O secvență periodică de impulsuri dreptunghiulare. Parametrii electrici și temporali ai impulsurilor dreptunghiulare

O secvență periodică de impulsuri video dreptunghiulare este o funcție de modulare pentru formarea unei secvențe periodice de impulsuri radio rectangulare (PPRP), care sunt semnale de sondare pentru detectarea și măsurarea coordonatelor țintelor în mișcare. Prin urmare, folosind spectrul funcției de modulare (PPVI), este posibil să se determine spectrul semnalului de sondare (PPVI) relativ simplu și rapid. Când un semnal de sondare este reflectat de la o țintă în mișcare, frecvențele spectrului armonic al vibrației purtătorului se modifică (efect Doppler). Ca rezultat, este posibil să se identifice un semnal util reflectat de la o țintă în mișcare pe fundalul vibrațiilor interferente (interferențe) reflectate de obiecte staționare (obiecte locale) sau obiecte cu mișcare lentă (formațiuni meteorologice, stoluri de păsări etc.) .

PPPVI (Fig. 1.42) este un set de impulsuri video dreptunghiulare unice care se succed la intervale egale de timp. Exprimarea analitică a semnalului.

unde este amplitudinea pulsului; - durata pulsului; – perioada de repetare a pulsului; – rata de repetare a pulsului, ; – ciclu de lucru.

Pentru a calcula compoziția spectrală a unei secvențe periodice de impulsuri, se utilizează seria Fourier. Cu spectre cunoscute de impulsuri individuale care formează o secvență periodică, putem folosi relația dintre densitatea spectrală a impulsurilor și amplitudinile complexe ale seriei:

Pentru un singur impuls video dreptunghiular, densitatea spectrală este descrisă de formula

Folosind relația dintre densitatea spectrală a unui singur impuls și amplitudinile complexe ale seriei, găsim

unde = 0; ± 1; ± 2; ...

Spectrul amplitudine-frecvență (Fig. 1.43) va fi reprezentat printr-un set de componente:

în acest caz, valorile pozitive corespund fazelor inițiale zero, iar valorile negative corespund fazelor inițiale egale cu .

Astfel, expresia analitică pentru PPPVI va fi egală cu

Din analiza graficelor prezentate în Figura 1.43 rezultă:

· Spectrul PPPVI este discret, constând din armonici individuale cu frecvență.

· Plicul ASF se modifica conform legii.

· Valoare maximă plicul la este egal cu , valoarea componentei constante.

· Fazele inițiale ale armonicilor din lobii impari sunt egale cu 0, din lobii pare.

· Numărul de armonici din fiecare lob este egal cu .

Lățimea spectrului de semnal la 90% din energia semnalului

· Baza semnalului, deci semnalul este simplu.

Dacă modificați durata impulsurilor sau frecvența de repetare a acestora F(perioada), atunci parametrii spectrului și ASF-ului acestuia se vor schimba.

Figura 1.43 prezintă un exemplu de modificare a semnalului și ASF a acestuia atunci când durata impulsului este dublată.

Secvențe periodice de impulsuri video dreptunghiulare și parametrii lor ASF, T,. Și , T, sunt prezentate în Figura 1.44.

Din analiza graficelor date rezultă:

1. Pentru PPPVI cu durata pulsului:

· Rata taxă q=4, prin urmare, 3 armonici sunt concentrate în fiecare lob;

· Frecvența armonicii k-a;

· Lățimea spectrului de semnal la nivel de energie de 90%;

Componenta constantă este egală cu

2. Pentru PPPVI cu durata pulsului:

· Rata taxă q= 2, prin urmare, în cadrul fiecărui lob există 1 armonică;

· Frecvența armonicii k-a rămâne neschimbată;

· Lățimea spectrului de semnal la nivelul de 90% din energia sa a scăzut de 2 ori;

· Componenta constantă a crescut de 2 ori.

Astfel, putem concluziona că odată cu creșterea duratei pulsului, ASF este „comprimat” de-a lungul axei ordonatelor (lățimea spectrului semnalului scade), în timp ce amplitudinile componentelor spectrale cresc. Frecvențele armonice nu se modifică.

