Acasă Instalatie de incalzire Cum să transformi un sistem instabil într-unul stabil. Determinarea stabilității sistemelor automate de control pentru roboții industriali

Cum să transformi un sistem instabil într-unul stabil. Determinarea stabilității sistemelor automate de control pentru roboții industriali

Această secțiune discută cele mai importante caracteristici de calitate ale sistemelor gestionate. Aceste caracteristici sunt stabilitatea sistemului, acuratețea și imunitatea la zgomot.

Conceptul de stabilitate se referă la situația în care semnalele de intrare ale sistemului sunt zero, adică. nu există influențe externe. În acest caz, un sistem construit corespunzător ar trebui să fie într-o stare de echilibru (repaus) sau să se apropie treptat de această stare. În sistemele instabile, chiar și cu semnale de intrare zero, apar oscilații naturale și, ca urmare, apar erori inacceptabil de mari.

Conceptul de acuratețe este asociat cu calitatea funcționării sistemelor controlate cu semnale de intrare în schimbare. În sistemele de control proiectate corespunzător, mărimea nepotrivirii dintre legea de control specificată g(t) și semnalul de ieșire x(t) ar trebui să fie mică.

În cele din urmă, pentru a caracteriza efectul interferenței asupra sistemelor de control, se utilizează varianța sau abaterea standard a componentei de eroare datorată efectului interferenței.

Conceptul de durabilitate

Una dintre primele întrebări care se ridică la cercetarea și proiectarea sistemelor de control liniar este problema stabilității acestora. Sistemul liniar se numește durabil, dacă, atunci când influențele externe îl scot dintr-o stare de echilibru (repaus), acesta revine la ea după încetarea influențelor externe. Dacă, după încetarea influenței externe, sistemul nu revine la o stare de echilibru, atunci este instabil. Pentru funcționarea normală a sistemului de control, este necesar ca acesta să fie stabil, deoarece în caz contrar apar erori mari în el.

Determinarea stabilității se efectuează de obicei pe stadiul inițial crearea unui sistem de management. Acest lucru se datorează a două motive. În primul rând, analiza stabilității este destul de simplă. În al doilea rând, sistemele instabile pot fi corectate, adică. convertite în unele stabile prin adăugarea de legături corective speciale.

Analiza stabilitatii folosind criterii algebrice

Stabilitatea unui sistem este legată de natura propriilor oscilații. Pentru a ilustra acest lucru, să presupunem că sistemul este descris de ecuația diferențială

sau, după transformarea Laplace,

unde g(p) este acțiunea de intrare.

Un sistem stabil revine la o stare de repaus dacă acțiunea de intrare g(p) 0. Astfel, pentru un sistem stabil, soluția unei ecuații diferențiale omogene trebuie să tinde spre zero pe măsură ce t tinde spre infinit.

Dacă se găsesc rădăcinile p1, p2, ... , pn ale ecuației caracteristice, atunci soluția ecuației omogene se va scrie sub forma .

În ce cazuri este sistemul stabil?

Să presupunem că pk = ak este o rădăcină reală.

Termenul ck îi corespunde. Când ak< 0 это слагаемое будет стремиться к нулю, если t стремится к бесконечности. Если же ak >0, atunci x(t) când t tinde spre infinit; . În sfârșit, în cazul în care ak = 0, termenul luat în considerare nu se schimbă chiar dacă t tinde spre infinit,

Să presupunem acum că aceasta este rădăcina complexă a ecuației caracteristice. Rețineți că în acest caz va fi și rădăcina ecuației caracteristice. Două rădăcini conjugate complexe vor corespunde termenilor de forma , .

Mai mult, dacă ak< 0, то в системе имеются затухающие колебания. При ak >0 – oscilații de amplitudine crescătoare, iar la ak = 0 – oscilații de amplitudine constantă сk.

Astfel, sistemul este stabil dacă părțile reale ale tuturor rădăcinilor ecuației caracteristice sunt negative. Dacă cel puțin o rădăcină are o parte reală ak ³ 0, atunci sistemul este instabil. Se spune că un sistem se află la limita de stabilitate dacă cel puțin o rădăcină a ecuației caracteristice are o parte reală zero, iar părțile reale ale tuturor celorlalte rădăcini sunt negative.

Această definiție este bine ilustrată geometric. Să reprezentăm rădăcinile ecuației caracteristice ca puncte pe planul complex (Fig. 15).

