Se numește setul tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare. Valoare aleatoare

Funcția de distribuție este o caracteristică universală a unei variabile aleatoare. Există pentru orice variabile aleatoare: discrete și continue.

Proprietățile funcției de distribuție:

1. Când x 1 >x 2 F(x 1)> F(x 2)

2. F(- ∞)=0

3. F(+ ∞)=1

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete este o funcție de pas discontinuă; salturile au loc în puncte corespunzătoare valorilor posibile ale variabilei aleatoare și sunt egale cu probabilitatea acestor valori. Suma acestor sărituri este egală cu unu.

1 F(x)

Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare.

Principalele caracteristici ale variabilelor aleatoare discrete sunt:

· funcţia de distribuţie;

· raza de distributie;

pentru o variabilă aleatoare continuă:

· funcţia de distribuţie;

· densitatea distribuţiei.

Orice lege reprezintă o funcție, iar indicarea acestei funcții descrie complet variabila aleatoare.

Cu toate acestea, în deciderea unui număr probleme practice Nu este întotdeauna necesar să se caracterizeze o variabilă aleatoare în întregime. Este suficient să indicați doar câțiva parametri numerici care caracterizează variabila aleatoare.

Asemenea caracteristici, al căror scop este de a reprezenta într-o formă concentrată cele mai semnificative trăsături ale distribuției, se numesc caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorii.

Caracteristicile poziției

(MOJ,mod,median)

Dintre toate caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare utilizate, cel mai des sunt utilizate caracteristicile care descriu poziția variabilei aleatoare pe axa numerică, și anume, indică o valoare medie în jurul căreia sunt grupate valorile posibile ale variabilei aleatoare.

Pentru aceasta sunt folosite următoarele caracteristici:

· valorea estimata;

· mediană.

Așteptările matematice (valoarea medie) se calculează după cum urmează:

X 1 R 1 +x 2 R 2 +….+x n R n ∑ x i р i

р 1 + р 2 + …..+р n n

Având în vedere că ∑ p i , MOZ este egal cu M[X] = ∑ x i p i

Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestor valori.

Formularea de mai sus este valabilă numai pentru variabile aleatoare discrete.

Pentru cantități continue

M[X] = ∫ x f(x)dx, Unde f(x) - densitatea de distribuție X.

Exista diferite căi calculul valorii medii. Cele mai comune forme de reprezentare a mediilor sunt medie aritmetică, mediană și mod.

Media aritmetică se obține prin împărțirea valorii totale a acestei caracteristici pentru întreaga populaţie statistică omogenă după numărul de unităţi ale acestei populaţii. Pentru a calcula media aritmetică, se utilizează formula:

Хср = (Х1+Х2+... +Хn):n,

unde Xi este valoarea caracteristicii unității i-a a populației, n este numărul de unități ale populației.

Modă o variabilă aleatoare se numește valoarea ei cea mai probabilă.

M

Median este valoarea care se află la mijlocul seriei ordonate. Pentru un număr impar de unități dintr-o serie, mediana este unică și este situată exact în mijlocul seriei; pentru un număr par, este definită ca valoarea medie a două unități adiacente ale populației care ocupă poziția de mijloc.

Statistici este o ramură a științei care studiază latura cantitativă a fenomenelor de masă viata publica, formată din elemente individuale, unități. Combinația de elemente constituie o populație statistică. Scopul studiului este de a stabili modele cantitative de dezvoltare a acestui fenomen. Se bazează pe aplicarea teoriei probabilităților și a legii numerelor mari. Esența acestei legi este că, în ciuda fluctuațiilor aleatorii individuale ale elementelor individuale ale agregatului, un anumit model se manifestă în masa totală, caracteristică agregatului dat ca întreg. Cu cât este mai mare numărul de elemente individuale care caracterizează fenomenul studiat, cu atât mai clar este dezvăluit modelul inerent acestui fenomen.

Criminalitatea este un fenomen social, de masă; este un agregat statistic al numeroaselor fapte ale manifestărilor criminale individuale. Acest lucru oferă motive pentru a utiliza metode de teorie statistică pentru a-l studia.

