Metoda liniarizării armonice. Metoda liniarizării armonice: Orientări pentru lucrul de laborator Analiza unui sistem neliniar prin metoda liniarizării armonice

Să ilustrăm calculul coeficienților de liniarizare armonică cu mai multe exemple: mai întâi pentru vibrațiile simetrice, apoi pentru cele asimetrice. Să observăm mai întâi că dacă neliniaritatea impar-simetrică F(x) este cu o singură valoare, atunci, conform (4.11) și (4.10), obținem

iar la calcul q(4.11) ne putem limita la integrare pe un sfert de perioadă, de patru ori rezultatul, și anume

Pentru neliniaritatea buclei F(x) (impar-simetrică), expresia completă (4.10) va fi valabilă

și puteți folosi formulele

adică dublarea rezultatului integrării pe o jumătate de ciclu.

Exemplul 1. Să studiem neliniaritatea cubică (Fig. 4.4, i):

Dependenta q(a) prezentat în Fig. 4.4, b. Din fig. 4.4, A este clar că pentru o amplitudine dată sunt drept q(a)x face media dependenței curbilinii F(x) de un dat

complot -a£ X£ . A. Normal, e misto q(a) panta acestei drepte de mediere q(a)x crește cu amplitudinea A(pentru o caracteristică cubică această creștere are loc conform unei legi pătratice).

Exemplul 2. Să studiem caracteristica releului buclei (Fig. 4.5, a). În fig. 4.5,6 este prezentată funcția integrand F(a sin y) pentru formulele (4.21). Comutarea releului are loc la ½ X½= b , Prin urmare, în momentul comutării, valoarea y1 este determinată de expresia sin y1= b /A. Folosind formulele (4.21) obținem (pentru A³b)

În fig. 4.5, b prezintă grafice ale lui q(a) și q"(a). Prima dintre ele arată modificarea pantei dreptei de mediere q( A)x s Schimbare A(vezi Fig. 4.5, a). Desigur, q( A)à0 la аа¥ at, deoarece semnalul de ieșire rămâne constant (F( X)=c)pentru orice creștere nelimitată a semnalului de intrare X. Din considerente fizice este clar și de ce q" <0. Это коэффициент при производной в формуле (4.20). Положительный знак давал бы опережение сиг­нала на выходе, в то время как гистерезисная петля дает запаздывание. Поэтому естественно, что q" < 0. Абсолют­ное значение q" scade cu creșterea amplitudinii a, deoarece este clar că bucla va ocupa partea mai mică a „secțiunii de lucru” a caracteristicii F( X), cu atât amplitudinea oscilaţiilor variabilei este mai mare X.

Caracteristica amplitudine-fază a unei astfel de neliniarități (Fig. 4.5, a), conform (4.13). prezentat sub formă

Mai mult, amplitudinea și faza primei armonice la ieșirea neliniarității au forma, respectiv

Unde qȘi q" definite mai sus (Fig. 4.5, b). În consecință, liniarizarea armonică transformă decalajul de coordonate neliniar (bucla de histerezis) într-un decalaj de fază echivalent, caracteristic sistemelor liniare, dar cu o diferență semnificativă - dependența defazării de amplitudinea oscilațiilor de intrare, care nu este prezentă în sistemele liniare. .

Exemplul 3. Studiem caracteristicile releului fără ambiguitate (Fig. 4.6, a, V). Similar cu precedenta, obtinem, respectiv

ceea ce este prezentat în fig. 4.6, b, a.

Exemplul 4. Să studiem o caracteristică cu o zonă moartă, o secțiune liniară și saturație (Fig. 4.7, a). Aici q"= 0, iar coeficientul q(A) are două variante de valori în conformitate cu Fig. 4.7, b, unde F (a sin y) este construit pentru ei:

1) pentru b1 £ a £ b2, conform (4.19), avem

că luând în considerare raportul A sin y1 = b 1 dă

2) pentru a ³ b2

care, ținând cont de relația a sin y2 = b2 o dă

Rezultatul este prezentat grafic în Fig. 4.7, a.

Exemplul 5. Ca cazuri speciale, coeficienții corespunzători q(a) pentru două caracteristici (Fig. 4.8, a, b) sunt egale

care este prezentat grafic în Fig. 4.8, b, d. Mai mult, pentru caracteristica cu saturație (Fig. 4.8, a) avem q= k la 0 £ A£ b.

Să arătăm acum exemple de calcul al coeficienților de liniarizare armonică pentru vibratii asimetrice cu aceleaşi neliniarităţi.

Exemplul 6. Pentru cazul neliniarității cubice F( X) =kx 3 conform formulei (4.16) avem

și conform formulelor (4.17)

Exemplul 7. Pentru caracteristica unui releu de buclă (Fig. 4.5, A) folosind aceleași formule pe care le avem

Exemplul 8. Pentru o caracteristică cu zonă moartă (Fig. 4.1:1), se vor aplica aceleași expresii F°Și q. Graficele lor sunt prezentate în Fig. 4.9, a, b.în care q"== 0. Pentru o caracteristică de releu ideală (Fig. 4.10) obţinem

ceea ce este prezentat în fig. 4.10, a și b.

Exemplul 9. Pentru o caracteristică cu o secțiune liniară q saturație (Fig. 4.11, a) pentru a ³ b+½ X 0 ½ avem

Aceste dependențe sunt prezentate sub formă de grafice în Fig. 4.11, b, V.

Exemplul 10. Pentru o caracteristică asimetrică

(Fig. 4. 12, a) folosind formula (4.l6) găsim

și conform formulelor (4.17)

Rezultatele sunt prezentate grafic în Fig. 4.12, bȘi V.

Expresiile și graficele coeficienților de liniarizare armonică obținuți în aceste exemple vor fi folosite mai jos la rezolvarea problemelor de cercetare

auto-oscilații, oscilații forțate și procese de control.

Pe baza proprietății de filtru a părții liniare a sistemului (Lectura 12), căutăm o soluție periodică a sistemului neliniar (Fig. 4.21) la intrarea elementului neliniar aproximativ sub forma

x = a păcat w t (4.50)

cu oameni necunoscuti Ași W. Este specificată forma neliniarității = F( X) și funcția de transfer a părții liniare

Se realizează liniarizarea armonică a neliniarității

ceea ce duce la funcţia de transfer

Răspunsul în frecvență amplitudine-fază al sistemului de circuit deschis ia forma

O soluție periodică a sistemului liniarizat (4.50) se obține dacă ecuația caracteristică conține sistem închis perechi de rădăcini pur imaginare.

Și conform criteriului Nyquist, aceasta corespunde pasajului W(j w) prin punctul -1. În consecință, soluția periodică (4.50) este determinată de egalitate

Ecuația (4.51) determină amplitudinea necesară Ași frecvența w a soluției periodice. Această ecuație poate fi rezolvată grafic după cum urmează. Pe planul complex (U, V), răspunsul în frecvență amplitudine-fază al părții liniare Wl( j w) (Fig. 4.22), precum și caracteristica inversă amplitudine-fază a neliniarității cu semnul opus -1 / Wн( A). Punct ÎN intersecţia lor (Fig. 4.22) şi determină valorile Ași w și valoarea A numărat de-a lungul curbei -1 / Wн (a) , iar valoarea lui w este conform curbei Wл (jw).