Dacă toate rădăcinile se află în semiplanul stâng al variabilei complexe, atunci sistemul este stabil. Dacă cel puțin o rădăcină se află în semiplanul drept al unei variabile complexe, sistemul este instabil. Dacă rădăcinile sunt pe axa imaginară și în semiplanul stâng, atunci se spune că sistemul se află la limita de stabilitate.

Să luăm în considerare, ca exemplu, un sistem de control în buclă închisă cu o legătură integratoare. În acest caz, H(p) = , , și funcția de transfer a sistemului cu buclă închisă

Ieșirea sistemului x(p) = W(p)g(p) sau . Rețineți că ecuația caracteristică p+k=0 se scrie prin setarea la zero a numitorului funcției de transfer a sistemului de control în buclă închisă. În acest caz există o rădăcină p1= -k< 0 и поэтому система управления всегда устойчива. Предположим теперь, что . Тогда . Ecuația caracteristică este p2 + + k = 0. Prin urmare p1,2=. Sistemul se află la granița stabilității. Există oscilații neamortizate în el.

Analiza stabilității folosind criterii de frecvență

Principalul dezavantaj al abordării algebrice considerate a analizei stabilității este că în sistemele complexe de control este dificil să se stabilească o legătură între rădăcinile numitorului pk, k=1, 2, ..., n și parametrii elementului. legăturile care alcătuiesc sistemul de control. Acest lucru duce la dificultăți în corectarea sistemelor instabile. Pentru a simplifica analiza stabilității, este de dorit să se efectueze această analiză folosind funcția de transfer H(p) a sistemului de control în buclă deschisă.

În 1932, omul de știință american Nyquist a dezvoltat o metodă eficientă de analiză a stabilității amplificatoarelor cu feedback. În 1938, omul de știință sovietic A.V. Mihailov a generalizat metoda Nyquist la sistemele de control automat în buclă închisă.

Criteriul Nyquist se bazează pe construirea unui hodograf al funcției de transfer H(jw) a unui sistem de control în buclă deschisă. Hodograful funcției de transfer H(jw) este curba trasată de capătul vectorului H(jw) =|H(jw)|ejj(w) pe planul complex la măsurarea frecvenței w de la 0 la infinit.

Criteriul de stabilitate Nyquist este cel mai simplu formulat: sistem închis controlul este stabil dacă hodograful funcției de transfer H(jw) a sistemului în buclă deschisă nu acoperă punctul cu coordonatele (-1, j0) pe planul complex. Figurile prezintă exemple de hodografe ale sistemelor de control stabile (Fig. 16, a) și instabile (Fig. 16, b).

Dacă hodograful trece prin punctul -1, atunci se spune că sistemul se află la limita stabilității. În acest caz, la o anumită frecvență H(jw0)= -1, pot exista în sistem oscilații neamortizate ale frecvenței w0. În sistemele instabile, nivelul semnalului x(t) va crește în timp. În cele stabile - scădere.

Marja de stabilitate

Un alt avantaj al criteriului luat în considerare este capacitatea de a determina marja de stabilitate a sistemului de control. Marja de stabilitate este caracterizată de doi indicatori: marja de stabilitate pentru armareȘi marja de stabilitate a fazei.

Marja de stabilitate a armăturii este determinată de valoarea g =1/|H(jw0)|, unde w0 este frecvența la care (Fig. 17, a). Marja de stabilitate g arată de câte ori trebuie să se schimbe (crește) modulul funcției de transfer a unui sistem de control în buclă deschisă pentru ca sistemul în buclă închisă să se afle la limita de stabilitate. Marja de stabilitate necesară depinde de cât de mult poate crește coeficientul de transmisie a sistemului în timpul funcționării față de cel calculat.

Marja de stabilitate a fazei este estimată prin unghiul , unde frecvența wсp, numită frecvența de tăiere, este determinată de condiția |H(jwcp)|=1 (Fig. 17, b).

Valoarea Dj arată cât de mult trebuie să se schimbe caracteristica de fază a sistemului de control în buclă deschisă pentru ca sistemul în buclă închisă să se afle la limita de stabilitate. Marja de stabilitate a fazei este de obicei considerată suficientă dacă
|Dj| ³ 30o.