În studiile statistice ale fenomenelor sociale se pot distinge trei etape:

1) observarea statistică, i.e. colectarea de material statistic primar;

2) prelucrarea sumară a datelor culese, în cadrul căreia se calculează rezultatele, se calculează indicatorii de sinteză (rezumativ) iar rezultatele sunt prezentate sub formă de tabele și grafice;

3) analiza, în cadrul căreia se identifică modelele populației statistice studiate, relațiile dintre diferitele sale componente și se realizează o interpretare semnificativă a indicatorilor generalizatori.

Prima etapă a cercetării statistice este observarea statistică. Ea joacă un rol deosebit, deoarece erorile făcute în timpul procesului de colectare a datelor sunt aproape imposibil de corectat în etapele ulterioare de lucru, ceea ce implică în cele din urmă concluzii incorecte despre proprietățile fenomenului studiat și interpretarea lor incorectă.

Conform metodei de înregistrare a faptelor, observația statistică se împarte în continuă și discontinuă. Prin continuă, sau curentă, înțelegem o astfel de observație în care stabilirea și identificarea faptelor se realizează pe măsură ce acestea apar. Cu observarea continuă, faptele sunt înregistrate fie în mod regulat la anumite intervale, fie după cum este necesar.

Pe baza acoperirii unităților populației chestionate, se disting observația continuă și necontinuă. Observația continuă este o observație în care toate unitățile populației studiate sunt supuse înregistrării. De exemplu, înregistrarea infracțiunilor reprezintă teoretic observație continuă. Cu toate acestea, în practică, o anumită parte a infracțiunilor, numite latente, rămâne în afara populației statistice studiate și, prin urmare, de fapt, o astfel de observație este incompletă. Observația incompletă este o observație în care nu toate unitățile populației studiate sunt supuse înregistrării. Este împărțit în mai multe tipuri: observarea matricei principale, observarea selectivă și altele.

Observarea matricei principale (numită uneori metoda continuă imperfectă) este un tip de observație necontinuă în care, din întregul set de unități ale unui obiect, se observă o astfel de parte a acestora care constituie ponderea covârșitoare, predominantă a întregul set. Efectuarea observațiilor prin această metodă se practică în cazurile în care acoperirea completă a tuturor unităților populației este asociată cu dificultăți deosebite și, în același timp, excluderea unui anumit număr de unități de la observare nu are un impact semnificativ asupra concluziilor despre proprietățile intreaga populatie. Prin urmare, înregistrarea infracțiunilor poate fi atribuită, cel mai probabil, în mod specific acestui tip de observație.

Cel mai avansat tip de observație necontinuă este eșantionarea, în care, pentru a caracteriza întreaga populație, este examinată doar o anumită parte a acesteia, dar eșantionată după anumite reguli. Condiția principală pentru corectitudinea efectuării observării eșantionului este o astfel de selecție, în urma căreia partea selectată a unităților pentru toate caracteristicile care urmează să fie studiate ar caracteriza suficient de precis întreaga populație în ansamblu. Cel mai adesea, observarea eșantionului este utilizată în cercetarea sociologică. În viitor, vom lua în considerare regulile și metodele de selectare a unităților în timpul observației selective.

După ce materialul primar a fost colectat și verificat, se realizează a doua etapă a cercetării statistice. Observația statistică oferă material care caracterizează unitățile individuale ale obiectului de studiu. Sarcina rezumatului este de a rezuma, sistematiza și generaliza rezultatele observației astfel încât să devină posibilă identificarea trăsăturilor caracteristice și proprietăților esențiale, descoperirea tiparelor fenomenelor și proceselor studiate.

Cel mai simplu exemplu de rezumat este însumarea tuturor infracțiunilor raportate. Cu toate acestea, o astfel de generalizare nu oferă o imagine completă a tuturor proprietăților situației criminalității. Pentru a caracteriza infracțiunile în profunzime și în mod cuprinzător, este necesar să se cunoască modul în care numărul total de infracțiuni este distribuit pe tip, timp, loc și modalitate de săvârșire etc.

Distribuția unităților obiectului studiat în grupuri omogene în funcție de caracteristicile lor esențiale se numește grupare statistică. Obiectele studiate prin statistică sunt de obicei caracterizate de multe proprietăți și relații exprimate diverse semne. Prin urmare, gruparea obiectelor studiate se poate face în funcție de obiectivele studiului statistic în funcție de una sau mai multe dintre aceste caracteristici. Astfel, personalul corpului poate fi grupat pe funcții, grade speciale, vârstă, vechime, stare civilă etc.

