niște elevi „săraci” care nu aveau o pregătire serioasă la matematicăfie din geometrie. Elevi slabi care au memorat teoremefără a înțelege și, prin urmare, supranumit „măgari”, nu au pututcapacitatea de a depăși teorema lui Pitagora, care părea să le serveascăpod depășibil. Datorită desenelor care însoțesc teoremaPitagora, studenții au numit-o și „moară de vânt”, cuau scris poezii precum „Pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile” și au desenat desene animate.

A). Cea mai simplă dovadă

Probabil faptul enunțat în teorema lui Pitagora a fost un vischala este setat pentru dreptunghiuri isoscele. Privește doar mozaicul de triunghiuri negre și deschise,pentru a verifica validitatea teoremei pentru triunghiurika ABC : un patrat construit pe ipotenuza contine patru triunghiuri, iar pe fiecare latura este construit un patrat continanddouă triunghiuri (Fig. 1, 2).

Dovezi bazate pe utilizarea conceptului de dimensiune egală a figurilor.

În acest caz, putem lua în considerare dovezi în care quadRath construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghiular datpătrat, „alcătuit” din aceleași figuri ca și pătratele construite pe picioare. Pot fi luate în considerare și următoarele doveziva, în care permutarea cifrelor sumand șisunt luate în considerare o serie de idei noi.

În fig. 3 arată două pătrate egale. Lungimea laturilor fiecareegală cu pătratula + b. Fiecare dintre pătrate este împărțit în părți,format din pătrate și triunghiuri dreptunghiulare. Este clar că dacă scădeți de patru ori aria unui triunghi dreptunghic cu catete din aria unui pătrata, b, atunci vor rămâne egali ai milă, adică Cu 2 = a 2 + b 2 . Cu toate acestea, vechii hinduși, cărora le-a aparținutacest raționament minte, de obicei nu l-au notat, ci l-au însoțitdesen cu un singur cuvânt: „Uite!” Este foarte posibil ca eaPitagora a oferit și câteva dovezi.

b). Dovada prin metoda de completare.

Esența acestei metode este că la pătrate, construițipe picioare, iar la un pătrat construit pe ipotenuză, cuconectați cifre egale astfel încât să fie egalecifre noi.

În fig. 4 arată un Pythago obișnuitfigura de rând triunghi dreptunghicABCcu pătrate construite pe laturile sale. La această figură sunt atașate treipătratele 1 și 2, egale cu dreapta inițialătriunghiul cărbunelui.

Valabilitatea teoremei lui Pitagora rezultă din dimensiunea egală a hexagoanelorAEDFPBȘi ACBNMQ. Iată un EP direct dehexagon aprinsAEDFPBîn două patrulatere egale, linia CM împarte hexagonulACBNMQîn două patrulatere egale; rotind planul cu 90° în jurul centrului A mapează patrulaterul AERB pe un patrulaterACMQ.

(Această dovadă a fost dată pentru prima dată de Leonardînainte de da Vinci.)

Figura pitagoreică finalizatăla un dreptunghi ale cărui laturi sunt paralelealiniat cu laturile corespunzătoare ale quadracoms construite pe picioare. Să împărțim acest dreptunghi în triunghiuri și dreptepătrate. Din dreptunghiul rezultatMai întâi, scădem toate poligoanele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, lăsând un pătrat construit pe ipotenuză. Apoi din același dreptunghi scădem dreptunghiuri 5, 6, 7 și umbrite dreptepătrate, obținem pătrate construite pe picioare.

Acum să demonstrăm că cifrele scăzute în primul caz suntsunt egale ca mărime cu cifrele scăzute în al doilea caz.

Aceasta ilustrează dovada,dat de Nassir-ed-Din (1594). Aici: P.L.- Drept;

KLOA = ACPF = ACED = A 2 ;

LGBO= SVMR = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO= c 2 ;

deci cu 2 = A 2 + b 2 .

Orez. 7 ilustrează dovada,dat de Hoffmann (1821). AiciFigura pitagoreică este construită în așa fel încâtpătratele se află pe o parte a unei liniiAB. Aici:

OCLP = ACLF = ACED = b 2 ;

CBML=CBNQ= A 2 ;

OVMR =ABMF= Cu 2 ;

OVMR = OCLP + CBML;

Prin urmare c 2 = a 2 + b.