În schimb, putem folosi două ecuații scalare care decurg din (4.51) și (4.52):

care determină şi cele două cantităţi căutate Ași W.

Este mai convenabil să folosiți ultimele două ecuații pe o scară logaritmică, folosind logaritmică

caracteristicile de frecvență ale părții liniare. Atunci, în loc de (4.53) și (4.54) vom avea următoarele două ecuații:

În fig. 4.23 în stânga sunt grafice ale părților din stânga ecuațiilor (4.55) și (4.56), iar în dreapta sunt părțile din dreapta acestor ecuații. În acest caz, de-a lungul axei absciselor din stânga, frecvența w este trasată, ca de obicei, pe o scară logaritmică, iar în dreapta este amplitudinea A la scară naturală. Soluția acestor ecuații vor fi următoarele valori Ași w, astfel încât ambele egalități (4.55) și (4.56) sunt observate simultan. Această soluție este prezentată în Fig. 4.23 cu linii subțiri sub formă de dreptunghi.

Evident, nu va fi posibil să ghicim imediat această soluție. Prin urmare, se fac încercări, prezentate în linii întrerupte. Ultimele puncte ale acestor dreptunghiuri de probă M1 și M2 nu se încadrează în faza caracteristică neliniarității. Dar dacă sunt situate pe ambele părți ale caracteristicii, ca în Fig. 4.23, atunci soluția se găsește prin interpolare - prin trasarea dreptei MM1 .

Găsirea unei soluții periodice este simplificată în cazul neliniarității clare F( X). Apoi q"= 0 și ecuațiile (4.55) și (4.56) iau forma

Soluția este prezentată în Fig. 4.24.

Orez . 4.24.

După determinarea unei soluții periodice, este necesar să se investigheze stabilitatea acesteia. După cum sa menționat deja, o soluție periodică apare în cazul în care caracteristica amplitudine-fază a circuitului deschis

trece prin punctul -1. Să dăm amplitudinii o abatere D A. Sistemul va reveni la o soluție periodică dacă la D A> 0 oscilații se sting, iar la D A < 0 - расходятся. Следовательно, при DA> 0 caracteristica W(jw, A) trebuie deformată (Fig. 4.25) astfel încât la D A> 0 a fost îndeplinit criteriul de stabilitate Nyquist, iar pentru D A < 0 - нарушался.

Deci se cere ca la o frecvență dată w să existe

Rezultă că în fig. 4.22 citire de amplitudine pozitivă A de-a lungul curbei -1/Wн ( A) trebuie îndreptată din interior spre exterior prin curba Wл (jw) , după cum arată săgeata. În caz contrar, soluția periodică este instabilă.

Să ne uităm la exemple.

Fie ca amplificatorul din sistemul de urmărire (fig. 4.13, a) să aibă caracteristica releului(Fig. 4.17, A). Pa fig. 4.17, b un grafic al coeficientului de liniarizare armonică q( A), și q’( A) =0. Pentru a determina soluția periodică folosind metoda frecvenței, conform Fig. 4.22, trebuie să examinăm expresia

Din formula (4.24) obținem pentru această neliniaritate

Graficul acestei funcții este prezentat în Fig. 4.26.

Funcția de transfer a părții liniare are forma

Caracteristica amplitudine-fază pentru aceasta este prezentată în Fig. 4.27. Funcția -1 / Wн ( A), fiind în acest caz real (Fig. 4.26), se încadrează în întregime pe partea negativă a axei reale (Fig. 4.27). În acest caz, în zona de modificare a amplitudinii b £ A£ b amplitudinea este măsurată de la stânga din exterior în curba Wл(jw), iar în secțiune A>b - inversat. Prin urmare, primul punct de intersecție ( A 1) dă o soluție periodică instabilă, iar a doua ( A 2) - stabil (autooscilații). Aceasta este în concordanță cu soluția anterioară (exemplul 2 cursul 15, 16).

Să luăm în considerare și cazul caracteristicile releului buclei(Fig. 4.28, a) în același sistem de urmărire (Fig. 4.13, a). Răspunsul în frecvență amplitudine-fază al părții liniare este același (Fig. 4.28, b). Expresia pentru curba –1/Wн( A), conform (4.52) și (4.23), ia forma

Aceasta este o linie dreaptă paralelă cu axa absciselor (Fig. 4.28, b), cu citirea amplitudinii A de la dreapta la stânga. Intersecția va da o soluție periodică stabilă (auto-oscilații). Pentru a obține grafice de amplitudine și frecvență

din k l , prezentat în Fig. 4.20, necesar în Fig. 4.28 construiți o serie de curbe Wл(jw) pentru fiecare valoare k l și găsiți în punctele lor de intersecție cu dreapta –1/Wн( A) valorile corespunzătoare Ași W.

Metoda de liniarizare armonică (echilibrul armonic) vă permite să determinați condițiile de existență și parametrii posibilelor auto-oscilații în sistemele de control automat neliniar. Autooscilațiile sunt determinate de cicluri limită în spațiul de fază al sistemelor. Ciclurile limită împart spațiul (în general - multidimensionale) în regiunea proceselor de decădere și divergente. Ca urmare a calculării parametrilor auto-oscilațiilor, se poate face o concluzie despre admisibilitatea acestora pentru un sistem dat sau despre necesitatea modificării parametrilor sistemului.

Metoda permite:

Determinați condițiile de stabilitate pentru un sistem neliniar;

Aflați frecvența și amplitudinea oscilațiilor libere ale sistemului;

Sintetizați circuite de corecție pentru a asigura parametrii necesari de auto-oscilații;

Investigați oscilațiile forțate și evaluați calitatea proceselor tranzitorii în sistemele de control automat neliniar.

Condiții de aplicabilitate a metodei liniarizării armonice.

1) Când se utilizează metoda se presupune că liniar o parte a sistemului este stabilă sau neutră.

2) Semnalul de la intrarea legăturii neliniare are o formă apropiată de semnalul armonic. Această prevedere necesită clarificări.

Figura 1 prezintă diagramele bloc ale unui sistem de control automat neliniar. Circuitul este format din legături conectate în serie: o legătură neliniară y=F(x) și una liniară

th, care este descris de ecuația diferențială

Când y = F(g - x) = g - x obținem ecuația de mișcare a sistemului liniar.

Să luăm în considerare libera circulație, adică pentru g(t) º 0. Apoi,

În cazul în care în sistem există auto-oscilații, mișcarea liberă a sistemului este periodică. Mișcarea neperiodică în timp se termină cu oprirea sistemului la o anumită poziție finală (de obicei la un limitator special prevăzut).

Pentru orice formă de semnal periodic la intrarea unui element neliniar, semnalul de la ieșire va conține armonici mai mari în plus față de frecvența fundamentală. Presupunerea că semnalul de la intrarea părții neliniare a sistemului poate fi considerat armonic, adică

x(t)@a×sin(greutate),

unde w=1/T, T este perioada de oscilații libere a sistemului, este echivalentă cu ipoteza că partea liniară a sistemului este efectiv filtre armonici superioare ale semnalului y(t) = F(x (t)).

