Relații într-o formulă triunghiulară. Triunghiuri similare

Cel mai simplu poligon care este studiat la școală este un triunghi. Este mai ușor de înțeles pentru elevi și întâmpină mai puține dificultăți. În ciuda faptului că există tipuri diferite triunghiuri care au proprietăți speciale.

Ce formă se numește triunghi?

Format din trei puncte și segmente. Primele se numesc vârfuri, cele doua se numesc laturi. Mai mult, toate cele trei segmente trebuie conectate astfel încât să se formeze unghiuri între ele. De aici și numele figurii „triunghi”.

Diferențele de nume între colțuri

Deoarece pot fi acute, obtuze și drepte, tipurile de triunghiuri sunt determinate de aceste nume. În consecință, există trei grupuri de astfel de figuri.

• Primul. Dacă toate unghiurile unui triunghi sunt acute, atunci acesta va fi numit acut. Totul este logic.

• Al doilea. Unul dintre unghiuri este obtuz, ceea ce înseamnă că triunghiul este obtuz. Mai simplu nu poate fi.

• Al treilea. Există un unghi egal cu 90 de grade, care se numește unghi drept. Triunghiul devine dreptunghiular.

Diferențele de nume pe părțile laterale

În funcție de caracteristicile laturilor, se disting următoarele tipuri de triunghiuri:

cazul general este scalen, în care toate laturile sunt de lungime arbitrară;

isoscel, ale căror două laturi au aceleași valori numerice;

echilateral, lungimile tuturor laturilor sale sunt aceleași.

Dacă problema nu specifică un anumit tip de triunghi, atunci trebuie să desenați unul arbitrar. În care toate colțurile sunt ascuțite, iar părțile laterale au lungimi diferite.

Proprietăți comune tuturor triunghiurilor

1. Dacă adunăm toate unghiurile unui triunghi, obțineți un număr egal cu 180º. Și nu contează ce tip este. Această regulă se aplică întotdeauna.
2. Valoarea numerică a oricărei laturi a unui triunghi este mai mică decât a celorlalte două adunate. În plus, este mai mare decât diferența lor.
3. Fiecare unghi exterior are o valoare care se obține prin adăugarea a două unghiuri interne care nu sunt adiacente acestuia. Mai mult, este întotdeauna mai mare decât cea internă adiacentă acestuia.
4. Cel mai mic unghi este întotdeauna opus laturii mai mici a triunghiului. Și invers, dacă latura este mare, atunci unghiul va fi cel mai mare.

Aceste proprietăți sunt întotdeauna valabile, indiferent de tipurile de triunghiuri luate în considerare în probleme. Toate restul provin din caracteristici specifice.

Proprietățile unui triunghi isoscel

• Unghiurile care sunt adiacente bazei sunt egale.
• Înălțimea, care este trasă la bază, este, de asemenea, mediana și bisectoarea.
• Altitudinile, medianele și bisectoarele, care sunt construite pe laturile laterale ale triunghiului, sunt, respectiv, egale între ele.

Proprietățile unui triunghi echilateral

Dacă există o astfel de cifră, atunci toate proprietățile descrise puțin mai sus vor fi adevărate. Pentru că un echilateral va fi întotdeauna isoscel. Dar nu invers; un triunghi isoscel nu va fi neapărat echilateral.

• Toate unghiurile sale sunt egale între ele și au o valoare de 60º.
• Orice mediană a unui triunghi echilateral este altitudinea și bisectoarea acestuia. În plus, toți sunt egali unul cu celălalt. Pentru a determina valorile lor, există o formulă care constă din produsul laturii și rădăcina pătrată a lui 3 împărțit la 2.

Proprietățile unui triunghi dreptunghic

• Două unghiuri ascuțite se adună până la 90º.
• Lungimea ipotenuzei este întotdeauna mai mare decât cea a oricăruia dintre catete.
• Valoarea numerică a medianei trase de ipotenuză este egală cu jumătatea acesteia.
• Piciorul este egal cu aceeași valoare dacă se află opus unui unghi de 30º.
• Înălțimea, care este desenată din vârful cu o valoare de 90º, are o anumită dependență matematică de catete: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Aici: a, b - picioare, n - înălțime.

Probleme cu diferite tipuri de triunghiuri

Numarul 1. Dat un triunghi isoscel. Perimetrul său este cunoscut și egal cu 90 cm Trebuie să-i aflăm laturile. Ca o condiție suplimentară: partea laterală este de 1,2 ori mai mică decât baza.

Valoarea perimetrului depinde direct de cantitățile care trebuie găsite. Suma tuturor celor trei laturi va da 90 cm. Acum trebuie să vă amintiți semnul unui triunghi, conform căruia este isoscel. Adică cele două părți sunt egale. Puteți crea o ecuație cu două necunoscute: 2a + b = 90. Aici a este latura, b este baza.