Ca urmare a prelucrării și sistematizării materialelor statistice primare se obțin o serie de indicatori digitali care caracterizează aspecte individuale ale fenomenelor sau proceselor studiate sau modificările acestora. Aceste rânduri sunt numite statistic.În funcție de conținutul lor, seriile statistice sunt împărțite în două tipuri: seria de distribuție și seria dinamică. Seriile de distribuție sunt serii care caracterizează distribuția unităților populației inițiale în funcție de oricare caracteristică, ale căror varietăți sunt aranjate într-o anumită ordine. De exemplu, repartizarea numărului total de infracțiuni după specii individuale, numerele întregului personal pe post sunt rânduri de distribuție.

Seriile dinamice sunt serii care caracterizează modificări ale dimensiunii fenomenelor sociale în timp. O analiză detaliată a unor astfel de serii și utilizarea lor în analiza și prognoza situației criminalității este subiectul unei prelegeri separate.

Rezultatele observației statistice și rezumatele materialelor sale sunt exprimate în primul rând în valori absolute (indicatori). Valorile absolute arată dimensiunea unui fenomen social în condiții date de loc și timp, de exemplu, numărul de infracțiuni comise sau numărul de persoane care le-au săvârșit, numărul efectiv de personal sau numărul de vehicule. Valorile absolute sunt împărțite în individuale și totale (adică total). Individuale sunt valori absolute care exprimă dimensiunea caracteristicilor cantitative ale unităților individuale ale unui anumit set de obiecte (de exemplu, numărul de victime sau daune materiale într-un caz penal specific, vârsta sau vechimea unui anumit angajat, salariul lui etc.). Ele se obțin direct în procesul de observare statistică și se înregistrează în documentele contabile primare. Valorile absolute individuale servesc drept bază pentru orice studiu statistic.

Spre deosebire de cele individuale, valorile absolute totale caracterizează valoarea finală a unei caracteristici pentru un anumit set de obiecte acoperite de observația statistică. Ele sunt obținute fie prin numărarea directă a numărului de unități de observare (de exemplu, numărul infracțiunilor de un anumit tip), fie ca urmare a însumării valorilor atributelor unităților individuale ale populației (de exemplu, prejudiciul cauzat). prin toate crimele).

Cu toate acestea, valorile absolute luate de la sine nu oferă întotdeauna o idee corectă a fenomenelor și proceselor studiate. Prin urmare, împreună cu valorile absolute mare importanțăîn statistică au valori relative.

Comparația este tehnica principală de evaluare a datelor statistice și parte integrantă toate metodele de analiză a acestora. Cu toate acestea, o simplă comparație a două cantități nu este suficientă pentru a evalua cu exactitate relația lor. Acest raport trebuie, de asemenea, măsurat. Rolul măsurării unei astfel de relații este îndeplinit de mărimile relative.

Spre deosebire de valorile absolute, valorile relative sunt indicatori derivați. Ele sunt obținute nu ca rezultat al unei simple însumări, ci prin compararea relativă (multiple) a valorilor absolute între ele.

În funcție de natura fenomenului studiat și de obiectivele specifice ale studiului, valorile relative pot avea diferite forme ( aspect) expresii. Cea mai simplă formă de exprimare a unei mărimi relative este un număr (întreg sau fracție) care arată de câte ori o cantitate este mai mare decât alta, luată ca bază de comparație, sau ce parte o formează.

Cel mai adesea, în activitățile analitice ale organelor de afaceri interne, se utilizează o altă formă de reprezentare a numerelor relative, un raport procentual, în care valoarea de bază este luată ca 100. Pentru a determina raportul procentual, este necesar să se înmulțească rezultatul împărțirii. o valoare absolută cu alta (de bază) cu 100.

Un rol important în prelucrarea sumară a datelor statistice îi revine valorii medii. Deoarece fiecare unitate individuală a unei populații statistice are caracteristici individuale, care diferă de oricare alta ca valoare cantitativă, pentru a caracteriza proprietățile întregii populații statistice în ansamblu, se utilizează valoarea medie . În statistică, valoarea medie este înțeleasă ca un indicator care reflectă nivelul unei variabile variabile în valoare pe unitatea unei populații omogene.