În cazul general, când un element neliniar al unui semnal armonic x(t) acţionează la intrare, semnalul de ieşire poate fi transformat Fourier:

Coeficienții seriei Fourier

Pentru a simplifica calculele, presupunem că C 0 =0, adică că funcția F(x) este simetrică față de origine. O astfel de limitare nu este necesară și se face prin analiză. Apariția coeficienților C k ¹ 0 înseamnă că, în cazul general, conversia semnalului neliniar este însoțită de schimbări de fază ale semnalului convertit. În special, acest lucru se întâmplă în neliniarități cu caracteristici ambigue (cu diferite tipuri de bucle de histerezis), atât întârziere, cât și, în unele cazuri, avans de fază.

Ipoteza de filtrare eficientă înseamnă că amplitudinile armonicilor superioare la ieșirea părții liniare a sistemului sunt mici, adică

Îndeplinirea acestei condiții este facilitată de faptul că în multe cazuri amplitudinile armonicilor direct la ieșirea neliniarității se dovedesc a fi semnificativ mai mici decât amplitudinea primei armonici. De exemplu, la ieșirea unui releu ideal cu un semnal armonic la intrare

y(t)=F(с×sin(greutate))=a×semn(sin(greutate))

nu există armonice pare, iar amplitudinea celei de-a treia armonice este de trei ori mai mică decât amplitudinea primei armonice

Hai să o facem evaluarea gradului de suprimare armonici superioare ale semnalului în partea liniară a ACS. Pentru a face acest lucru, vom face o serie de ipoteze.

1) Frecvența oscilațiilor libere ale ACS aproximativ egală cu frecvența de tăiere partea sa liniară. Rețineți că frecvența oscilațiilor libere a unui ACS neliniar poate diferi semnificativ de frecvența oscilațiilor libere a unui sistem liniar, astfel încât această ipoteză nu este întotdeauna corectă.

2) Să luăm indicele de oscilație ACS egal cu M=1,1.

3) LAC în vecinătatea frecvenței de tăiere (w c) are o pantă de -20 dB/dec. Limitele acestei secțiuni a LAC sunt legate de indicele de oscilație prin relații

4) Frecvența w max se conjugă cu secțiunea LFC, astfel încât la w > w max panta LAC nu este mai mică de minus 40 dB/dec.

5) Neliniaritate - un releu ideal cu caracteristica y = semn(x), astfel încât numai armonicile impare vor fi prezente la ieșirea sa de neliniaritate.

Frecvențele celei de-a treia armonice w 3 = 3w c, a cincea w 5 = 5w c,

logw 3 = 0,48+logw c ,

logw 5 = 0,7+logw c .

Frecvența w max = 1,91w s, logw max = 0,28+lgw s. Frecvența colțului este la 0,28 decenii distanță de frecvența de tăiere.

Scăderea amplitudinii armonicilor superioare ale semnalului atunci când acestea trec prin partea liniară a sistemului va fi pentru a treia armonică.

L 3 = -0,28×20-(0,48-0,28)×40 = -13,6 dB, adică de 4,8 ori,

pentru a cincea - L 5 = -0,28×20-(0,7-0,28)×40 = -22,4 dB, adică de 13 ori.

În consecință, semnalul de la ieșirea părții liniare va fi aproape de armonic

Acest lucru este echivalent cu presupunerea că sistemul este un filtru trece-jos.

Când un semnal armonic este aplicat la intrarea unui sistem liniar

Un semnal armonic este de asemenea stabilit la ieșirea sistemului, dar cu o amplitudine și o fază diferită față de intrare. Dacă un semnal sinusoidal este aplicat la intrarea unui element neliniar, atunci se formează oscilații periodice la ieșirea acestuia, dar forma lor este semnificativ diferită de cele sinusoidale. Ca exemplu în Fig. Figura 8.17 arată natura modificării variabilei de ieșire a unui element neliniar cu o caracteristică de releu (8.14) când oscilațiile sinusoidale (8.18) ajung la intrarea acestuia.

Expandând semnalul periodic la ieșirea unui element neliniar într-o serie Fourier, îl reprezentăm ca suma unei componente constante și a unui număr infinit de componente armonice:

, (8.19)

Unde – coeficienții constanți ai seriei Fourier; – frecvența oscilațiilor primei armonice (frecvența fundamentală), egală cu frecvența oscilațiilor sinusoidale de intrare; T - perioada de oscilație a primei armonice, egală cu perioada oscilațiilor sinusoidale de intrare.

Semnalul de ieșire al elementului neliniar este alimentat la intrarea părții liniare a ACS (vezi Fig. 8.1), care, de regulă, are o inerție semnificativă. În acest caz, componentele de înaltă frecvență ale semnalului (8.19) practic nu trec la ieșirea sistemului, adică. partea liniară este un filtru în raport cu componentele armonice de înaltă frecvență. În acest sens, și ținând cont, de asemenea, că amplitudinile componentelor armonice descresc odată cu creșterea frecvenței armonice, pentru o estimare aproximativă a valorii de ieșire a unui element neliniar, într-un număr mare de cazuri este suficient să se ia în considerare doar prima componentă armonică în.

În consecință, în absența unei componente constante în oscilațiile de ieșire, expresia (8.19) poate fi scrisă aproximativ ca:

Exprimând funcția din formula (8.20) și din derivată – funcția , transformăm expresia (8.20) după cum urmează:

. (8.21)

Astfel, dependența neliniară a mărimii de ieșire de mărimea de intrare într-un element neliniar este aproximativ înlocuită cu o dependență liniară descrisă de expresia (8.21).

După ce am efectuat transformarea Laplace în expresia (8.21), obținem:

În ceea ce privește legăturile continue, introducem în considerare funcția de transfer a unui element liniarizat armonic neliniar , ca raport dintre imaginea cantității de ieșire și imaginea cantității de intrare:

. (8.22)

Tabelul 8.1

Coeficienți de liniarizare armonică pentru neliniarități tipice

Caracteristica statică a unui element neliniar
Caracteristică liniară cu bandă moartă
Caracteristică liniară cu limitare
Caracteristică liniară cu bandă moartă și limitare
Caracteristică de reacție
Caracteristica releului ideal
Caracteristică fără ambiguitate a releului cu bandă moartă
Caracteristica releului ambiguă cu zonă moartă
Parabola cubica:
„bucla de histerezis” caracteristică

Funcția de transfer a unui element neliniar are o diferență semnificativă față de funcția de transfer a unui sistem liniar, deoarece depinde de amplitudinea și frecvența semnalului de intrare.

Scriem expresia (8.22) sub forma:

q(A) + q 1 (A), (8.23)

Unde q(A),q 1 (A)– coeficienții de liniarizare armonică, definiți ca raportul dintre coeficienții seriei Fourier pentru prima armonică a oscilațiilor de ieșire și amplitudinea oscilațiilor de intrare:

q(A) = q 1 (A) = . (8.24)

Înlocuirea în expresie (8.23) R pe , obținem o expresie pentru coeficientul de transmisie complex al unui element neliniar :

q(A) +j q 1 (A), (8.25)

care este un analog al AFC pentru o legătură liniară.