Acum este timpul pentru o condiție suplimentară. În urma acesteia, se obține a doua ecuație: b = 1,2a. Puteți înlocui această expresie în prima. Rezultă: 2a + 1,2a = 90. După transformări: 3,2a = 90. Prin urmare a = 28,125 (cm). Acum este ușor să aflați baza. Acest lucru se face cel mai bine din a doua condiție: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Pentru a verifica, puteți adăuga trei valori: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Asta e corect.

Răspuns: Laturile triunghiului sunt 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

nr. 2. Latura unui triunghi echilateral este de 12 cm. Trebuie să-i calculați înălțimea.

Soluţie. Pentru a găsi răspunsul, este suficient să revenim la momentul în care au fost descrise proprietățile triunghiului. Aceasta este formula pentru a afla înălțimea, mediana și bisectoarea unui triunghi echilateral.

n = a * √3 / 2, unde n este înălțimea și a este latura.

Înlocuirea și calculul dau următorul rezultat: n = 6 √3 (cm).

Nu este nevoie să memorezi această formulă. Este suficient să ne amintim că înălțimea împarte triunghiul în două dreptunghiulare. Mai mult, se dovedește a fi un catet, iar ipotenuza din el este latura celui original, al doilea catet este jumătate din latura cunoscută. Acum trebuie să scrieți teorema lui Pitagora și să obțineți o formulă pentru înălțime.

Răspuns: înălțimea este de 6 √3 cm.

Numarul 3. Dat fiind că MKR este un triunghi, în care unghiul K face 90 de grade. Laturile MR și KR sunt cunoscute, ele sunt egale cu 30, respectiv 15 cm. Trebuie să aflăm valoarea unghiului P.

Soluţie. Dacă faci un desen, devine clar că MR este ipotenuza. Mai mult, este de două ori mai mare decât partea laterală a KR. Din nou trebuie să apelați la proprietăți. Una dintre ele are legătură cu unghiurile. Din aceasta este clar că unghiul KMR este de 30º. Aceasta înseamnă că unghiul dorit P va fi egal cu 60º. Aceasta rezultă dintr-o altă proprietate, care afirmă că suma a două unghiuri ascuțite trebuie să fie egală cu 90º.

Răspuns: unghiul P este de 60º.

nr. 4. Trebuie să găsim toate unghiurile unui triunghi isoscel. Se știe despre acesta că unghiul exterior față de unghiul de la bază este de 110º.

Soluţie. Deoarece este dat doar unghiul exterior, acesta este ceea ce trebuie să utilizați. Formează un unghi desfășurat cu cel intern. Aceasta înseamnă că în total vor da 180º. Adică, unghiul de la baza triunghiului va fi egal cu 70º. Deoarece este isoscel, al doilea unghi are aceeași valoare. Rămâne de calculat al treilea unghi. Conform unei proprietăți comune tuturor triunghiurilor, suma unghiurilor este 180º. Aceasta înseamnă că al treilea va fi definit ca 180º - 70º - 70º = 40º.

Răspuns: unghiurile sunt 70º, 70º, 40º.

nr. 5. Se știe că într-un triunghi isoscel unghiul opus bazei este de 90º. Există un punct marcat pe bază. Segmentul care îl conectează la un unghi drept îl împarte în raport de 1 la 4. Trebuie să aflați toate unghiurile triunghiului mai mic.

Soluţie. Unul dintre unghiuri poate fi determinat imediat. Deoarece triunghiul este dreptunghic și isoscel, cei care se află la baza lui vor fi de 45º fiecare, adică 90º/2.

Al doilea dintre ele vă va ajuta să găsiți relația cunoscută în afecțiune. Deoarece este egal cu 1 la 4, părțile în care este împărțit sunt doar 5. Aceasta înseamnă că pentru a afla unghiul mai mic al unui triunghi aveți nevoie de 90º/5 = 18º. Rămâne de aflat pe al treilea. Pentru a face acest lucru, trebuie să scădeți 45º și 18º din 180º (suma tuturor unghiurilor triunghiului). Calculele sunt simple și obțineți: 117º.

Denumiri standard

Triunghi cu vârfuri A, BȘi C este desemnat ca (vezi figura). Un triunghi are trei laturi:

Lungimile laturilor unui triunghi sunt indicate prin litere latine mici (a, b, c):

Un triunghi are următoarele unghiuri:

Valorile unghiurilor de la vârfurile corespunzătoare sunt în mod tradițional notate cu litere grecești (α, β, γ).