Analiza stabilității utilizând caracteristici logaritmice amplitudine-frecvență

În multe cazuri, un sistem de control în buclă deschisă poate fi reprezentat ca o conexiune în serie de n legături tipice cu funcții de transfer . În acest caz, funcția de transfer a sistemului în buclă deschisă este determinată de produs . Răspuns logaritmic amplitudine-frecvență va fi egal cu suma LAX-ului de link-uri individuale:

Deoarece LAC-ul multor legături elementare poate fi aproximat prin segmente de linie dreaptă, LAC-ul unui sistem de control în buclă deschisă va fi prezentat și sub forma unor segmente de linie dreaptă cu pante față de axa frecvenței care sunt multipli de 20 de decibeli pe deceniu.

Exemplu. Fie ca funcția de transfer a sistemului în buclă deschisă să aibă următoarea formă

Un astfel de sistem conține doi integratori, o legătură de forțare cu o funcție de transfer și o legătură aperiodică cu o funcție de transfer . Să prezentăm LAC-ul legăturilor individuale ale unui astfel de sistem sub formă de grafice din Fig. 18, a. Rezumând graficele prezentate, obținem LAC-ul sistemului în buclă deschisă (Fig. 18, b).

După cum reiese din figurile de mai sus, construcția LAC totală este destul de simplă. Este necesar să se țină cont doar de modificarea pantei LAC în punctele și corespunzătoare frecvențelor conjugate ale legăturilor de forțare și aperiodice.

Pentru a verifica condițiile de stabilitate ale unui sistem de control automat în buclă închisă, este necesar să se construiască o caracteristică fază-frecvență pe aceeași scară logaritmică de-a lungul axei frecvenței. . Cu toate acestea, experiența calculelor inginerești arată că un sistem de control automat în buclă închisă este, de regulă, stabil și are o marjă de stabilitate dacă LAC-ul sistemului în buclă deschisă este aproape de frecvență.

Limita de tăiere are o pantă de –20 dB/dec. În acest caz, cu cât lungimea acestei secțiuni a LAR este mai mare, cu atât marja de stabilitate este mai mare. De obicei, se crede că lungimea unei secțiuni cu o pantă de 20 dB/dec ar trebui să fie de cel puțin 1 deceniu. Există tunuri autopropulsate stabile cu o pantă LAC mai mare de -20 dB/dec, dar pentru astfel de sisteme, de regulă, marja de stabilitate este foarte mică.

Să presupunem că ACS studiat are o pantă în jurul frecvenței de tăiere mai mare de - 20 dB/dec (Fig. 19)

Având în vedere că atunci când legăturile unui ACS sunt conectate în serie, LAC-urile lor sunt însumate, este necesar să se includă în ACS o legătură care să asigure stabilitatea sistemului. În cazul în cauză, o astfel de legătură poate fi legătura cu LAC prezentată în Fig. 20.

Într-adevăr, după însumarea LAC al sistemului de control (Fig. 19) și a legăturii suplimentare, obținem un LAC având o pantă constantă de 20 dB/dec la toate frecvențele, inclusiv

frecvența de tăiere. În exemplul luat în considerare, funcția de transfer a legăturii corective suplimentare este Hf(jw) =1+jwTf și w1 = 1/Tf. Se numește introducerea de legături suplimentare pentru a asigura stabilitatea sistemelor de control corecţie Pistoale autopropulsate și unitățile în sine - corectiv.

Această secțiune a examinat metodele de studiu a unuia dintre cei mai importanți indicatori ai calității sistemelor de control - stabilitatea sistemelor liniare. Aplicarea acestor metode la analiza sistemelor specifice se realizează de obicei după cum urmează. În primul rând, este construit LAC-ul sistemului de control în buclă deschisă. Dacă sistemul este instabil, atunci elementele corective sunt selectate și introduse în el astfel încât panta LAC la frecvența de tăiere să fie de 20 dB/dec și să fie asigurată marja de stabilitate necesară. După aceasta, este necesar să se studieze stabilitatea sistemului ajustat folosind criteriul Nyquist-Mikhailov și să se determine valorile exacte ale marjelor de stabilitate în ceea ce privește câștigul și fază. Dacă este necesar, parametrii sistemului de control sunt apoi modificați pentru a asigura marja de stabilitate specificată.

PAGINA \* MERGEFORMAT 14

Prelegerea nr. 4

Stabilitatea pistolului autopropulsat

Proprietatea unui sistem de a reveni la starea inițială după eliminarea perturbării se numește stabilitate.

Definiție.

Curbele 1 și 2 caracterizează un sistem stabil, curbele 3 și 4 caracterizează sistemele instabile.

Sistemele 5 și 6 la limita stabilității 5 - sistem neutru, 6 - limită de stabilitate oscilativă.