Ca exemplu, să definim o expresie pentru coeficientul de transmisie complex al unui element neliniar cu o caracteristică statică de releu (8.14). Coeficienții seriei Fourier A 1 Și B 1 pentru neliniaritatea specificată sunt egale cu:

B 1 .

Evident, coeficientul B 1 va fi egal cu zero pentru orice element neliniar cu neliniaritate statică impar-simetrică.

Unde - funcția de transfer a părții liniare a sistemului; - funcția de transfer a unui element neliniar după liniarizarea acestuia.

Dacă , atunci expresia (8.26) poate fi scrisă ca:

Înlocuirea în expresie (8.27) R pe , obținem o expresie complexă în care este necesar să distingem părțile reale și imaginare:

[ q(A) +j q 1 (A) ] . (8.28)

În acest caz, scriem condiția pentru apariția oscilațiilor periodice într-un sistem cu frecvență și amplitudine:

(8.29)

Dacă soluțiile sistemului (8.29) sunt complexe sau negative, regimul auto-oscilațiilor în sistem este imposibil. Prezența unor soluții reale pozitive pentru și indică prezența auto-oscilațiilor în sistem, care trebuie verificate pentru stabilitate.

Ca exemplu, vom găsi condițiile pentru apariția auto-oscilațiilor într-un sistem de control automat dacă funcția de transfer a părții sale liniare este egală cu:

(8.30)

și un element neliniar de tip „buclă de histerezis”.

Funcția de transfer a unui element neliniar liniarizat armonic (vezi Tabelul 8.1) are forma:

. (8.31)

Înlocuirea expresiilor (8.30) și (8.31) în expresia (8.26) și înlocuirea R pe , găsim o expresie pentru:

De aici, în conformitate cu expresia (8.29), obținem următoarele condiții pentru apariția auto-oscilațiilor în sistem:

Rezolvarea sistemului de ecuații (8.29) este de obicei dificilă, deoarece coeficienții de liniarizare armonică au o dependență complexă de amplitudinea semnalului de intrare. În plus, pe lângă determinarea amplitudinii și frecvenței, este necesar să se evalueze stabilitatea auto-oscilațiilor în sistem.

Condițiile pentru apariția auto-oscilațiilor într-un sistem neliniar și parametrii ciclurilor limită pot fi studiate folosind criterii de stabilitate a frecvenței, de exemplu, criteriul de stabilitate Nyquist. Conform acestui criteriu, în prezența auto-oscilațiilor, caracteristica amplitudine-fază a unui sistem liniarizat armonic în buclă deschisă este egală cu

trece prin punctul (-1, j0). Prin urmare, pentru și următoarea egalitate este valabilă:

. (8.32)

Soluția ecuației (8.32) privind frecvența și amplitudinea autooscilațiilor poate fi obținută grafic. Pentru a face acest lucru, pe planul complex este necesar, prin schimbarea frecvenței de la 0 la , să se construiască un hodograf al AFC a părții liniare a sistemului și, prin modificarea amplitudinii A de la 0 la , construiți o hodografă a caracteristicii inverse a părții neliniare, luată cu semnul minus. Dacă aceste hodografe nu se intersectează, atunci modul de auto-oscilație nu există în sistemul studiat (Fig. 8.18, b).

Când hodografele se intersectează (Fig. 8.18, a), în sistem apar auto-oscilații, a căror frecvență și amplitudine sunt determinate de valorile și la punctul de intersecție.

Dacă și - se intersectează în mai multe puncte (Fig. 8.18, a), atunci aceasta indică prezența mai multor cicluri limită în sistem. În acest caz, oscilațiile din sistem pot fi stabile și instabile.

Stabilitatea modului auto-oscilator este evaluată după cum urmează. Modul de auto-oscilație este stabil dacă punctul de pe hodograful părții neliniare, corespunzător unei amplitudini mai mari decât valoarea în punctul de intersecție a hodografelor, nu este acoperit de hodograful răspunsului în frecvență al părții liniare a sistemul. În caz contrar, modul auto-oscilator este instabil.

În fig. 8.18, iar hodografele se intersectează în punctele 1 și 2. Punctul 1 determină modul instabil al auto-oscilațiilor, deoarece punctul hodograf corespunzător amplitudinii crescute este acoperit de hodograful răspunsului în frecvență al părții liniare a sistemului. Punctul 2 corespunde unui mod stabil de auto-oscilații, a cărui amplitudine este determinată de hodograf și frecvența - de hodograf.

Ca exemplu, să evaluăm stabilitatea auto-oscilațiilor în două sisteme neliniare. Vom presupune că funcțiile de transfer ale părților liniare ale acestor sisteme coincid și sunt egale:

,

dar elementele neliniare incluse în ele sunt diferite. Fie primul sistem să includă un element neliniar „releu ideal”, descris de sistemul (8.14), iar al doilea sistem să includă un element neliniar cu o caracteristică statică „parabolă cubică”. Folosind datele din tabelul 8.1, obținem:

În fig. 8.19 prezintă hodografele acestor sisteme împreună cu hodograful AFC al părții liniare a sistemului. Pe baza celor de mai sus, se poate susține că în primul sistem apar auto-oscilații stabile cu frecvența și amplitudinea, iar în cel de-al doilea sistem auto-oscilațiile sunt instabile.

Ideea metodei de liniarizare armonică îi aparține lui N.M. Krylov și N.N. Bogolyubov și se bazează pe înlocuirea unui element neliniar al sistemului cu o legătură liniară, ai cărui parametri sunt determinați sub o acțiune de intrare armonică din condiția egalității amplitudinilor primelor armonici la ieșirea elementului neliniar și legătura liniară echivalentă. Această metodă poate fi utilizată în cazul în care partea liniară a sistemului este un filtru trece-jos, de ex. filtrează toate componentele armonice care apar la ieșirea unui element neliniar, cu excepția primei armonice.

Coeficienți de liniarizare armonică și coeficienți de transmisie complecși echivalenti ai elementelor neliniare. Într-un sistem neliniar (Fig. 2.1), parametrii părții liniare și ai elementului neliniar sunt aleși în așa fel încât să existe oscilații periodice simetrice cu frecvența w.

Metoda liniarizării armonice a neliniarităților (Fig. 2.10), descrisă de ecuație

y n = F(x), (2,17)

ipoteza este că la intrarea elementului neliniar se aplică o influență armonică cu frecvența w și amplitudinea A, adică

x = A sin y, unde y = wt, (2.18)

iar din întregul spectru al semnalului de ieșire este izolată doar prima armonică

y n 1 = A n 1 sin(y + y n 1), (2.19)

Unde A n 1 - amplitudine și y n 1 - defazare;

în acest caz, armonicile superioare sunt eliminate și se stabilește o conexiune între prima armonică a semnalului de ieșire și efectul armonic de intrare al elementului neliniar.