Semne de egalitate a triunghiurilor

Un triunghi pe planul euclidian poate fi determinat în mod unic (până la congruență) de următoarele triplete de elemente de bază:

1. a, b, γ (egalitatea pe două laturi și unghiul care se află între ele);
2. a, β, γ (egalitate pe latură și două unghiuri adiacente);
3. a, b, c (egalitatea pe trei laturi).

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare:

1. de-a lungul piciorului și ipotenuzei;
2. pe două picioare;
3. de-a lungul piciorului și unghiului ascuțit;
4. de-a lungul ipotenuzei și unghiului ascuțit.

Unele puncte din triunghi sunt „pereche”. De exemplu, există două puncte din care toate laturile sunt vizibile fie la un unghi de 60°, fie la un unghi de 120°. Sunt chemați puncte Torricelli. Există, de asemenea, două puncte ale căror proiecții pe laturi se află la vârfurile unui triunghi regulat. Acest - Apollonius arată. Se numesc puncte și așa ceva puncte Brocard.

Direct

În orice triunghi, centrul de greutate, ortocentrul și centrul cercului circumferitor se află pe aceeași linie dreaptă, numită linia lui Euler.

Linia dreaptă care trece prin centrul cercului circumferitor și punctul Lemoine se numește Axa Brocard. Punctele Apollonius se află pe el. Punctul Torricelli și punctul Lemoine se află, de asemenea, pe aceeași linie. Bazele bisectoarelor exterioare ale unghiurilor unui triunghi se află pe aceeași dreaptă, numită axa bisectoarelor externe. Punctele de intersecție ale liniilor care conțin laturile unui ortotriunghi cu liniile care conțin laturile triunghiului se află și ele pe aceeași linie. Această linie se numește axul ortocentric, este perpendicular pe dreapta lui Euler.

Dacă luăm un punct de pe cercul circumferitor al unui triunghi, atunci proiecțiile sale pe laturile triunghiului se vor afla pe aceeași dreaptă, numită Simson e hetero acest punct. Liniile lui Simson de puncte diametral opuse sunt perpendiculare.

Triunghiuri

• Se numește un triunghi cu vârfuri la bazele trasate printr-un punct dat triunghiul cevian acest punct.
• Un triunghi cu vârfuri în proiecțiile unui punct dat pe laturi se numește gazon sau triunghiul pedalei acest punct.
• Un triunghi cu vârfuri în al doilea punct de intersecție al dreptelor trasate prin vârfuri și un punct dat cu cercul circumferitor se numește triunghi circumferenţial. Triunghiul circumferențial este similar cu triunghiul gazonului.

Cercuri

• Cerc înscris- un cerc care atinge toate cele trei laturi ale triunghiului. Ea este singura. Centrul cercului înscris se numește în centru.
• Cerc circular- un cerc care trece prin toate cele trei vârfuri ale unui triunghi. Cercul circumscris este, de asemenea, unic.
• Excerciază- un cerc care atinge o latură a triunghiului și continuarea celorlalte două laturi. Există trei astfel de cercuri într-un triunghi. Centrul lor radical este centrul cercului înscris al triunghiului medial, numit Ideea lui Spiker.

Punctele de mijloc ale celor trei laturi ale unui triunghi, bazele celor trei altitudini ale sale și punctele de mijloc ale celor trei segmente care leagă vârfurile sale de ortocentrul se află pe un cerc numit cerc de nouă puncte sau Cercul lui Euler. Centrul cercului de nouă puncte se află pe linia lui Euler. Un cerc de nouă puncte atinge un cerc înscris și trei excercuri. Se numește punctul de tangență dintre cercul înscris și cercul de nouă puncte Punctul Feuerbach. Dacă din fiecare vârf ne așezăm în afara triunghiului pe linii drepte care conțin laturile, orteze egale în lungime cu laturile opuse, atunci cele șase puncte rezultate se află pe același cerc - Cercul Conway. Trei cercuri pot fi înscrise în orice triunghi în așa fel încât fiecare dintre ele să atingă două laturi ale triunghiului și alte două cercuri. Se numesc astfel de cercuri Cercuri Malfatti. Centrele cercurilor circumscrise celor șase triunghiuri în care triunghiul este împărțit prin mediane se află pe un cerc, care se numește circumferinta lui Lamun.

Un triunghi are trei cercuri care ating două laturi ale triunghiului și cercul circumferitor. Se numesc astfel de cercuri semiinscris sau Cercuri Verrier. Segmentele care leagă punctele de tangență ale cercurilor Verrier cu cercul circumscripțional se intersectează într-un punct numit Ideea lui Verrier. Acesta servește ca centru al unei homoteții, care transformă un cerc circumscripțional într-un cerc înscris. Punctele de contact ale cercurilor Verrier cu laturile se află pe o linie dreaptă care trece prin centrul cercului înscris.