Pentru a caracteriza omogenitatea unei populații statistice

În conformitate cu criteriile relevante, sunt utilizați diverși indicatori: variație, dispersie, abatere standard. Acești indicatori fac posibilă evaluarea în ce măsură valoarea medie corespunzătoare reflectă proprietățile întregii populații în ansamblu și dacă poate fi chiar utilizată ca o caracteristică generalizantă a unei anumite populații statistice. O analiză detaliată a indicatorilor enumerați este o problemă separată.

Într-o situație de risc, cunoaștem rezultatele uneia sau altei alternative și probabilitățile cu care aceste rezultate pot apărea. Adică, cunoaștem distribuția probabilității rezultatelor, astfel încât acestea pot fi reprezentate (modelate) sub forma variabilă aleatorie. În această secțiune vom aminti informații din teoria probabilității despre variabilele aleatoare și metodele de determinare a acestora, care vor fi necesare pentru studiul ulterioar al materialului din carte.

Conform definiției clasice, o mărime aleatorie este o mărime a cărei valoare poate varia aleatoriu de la experiment la experiment. Adică, în fiecare „test” poate lua o singură valoare dintr-un anumit set. Cu toate acestea, este imposibil de prezis exact ce valoare va lua.

Variabilele aleatoare sunt împărțite în discrete și continue. Un SV discret poate lua doar un set finit sau numărabil de valori. Un SV continuu poate lua orice valoare dintr-un interval închis sau deschis, inclusiv unul infinit.

3.2.2. Legea distribuției unei variabile aleatoare

O variabilă aleatoare este determinată de legea sa de distribuție. Legea distribuției se consideră specificat dacă:

• set de valori posibile ale unei variabile aleatoare (inclusiv infinit) și
• probabilitatea ca o variabilă aleatorie să cadă într-o regiune arbitrară a acestei mulțimi sau o lege (formulă) care permite calcularea unei astfel de probabilități.

În esență, probabilitatea este un indicator care caracterizează posibilitatea ca o variabilă aleatorie să apară într-o zonă dată.

Cel mai comun și răspândit mod de a determina probabilitățile sensuri diferite variabila aleatoare este sarcina funcții de distribuție a probabilității, care este prescurtat ca funcția de distribuție.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X este funcția F(x), care specifică probabilitatea ca SV să ia o valoare mai mică decât o anumită valoare x, adică:

F(x) = P(X< x)

X ("x mare") - denotă o variabilă aleatorie,

x (“x mic”) este o valoare specifică din setul de valori posibile ale unei variabile aleatoare.

Funcția de distribuție este nedescrescătoare. Pe măsură ce x tinde spre minus infinit, tinde spre zero, iar pe măsură ce x tinde spre plus infinit, tinde spre unu.

Forma de reprezentare a legii de distribuție a unei variabile aleatoare poate fi diferită și depinde dacă este o variabilă aleatoare discretă sau continuă.

Următoarele dependențe decurg din definiția funcției de distribuție:

probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia valori în intervalul de la a la b:

P(a ≤ X< b) = F(b) - F(a)

probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia valori nu mai mici decât a:

3.2.3. Modalități de reprezentare a distribuției unei variabile aleatoare discrete

Variabilă aleatorie discretă poate fi complet specificat prin funcția sa de distribuție sau seria de distribuție (tabel). Ele pot fi prezentate sub formă tabelară, analitică sau grafică.

Să presupunem că o variabilă aleatoare X poate lua trei valori posibile 25, 45 și 50 cu probabilități de 25%, 35% și, respectiv, 40%. Seria de distribuție a acestui SV va arăta astfel:

Funcția de distribuție a aceleiași variabile aleatoare, care arată probabilitatea de a nu depăși o anumită valoare, poate fi scrisă după cum urmează:

Figura 3.1 prezintă metode grafice pentru specificarea legii de distribuție a acestei variabile aleatoare discrete X.

Fig.3.1.

Pe graficul seriei de distribuție a probabilității p j, realizările fiecărei valori posibile x j sunt reprezentate de bare a căror înălțime este egală cu probabilitatea. Suma înălțimilor tuturor M barelor (adică toate probabilitățile) este egală cu unu, deoarece acopera toate valorile posibile ale lui x:

Uneori, în loc de bare, este trasată o linie întreruptă care conectează probabilitățile de realizare a valorilor SV.