Orez. 2.10. Caracteristicile unui element neliniar

În cazul insensibilității unui sistem neliniar la armonici superioare, elementul neliniar poate fi, într-o primă aproximare, înlocuit cu un element cu un coeficient de transmisie echivalent, care determină prima armonică a oscilațiilor periodice la ieșire în funcție de frecvență și amplitudinea oscilațiilor sinusoidale la intrare.

Pentru elementele neliniare cu caracteristica (2.17), ca urmare a extinderii funcției periodice F(x) într-o serie Fourier cu oscilații sinusoidale la intrare (2.18), obținem o expresie pentru prima armonică a semnalului de ieșire

y n 1 = b 1F siny + a 1F confortabil, (2.20)

unde b 1F, a 1F sunt coeficienții de expansiune din seria Fourier care determină amplitudinile componentelor în fază și, respectiv, în cuadratura ale primei armonice, care sunt determinate de formulele:

px = A w cos y, unde p = d/dt,

atunci relația dintre prima armonică a oscilațiilor periodice la ieșirea unui element neliniar și oscilațiile sinusoidale la intrarea sa poate fi scrisă sub forma

y n 1 = x, (2,21)

unde q = b 1F / A, q¢ = a 1F / A.

Ultima ecuație se numește ecuația de liniarizare armonicăși coeficienții q și q¢ - coeficienţii de liniarizare armonică.

Astfel, un element neliniar sub influența unui semnal armonic, până la armonici superioare, este descris prin ecuația (2.21), care este liniară. Această ecuație a unui element neliniar diferă de ecuația unui element liniar prin aceea că coeficienții săi q și q¢ se modifică atunci când se modifică amplitudinea Aşi frecvenţa w a oscilaţiilor la intrare. Aceasta este tocmai diferența fundamentală dintre liniarizarea armonică și liniarizarea convențională, ai căror coeficienți nu depind de semnalul de intrare, ci sunt determinați doar de tipul de caracteristică a elementului neliniar.

Pentru tipuri variate caracteristici neliniare, coeficienții de liniarizare armonică sunt rezumați în tabel. În cazul general, coeficienții de liniarizare armonică q( A, w) și q¢( A, w) depind de amplitudine Aşi frecvenţa w a oscilaţiilor la intrarea elementului neliniar. Cu toate acestea, pentru neliniaritățile statice acești coeficienți q( A) și q¢( A) sunt doar o funcție de amplitudine A semnal armonic de intrare, iar pentru neliniaritățile statice cu o singură valoare coeficientul q¢( A) = 0.

Supunând ecuația (2.21) transformării Laplace în condiții inițiale zero cu înlocuirea ulterioară a operatorului s cu jw (s = jw), obținem câștig complex echivalent element neliniar

W E (jw, A) = q + jq¢ = A E (w, A) e j y e (w , A) , (2.22)

unde modulul și argumentul coeficientului de transmisie complex echivalent sunt legate de coeficienții de liniarizare armonică prin expresii

A E (w, A) = mod W E (jw, A) =

y E (w, A) = arg W E (jw, A) = arctg.

Coeficientul de transmisie complex echivalent al unui element neliniar face posibilă determinarea amplitudinii și defazajului primei armonici (2.19) la ieșirea elementului neliniar sub influență armonică (2.18) la intrarea sa, i.e.

A n 1 = A„A E (w, A); y n 1 = y E (w, A).

Studiul modurilor periodice simetrice în sisteme neliniare. Când se studiază sistemele neliniare bazate pe metoda liniarizării armonice, se rezolvă mai întâi problema existenței și stabilității modurilor periodice. Dacă modul periodic este stabil, atunci sistemul conține auto-oscilații cu frecvența w 0 și amplitudine A 0 .

Să considerăm un sistem neliniar (Fig. 2.5), care include o parte liniară cu o funcție de transfer

și un element neliniar cu un câștig complex echivalent

W E (jw, A) = q(w, A) + jq¢(w, A) = A E (w, A) e j y e (w , A) . (2.24)

Ținând cont de expresia (2.21), putem scrie ecuația sistemului neliniar

(A(p) + B(p)´)x = 0. (2.25)

Dacă apar autooscilații într-un sistem neliniar închis

x = A 0 sin w 0 t

cu amplitudine și frecvență constante, atunci coeficienții de liniarizare armonică se dovedesc a fi constanți, iar întregul sistem este staționar. Pentru a evalua posibilitatea apariției auto-oscilațiilor într-un sistem neliniar utilizând metoda liniarizării armonice, este necesar să se găsească condițiile limitei de stabilitate, așa cum sa făcut la analiza stabilității sistemelor liniare. O soluție periodică există dacă A = A 0 și w = w 0 ecuație caracteristică a unui sistem liniarizat armonic

A(p) + B(p)´ = 0 (2,26)

are o pereche de rădăcini imaginare l i = jw 0 și l i +1 = -jw 0 . Stabilitatea soluției trebuie evaluată în continuare.

În funcție de metodele de rezolvare ecuație caracteristică Există diferite metode pentru studierea sistemelor neliniare.

Metoda analitica. Pentru a evalua posibilitatea ca auto-oscilații să apară într-un sistem neliniar, jw este înlocuit cu p în polinomul caracteristic liniarizat armonic al sistemului

D(jw, A) = A(jw) + B(jw)´. (2,27)

Ca rezultat, obținem ecuația D(jw, A) = 0, ai căror coeficienți depind de amplitudinea și frecvența modului auto-oscilator presupus. Având izolat părțile reale și imaginare

Roșu(jw, A) = X(w, A);

sunt D(jw, A) = Y(w, A),

obținem ecuația

X(w, A) + jY(w, A) = 0. (2.28)

Dacă pentru valori reale A 0 și w 0 expresia (2.28) este satisfăcută, atunci este posibil un mod auto-oscilator în sistem, ai cărui parametri sunt calculați folosind următorul sistem de ecuații:

Din expresiile (2.29) se poate găsi dependența amplitudinii și frecvenței auto-oscilațiilor de parametrii sistemului, de exemplu, de coeficientul de transmisie k al părții liniare a sistemului. Pentru a face acest lucru, este necesar să se considere coeficientul de transmisie k ca o valoare variabilă în ecuațiile (2.29), adică. scrieți aceste ecuații sub forma:

Conform programelor A 0 = f(k), w 0 = f(k) puteți alege coeficientul de transmisie k, la care amplitudinea și frecvența posibilelor auto-oscilații au valori acceptabile sau sunt absente cu totul.

Metoda frecvenței. În conformitate cu criteriul de stabilitate Nyquist, oscilațiile neamortizate într-un sistem liniar apar în cazul în care caracteristica amplitudine-fază a unui sistem în buclă deschisă trece printr-un punct cu coordonatele [-1, j0]. Această condiție este și o condiție pentru existența auto-oscilațiilor într-un sistem neliniar liniarizat armonic, i.e.