În figura 1.44. Este prezentat un exemplu de modificare a semnalului și a ASF-ului acestuia cu o creștere a perioadei de repetiție de 4 ori (o scădere a ratei de repetiție de 4 ori).

c) lăţimea spectrului de semnal la nivelul a 90% din energia sa nu s-a modificat;

d) componenta constantă a scăzut de 4 ori.

Astfel, putem concluziona că odată cu creșterea perioadei de repetiție (o scădere a frecvenței de repetiție), „compresia” are loc în ASF de-a lungul axei frecvenței (amplitudinele armonicilor scad odată cu creșterea numărului lor în cadrul fiecărui lob) . Lățimea spectrului de semnal nu se modifică. O scădere suplimentară a frecvenței de repetiție (creștere a perioadei de repetiție) va duce (la ) la o scădere a amplitudinilor armonicilor la valori infinitezimale. În acest caz, semnalul se va transforma într-unul singur și, în consecință, spectrul va deveni continuu.

Clasificarea semnalelor și parametrii acestora.

Semnalele electrice sunt procese electrice utilizate pentru a transmite sau stoca informații.

Semnalele pot fi împărțite în două clase mari: deterministe și aleatorii. Semnalele deterministe sunt acelea ale căror valori instantanee în orice moment pot fi prezise cu o probabilitate egală cu unu și care sunt specificate sub forma unei anumite funcție a timpului. Să dăm câteva exemple tipice: un semnal armonic cu o amplitudine cunoscută Ași punct T(Fig. 1.1 A); succesiune de impulsuri dreptunghiulare cu o perioadă de repetare cunoscută T, durata t și amplitudinea A(Fig. 1.1 b); succesiune de impulsuri de formă arbitrară cu durată t și amplitudine cunoscute Ași punct T(Fig. 1.1 V). Semnalele deterministe nu conțin nicio informație.

Semnalele aleatorii sunt funcții haotice ale timpului, ale căror valori sunt necunoscute în prealabil și nu pot fi prezise cu o probabilitate egală cu unu (impuls unic cu durata t și amplitudinea A(Fig. 1.1 G) vorbire, muzică în expresie de mărimi electrice). Semnalele aleatorii includ și zgomot.

Semnalele deterministe, la rândul lor, sunt împărțite în unele periodice, pentru care condiția este îndeplinită S(t)=S(t+kT), Unde T– punct, k- orice număr întreg și sub S(t) se referă la schimbarea curentului, tensiunii sau încărcăturii în timp (Fig. 1.1 a B C).

Evident, orice semnal determinist pentru care condiția este îndeplinită este neperiodic: S(t)¹ S(t+kT).

Cel mai simplu semnal periodic este un semnal armonic de forma .

Orice semnal periodic complex poate fi descompus în componente armonice. Mai jos, o astfel de descompunere va fi efectuată pentru mai multe tipuri specifice de semnale.

Un semnal armonic de înaltă frecvență în care informația este încorporată prin modulație se numește semnal radio (Fig. 1.1). d).

Semnale periodice.

Orice semnal periodic complex S(t)=S(t+kT) (Fig. 1.2), specificat pe intervalul de valori t de la –¥ la +¥, poate fi reprezentat ca o sumă de semnale armonice elementare. Această reprezentare se realizează sub forma unei serii Fourier, dacă numai funcția periodică dată îndeplinește condițiile Dirichlet:

1. Pe orice interval de timp finit funcția S(t) trebuie să fie continue sau să aibă un număr finit de discontinuități de primul fel.

2. Într-o perioadă, funcția trebuie să aibă un număr finit de maxime și minime.