Fie ecuația diferențială a ACS în formă de operator să aibă forma

Apoi soluția ecuației diferențiale (mișcarea sistemului) constă din două părți Mișcare forțată de același tip ca și acțiunea de intrare.

În absența rădăcinilor multiple unde C i -integrari constante determinate din conditiile initiale,

 1 ,  2 …,  n rădăcinile ecuației caracteristice

Localizarea rădăcinilor caracteristicii

ecuații ale sistemului pe plan complex

Rădăcinile ecuației caracteristice nu depind nici de tipul de perturbare, nici de

condiţiile iniţiale, a sunt determinate numai de coeficienţii a 0 , a 1 , a 2 ,…, a n , adică parametrii și structura sistemului.

1-rădăcină reală, mai mare decât zero;

2-rădăcină reală, mai mică decât zero;

3-rădăcină este zero;

4-două rădăcini zero;

5-două rădăcini conjugate complexe a căror parte reală este

Pozitiv;

6-două rădăcini conjugate complexe, a căror parte reală este negativă;

7-două rădăcini conjugate imaginare.

Metode de analiză a stabilității:

Direct (pe baza rezolvării ecuațiilor diferențiale);
Indirect (criterii de stabilitate).

Teoremele lui A.M. Lyapunova.

Teorema 1.

Teorema 2.

Note:

Dacă printre rădăcinile ecuației caracteristice există două sau mai multe rădăcini zero, atunci sistemul este instabil.
Dacă o rădăcină este zero și toate celelalte sunt în semiplanul stâng, atunci sistemul este neutru.
Dacă 2 rădăcini sunt conjugate imaginare și toate celelalte sunt în semiplanul stâng, atunci sistemul se află la limita oscilativă a stabilității.

Criterii de stabilitate ACS.

Criteriul de stabilitate este o regulă care permite determinarea stabilității unui sistem fără a calcula rădăcinile ecuației caracteristice.

În 1877 Routh instalat:

1. Criteriul de stabilitate Hurwitz

Criteriul a fost elaborat în 1895.

Să fie definită ecuația caracteristică a unui sistem închis: reducem ecuația la forma astfel încât a 0 >0.

Să compunem principalul determinant Hurwitz după următoarea regulă:

De-a lungul diagonalei principale se scriu coeficienții ecuației, începând de la a doua până la ultima, coloanele sus din diagonală sunt umplute cu coeficienți cu indici crescători, iar coloanele de jos din diagonală sunt umplute cu coeficienți cu indici descrescători. În absența oricărui coeficient în ecuație și în locul coeficienților cu indici mai mici de 0 și mai mulți n scrie zero.

Să evidențiem minorele diagonale sau cei mai simpli determinanți din determinantul principal Hurwitz:

Formularea criteriului.

Pentru sistemele de ordinul doi, pe lângă pozitivitatea tuturor coeficienților ecuației caracteristice, trebuie îndeplinite următoarele inegalități:

Pentru sistemele de ordinul a treia:
Pentru sistemele de ordinul a patra:
Pentru sistemele de comandă a cincea:

Pentru sistemele de ordinul a șasea:

Exemplu. Este dată o ecuație caracteristică pentru a studia stabilitatea sistemului conform lui Hurwitz.

Pentru sistemele stabile este necesar şi

2. Criteriul Routh

Criteriul Routh este utilizat pentru a studia stabilitatea sistemelor de ordin înalt.

Formularea criteriului:

Masa Routh.

Algoritm de completare a tabelului: prima și a doua linie conțin coeficienții ecuației cu indici pari și impari; elementele rândurilor rămase se calculează după următoarea regulă:

Avantajul criteriului: stabilitatea sistemelor de orice ordin poate fi studiată.

2. Criteriul de stabilitate Nyquist

Principiul argumentării

Metodele frecventiste se bazează pe principiul argumentării.

Să analizăm proprietățile unui polinom de forma:

Unde  i - rădăcinile ecuației

Pe plan complex, fiecare rădăcină corespunde unui punct bine definit. Geometric, fiecare rădăcină i poate fi reprezentat ca un vector desenat de la origine la punct i : |  i | - lungimea vectorului, arg i - unghiul dintre vector și direcția pozitivă a axei x. Să mapam D(p) în spațiul Fourier, atunci unde j -  i - vector elementar.

Capetele vectorilor elementari sunt pe axa imaginară.