Segmentele care leagă punctele de tangență ale cercului înscris cu vârfurile se intersectează într-un punct numit punctul Gergonne, iar segmentele care leagă vârfurile cu punctele de tangență ale excercurilor sunt în punctul Nagel.

Elipse, parabole și hiperbole

Conica înscrisă (elipsă) și perspectorul acesteia

Un număr infinit de conice (elipse, parabole sau hiperbole) pot fi înscrise într-un triunghi. Dacă înscriem o conică arbitrară într-un triunghi și conectăm punctele tangente cu vârfuri opuse, atunci liniile drepte rezultate se vor intersecta într-un punct numit perspectivă paturi. Pentru orice punct al planului care nu se află pe o latură sau pe prelungirea sa, există o conică înscrisă cu un perspector în acest punct.

Elipsa Steiner descrisă și cevianele care trec prin focarele sale

Puteți înscrie o elipsă într-un triunghi, care atinge laturile din mijloc. O astfel de elipsă se numește inscripţionată elipsa Steiner(perspectiva sa va fi centroidul triunghiului). Elipsa circumscrisă, care atinge liniile care trec prin vârfurile paralele cu laturile, se numește descris de elipsa Steiner. Dacă transformăm un triunghi într-un triunghi obișnuit folosind o transformare afină („înclinare”), atunci elipsa lui Steiner înscrisă și circumscrisă se va transforma într-un cerc înscris și circumscris. Liniile Chevian trasate prin focarele elipsei Steiner descrise (punctele Scutin) sunt egale (teorema lui Scutin). Dintre toate elipsele descrise, elipsa Steiner descrisă are cea mai mică zonă, iar dintre toate elipsele înscrise, elipsa Steiner înscrisă are cea mai mare zonă.

Elipsa Brocard și perspectorul ei - punctul Lemoine

Se numește o elipsă cu focare în punctele Brocard Elipsa Brocard. Perspectiva sa este punctul Lemoine.

Proprietățile unei parabole înscrise

Parabola Kiepert

Perspectivele parabolelor înscrise se află pe elipsa Steiner descrisă. Focalizarea unei parabole înscrise se află pe cercul circumferitor, iar directricea trece prin ortocentru. O parabolă înscrisă într-un triunghi și având ca directriță directricea lui Euler se numește Parabola Kiepert. Perspectorul său este al patrulea punct de intersecție al cercului circumscris și al elipsei Steiner circumscrise, numit punctul Steiner.

Hiperbola lui Kiepert

Dacă hiperbola descrisă trece prin punctul de intersecție al înălțimilor, atunci este echilaterală (adică asimptotele sale sunt perpendiculare). Punctul de intersecție al asimptotelor unei hiperbole echilaterale se află pe cercul de nouă puncte.

Transformări

Dacă liniile care trec prin vârfuri și un punct care nu se află pe laturi și prelungirile lor sunt reflectate în raport cu bisectoarele corespunzătoare, atunci imaginile lor se vor intersecta și într-un punct, care se numește conjugat izogonal cel original (dacă punctul se află pe cercul circumscris, atunci liniile rezultate vor fi paralele). Multe perechi de puncte remarcabile sunt conjugate izogonal: circumcentrul și ortocentrul, centroidul și punctul Lemoine, punctele Brocard. Punctele Apollonius sunt conjugate izogonal cu punctele Torricelli, iar centrul cercului înscris este conjugat izogonal cu el însuși. Sub acțiunea conjugării izogonale, liniile drepte se transformă în conice circumscrise, iar conicele circumscrise în drepte. Astfel, hiperbola Kiepert și axa Brocard, hiperbola Jenzabek și linia dreaptă Euler, hiperbola Feuerbach și linia de centre ale cercurilor înscrise și circumscrise sunt conjugate izogonal. Cercurile circumferinte ale triunghiurilor punctelor conjugate izogonal coincid. Focarele elipselor înscrise sunt conjugate izogonal.

Dacă, în loc de un cevian simetric, luăm un cevian a cărui bază este la fel de îndepărtată de mijlocul laturii ca și baza celui original, atunci și astfel de cevian se vor intersecta într-un punct. Transformarea rezultată se numește conjugarea izotomică. De asemenea, convertește linii drepte în conice descrise. Punctele Gergonne și Nagel sunt conjugate izotomic. În cadrul transformărilor afine, punctele conjugate izotomic sunt transformate în puncte conjugate izotomic. Cu conjugarea izotomică, elipsa Steiner descrisă va merge în linia dreaptă infinit de distanță.