Probabilitatea ca o variabilă aleatorie discretă să ia o valoare mai mică decât a este egală cu suma probabilităților tuturor rezultatelor mai mici decât a:

Prin definiție, aceasta este egală cu valoarea funcției de distribuție în punctul x = a. Dacă trasăm valorile funcției de distribuție pe planul de coordonate atunci când x „parcurge” toate valorile de la minus infinit la plus infinit, obținem un grafic al funcției de distribuție. Pentru SV discret este treptat. Pe intervalul de la minus infinit la prima valoare posibilă x 1, este egal cu zero, deoarece este imposibil să acceptăm vreo valoare pe acest interval.

În continuare, fiecare valoare posibilă x j crește funcția de distribuție cu o sumă egală cu probabilitatea de apariție a acestei valori p j . Între două valori consecutive x j și x j+1 funcția de distribuție nu se modifică, deoarece nu există alte valori posibile pentru x acolo și nu apar salturi. În cele din urmă, în punctul ultimei valori posibile a lui x M, are loc un salt de valoarea probabilității p M, iar funcția de distribuție atinge o valoare limită egală cu unu. Apoi, graficul merge la acest nivel paralel cu axa x. Nu crește niciodată mai sus, deoarece probabilitatea nu poate fi mai mare de unu.

3.2.4. Modalități de reprezentare a distribuției unei variabile aleatoare continue

Variabilă aleatoare continuă este dat şi de funcţia sa de distribuţie, prezentată, de regulă, sub formă analitică. În plus, poate fi complet descris de funcția de densitate de probabilitate f(x), care este derivata întâi a funcției de distribuție F(x):

Funcția de densitate de probabilitate este nenegativă, iar integrala sa peste limite infinite este egală cu unitatea.

Să luăm ca exemplu o variabilă aleatoare continuă distribuită după o lege normală.

Funcția sa de densitate de probabilitate este dată analitic printr-o formulă de forma:

Aici m X și σ X sunt parametri de distribuție. m X caracterizează locația centrului de distribuție, iar σ X este dispersia relativă la acest „centru”.

Se numește variabila aleatoare discret, dacă mulțimea tuturor valorilor sale posibile reprezintă un set de valori finit sau infinit, dar neapărat numărabil, adică o astfel de mulțime, ale cărei elemente pot fi (cel puțin teoretic) numerotate și scrise în succesiunea corespunzătoare.

Variabilele aleatoare enumerate mai sus, cum ar fi numărul de puncte obținute la aruncarea unui zar, numărul de vizitatori la o farmacie în timpul zilei și numărul de mere de pe un copac, sunt variabile aleatoare discrete.

Cele mai complete informații despre o variabilă aleatorie discretă sunt furnizate de legea distributiei această valoare - este corespondența dintre toate valorile posibile ale acestei variabile aleatoare și probabilitățile lor corespunzătoare.

Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete este adesea specificată sub forma unui tabel cu două linii, a cărui primă linie listează toate valorile posibile ale acestei valori (în ordine crescătoare), iar a doua linie enumeră probabilitățile corespunzătoare aceste valori:

Deoarece toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete reprezintă un sistem complet, suma probabilităților este egală cu unu ( stare de normalizare):

Exemplul 4. Există zece grupuri de studenți, numărând 12, 10, 8, 10, 9, 12, 8, 11, 10 și respectiv 9 studenți. Întocmește o lege de distribuție pentru o variabilă aleatoare X, definită ca numărul de elevi dintr-un grup selectat aleatoriu.

Soluţie. Valorile posibile ale variabilei aleatoare X luate în considerare (în ordine crescătoare) sunt 8, 9, 10, 11, 12. Probabilitatea ca într-un grup selectat aleatoriu să fie 8 elevi este egală cu

În mod similar, puteți găsi probabilitățile valorilor rămase ale variabilei aleatoare X:

Astfel, legea de distribuție dorită:

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete poate fi de asemenea specificată folosind o formulă care permite fiecărei valori posibile a acestei variabile să determine probabilitatea corespunzătoare (de exemplu, distribuția Bernoulli, distribuția Poisson). Pentru a descrie anumite caracteristici ale unei variabile aleatoare discrete, se folosește caracteristici numerice de bază: așteptări matematice, varianță și abatere standard (standard).