Aceasta ilustrează un alt ori mai multdovezile finale oferiteHoffman. Aici: triunghiABC cu dreptate unghi de spalare C; segment de linieB.F.perpendicularNE și egal cu acesta, segmentFIperpendicularAB și egal cu acesta, segmentANUNȚ perpendicular ren AC și egal cu acesta; puncteF, CU, D aparține culege o linie dreaptă; patrulatereADFBși ACVE sunt egale ca mărime, deoareceABF= ESV; triunghiuriADFȘi ACE-urile sunt egale ca mărime;

scade din ambele patrulatere egalenickurile au un triunghi comunABC, obținem ½ A* A + ½ b* b – ½ c* c

V). Metoda algebrică de demonstrare.

Figura ilustrează dovada marelui matematician indian Bhaskari (celemul autor al lui Li-lavati,XIIV.). Desenul a fost însoțit de un singur cuvânt: UITE! Printre dovezile teoremei lui Pitagora prin metoda algebrică, pe primul loc (poate cel mai vechi) pentrupreia probe folosind subtext albina.

Istoricii cred că Bhaskara s-a născut zona intepaturii cu 2 pătrat construit peipotenuză, ca suma ariilor a patru triunghiuri 4(ab/2) și aria unui pătrat cu latura egală cu diferența catetelor.

Să prezentăm într-o prezentare modernă una dintre aceste dovezi:corpuri aparținând lui Pitagora.

eu "

În fig. 10 ABC - dreptunghiular, C - unghi drept, ( CM.L AB) b - proiecția piciorului b la ipotenuza, A - proiectia picioruluiA pe ipotenuză, h - altitudinea triunghiului trasat ipotenuză. Din faptul că ABC este similar cu AFM, rezultăb 2 = cb; (1) din faptul că ABC este similar cu VSM, rezultă că 2 = CA (2) Adunând egalitățile (1) și (2) termen cu termen, obținem a 2 + b 2 = cb + ca = = c (b + A) = c 2 .

Dacă Pitagora a oferit de fapt o asemenea dovadă,apoi a fost familiarizat cu o serie de teoreme geometrice importante,pe care istoricii moderni ai matematicii o atribuie de obicei Euclid.

Dovada lui Möhl- mană. Zona dată triunghi dreptunghicnika, pe de o parte, este egală cu 0,5 A* b, pe de altă parte 0,5* p*g, unde p - semiperimetrul unui triunghir - raza înscrisă în el este de cca.circumferinta (r = 0,5 - (a + b - c)).Avem: 0,5*a*b - 0,5*p*g - 0,5 (a + b + c) * 0,5-(a + b - c), de unde rezultă că c 2 = a 2 + b 2 .

d) Dovada lui Garfield.

În figura 12 sunt trei dreptetriunghiurile formează un trapez. De aceea.zona acestei figuri este posibilă.\ găsiți folosind formula zoneidi trapez dreptunghiular,sau ca sumă de zonetrei triunghiuri. În bandăÎn acest caz, această zonă este egală cucu 0,5 (a + b) (a + b), în secundă rom - 0,5* A* b+ 0,5*a* b+ 0,5*s 2

Echivalând aceste expresii, obținem teorema lui Pitagora.

Există multe dovezi ale teoremei lui Pitagora, realizatefolosind atât fiecare dintre metodele descrise cât și folosind o combinațienia diverse metode. Încheierea revizuirii exemplelor de diverse docurideclarații, iată mai multe desene care ilustrează cele opt moduribov, la care există referințe în „Elementele” lui Euclid (Fig. 13 - 20).În aceste desene figura lui Pitagora este reprezentată ca o linie continuăea, și construcții suplimentare - punctate.

După cum am menționat mai sus, egiptenii antici de mai bine de 2000 de aniîn urmă, au folosit practic proprietățile unui triunghi cu laturile 3, 4, 5 pentru a construi un unghi drept, adică au folosit de fapt teorema inversă teoremei lui Pitagora. Să prezentăm o demonstrație a acestei teoreme bazată pe criteriul de egalitate a triunghiurilor (adică unul care poate fi introdus foarte devreme în școalăpractică nouă). Deci, lăsați laturile triunghiuluiABC (Fig. 21) în legătură cu 2 = a 2 + b 2 . (3)

Să demonstrăm că acest triunghi este dreptunghic.