Dacă în segmentele tăiate de laturile triunghiului din cercul circumferitor, înscriem cercuri care ating laturile de la bazele cevianelor trasate printr-un anumit punct, apoi conectăm punctele tangente ale acestor cercuri cu cercul circumferitor cu vârfuri opuse, atunci astfel de linii drepte se vor intersecta într-un punct. Se numește o transformare plană care potrivește punctul inițial cu cel rezultat transformare izocirculară. Compoziția conjugatelor izogonale și izotomice este compoziția unei transformări izocirculare cu sine. Această compoziție este o transformare proiectivă, care lasă laturile triunghiului pe loc și transformă axa bisectoarelor exterioare într-o linie dreaptă la infinit.

Dacă continuăm laturile unui triunghi Chevian dintr-un anumit punct și luăm punctele lor de intersecție cu laturile corespunzătoare, atunci punctele de intersecție rezultate se vor afla pe o singură dreaptă, numită polar triliniar punct de start. Axa ortocentrică este polara triliniară a ortocentrului; polara triliniară a centrului cercului înscris este axa bisectoarelor externe. Polari triliniari ai punctelor situate pe o conică circumscrisă se intersectează într-un punct (pentru un cerc circumscris acesta este punctul Lemoine, pentru o elipsă Steiner circumscrisă este centroidul). Compoziția unui conjugat izogonal (sau izotomic) și a unui polar triliniar este o transformare de dualitate (dacă un punct conjugat izogonal (izotomic) la un punct se află pe polara triliniară a unui punct, atunci polara triliniară a unui punct izogonal (izotomic) conjugată la un punct se află pe polara triliniară a unui punct).

Cuburi

Raporturi într-un triunghi

Notă:în această secțiune, , sunt lungimile celor trei laturi ale triunghiului și , sunt unghiurile situate, respectiv, opuse acestor trei laturi (unghiuri opuse).

Inegalitatea triunghiulară

Într-un triunghi nedegenerat, suma lungimilor celor două laturi ale sale este mai mare decât lungimea celei de-a treia laturi, într-un triunghi degenerat este egală. Cu alte cuvinte, lungimile laturilor unui triunghi sunt legate de următoarele inegalități:

Inegalitatea triunghiului este una dintre axiomele metricii.

Teorema Sumei Triunghiului Unghiului

Teorema sinusurilor

,

unde R este raza cercului circumscris triunghiului. Din teoremă rezultă că dacă a< b < c, то α < β < γ.

Teorema cosinusului

Teorema tangentei

Alte rapoarte

Rapoartele metrice dintr-un triunghi sunt date pentru:

Rezolvarea triunghiurilor

Calcularea laturilor și unghiurilor necunoscute ale unui triunghi pe baza celor cunoscute a fost numită istoric „rezolvarea triunghiurilor”. Se folosesc teoremele trigonometrice generale de mai sus.

Aria unui triunghi

Cazuri speciale Notare

Pentru zonă sunt valabile următoarele inegalități:

Calcularea ariei unui triunghi în spațiu folosind vectori

Fie vârfurile triunghiului în punctele , , .

Să introducem vectorul zonă. Lungimea acestui vector este egală cu aria triunghiului și este îndreptată normal pe planul triunghiului:

Să stabilim , unde , , sunt proiecțiile triunghiului pe planurile de coordonate. în care

si asemanator

Aria triunghiului este .

O alternativă este să calculați lungimile laturilor (folosind teorema lui Pitagora) și apoi folosind formula lui Heron.

Teoreme triunghiulare

teorema lui Desargues: dacă două triunghiuri sunt în perspectivă (dreptele care trec prin vârfurile corespunzătoare ale triunghiurilor se intersectează într-un punct), atunci laturile lor corespunzătoare se intersectează pe aceeași dreaptă.

teorema Sondei: dacă două triunghiuri sunt perspectivă și ortologe (perpendiculare desenate de la vârfurile unui triunghi la laturile opuse vârfurilor corespunzătoare ale triunghiului și invers), atunci ambele centre de ortologie (punctele de intersecție ale acestor perpendiculare) și centrul de perspectiva se află pe aceeași dreaptă, perpendiculară pe axa perspectivei (linie dreaptă din teorema lui Desargues).

Știința geometriei ne spune ce sunt un triunghi, un pătrat și un cub. ÎN lumea modernă este studiat în școli de toată lumea fără excepție. De asemenea, știința care studiază direct ce este un triunghi și ce proprietăți are este trigonometria. Ea explorează în detaliu toate fenomenele legate de date Vom vorbi despre ce este un triunghi astăzi în articolul nostru. Tipurile lor vor fi descrise mai jos, precum și unele teoreme asociate acestora.