Așteptări matematice M (X) (se folosește și notația „μ”) a unei variabile aleatoare discrete x este suma produselor fiecăreia dintre toate valorile sale posibile cu probabilitățile corespunzătoare:

Sensul principal al așteptării matematice a unei variabile aleatoare discrete este că aceasta reprezintă valoarea medie a acestei valori. Cu alte cuvinte, dacă se efectuează un anumit număr de teste, pe baza rezultatelor cărora se găsește media aritmetică a tuturor valorilor observate ale unei variabile aleatoare discrete X, atunci această medie aritmetică este aproximativ egală (cu cât este mai precisă mai multa cantitate teste) la așteptarea matematică a unei variabile aleatoare date.

Să prezentăm câteva proprietăți ale așteptării matematice.

1. Așteptările matematice ale unei valori constante este egală cu această valoare constantă:

M(S)=C

2. Așteptările matematice ale produsului unui factor constant cu o variabilă aleatoare discretă este egală cu produsul acestui factor constant cu așteptarea matematică a acestei variabile aleatoare:

М(kX)=kM(X)

3. Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale acestor variabile:

M(X+Y)=M(X)+M(Y)

4. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:

M(X·Y)=M(X)·M(Y)

Valorile individuale ale unei variabile aleatoare discrete sunt grupate în jurul așteptării matematice ca centru. Pentru a caracteriza gradul de dispersie a valorilor posibile ale unei variabile aleatoare discrete în raport cu așteptările sale matematice, conceptul varianța unei variabile aleatoare discrete.

VariantaD(X) (se folosește și notația „σ 2 ”) a unei variabile aleatoare discrete X este așteptarea matematică a abaterii pătrate a acestei valori de la așteptarea ei matematică:

D(X)=σ 2 =M((X - μ) 2),(11)

În practică, este mai convenabil să calculați varianța folosind formula

D(X)=σ 2 =M(X 2) - μ 2, (12)

Să enumerăm principalele proprietăți ale dispersiei.

1. Varianta unei valori constante este zero:

1. Varianta oricărei variabile aleatoare este un număr nenegativ:

D(X)≥0

1. Varianța produsului unui factor constant k de o variabilă aleatoare discretă este egală cu produsul pătratului acestui factor constant cu varianța acestei variabile aleatoare:

D(kX)=k2 ·D(X).

Din punct de vedere computațional, nu varianța este mai convenabilă, ci o altă măsură a dispersiei unei variabile aleatoare X, care este cel mai des folosit - deviație standard(deviație standard sau pur și simplu standard).

Deviație standard a unei variabile aleatoare discrete este rădăcina pătrată a varianței sale:

Comoditatea abaterii standard este că are dimensiunea variabilei aleatoare în sine X, în timp ce varianța are o dimensiune reprezentând pătratul dimensiunii X.

Sfârșitul lucrării -

Acest subiect aparține secțiunii:

Elemente de teoria probabilității

Fundamentarea științifică și metodologică a temei.. teoria probabilității studiază tiparele care apar în studiul unor astfel de evenimente.. multe evenimente aleatoare pot fi cuantificate prin variabile aleatoare care iau valori în..

Dacă aveți nevoie de material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:

Ce vom face cu materialul primit:

Dacă acest material ți-a fost util, îl poți salva pe pagina ta de pe rețelele sociale:

Definiție. O variabilă aleatorie este o valoare numerică a cărei valoare depinde de rezultatul elementar particular care a avut loc ca urmare a unui experiment cu un rezultat aleatoriu. Setul tuturor valorilor pe care le poate lua o variabilă aleatoare se numește setul de valori posibile ale acestei variabile aleatoare.

Variabile aleatorii înseamnă: X, Y 1, Z i; ξ , η 1, μ i, iar valorile lor posibile sunt x 3, y 1k, z ij.

Exemplu. Într-un experiment cu aruncarea unui zar o dată, variabila aleatoare este numărul X puncte scazute. Set de valori posibile ale unei variabile aleatorii X se pare ca

{x 1 =1, x 2 =2, …, x 6 =6}.

Avem următoarea corespondență între rezultatele elementare ω și valori ale variabilelor aleatoare X:

Adică fiecare rezultat elementar ωi, i=1, …, 6, este potrivit cu numărul i.