W n (jw, A) = -1. (2.31)

Deoarece părțile liniare și neliniare ale sistemului sunt conectate în serie, răspunsul în frecvență al sistemului neliniar în buclă deschisă are forma

W n (jw, A) = W lch (jw)´W E (jw, A). (2.32)

Atunci, în cazul unei caracteristici statice a unui element neliniar, condiția (2.31) ia forma

W lch (jw) = - . (2,33)

Soluția ecuației (2.33) privind frecvența și amplitudinea autooscilațiilor poate fi obținută grafic ca punct de intersecție al hodografului răspunsului în frecvență al părții liniare a sistemului W lch (jw) și hodograful inversului. caracteristică piesei neliniare, luată cu semnul opus (Fig. 2.11). Dacă aceste hodografe nu se intersectează, atunci regimul de auto-oscilație nu există în sistemul studiat.

Orez. 2.11. Hodografe ale părților liniare și neliniare ale sistemului

Pentru stabilitatea modului auto-oscilator cu frecvenţa w 0 şi amplitudine A 0 este necesar ca punctul de pe hodograful părții neliniare - corespunzător amplitudinii crescute A 0 +D Aîn comparație cu valoarea în punctul de intersecție a hodografelor, hodograful răspunsului în frecvență al părții liniare a sistemului nu a fost acoperit și punctul corespunzător amplitudinii reduse a fost acoperit A 0 -D A.

În fig. 2.11 oferă un exemplu de locație a hodografelor pentru cazul în care există auto-oscilații stabile într-un sistem neliniar, deoarece A 3 < A 0 < A 4 .

Cercetări asupra logaritmului caracteristicile de frecvență .

Când se studiază sisteme neliniare folosind caracteristici de frecvență logaritmică, condiția (2.31) este rescrisă separat pentru modul și argumentul coeficientului de transmisie complex echivalent al unui sistem neliniar în buclă deschisă.

mod W lch (jw)W e (jw, A) = 1;

arg W lch (jw)W e (jw, A) = - (2k+1)p, cu k=0, 1, 2, ...

urmată de o tranziție la caracteristicile de amplitudine și fază logaritmice

L lch (w) + L e (w, A) = 0; (2.34)

y lch (w) + y e (w, A) = - (2k+1)p, cu k=0, 1, 2, ... (2,35)

Condițiile (2.34) și (2.35) ne permit să determinăm amplitudinea A 0 și frecvența w 0 a soluției periodice a ecuației (2.25) în funcție de caracteristicile logaritmice ale părții liniare a sistemului L lch (w), y lch (w) și elementului neliniar L e (w, A), y e (w, A).

Autooscilatii cu frecventa w 0 si amplitudine A 0 va exista într-un sistem neliniar dacă soluția periodică a ecuației (2.25) este stabilă. O metodă aproximativă pentru studierea stabilității unei soluții periodice este de a studia comportamentul sistemului la frecvența w = w 0 și la valorile amplitudinii A =A 0+D AȘi A =A 0 - D A, unde D A> 0 - increment mic de amplitudine. Când se studiază stabilitatea unei soluţii periodice pt A 0+D AȘi A 0 - D A Pentru caracteristicile logaritmice se utilizează criteriul de stabilitate Nyquist.

În sistemele neliniare cu caracteristici statice clare ale elementului neliniar, coeficientul de liniarizare armonică q¢( A) este egal cu zero și, prin urmare, defazajul y e ( A) contribuit de element. În acest caz, soluția periodică a ecuației sistemului

x = 0 (2,36)

există dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

L lch (w) = - L e ( A); (2.37)

y lch (w) = - (2k+1)p, cu k=0, 1, 2, ... (2,38)

Ecuația (2.38) ne permite să determinăm frecvența w = w 0 a soluției periodice, iar ecuația (2.37) - amplitudinea acesteia A =A 0 .

Cu o parte liniară relativ simplă, soluțiile acestor ecuații pot fi obținute analitic. Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor este indicat să le rezolvăm grafic (Fig. 2.12).

Când se studiază stabilitatea unei soluții periodice a ecuației (2.36), i.e. atunci când se determină existența auto-oscilațiilor într-un sistem neliniar cu o caracteristică statică neechivocă neliniară, se folosesc criteriul Nyquist: soluţie periodică cu frecvenţa w = w 0 şi amplitudine A =A 0 este stabil dacă, cu o schimbare a frecvenței de la zero la infinit și o creștere pozitivă a amplitudinii D A> 0 diferența dintre numărul de tranziții pozitive (de sus în jos) și negative (de jos în sus) ale caracteristicii de fază a părții liniare a sistemului y lch (w) prin linia -p este egală cu zero în domeniul de frecvență, unde L lch (w)³-L e (w 0 , A 0 +D A), și nu este egal cu zero în domeniul de frecvență, unde L lch (w)³-L e (w 0, A 0 -D A).

În fig. Figura 2.12 prezintă un exemplu de determinare a soluțiilor periodice într-un sistem neliniar cu o constrângere. Într-un astfel de sistem există trei soluții periodice cu frecvențele w 01, w 02 și w 03, determinate în punctele de intersecție a caracteristicii de fază y lch (w) cu linia -180 0. Amplitudini periodice ale soluției A 01 , A 02 și A 03 sunt determinate din condiția (2.37) din caracteristicile de amplitudine logaritmică ale elementului neliniar -L e (w 01, A), -L e (w 02, A) și -L e (w 03, A).

Orez. 2.12. Amplitudinea logaritmică și caracteristicile de fază

Dintre cele trei soluții definite în Fig. 2.12, două sunt stabile. Soluție cu frecvența w = w 01 și amplitudine A =A 01 este stabil, deoarece în domeniul de frecvență 1, unde L lch (w)³-L e (w 01, A 01 +D A), caracteristica de fază y lch (w) nu traversează linia -180 0, ci în intervalul de frecvență 2, unde L lch (w)³-L e (w 01, A 01-D A), caracteristica de fază y lch (w) traversează linia -180 0 o dată. Soluție cu frecvența w = w 02 și amplitudine A =A 02 este instabil, deoarece în domeniul de frecvență în care L hp (w)³-L e (w 02, A 02 +D A), caracteristica de fază y lch (w) traversează linia -180 0 o dată. Soluție periodică de înaltă frecvență cu frecvența w = w 03 și amplitudine A =A 03 este stabil, deoarece în domeniul de frecvență în care L hp (w)³-L e (w 03, A 03 +D A), există o tranziție pozitivă și una negativă a caracteristicii de fază y lch (w) prin linia -180 0 și în domeniul de frecvență în care L lch (w)³-L e (w 03, A 03-D A), există două tranziții pozitive și una negativă ale caracteristicii de fază y lch (w) prin linia -180 0.

În sistemul considerat, cu mici perturbații, se vor stabili autooscilații de înaltă frecvență cu o frecvență w 03 și o amplitudine. A 03, iar pentru perturbații mari - auto-oscilații de joasă frecvență cu frecvența w 01 și amplitudine A 01 .

Exemplu. Investigați modurile auto-oscilatorii într-un sistem neliniar, a cărui parte liniară are următoarea funcție de transfer

unde k=200 s-1; T1 = 1,5 s; T2 = 0,015 s,

iar un releu cu zonă moartă (Fig. 2.4,b) la c=10 V, b=2 V este folosit ca element neliniar.