De obicei, toate semnalele radio reale îndeplinesc aceste condiții. În formă trigonometrică, seria Fourier are forma (1.1)

unde componenta constantă este egală cu (1.2)

și coeficienții un n,Și b n pentru termeni cosinus și sinusoidal, expansiunile sunt determinate de expresii (1.3)

Amplitudine (modul) și faza (argument) al n-lea armonicele sunt exprimate prin coeficienți un n,Și b nîn felul următor (1.4)

Când se utilizează o formă complexă de notație, expresia semnalului S(t) ia forma . Iată coeficienții , numite amplitudini complexe, sunt egale și sunt legate de mărimile a n și b n prin formulele: pentru n>0 și pentru n<0. С учётом обозначений .

Spectrul unei funcții periodice este format din linii individuale corespunzătoare frecvențelor discrete 0, w, 2w, 3w ..., adică are o linie sau un caracter discret (Fig. 1.3). Utilizarea seriei Fourier în combinație cu principiul suprapunerii este un mijloc puternic de analiză a influenței sistemelor liniare asupra trecerii diferitelor tipuri de semnale periodice prin acestea.

Când extindeți o funcție periodică într-o serie Fourier, ar trebui să luați în considerare simetria funcției în sine, deoarece acest lucru vă permite să simplificați calculele. În funcție de tipul de simetrie, funcțiile reprezentate de seria Fourier pot:

1. Nu aveți o componentă constantă dacă aria figurii pentru semiciclul pozitiv este egală cu aria figurii pentru semiciclul negativ.

2. Nu aveți armonici egale și o componentă constantă dacă valorile funcției se repetă după o jumătate de perioadă cu semnul opus.

Compoziția spectrală a unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare la diferite perioade ale ciclului lor de funcționare.

O secvență periodică de impulsuri dreptunghiulare este prezentată în Fig. 1.4. Componenta constantă a seriei Fourier este determinată din expresie iar pentru acest caz este egal cu .

Amplitudinea componentei cos si n egal cu

, și amplitudinea componentei sin b n egal cu .

Amplitudine n armonicele-le-a

2. Spectrul unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare

Luați în considerare succesiunea periodică de impulsuri dreptunghiulare prezentată în Fig. 5. Acest semnal se caracterizează prin durata pulsului, amplitudinea și perioada acestuia. Tensiunea este reprezentată de-a lungul axei verticale.

Fig.5. Secvență periodică de impulsuri dreptunghiulare

Alegem punctul de plecare la mijlocul pulsului. Apoi semnalul este extins numai în cosinus. Frecvențele armonice sunt n/T, unde n- orice număr întreg. Amplitudinile armonice conform (1.2.) vor fi egale:

deoarece V(t)=E la , unde este durata pulsului și V(t)=0 la , atunci

Este convenabil să scrieți această formulă sub forma:

(2.1.)

Formula (1.5.) dă dependența amplitudinii celei de-a n-a armonice de perioada și durata sub forma unei funcții continue (funcție ). Această funcție se numește anvelopă spectrului. Trebuie avut în vedere faptul că are sens fizic doar la frecvențele în care există armonici corespunzătoare. În fig. Figura 6 prezintă spectrul unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare.

Fig.6. Spectrul unei secvențe periodice

impulsuri dreptunghiulare.

Când construim plicul, ne referim la faptul că - este

O funcție oscilantă a frecvenței, iar numitorul crește monoton cu creșterea frecvenței. Prin urmare, se obține o funcție cvasi-oscilantă cu o scădere treptată. Pe măsură ce frecvența tinde spre zero, atât numărătorul, cât și numitorul tind spre zero, iar raportul lor tinde spre unitate (prima limită clasică). Valorile zero ale plicului apar în punctele în care, de ex.

Unde m– un număr întreg (cu excepțiam

De la ieșirea sursei de mesaje sunt primite semnale care transportă informații, precum și semnale de ceas utilizate pentru sincronizarea funcționării emițătorului și receptorului sistemului de transmisie. Semnalele informaționale au forma unei neperiodice, iar semnalele de ceas - o secvență periodică de impulsuri.

Pentru a evalua corect posibilitatea transmiterii unor astfel de impulsuri prin canale de comunicare, vom determina compoziția spectrală a acestora. Un semnal periodic sub formă de impulsuri de orice formă poate fi extins într-o serie Fourier conform (7).