Mărimea vectorului și argumentul (faza)

Direcția de rotație a vectorului în sens invers acelor de ceasornic este considerată POZITIV. Apoi la schimbare de la la fiecare vector elementar ( j  -  i ) se va întoarce cu un unghi + dacă  i se află în semiplanul stâng.

Fie D ( )=0 să aibă m rădăcinile în semiplanul drept şi n - m rădăcini în stânga, apoi cu creștere de la pentru a schimba argumentul vectorului D(j ) (unghiul de rotație D(j ), egal cu suma modificări ale argumentelor vectorilor elementari) vor fi

Principiul argumentării:

Criteriul Nyquist se bazează pe caracteristicile de frecvență ale circuitului deschis al ACS, deoarece tipul de caracteristici de frecvență ale circuitului deschis poate fi utilizat pentru a aprecia stabilitatea sistemului închis.

Criteriul Nyquist este utilizat pe scară largă în practica inginerească din următoarele motive:

Stabilitatea unui sistem în stare închisă este studiată de funcția de transfer de frecvență a circuitului său deschis, iar această funcție constă cel mai adesea din factori simpli. Coeficienții sunt parametrii reali ai sistemului, ceea ce vă permite să-i selectați din condițiile de stabilitate.
Pentru a studia stabilitatea, puteți utiliza obținut experimental caracteristicile de frecvență cele mai complexe elemente ale sistemului (obiectul reglementării, organul executiv), ceea ce mărește acuratețea rezultatelor obținute.
Stabilitatea poate fi studiată folosind LFC, a căror construcție este simplă.
Este convenabil să se determine marjele de stabilitate.

1. Sistem stabil în stare deschisă

Să introducem o funcție auxiliară și să înlocuim p  j  , atunci

Conform principiului argumentului, schimbarea argumentului D(j ) și D з (j  ) la 0<  <  egal. Atunci acesta este hodograful W 1 (j  ) nu trebuie să acopere originea.

Pentru a simplifica analiza și calculele, să deplasăm originea vectorului rază de la originea coordonatelor la punctul (-1, j 0), și în locul funcției auxiliare W 1 (j  ) folosim AFC-ul unui sistem în buclă deschisă W (j  ).

Formularea criteriului nr. 1

Exemple.

Rețineți că diferența dintre numărul de tranziții pozitive și negative ale AFC la stânga punctului (-1, j 0) este egal cu zero.

2. Un sistem având poli pe axa imaginară în stare deschisă

Pentru a analiza stabilitatea sistemului AFC, acestea sunt completate cu un cerc de rază infinit de mare la 0 în sens invers acelor de ceasornic față de semiaxa reală pozitivă la poli zero, iar în cazul rădăcinilor pur imaginare - printr-un semicerc în sensul acelor de ceasornic în punctul de discontinuitate al AFC.

Formularea criteriului nr. 2

Sistem cu circuit deschis intermitent

Un caz mai general - numitorul funcției de transfer a unui sistem cu buclă deschisă conține rădăcini situate în semiplanul drept. Apariția instabilității într-un sistem în buclă deschisă este cauzată de două motive:

O consecință a prezenței legăturilor instabile;
O consecință a pierderii stabilității legăturilor acoperite de feedback pozitiv sau negativ.

X Deși teoretic întregul sistem în stare închisă poate fi stabil în prezența instabilității în circuitul de feedback local, în practică un astfel de caz este nedorit și ar trebui evitat prin încercarea de a utiliza doar feedback-uri locale stabile. Acest lucru se explică prin prezența unor proprietăți nedorite, în special apariția stabilității condiționate, care, având în vedere neliniaritățile prezente de obicei în sistem, pot duce în unele moduri la pierderea stabilității și apariția auto-oscilațiilor. Prin urmare, de regulă, la calcularea sistemului, sunt selectate astfel de feedback-uri locale care ar fi stabile atunci când feedback-ul principal este deschis..

Fie polinomul caracteristic D(pag ) sistemul în buclă deschisă are m rădăcini cu parte reală pozitivă.

Apoi

Funcție de asistență de înlocuire p  j  conform principiului argumentului pentru sistemele închise stabile ar trebui să aibă următoarea modificare a argumentului la

Formularea criteriului nr. 3

Formulare de către Ya.Z. Tsypkina

Criteriul Nyquist pentru LFC

Notă: caracteristica de fază a LFC a sistemelor astatice este completată de o secțiune monotonă + /2 la  0.

Exemplul 1.

Aici m =0  sistemul este stabil, dar în scădere k sistemul poate fi instabil, prin urmare astfel de sisteme sunt numite stabile condiționat.