Soluție Folosind tabelul pentru un releu cu zonă moartă, găsim coeficienții de liniarizare armonică:

La A³ b, q¢( A) = 0.

Când se construiesc caracteristicile unui element neliniar, este recomandabil să se folosească valoarea amplitudinii influenței armonice de intrare în raport cu zona moartă m = A/b. Să rescriem expresia pentru coeficientul de liniarizare armonică în formă

unde este coeficientul de transmisie a releului;

Amplitudine relativă.

Atribuim coeficientul de transmisie al releului kn părții liniare a sistemului și obținem coeficienți de liniarizare armonici normalizați

iar amplitudinea logaritmică normalizată caracteristică elementului releu cu semnul opus

Dacă m® 1, atunci -L e (m)® ¥; iar pentru m >> 1 -L e (m) = 20 log m. Astfel, asimptotele caracteristicii de amplitudine logaritmică normalizată cu semnul opus sunt o dreaptă verticală și o dreaptă cu o pantă de +20 dB/dec, care trec prin punctul cu coordonatele L = 0, m = 1 (Fig. 2.13).

Orez. 2.13. Definirea unei soluții periodice într-un sistem de relee

cu zona moarta

A 0 = b´m 1 = = 58 V.

Pentru a rezolva problema existenței auto-oscilațiilor în conformitate cu caracteristica de amplitudine logaritmică normalizată cu semnul opus al elementului neliniar și funcția de transfer a părții liniare a sistemului

în fig. 2.13 sunt construite caracteristicile logaritmice Llch (w), -L e (m) și y lch (w).

Frecvența soluției periodice w 0 = 4,3 s -1 se determină în punctul de intersecție a caracteristicii de fază y lch (w) și a dreptei -180 0. Amplitudinile solutiilor periodice m 1 = 29 si m 2 = 1,08 se gasesc din caracteristicile L lch (w) si -L e (m). O soluție periodică cu amplitudine mică m 2 este instabilă, iar o soluție periodică cu amplitudine mare m 1 este stabilă.

Astfel, în sistemul de relee studiat există un mod auto-oscilator cu o frecvență w 0 = 4,3 s -1 și o amplitudine A 0 = b´m 1 = = 58 V.

Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse

Universitatea Tehnică de Stat din Saratov

Institutul de Inginerie, Tehnologie și Management Balakovo

Metoda liniarizării armonice

Orientări pentru lucrul de laborator la cursul „Teoria controlului automat” pentru studenții specialității 210100

Aprobat

consiliul editorial și editorial

Institutul de Tehnologie Balakovo,

tehnologie si management

Balakovo 2004

Scopul lucrării: Studiul sistemelor neliniare folosind metoda liniarizării armonice (echilibrul armonic), determinarea coeficienților de liniarizare armonică pentru diverse legături neliniare. Dobândirea abilităților în găsirea parametrilor oscilațiilor simetrice de amplitudine și frecvență constante (auto-oscilații), folosind metode algebrice, frecvență și, de asemenea, folosind criteriul Mikhailov.

INFORMATII DE BAZA

Metoda liniarizării armonice se referă la metode aproximative de studiere a sistemelor neliniare. Acesta permite să se evalueze destul de simplu și cu o precizie acceptabilă stabilitatea sistemelor neliniare și să se determine frecvența și amplitudinea oscilațiilor stabilite în sistem.

Se presupune că ACS neliniar în studiu poate fi reprezentat în următoarea formă

iar partea neliniară trebuie să aibă o neliniaritate

Această neliniaritate poate fi fie continuă, fie releu, cu o singură valoare sau histeretică.

Orice funcție sau semnal poate fi extins într-o serie conform unui sistem de funcții ortonormale liniar independente, într-un caz particular. Seria Fourier poate fi folosită ca atare serie ortogonală.

Să extindem semnalul de ieșire al părții neliniare a sistemului într-o serie Fourier

, (2)

aici sunt coeficienții Fourier,

,

,

. (3)

Astfel, semnalul conform (2) poate fi reprezentat ca o sumă infinită de armonici cu frecvențe crescătoare etc. Acest semnal este furnizat la intrarea părții liniare a sistemului neliniar.

Să notăm funcția de transfer a părții liniare

, (4)

iar gradul polinomului numărătorului trebuie să fie mai mic decât gradul polinomului numitorului. În acest caz, răspunsul în frecvență al părții liniare are forma

unde 1 - nu are poli, 2 - are un stâlp sau poli.

Pentru răspunsul în frecvență este corect să scrieți

Astfel, partea liniară a unui sistem neliniar este un filtru trece-înalt. În acest caz, partea liniară va transmite doar frecvențe joase fără atenuare, în timp ce frecvențele înalte vor fi atenuate semnificativ pe măsură ce frecvența crește.

În metoda liniarizării armonice, se presupune că partea liniară a sistemului va trece doar componenta DC a semnalului și prima armonică. Atunci semnalul de la ieșirea părții liniare va avea forma

Acest semnal trece prin întregul circuit închis al sistemului Fig. 1 iar la ieșirea elementului neliniar fără a ține cont de armonici superioare, conform (2) avem

. (7)

Când se studiază sistemele neliniare folosind metoda liniarizării armonice, sunt posibile cazuri de oscilații simetrice și asimetrice. Să luăm în considerare cazul oscilațiilor simetrice. Aici și.

Să introducem următoarea notație

Înlocuindu-le în (7), obținem . (8)

Având în vedere că

. (9)

Conform (3) și (8) când

,

. (10)

Expresia (9) este o liniarizare armonică a neliniarității; stabilește o relație liniară între variabila de intrare și variabila de ieșire la . Mărimile se numesc coeficienți de liniarizare armonică.

Trebuie remarcat faptul că ecuația (9) este liniară pentru mărimi specifice și (amplitudinea și frecvența oscilațiilor armonice din sistem). Dar, în general, păstrează proprietăți neliniare, deoarece coeficienții sunt diferiți pentru diferite și . Această caracteristică ne permite să studiem proprietățile sistemelor neliniare folosind metoda liniarizării armonice [Popov E.P.].

În cazul oscilațiilor asimetrice, liniarizarea armonică a neliniarității conduce la ecuația liniară

,

,

. (12)

La fel ca și ecuația (9), ecuația liniarizată (11) păstrează proprietățile unui element neliniar, deoarece coeficienții de liniarizare armonică , , precum și componenta constantă depind atât de deplasarea, cât și de amplitudinea oscilațiilor armonice.

Ecuațiile (9) și (11) ne permit să obținem funcțiile de transfer ale elementelor neliniare liniarizate armonic. Deci pentru vibrații simetrice

, (13)

în acest caz funcţia de transfer de frecvenţă

depinde doar de amplitudine și nu depinde de frecvența oscilațiilor din sistem.

Trebuie remarcat faptul că, dacă neliniaritatea impar-simetrică este lipsită de ambiguitate, atunci în cazul oscilațiilor simetrice în conformitate cu (9) și (10) obținem că , (15)

(16)

iar neliniaritatea liniarizată are forma

Pentru neliniaritățile ambigue (cu histerezis), integrala din expresia (16) nu este egală cu zero, datorită diferenței de comportare a curbei la creștere și descreștere, prin urmare expresia completă (9) este valabilă.