Ce este un triunghi? Definiție

Acesta este un poligon plat. Are trei colțuri, așa cum reiese din numele său. Are, de asemenea, trei laturi și trei vârfuri, primul dintre ele sunt segmente, al doilea sunt puncte. Știind cu ce sunt egale două unghiuri, îl puteți găsi pe al treilea scăzând suma primelor două din numărul 180.

Ce tipuri de triunghiuri există?

Ele pot fi clasificate după diverse criterii.

În primul rând, ele sunt împărțite în unghi acut, unghi obtuz și dreptunghiular. Primele au unghiuri ascuțite, adică cele care sunt egale cu mai puțin de 90 de grade. În unghiurile obtuze, unul dintre unghiuri este obtuz, adică unul egal cu mai mult de 90 de grade, celelalte două sunt acute. Triunghiurile acute includ și triunghiuri echilaterale. Astfel de triunghiuri au toate laturile și unghiurile egale. Toate sunt egale cu 60 de grade, acest lucru poate fi calculat cu ușurință împărțind suma tuturor unghiurilor (180) la trei.

Triunghi dreptunghic

Este imposibil să nu vorbim despre ce este un triunghi dreptunghic.

O astfel de figură are un unghi egal cu 90 de grade (dreaptă), adică două dintre laturile sale sunt perpendiculare. Cele două unghiuri rămase sunt acute. Ele pot fi egale, atunci va fi isoscel. Teorema lui Pitagora este legată de triunghiul dreptunghic. Folosind-o, puteți găsi a treia latură, cunoscând primele două. Conform acestei teoreme, dacă adăugați pătratul unui catete la pătratul celuilalt, puteți obține pătratul ipotenuzei. Pătratul catetei poate fi calculat scăzând pătratul catetei cunoscute din pătratul ipotenuzei. Vorbind despre ce este un triunghi, ne putem aminti și un triunghi isoscel. Acesta este unul în care două dintre laturi sunt egale și două unghiuri sunt, de asemenea, egale.

Ce sunt catetul și ipotenuza?

Un catete este una dintre laturile unui triunghi care formează un unghi de 90 de grade. Ipotenuza este latura rămasă care este opusă unghiului drept. Puteți coborî o perpendiculară de pe picior. Raportul dintre latura adiacentă și ipotenuză se numește cosinus, iar latura opusă se numește sinus.

- care sunt caracteristicile sale?

Este dreptunghiulară. Picioarele sale sunt trei și patru, iar ipotenuza este cinci. Dacă vezi că catetele unui triunghi dat sunt egale cu trei și patru, poți fi sigur că ipotenuza va fi egală cu cinci. De asemenea, folosind acest principiu, puteți determina cu ușurință că catetul va fi egal cu trei dacă al doilea este egal cu patru, iar ipotenuza este egală cu cinci. Pentru a demonstra această afirmație, puteți aplica teorema lui Pitagora. Dacă două catete sunt egale cu 3 și 4, atunci 9 + 16 = 25, rădăcina lui 25 este 5, adică ipotenuza este egală cu 5. Un triunghi egiptean este și un triunghi dreptunghic ale cărui laturi sunt egale cu 6, 8 și 10; 9, 12 și 15 și alte numere cu raportul 3:4:5.

Ce altceva ar putea fi un triunghi?

Triunghiurile pot fi, de asemenea, înscrise sau circumscrise. Figura în jurul căreia este descris cercul se numește înscrisă; toate vârfurile sale sunt puncte situate pe cerc. Un triunghi circumscris este unul în care este înscris un cerc. Toate laturile sale intră în contact cu el în anumite puncte.

Cum este localizat?

Aria oricărei figuri este măsurată în unități pătrate (metri pătrați, milimetri pătrați, centimetri pătrați, decimetri pătrați etc.) Această valoare poate fi calculată într-o varietate de moduri, în funcție de tipul de triunghi. Aria oricărei figuri cu unghiuri poate fi găsită prin înmulțirea laturii sale cu perpendiculara căzută pe ea din colțul opus și împărțind această cifră la două. De asemenea, puteți găsi această valoare înmulțind cele două părți. Apoi înmulțiți acest număr cu sinusul unghiului situat între aceste laturi și împărțiți acest rezultat la doi. Cunoscând toate laturile unui triunghi, dar neștiind unghiurile acestuia, puteți găsi zona într-un alt mod. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți jumătate din perimetru. Apoi scădeți alternativ diferite laturi din acest număr și înmulțiți cele patru valori rezultate. Apoi, găsiți din numărul care a ieșit. Aria unui triunghi înscris poate fi găsită înmulțind toate laturile și împărțind numărul rezultat la cel circumscris în jurul lui, înmulțit cu patru.