Exemplu. Moneda este aruncată până când apare prima „stemă”. În acest experiment, puteți introduce, de exemplu, următoarele variabile aleatoare: X- numărul de aruncări până la prima apariție a unei „steme” cu multe valori posibile ( 1, 2, 3, … ) Și Y- numărul de „cifre” desenate înainte de prima apariție a „stemei”, cu multe semnificații posibile {0, 1, 2, …} (este clar ca X=Y+1). În acest experiment, spațiul rezultatelor elementare Ω poate fi identificat cu multe

{G, TsG, TsTsG, …, Ts…TsG, …},

și rezultatul elementar ( Ts...TsG) se potrivește cu numărul m+1 sau m, Unde m- numărul de repetări ale literei „C”.

Definiție. Funcția scalară X(ω), definită pe spațiul rezultatelor elementare, se numește o variabilă aleatoare dacă pentru oricare x∈ R (ω:X(ω)< x} este un eveniment.

Funcția de distribuție a variabilelor aleatoare

Pentru a studia proprietățile probabilistice ale unei variabile aleatoare, trebuie să cunoașteți o regulă care vă permite să găsiți probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare dintr-un subset al valorilor sale. Orice astfel de regulă se numește legea distribuției probabilității sau distribuția unei variabile aleatoare.

Legea distribuției generale inerentă tuturor variabilelor aleatoare este funcția de distribuție.

Definiție. Funcția de distribuție (probabilitate) a unei variabile aleatoare X apelați funcția F(x), a cărui valoare la punct X egal cu probabilitatea evenimentului (X< x} , adică un eveniment format din acele și numai acele rezultate elementare ω , pentru care X(ω)< x :

F(x) = P(X< x} .

De obicei se spune că valoarea distribuției funcționează într-un punct X este egală cu probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua o valoare mai mică decât X.

Teorema. Funcția de distribuție satisface următoarele proprietăți:

Forma tipică a funcției de distribuție.

Variabile aleatoare discrete

Definiție. Variabilă aleatorie X se numește discret dacă mulțimea valorilor sale posibile este finită sau numărabilă.

Definiție. Aproape de distribuția (probabilitatea) unei variabile aleatoare discrete X este un tabel format din două linii: linia de sus listează toate valorile posibile ale unei variabile aleatorii, iar linia de jos listează probabilitățile p i =P\(X=x i \) că variabila aleatoare va lua aceste valori.

Pentru a verifica corectitudinea tabelului, se recomandă însumarea probabilităților p i. În virtutea axiomei normalizării:

Folosind seria de distribuție a unei variabile aleatoare discrete, puteți construi funcția de distribuție a acesteia F(x). Lăsa X- , specificat prin seria sa de distribuție, și x 1< x 2 < … < x n . Apoi pentru toată lumea x ≤ x 1 eveniment (X< x} este imposibil, așadar, prin definiție F(x)=0. Dacă x 1< x≤ x 2 , apoi evenimentul (X< x} constă din acele şi numai acele rezultate elementare pentru care X(ω)=x 1. Prin urmare, F(x)=p 1. La fel, când x 2< x ≤ x 3 eveniment (X< x} constă din rezultate elementare ω , pentru care fie X(ω)=x 1, sau X(ω)=x 2, acesta este (X< x}={X=x 1 }+{X=x 2 } . Prin urmare, F(x)=p 1 +p 2 etc. La x > x n eveniment (X< x} sigur, atunci F(x)=1.

Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete poate fi specificată și analitic sub forma unei formule sau grafic. De exemplu, distribuția unei matrițe este descrisă de formula

P(X=i) = 1/6, i=1, 2, …, 6.

Câteva variabile aleatoare discrete

Distribuție binomială. Variabilă aleatorie discretă X este distribuit conform legii binomiale dacă ia valorile 0, 1, 2, ..., nîn conformitate cu distribuția dată de formula lui Bernoulli:

Această distribuție nu este altceva decât distribuția numărului de succese X V n teste folosind schema Bernoulli cu o probabilitate de succes pși eșecuri q=1-p.

Distribuția Poisson. Variabilă aleatorie discretă X este distribuit conform legii lui Poisson dacă ia valori întregi nenegative cu probabilități

Unde λ > 0 - Parametrul de distribuție Poisson.