Semnale de diferite forme sunt utilizate pentru transmisia prin linii aeriene și de comunicații prin cablu. Alegerea unei forme sau alteia depinde de natura mesajelor transmise, de spectrul de frecvență al semnalelor și de parametrii de frecvență și timp ai semnalelor. Semnalele apropiate ca formă de impulsuri dreptunghiulare sunt utilizate pe scară largă în tehnologia de transmitere a mesajelor discrete.

Să calculăm spectrul, adică. un set de amplitudini constante si

componente armonice ale impulsurilor dreptunghiulare periodice (Figura 4,a) cu durată și perioadă. Deoarece semnalul este o funcție pară a timpului, atunci în expresia (3) toate componentele armonice pare dispar ( =0), iar componentele impare iau următoarele valori:

(10)

Componenta constantă este egală cu

(11)

Pentru un semnal 1:1 (puncte telegrafice) Figura 4a:

,
. (12)

Module ale amplitudinilor componentelor spectrale ale unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare cu o perioadă
sunt prezentate în Fig. 4, b. Axa absciselor arată frecvența principală de repetare a pulsului
() și frecvențele componentelor armonice impare
,
etc. Anvelopa spectrului se modifică conform legii.

Pe măsură ce perioada crește în comparație cu durata impulsului, numărul componentelor armonice din compoziția spectrală a semnalului periodic crește. De exemplu, pentru un semnal cu o perioadă (Figura 4, c), aflăm că componenta constantă este egală cu

În banda de frecvență de la zero la frecvență există cinci componente armonice (Figura 4, d), în timp ce există o singură maree.

Odată cu o creștere suplimentară a perioadei de repetare a pulsului, numărul componentelor armonice devine din ce în ce mai mare. În cazul extrem când
semnalul devine o funcție neperiodică a timpului, numărul componentelor sale armonice în banda de frecvență de la zero la frecvență crește la infinit; vor fi situate la distanțe de frecvență infinit apropiate; spectrul semnalului neperiodic devine continuu.

Figura 4

2.4 Spectrul unui singur impuls

Este specificat un singur impuls video (Figura 5):

Figura 5

Metoda seriei Fourier permite o generalizare profundă și fructuoasă, ceea ce face posibilă obținerea caracteristicilor spectrale ale semnalelor neperiodice. Pentru a face acest lucru, să suplimentăm mental un singur impuls cu aceleași impulsuri, urmând periodic după un anumit interval de timp și să obținem secvența periodică studiată anterior:

Să ne imaginăm un singur impuls ca o sumă de impulsuri periodice cu o perioadă mare.

, (14)

unde sunt numere întregi.

Pentru oscilatii periodice

. (15)

Pentru a reveni la un singur impuls, să direcționăm perioada de repetare la infinit: . În acest caz, este evident:

, (16)

Să notăm

. (17)

Mărimea este caracteristica spectrală (funcția) unui singur impuls (transformată Fourier directă). Depinde doar de descrierea temporală a pulsului și, în general, este complex:

, (18) unde
; (19)

; (20)

,

Unde
- modulul funcţiei spectrale (răspunsul amplitudine-frecvenţă al pulsului);

- unghiul de fază, caracteristica fază-frecvență a pulsului.

Să găsim un singur impuls folosind formula (8), folosind funcția spectrală:

.

Dacă , obținem:

. (21)

Expresia rezultată se numește transformată Fourier inversă.

Integrala Fourier definește impulsul ca o sumă infinită de componente armonice infinitezimale situate la toate frecvențele.

Pe această bază, ei vorbesc despre un spectru continuu (solid) posedat de un singur impuls.

Energia totală a impulsului (energia eliberată la rezistența activă Ohm) este egală cu

(22)

Schimbând ordinea integrării, obținem

.

Integrala internă este funcția spectrală a impulsului luată cu argumentul -, i.e. este o cantitate complexă conjugată:

Prin urmare

Modulul pătrat (produsul a două numere complexe conjugate este egal cu modulul pătrat).