Exemplul 2.

20 lgk

1/T 0

Aici

Pentru orice k sistemul este instabil. Astfel de sisteme sunt numite instabile structural.

Exemplul 3.

AFH acoperă un punct cu coordonate (-1, j 0) de 1/2 ori, prin urmare sistemul închis este stabil.

Exemplul 4.

la  0 AFC are o discontinuitate și, prin urmare, trebuie completat cu un arc de rază infinit de mare față de semiaxa negativă reală.

În zona de la -1 la - există o tranziție pozitivă și una și jumătate negative. Diferența dintre tranzițiile pozitive și negative este -1/2, iar pentru stabilitatea unui sistem în buclă închisă este necesar +1/2, deoarece polinomul caracteristic al unui sistem în buclă deschisă are o rădăcină pozitivă - sistemul este instabil.

Absolut durabilEi numesc un sistem care rămâne stabil pentru orice scădere a câștigului în circuit deschis, altfel sistemul este stabil condiționat.

Sunt numite sisteme care pot fi stabilizate prin modificarea parametrilor lorstabil din punct de vedere structural, altfel instabil structural.

Marje de stabilitate

Pentru funcționarea normală, orice ACS trebuie să fie îndepărtat de la limita de stabilitate și să aibă o marjă de stabilitate suficientă. Necesitatea acestui lucru se datorează următoarelor motive:

Ecuațiile elementelor ACS, de regulă, sunt idealizate; factorii secundari nu sunt luați în considerare la compilarea lor;
La liniarizarea ecuațiilor, erorile de aproximare cresc și mai mult;
Parametrii elementelor sunt determinați cu o oarecare eroare;
Parametrii elementelor de același tip au variații tehnologice;
În timpul funcționării, parametrii elementelor se modifică din cauza îmbătrânirii.

În practica calculelor inginerești, cea mai utilizată determinare a marjei de stabilitate se bazează pe criteriul NYQVIST, bazat pe distanța AFC a unui sistem în buclă deschisă de la punctul critic cu coordonate (-1, j 0), care este evaluat de doi indicatori: marja de stabilitate a fazei și marja de stabilitate în modul (în amplitudine) H.

Pentru ca ATS să aibă marje de stabilitate de cel puțin și H , AFC-ul circuitului său deschis, dacă este îndeplinit criteriul de stabilitate, nu trebuie să intre în partea inelului umbrită în Fig. 1, unde H este determinată de relație

Dacă stabilitatea este determinată de LFC a sistemelor stabile condiționat, atunci pentru a asigura marje de stabilitate de cel puțin și h este necesar astfel încât:

a) pentru h  L  - h caracteristica fază-frecvență a satisfăcut inegalitățileθ > -180  +  sau θ< -180  -  , adică nu a intrat în zona umbrită 1 din Fig. 2;

b) la -180  +   θ  -180  -  caracteristica amplitudine-frecvență a satisfăcut inegalitățile L< - h или L >h , adică nu a intrat în zonele umbrite 2" și 2" din Fig. 2.

Pentru un sistem absolut stabil, marje de stabilitate și h sunt determinate așa cum se arată în Fig. 3:

1. Marja de fază

Marja modulului h =- L (ω -π), unde ω -π frecventa la care θ=-180˚ .

Valorile cerute ale marjelor de stabilitate depind de clasa ATS și de cerințele pentru calitatea reglementării. Aproximativ ar trebui să fie =30  60  și h =6  20dB.

Marjele minime admise de stabilitate în amplitudine trebuie să fie nu mai mici de 6 dB (adică coeficientul de transfer al sistemului în buclă deschisă este jumătate din valoarea critică), iar în fază nu mai puțin de 25 30  .

Stabilitatea unui sistem cu o legătură de întârziere pură

Dacă AFC al unui sistem în buclă deschisă trece prin punctul (-1, j 0), atunci sistemul este în pragul stabilității.

Un sistem cu întârziere pură poate fi stabilit dacă în circuit este inclusă o legătură fără inerție cu un coeficient de transfer mai mic de 1. Sunt posibile și alte tipuri de dispozitive de corectare.

Sisteme structural stabile și structural instabile

O modalitate de a schimba calitatea sistemului (în termeni de stabilitate) este modificarea coeficientului de transfer al sistemului în buclă deschisă.

Când k L ( ) se va ridica sau va coborî. Dacă k crește, L ( ) crește și  medie va crește, dar sistemul va rămâne instabil. Dacă k scade, atunci sistemul poate fi stabilizat. Aceasta este una dintre modalitățile de a corecta sistemul.