Să construim un triunghi dreptunghicA B C pe doua laturi, ale căror lungimi sunt egale cu lungimileAȘi b catetele unui triunghi dat. Fie lungimea ipotenuzei triunghiului construit pe c . Deoarece triunghiul construit este dreptunghic, atunci prin teorieîn rema pitagoreică avemc = A + b (4)

Comparând relațiile (3) și (4), obținem căCu= cu sau c = c Astfel, triunghiurile - cel dat și cel construit - sunt egale, deoarece au trei laturi, respectiv egale. Unghiul Ceste drept, prin urmare unghiul C al acestui triunghi este de asemenea drept.

Dovezi aditive.

Aceste dovezi se bazează pe descompunerea pătratelor construite pe laturi în figuri din care se poate forma un quadrath construit pe ipotenuză.

dovada lui Einstein ( orez. 23) bazat pe descompunereun pătrat construit pe ipotenuză în 8 triunghiuri.

Aici: ABC- dreptunghiular triunghi cu unghi drept C;COMN; SK MN; P.O.|| MN; E.F.|| MN.

Demonstrează-l singuregalitatea triunghiurilor, jumătatecalculat prin împărțirea pătratelor dupăconstruit pe catete și ipotenuză.

b) Pe baza dovezii lui al-Nayriziyah, a fost efectuată o altă descompunere a pătratelor în cifre egale în perechi (aiciABC - triunghi dreptunghic cu unghi drept C).

Această dovadă se mai numește și „articulată” deoarececă aici doar două părți, egale cu triunghiul inițial, își schimbă poziția și sunt, parcă, atașate de restulfigura pe balamalele în jurul cărora se rotesc (Fig. 25).

c) O altă demonstrație prin metoda descompunerii pătratelor înpărți egale, numite „roată cu lame”, este prezentată în orez. 26. Aici: ABC - triunghi dreptunghic cu unghi drept resturi ASA DE - centrul unui pătrat construit pe o latură mare; linii punctate care trec printr-un punctDESPRE, perpendicular sauparalel cu ipotenuza.

Această descompunere a pătratelor este interesantă deoarece patrulaterele sale egale în perechi pot fi mapate unul pe celălalt prin translație paralelă.

„Pantaloni pitagoreici” (dovada lui Euclid).

De două mii de ania schimbat dovada inventatăEuclid, care este pus în al luicelebrele „Principii”. Euclid opus cal inaltime VN de la vârful unui triunghi dreptunghic la ipotenuză și a demonstrat că continuarea sa împarte pătratul construit pe ipotenuză în două dreptunghiuri ale căror arii sunt egale

zonele pătratelor corespunzătoare construite pe laturi. Dovada lui Euclid în comparație cu vechiul chinez sau vechiul indian arată caexcesiv de complicat. Din acest motivel a fost adesea numit „stilted” și „articol”. Dar această păreresuperficial. Desenul folosit pentru a demonstra teorema se numește în glumă „pantaloni pitagoreici”. Pe parcursulmultă vreme a fost considerat unul dintre simbolurile științei matematice.

Dovezi chineze antice.

Tratate de matematică China antică a ajuns la noi în redacțieIIV. î.Hr e. Cert este că în 213 î.Hr. e. împărat chinez

Shi Huangdi, încercând să elimine tradițiile anterioare, a ordonat ca toate cărțile antice să fie arse. ÎnIIV. î.Hr e. Hârtia a fost inventată în China și în același timp a început și restaurareacărți antice. Așa a apărut „Matematica în nouă cărți” -principalele lucrări de matematică și astronomie care au supraviețuit ny.

În cartea a 9-a din „Matematică” există un desencare demonstrează teorema lui Pitagora.Cheia acestei dovezi nu este greu de găsit (Fig. 27).

De fapt, în chineza vecheaceleași patru triunghiuri dreptunghiulare egalepătrat cu picioarea, c si ipotenuza Cu aşezate astfel încât conturul lor exterior să fieexistă un pătrat cu o laturăa + b,și intern - un pătrat cu latura c, construit pe ipotenuză (fig. 28).

Dacă un pătrat cu laturăCu tăiat și restul de 4 triunghiuri umbriteplasate în două dreptunghiuri, este clar că golul rezultat, pe de o parte,

egal cu Cu, iar pe de alta

a + b 2 , adică Cu 2 = a 2 + b

Teorema a fost demonstrată.