Distribuția Poisson este numită și legea evenimentelor rare, deoarece apare întotdeauna acolo unde se efectuează un număr mare de încercări, în fiecare dintre ele există o probabilitate scăzută de apariție a unui eveniment „rar”.

În conformitate cu legea lui Poisson, de exemplu, numărul de apeluri primite în timpul zilei la centrala telefonică este distribuit; numărul de meteoriți care au căzut într-o anumită zonă; numărul de particule degradate în timpul dezintegrarii radioactive a unei substanțe.

Distribuția geometrică. Să ne uităm din nou la schema lui Bernoulli. Lăsa X- numarul de teste care trebuie efectuate inainte sa apara primul succes. Apoi X- variabilă aleatorie discretă luând valori 0, 1, 2, …, n, ... Să determinăm probabilitatea evenimentului (X=n).

• X=0, dacă succesul are loc la primul test, prin urmare, P(X=0)=p.
• X=1, dacă eșecul apare la primul test și succesul în al doilea, atunci P(X=1)=qp.
• X=2, dacă în primele două teste există eșec, iar în al treilea - succes, atunci P(X=2)=q 2 p.
• Continuând procedura, obținem P(X=i)=q i p, i=0, 1, 2, …

  O variabilă aleatoare cu o astfel de serie de distribuție se numește distribuită conform unei legi geometrice.

VARIABILE ALEATOARE

Unul dintre cele mai importante concepte din teoria probabilității (împreună cu un eveniment aleator și probabilitate) este conceptul de variabilă aleatoare.

Definiție. Prin variabilă aleatoare înțeleg o cantitate care, în urma experimentului, capătă o valoare sau alta și nu se știe dinainte care dintre ele.

Variabilele aleatoare (prescurtat r.v.) sunt notate cu majuscule latine X, Y, Z,... (sau literele grecești minuscule x (xi), h(eta), q (theta), y(psi), etc.) și posibilele lor semnificații - cu litere mici corespunzătoare X,la,z.

Exemple de r.v. poate servi ca: 1) numărul de băieți născuți dintre o sută de nou-născuți este o variabilă aleatorie care are următoarele valori posibile: 0, 1, 2, ..., 100;

2) distanța pe care o va zbura un proiectil când este tras dintr-o armă este o variabilă aleatorie. Într-adevăr, distanța depinde nu numai de instalarea lunetei, ci și de multe alte motive (tăria și direcția vântului, temperatură etc.) care nu pot fi luate în considerare pe deplin. Valorile posibile ale acestei cantități aparțin unui anumit interval ( A, b).

3) X– numărul de puncte care apar la aruncarea unui zar;

4) Y– numărul de lovituri până la prima lovitură pe țintă;

5) Z– timpul de funcționare al dispozitivului etc. (înălțimea persoanei, cursul de schimb al dolarului, numărul de piese defecte dintr-un lot, temperatura aerului, câștigurile jucătorului, coordonatele unui punct când este selectat aleatoriu pe , profitul companiei, ...).

În primul exemplu, variabila aleatoare X ar putea lua una dintre următoarele valori posibile: 0, 1, 2, . . ., 100. Aceste valori sunt separate una de alta prin intervale în care nu există valori posibile X. Astfel, în acest exemplu, variabila aleatoare ia valori posibile separate, izolate. În al doilea exemplu, variabila aleatoare ar putea lua oricare dintre valorile intervalului ( A, b). Aici este imposibil să se separe o valoare posibilă de alta printr-un interval care nu conține valori posibile ale variabilei aleatoare.

Deja din cele spuse, putem concluziona că este indicat să facem distincție între variabile aleatoare care iau doar valori individuale, izolate și variabile aleatoare ale căror posibile valori umplu complet un anumit interval.

Definiție. Discret(discontinuă) este o variabilă aleatoare (abreviată d.r.v.), care ia valori posibile individuale, numărabile, cu anumite probabilități. Numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare discrete poate fi finit sau infinit.

Definiție. Dacă setul de valori posibile ale r.v. nenumărabil, atunci se numește o astfel de cantitate continuu(prescurtat n.s.v.). O variabilă aleatoare continuă poate lua toate valorile dintr-un interval finit sau infinit. Evident, numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit.

Variabile aleatoare XȘi Y(exemplele 3 și 4) sunt discrete. S.v. Z(exemplul 5) este continuă: valorile sale posibile aparțin intervalului )