Sistemele care pot fi stabilite prin modificarea parametrilor sistemului se numesc SUSTENABILE STRUCTURAL.

Pentru aceste sisteme există un raport critic de transfer în buclă deschisă. K crit. acesta este coeficientul de transfer atunci când sistemul este în pragul stabilității.

Există sisteme STRUCTURAL INSTABILE - acestea sunt sisteme care nu pot fi stabilite prin modificarea parametrilor sistemului, dar pentru stabilitate este necesară modificarea structurii sistemului.

Exemplu.

Să luăm în considerare trei cazuri:

Lăsa

Apoi

Să verificăm funcționarea sistemului pentru stabilitate.

Δ = a 3 Δ 2 >0.

Pentru a determina k rs.cr. să echivalăm cu zero 2 .

Apoi

Când când

Sistemul luat în considerare este STRUCTURAL STABLE, deoarece poate fi stabilizat prin modificarea parametrilor legăturilor.

Să fie la fel ca în primul caz.

Acum nu există nicio eroare statică pe canalul de control.

Condiții de stabilitate Hurwitz:

Fie  2 =0, atunci dacă sistemul este instabil.

Acest sistem cu astatism de ordinul I STRUCTURAL STABIL.

Lăsa

Sistemul este întotdeauna instabil. Acest sistem este STRUCTURAL INSTABIL.

PRELEZA 7.

În prelegerile anterioare, au fost studiate procesele în regim de echilibru din sistemele automate de control. Acum trecem la analiza proceselor tranzitorii. Să începem să le privim cu conceptul de sustenabilitate.

Orice sistem trebuie în primul rând să fie operațional. Înseamnă că trebuie să funcţioneze normal sub influenţa diverselor perturbaţii externe. Cu alte cuvinte, sistemul trebuie să funcționeze stabil.

Durabilitate - Aceasta este proprietatea unui sistem de a reveni la starea inițială sau aproape de starea de echilibru după orice ieșire din acesta ca urmare a oricărui impact.

În fig. Figura 7.1 prezintă curbele tipice ale proceselor tranzitorii în sisteme instabile (Fig. 7.1, a) și stabile (Fig. 7.1, b). Dacă sistemul instabil, atunci orice împingere este suficientă pentru ca acesta să înceapă un proces divergent de părăsire a stării staționare inițiale. Acest proces poate fi aperiodic (curba 1 din fig. 7.1, a) sau oscilator (curba 2 din fig. 7.1, a).

Un proces divergent aperiodic poate apărea, de exemplu, într-un sistem de control automat, dacă dispozitivul său de control comută în mod greșit polaritatea influenței asupra obiectului, drept urmare unitatea de control va oferi feedback nu negativ, ci pozitiv în jurul obiectului. În acest caz, unitatea de control nu va elimina abaterea la, dar acționează în direcția opusă, provocând o schimbare asemănătoare avalanșelor.

Un proces divergent oscilator poate avea loc, de exemplu, cu o creștere nelimitată a coeficientului de transmisie al sistemului. Ca urmare, unitatea de control va actiona excesiv de energic asupra obiectului, incercand sa elimine abaterile aparute initial. la. În acest caz, cu fiecare returnare ulterioară la la zero sub influența curbei dispozitivului de control la va traversa axa x cu o viteză crescândă și procesul în ansamblu va fi divergent.

În cazul unui sistem stabil (Fig. 7.1, b), procesul tranzitoriu cauzat de orice impact scade în timp aperiodic (curba 1) sau oscilator (curba 2), iar sistemul revine la starea de echilibru.

Astfel, un sistem stabil poate fi definit și ca un sistem în care procesele tranzitorii sunt amortizate.

Conceptul de stabilitate de mai sus definește stabilitate la starea de echilibru sisteme. Cu toate acestea, sistemul poate funcționa în condiții de influențe în continuă schimbare, când nu există deloc starea de echilibru. Luând în considerare astfel de condiții de funcționare, se poate da următoarea definiție mai generală a stabilității: un sistem este stabil dacă valoarea sa de ieșire rămâne limitată în condiții de expunere la perturbații de amploare limitată.

Este ușor de arătat că dacă procesul tranzitoriu din sistem este amortizat, atunci sistemul va satisface ultima definiție.