Aria unui triunghi circumscris se găsește în acest fel: înmulțim jumătate din perimetru cu raza cercului care este înscris în el. Dacă atunci aria sa poate fi găsită după cum urmează: pătratează latura, înmulțiți cifra rezultată cu rădăcina lui trei, apoi împărțiți acest număr la patru. Într-un mod similar, puteți calcula înălțimea unui triunghi în care toate laturile sunt egale; pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți una dintre ele cu rădăcina a trei, apoi împărțiți acest număr la doi.

Teoreme legate de triunghi

Principalele teoreme care sunt asociate cu această figură sunt teorema lui Pitagora descrisă mai sus și cosinusurile. Al doilea (din sinusuri) este că, dacă împărțiți orice latură cu sinusul unghiului opus acesteia, puteți obține raza cercului descris în jurul ei, înmulțită cu două. Al treilea (cosinus) este că dacă din suma pătratelor celor două laturi scădem produsul lor, înmulțit cu doi și cosinusul unghiului situat între ele, atunci obținem pătratul celei de-a treia laturi.

Triunghiul Dali - ce este?

Mulți, când se confruntă cu acest concept, cred la început că acesta este un fel de definiție în geometrie, dar nu este deloc așa. Triunghiul lui Dali este denumirea comună trei locuri care sunt strâns legate de viață artist faimos. „Vârfurile” sale sunt casa în care a locuit Salvador Dali, castelul pe care l-a dăruit soției sale, precum și muzeul de picturi suprarealiste. Puteți învăța multe în timpul unui tur al acestor locuri. fapte interesante despre acest artist creativ unic cunoscut în întreaga lume.

În general, două triunghiuri sunt considerate similare dacă au aceeași formă, chiar dacă sunt de dimensiuni diferite, rotite sau chiar inversate.

Reprezentarea matematică a două triunghiuri similare A 1 B 1 C 1 și A 2 B 2 C 2 prezentate în figură este scrisă după cum urmează:

ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2

Două triunghiuri sunt similare dacă:

1. Fiecare unghi al unui triunghi este egal cu unghiul corespunzător al altui triunghi:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2Și ∠C 1 = ∠C 2

2. Raporturile dintre laturile unui triunghi și laturile corespunzătoare ale altui triunghi sunt egale între ele:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relații două părți un triunghi la laturile corespunzătoare ale altui triunghi sunt egale între ele și în același timp
unghiurile dintre aceste laturi sunt egale:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ și $\angle A_1 = \angle A_2$
sau
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ și $\angle B_1 = \angle B_2$
sau
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ și $\angle C_1 = \angle C_2$

Nu confundați triunghiuri similare cu triunghiuri egale. Triunghiurile egale au lungimea laturilor corespunzătoare egale. Prin urmare, pentru triunghiuri congruente:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

De aici rezultă că toate triunghiurile egale sunt similare. Cu toate acestea, nu toate triunghiurile similare sunt egale.

Deși notația de mai sus arată că pentru a afla dacă două triunghiuri sunt similare sau nu, trebuie să cunoaștem valorile celor trei unghiuri sau lungimile celor trei laturi ale fiecărui triunghi, pentru a rezolva probleme cu triunghiuri similare este suficient să știm oricare trei dintre valorile menționate mai sus pentru fiecare triunghi. Aceste cantități pot fi în diferite combinații:

1) trei unghiuri ale fiecărui triunghi (nu trebuie să știți lungimile laturilor triunghiurilor).

Sau cel puțin 2 unghiuri ale unui triunghi trebuie să fie egale cu 2 unghiuri ale altui triunghi.
Deoarece dacă două unghiuri sunt egale, atunci și al treilea unghi va fi egal.(Valoarea celui de-al treilea unghi este 180 - unghi1 - unghi2)

2) lungimile laturilor fiecărui triunghi (nu trebuie să cunoașteți unghiurile);

3) lungimile celor două laturi și unghiul dintre ele.

În continuare ne vom uita la rezolvarea unor probleme cu triunghiuri similare. Mai întâi ne vom uita la problemele care pot fi rezolvate prin utilizarea directă a regulilor de mai sus, apoi vom discuta unele probleme practice, care se rezolvă prin metoda triunghiurilor similare.

Exersați probleme cu triunghiuri similare

Exemplul #1: Arătați că cele două triunghiuri din figura de mai jos sunt similare.

Soluţie:
Deoarece lungimile laturilor ambelor triunghiuri sunt cunoscute, a doua regulă poate fi aplicată aici:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Exemplul #2: Arătați că două triunghiuri date sunt similare și determinați lungimile laturilor PQȘi relatii cu publicul.