Să găsim coeficienții de liniarizare armonică pentru unele caracteristici neliniare. Fie ca caracteristica neliniară să aibă forma unei caracteristici de releu cu histerezis și zonă moartă. Să luăm în considerare modul în care oscilațiile armonice trec printr-un element neliniar cu o astfel de caracteristică.



Dacă condiția este îndeplinită, adică dacă amplitudinea semnalului de intrare este mai mică decât zona moartă, atunci nu există niciun semnal la ieșirea elementului neliniar. Dacă amplitudinea este , atunci releul comută în punctele A, B, C și D. Să notăm și .

,

. (18)

La calcularea coeficienților de liniarizare armonică trebuie avut în vedere că, cu caracteristici neliniare simetrice, integralele din expresiile (10) sunt la semiciclu (0, ) cu o dublare ulterioară a rezultatului. Prin urmare

,

. (19)

Pentru un element neliniar cu o caracteristică de releu și o zonă moartă

,

Pentru un element neliniar având o caracteristică de releu cu histerezis

,

Coeficienții de liniarizare armonică pentru alte caracteristici neliniare pot fi obținuți în mod similar.

Să luăm în considerare două moduri de a determina oscilații simetrice de amplitudine și frecvență constante (auto-oscilații) și stabilitatea sistemelor liniarizate: algebric și frecvență. Să ne uităm mai întâi la metoda algebrică. Pentru sistemul închis Fig. 1, funcția de transfer a părții liniare este egală cu

.

Să scriem funcția de transfer liniarizată armonic a părții neliniare

.

Ecuația caracteristică a unui sistem în buclă închisă are forma

. (22)

Dacă apar auto-oscilații în sistemul studiat, aceasta indică prezența a două rădăcini pur imaginare în ecuația sa caracteristică. Prin urmare, să substituim valoarea rădăcinii în ecuația caracteristică (22).

. (23)

Să ne imaginăm

Obținem două ecuații care determină amplitudinea și frecvența dorite

,

. (24)

Dacă în soluție sunt posibile valori reale pozitive ale amplitudinii și frecvenței, atunci pot apărea auto-oscilații în sistem. Dacă amplitudinea și frecvența nu au valori pozitive, atunci auto-oscilațiile în sistem sunt imposibile.

Să luăm în considerare exemplul 1. Fie sistemul neliniar studiat să aibă forma

În acest exemplu, elementul neliniar este un element senzor cu o caracteristică de releu, pentru care coeficienții de liniarizare armonică

Actuatorul are o funcție de transfer a formei

Funcția de transfer a obiectului reglementat este egală cu

. (27)

Funcția de transfer a părții liniare a sistemului

, (28)

Pe baza (22), (25) și (28), notăm ecuația caracteristică a sistemului închis

, (29)

,

Fie 1/sec, sec, sec, v.

În acest caz, parametrii mișcării periodice sunt egali

7,071 ,

Să luăm în considerare o metodă de determinare a parametrilor auto-oscilațiilor într-un sistem de control automat liniarizat folosind criteriul Mikhailov. Metoda se bazează pe faptul că, atunci când apar auto-oscilații, sistemul se va afla la limita stabilității, iar hodograful lui Mikhailov în acest caz va trece prin originea coordonatelor.

În exemplul 2, vom găsi parametrii auto-oscilațiilor cu condiția ca elementul neliniar din sistem Fig. 4 să fie un element sensibil având o caracteristică de releu cu histerezis, pentru care coeficienții de liniarizare armonică.

,

Partea liniară a rămas neschimbată.

Să notăm ecuația caracteristică a sistemului închis

Hodograful lui Mihailov se obține prin înlocuire.

Sarcina este de a selecta o astfel de amplitudine a oscilațiilor la care hodograful va trece prin originea coordonatelor. Trebuie remarcat faptul că în acest caz frecvența curentă este , deoarece în acest caz curba va trece prin origine.

Calculele efectuate în MATHCAD 7 la 1/sec, sec, sec, v și v au dat următoarele rezultate. În Fig. 5, hodograful lui Mihailov trece prin originea coordonatelor. Pentru a crește acuratețea calculelor, vom mări fragmentul necesar al graficului. Figura 6 prezintă un fragment al hodografului, mărit în vecinătatea originii. Curba trece prin origine la c.

Fig.5. Fig.6.

Frecvența de oscilație poate fi găsită din condiția ca modulul să fie egal cu zero. Pentru frecvente

valorile modulului sunt tabulate

Astfel, frecvența de oscilație este 6,38. Trebuie remarcat faptul că precizia calculelor poate fi crescută cu ușurință.

Soluția periodică rezultată, determinată de valorile amplitudinii și frecvenței, trebuie examinată pentru stabilitate. Dacă soluția este stabilă, atunci în sistem are loc un proces auto-oscilator (ciclu limită stabil). În caz contrar, ciclul limită va fi instabil.

Cel mai simplu mod de a studia stabilitatea unei soluții periodice este utilizarea criteriului de stabilitate Mikhailov în formă grafică. S-a constatat că la , curba Mihailov trece prin originea coordonatelor. Dacă dați o creștere mică, atunci curba va lua o poziție fie peste zero, fie mai jos. Deci, în ultimul exemplu vom da un increment în, adică și . Poziția curbelor Mihailov este prezentată în Fig. 7.

Când curba trece peste zero, ceea ce indică stabilitatea sistemului și un proces de tranziție amortizat. Când curba Mihailov trece sub zero, sistemul este instabil și procesul de tranziție este divergent. Astfel, o soluție periodică cu o amplitudine în și o frecvență de oscilație de 6,38 este stabilă.

Pentru a studia stabilitatea unei soluții periodice, se poate folosi și un criteriu analitic obținut din criteriul grafic Mikhailov. Într-adevăr, pentru a afla dacă curba Mihailov va merge când este peste zero, este suficient să privim unde se va deplasa punctul curbei Mihailov, care este situat la originea coordonatelor.

Dacă extindem deplasarea acestui punct de-a lungul axelor de coordonate X și Y, atunci pentru stabilitatea unei soluții periodice, vectorul determinat de proiecțiile pe axele de coordonate

ar trebui să fie situat la dreapta tangentei MN la curba Mihailov, dacă priviți de-a lungul curbei în direcția creșterii, a cărei direcție este determinată de proiecții

Scriem condiția de stabilitate analitică în forma următoare

În această expresie, derivatele parțiale sunt luate în raport cu parametrul curent al curbei Mihailov

,

Trebuie remarcat faptul că expresia analitică a criteriului de stabilitate (31) este valabilă numai pentru sistemele nu mai mari de ordinul al patrulea, deoarece, de exemplu, pentru un sistem de ordinul al cincilea la originea coordonatelor, condiția (31) poate fi satisfăcut, iar sistemul va fi instabil

Să aplicăm criteriul (31) pentru a studia stabilitatea soluției periodice obținute în Exemplul 1.

,

,

, ,