Rețineți că cu o astfel de dovadă

Construcții în interiorul pătratului pe ipotenv-om vedea
dim în desenul chinez antic nu sunt folosite (Fig. 30). Aparent, matematicienii chinezi antici au avut ceva diferit înaintedovada si anume: daca la patrat cu
laturăCu două triunghiuri umbritetăiați nick-ul și atașați ipotenusele laalte două ipotenuze, atunci este ușor de găsitconfirmă că cifra rezultată, care numit uneori „scaunul miresei”, cueste format din două pătrate cu laturiA Șib, adică cu 2 = A 2 + b 2 .

Figura reproduce negrudin tratatul „Zhou-bi...”. AiciTeorema lui Pitagora luată în considerare pentruTriunghi egiptean cu picioare3, 4 și ipotenuza 5 unități de măsură.Pătratul de pe ipotenuză conține 25celule, iar pătratul înscris în el pe latura mai mare este 16. Este clar că partea rămasă conține 9 celule. Aceasta șiva fi un pătrat pe latura mai mică.

Marile descoperiri ale lui Pitagora, matematicianul, și-au găsit aplicația timpuri diferiteși peste tot în lume. Acest lucru se aplică în cea mai mare măsură teoremei lui Pitagora.

De exemplu, în China Atentie specialaîn acest sens, ar trebui să acordăm atenție cărții de matematică Chu-pei, care spune acest lucru despre faimosul triunghi pitagoreic, care are laturile 3, 4, 5: „Dacă descompuneți un unghi drept în părțile sale componente, atunci linia care leagă capetele tuturor laturilor sale vor fi 5, apoi ca bază va fi 3 și înălțimea 4.” Aceeași carte arată un desen care este similar cu unul dintre desenele din geometria hindusă a lui Bashara.

Remarcabilul cercetător german al istoriei matematicii Cantor consideră că egalitatea lui Pitagora 3? + 4? = 5? cunoscut deja în Egipt în jurul anului 2300 î.Hr. î.Hr., în timpul domniei regelui Amenemhat I (conform papirusului 6619 al Muzeului din Berlin). Potrivit lui Kantor, harpedonapții, sau așa-numitii „trăgători de frânghii”, construiau unghiuri drepte folosind triunghiuri dreptunghiulare, ale căror laturi erau 3, 4, 5. Metoda lor de construcție este destul de ușor de reprodus. Dacă luați o bucată de frânghie de 12 m lungime, legați de ea benzi colorate - una la o distanță de trei metri de un capăt, iar cealaltă la 4 metri de celălalt, atunci un unghi drept va fi închis între cele două părți - 3 si 4 metri. Se poate obiecta harpedonapților că această metodă de construcție ar fi de prisos dacă luăm, de exemplu, triunghiul de lemn pe care îl folosesc toți dulgherii. Într-adevăr, există desene egiptene, de exemplu, care înfățișează un atelier de tâmplar, în care se găsește o astfel de unealtă. Dar, cu toate acestea, rămâne faptul că triunghiul pitagoreic a fost folosit în Egiptul antic.

Mai multe informații sunt disponibile despre teorema lui Pitagora folosită de babilonieni. În textul găsit, care datează din timpul lui Hammurabi, care este anul 2000 î.Hr. e., există o definiție aproximativă a ipotenuzei unui triunghi dreptunghic. În consecință, acest lucru confirmă faptul că calculele cu laturile triunghiurilor dreptunghiulare au fost deja efectuate în Mesopotamia, cel puțin în unele cazuri. Matematicianul Van der Waerden din Olanda, pe de o parte, folosind nivelul actual de cunoștințe despre matematica babiloniană și egipteană, iar pe de altă parte, pe baza unui studiu atent al surselor grecești, a ajuns la următoarele concluzii: „Meritul primei Matematicieni greci: Thales, Pitagora și pitagoreenii – nu descoperirea matematicii, ci justificarea și sistematizarea ei. Au fost capabili să transforme rețetele de calcul bazate pe idei vagi într-o știință exactă.”

La hinduși, alături de babilonieni și egipteni, geometria era strâns asociată cu cultul. Este foarte posibil ca teorema lui Pitagora să fi fost cunoscută în India deja în secolul al XVIII-lea î.Hr. e.

„Lista matematicienilor”, presupusă întocmită de Eudemus, spune despre Pitagora: „Se spune că Pitagora a transformat studiul acestei ramuri a cunoașterii (geometria) într-o știință reală, analizându-și fundamentele din cel mai înalt punct de vedere și examinandu-i teoriile. într-o manieră mai mentală și mai puțin materială.” .