Soluţie:
∠A = ∠PȘi ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(deoarece ∠C = 180 - ∠A - ∠B și ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

De aici rezultă că triunghiurile ΔABC și ΔPQR sunt similare. Prin urmare:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ și
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Exemplul #3: Determinați lungimea ABîn acest triunghi.

Soluţie:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AEDȘi ∠A general => triunghiuri ΔABCȘi ΔADE Sunt asemănătoare.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\time AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Exemplul #4: Determinați lungimea AD (x) figura geometrică din imagine.

Triunghiurile ΔABC și ΔCDE sunt similare deoarece AB || DE și au un colț superior comun C.
Vedem că un triunghi este o versiune la scară a celuilalt. Cu toate acestea, trebuie să dovedim acest lucru matematic.

AB || DE, CD || AC și BC || E.C.
∠BAC = ∠EDC și ∠ABC = ∠DEC

Pe baza celor de mai sus și ținând cont de prezența unui unghi comun C, putem pretinde că triunghiurile ΔABC și ΔCDE sunt similare.

Prin urmare:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 $
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Exemple practice

Exemplul #5: Fabrica folosește o bandă transportoare înclinată pentru a transporta produse de la nivelul 1 la nivelul 2, care este cu 3 metri mai sus decât nivelul 1, așa cum se arată în figură. Transportorul înclinat este deservit de la un capăt la nivelul 1 și de la celălalt capăt la un loc de muncă situat la o distanță de 8 metri de punctul de operare de nivelul 1.

Fabrica dorește să modernizeze transportorul pentru a accesa noul nivel, care se află la 9 metri deasupra nivelului 1, menținând în același timp unghiul de înclinare al transportorului.

Determinați distanța la care trebuie instalată noua stație de lucru pentru a vă asigura că transportorul va funcționa la noul său capăt de la nivelul 2. De asemenea, calculați distanța suplimentară pe care o va parcurge produsul atunci când trece la noul nivel.

Soluţie:

Mai întâi, să etichetăm fiecare punct de intersecție cu o anumită literă, așa cum se arată în figură.

Pe baza raționamentului dat mai sus în exemplele anterioare, putem concluziona că triunghiurile ΔABC și ΔADE sunt similare. Prin urmare,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Astfel, noul punct trebuie instalat la o distanță de 16 metri de punctul existent.

Și deoarece structura este formată din triunghiuri dreptunghiulare, putem calcula distanța de mișcare a produsului după cum urmează:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

În mod similar, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
care este distanța pe care produsul o parcurge în prezent când atinge nivelul existent.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
aceasta este distanța suplimentară pe care trebuie să o parcurgă produsul pentru a atinge un nou nivel.

Exemplul #6: Steve vrea să-și viziteze prietenul care s-a mutat recent casă nouă. Harta rutieră către Steve și casa prietenului său, împreună cu distanțele cunoscute de Steve, sunt prezentate în figură. Ajută-l pe Steve să ajungă la casa prietenului său în cel mai scurt mod posibil.

Soluţie:

Harta rutieră poate fi reprezentată geometric în următoarea formă, așa cum se arată în figură.

Vedem că triunghiurile ΔABC și ΔCDE sunt similare, prin urmare:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Declarația problemei spune că:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km și DE = 5 km

Folosind aceste informații putem calcula următoarele distanțe:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve poate ajunge la casa prietenului său folosind următoarele rute:

A -> B -> C -> E -> G, distanta totala este de 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, distanta totala este de 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, distanta totala este de 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, distanta totala este de 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Prin urmare, traseul nr. 3 este cel mai scurt și poate fi oferit lui Steve.

Exemplul 7:
Trisha vrea să măsoare înălțimea casei, dar nu are instrumentele potrivite. Ea a observat că în fața casei creștea un copac și a decis să-și folosească ingeniozitatea și cunoștințele de geometrie dobândite la școală pentru a determina înălțimea clădirii. Ea a măsurat distanța de la copac până la casă, rezultatul a fost de 30 m. Apoi a stat în fața copacului și a început să se deplaseze înapoi până când marginea de sus a clădirii a devenit vizibilă deasupra vârfului copacului. Trisha a marcat acest loc și a măsurat distanța de la el până la copac. Aceasta distanta a fost de 5 m.

Înălțimea copacului este de 2,8 m, iar înălțimea la nivelul ochilor lui Trisha este de 1,6 m. Ajută-l pe Trisha să determine înălțimea clădirii.

Soluţie:

Reprezentarea geometrică a problemei este prezentată în figură.

Mai întâi folosim similaritatea triunghiurilor ΔABC și ΔADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \times AC$

$(2,8 - 1,6) \time AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Apoi putem folosi similaritatea triunghiurilor ΔACB și ΔAFG sau ΔADE și ΔAFG. Să alegem prima variantă.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6) )(0,16) = 10 m$