În acest caz, se spune în mod convențional că spectrul pulsului este cu două fețe, adică situat în banda de frecvență de la până.

Relația dată (23), care stabilește legătura dintre energia pulsului (la o rezistență de 1 Ohm) și modulul funcției sale spectrale, este cunoscută sub numele de egalitatea lui Parseval.

Afirmă că energia conținută într-un impuls este egală cu suma energiilor tuturor componentelor spectrului său. Egalitatea lui Parseval caracterizează o proprietate importantă a semnalelor. Dacă un sistem selectiv transmite doar o parte din spectrul semnalului, slăbind celelalte componente ale sale, aceasta înseamnă că o parte din energia semnalului se pierde.

Deoarece pătratul modulului este o funcție pară a variabilei de integrare, atunci prin dublarea valorii integralei se poate introduce integrarea în intervalul de la 0 la:

. (24)

În acest caz, ei spun că spectrul pulsului este situat în banda de frecvență de la 0 la și se numește unilateral.

Integrandul din (23) se numește spectrul de energie (densitatea spectrală a energiei) al pulsului

Caracterizează distribuția energiei după frecvență, iar valoarea acesteia la frecvență este egală cu energia pulsului pe bandă de frecvență egală cu 1 Hz. În consecință, energia pulsului este rezultatul integrării spectrului de energie al semnalului pe întregul interval de frecvență, cu alte cuvinte, energia este egală cu aria cuprinsă între curba care prezintă spectrul de energie al semnalului și axa absciselor.

Pentru a estima distribuția energiei pe spectru, utilizați funcția relativă integrală de distribuție a energiei (caracteristica energiei)

, (25)

Unde
- energia pulsului într-o bandă de frecvență dată de la 0 la, care caracterizează fracțiunea energiei pulsului concentrată în intervalul de frecvență de la 0 la.

Pentru impulsuri individuale de diferite forme, următoarele legi sunt valabile:

În această expresie

funcția sinc așa cum se arată în Fig. 2.6, atinge un maxim (unitate) la y = 0 și tinde spre zero la la® ±¥, oscilând cu o amplitudine în scădere treptat. Trece prin zero în puncte la= ±1, ±2, …. În fig. 2.7, Aîn funcţie de raport p/t 0 arată spectrul de amplitudine al secvenței de impuls | cu n|, iar în fig. 2.7, b este prezentat spectrul de fază q n. Trebuie remarcat faptul că frecvențele pozitive și negative ale unui spectru bidirecțional sunt o modalitate utilă de exprimare matematică a spectrului; Este evident că în condiții reale pot fi reproduse doar frecvențe pozitive.

Atitudine

Un tren de impulsuri periodice ideal include toate armonicile care sunt multipli ai frecvenței naturale. În sistemele de comunicații, se presupune adesea că o parte semnificativă a puterii sau energiei unui semnal de bandă îngustă apare la frecvențe de la zero până la primul zero al spectrului de amplitudine (Fig. 2.7, A). Astfel, ca măsură lățime de bandă secvență de impulsuri, valoarea 1/ este adesea folosită T(Unde T - durata pulsului). Rețineți că lățimea de bandă este invers proporțională cu durata impulsului; Cu cât impulsurile sunt mai scurte, cu atât banda asociată acestora este mai largă. Rețineți, de asemenea, că distanța dintre liniile spectrale D f= 1/T 0 este invers proporțional cu perioada pulsului; Pe măsură ce perioada crește, liniile sunt situate mai aproape una de alta.

Tabelul 2.1. Imagini Fourier

X(t)	X(f)
d( t)
	d( f)
cos 2 p f 0 t	/2
păcat 2 p f 0 t	/2
d( t - t 0)
	d( f - f 0)
, A>0
exp(- la)u(t), A>0
rect( t/ T)	T din moment ce fT
W din moment ce Greutate	rect( f / W)

din moment ce X =

Tabelul 2.2 Proprietăți ale transformării Fourier f)

Convoluția de frecvență X 1 (t)X 2 (t) X 1 (f)*X 2 (f)