Un sistem de control automat liniar este numit stabil dacă coordonatele sale de ieșire y(t) rămân limitate pentru orice influență de intrare x(t) și f(t) limitată în valoare absolută. Stabilitatea unui sistem liniar este determinată de caracteristicile sale și nu depinde de influențele existente.

Astfel, pentru a determina stabilitatea unui sistem liniar, este necesar să se găsească modificarea cantității sale controlate. Diagrama bloc a sistemului liniar este prezentată în Fig. 7.2, unde W(s) este funcția de transfer a sistemului în buclă deschisă, care, în general, așa cum a fost definit în a doua prelegere, are forma:

Orez. 7.2. Schema bloc a unui sistem liniar

Funcția de transfer a sistemului cu buclă închisă prezentată în Fig. 7.2, este determinată de următoarea formulă

Înlocuind (7.1) în (7.2) și eliberându-ne de fracțiile din numărătorul și numitorul funcției de transfer a unui sistem cu buclă închisă, o putem prezenta astfel:

Procesele din sistem (Fig. 7.2), după cum urmează din (7.3), sunt descrise printr-o ecuație diferențială de forma

Soluția ecuației liniare neomogene (7.4) în formă generală constă, după cum se știe, din două componente:

Iată o soluție particulară a ecuației neomogene (7.5) cu partea dreaptă, care descrie modul forțat al sistemului, stabilit la sfârșitul procesului de tranziție; - rezolvarea generală a ecuaţiei omogene

descriind procesul tranzitoriu din sistem.

După cum s-a arătat mai sus, sistemul va fi stabil dacă procesele tranzitorii cauzate de orice perturbări se diminuează, de exemplu. dacă tinde spre zero în timp.

Soluția unei ecuații diferențiale omogene, după cum se știe, are forma:

Aici C i– constante de integrare determinate de condiţiile iniţiale şi perturbaţii; s i– rădăcinile ecuaţiei caracteristice

unde polinomul, numit caracteristic, este partea stângă a ecuației (7.4) a dinamicii sistemului.

Din teoria variabilelor complexe se știe că dacă partea reală a rădăcinii s i este negativ, atunci termenul tinde spre zero ca t ® ¥.

Astfel, pentru stabilitatea sistemului necesar si suficient , la toate rădăcinile ecuației caracteristice aveau părți reale negative.

Dacă descriem rădăcinile ecuației caracteristice a sistemului ca puncte pe planul complex (Fig. 7.3), atunci ceea ce s-a găsit mai sus starea generala Stabilitatea unui sistem liniar poate fi formulată și după cum urmează: condiția pentru stabilitatea sistemului este locația tuturor rădăcinilor ecuației caracteristice, i.e. polii funcției de transfer a sistemului, în semiplanul complex stâng sau, pe scurt, toți trebuie să fie stângaci.

Orez. 7.3. Rădăcinile ecuației caracteristice pe planul complex.

Prezența unei rădăcini pe axa imaginară înseamnă că sistemul este pornit limita de stabilitate. În acest caz, sunt posibile două cazuri:

Rădăcina la origine;

O pereche de rădăcini imaginare.

O rădăcină zero apare atunci când termenul liber al ecuației caracteristice este egal cu zero. În acest caz, se numește limita de stabilitate aperiodic ; sistemul este stabil nu în raport cu semnalul de ieșire, ci în raport cu derivata acestuia: semnalul de ieșire în stare staționară are o valoare arbitrară. Se numesc astfel de sisteme neutru stabil .

În cazul în care ecuația caracteristică are o pereche de rădăcini imaginare, se numește limita de stabilitate vibrational , în timp ce în procesul tranzitoriu vor exista oscilații armonice neamortizate.

Dacă cel puțin una dintre rădăcini are o parte reală pozitivă, i.e. se află în semiplanul drept al planului complex al rădăcinilor ecuației caracteristice, atunci sistemul este instabil.

Pentru a judeca stabilitatea unui sistem, practic nu este necesar să găsim rădăcinile ecuației sale caracteristice datorită faptului că au fost dezvoltate semne indirecte prin care se pot judeca semnele părților reale ale acestor rădăcini și, prin urmare, stabilitatea sistemul fără a rezolva în sine ecuația caracteristică. Aceste semne indirecte sunt numite criterii de durabilitate.

Există trei criterii principale de stabilitate: criteriul Routh-Hurwitz, criteriul Mikhailov și criteriul Nyquist. Să le luăm în considerare secvenţial.

Durabilitate numiți proprietatea unui sistem de a reveni în mod independent la o stare de echilibru după ce o influență externă de intrare l-a scos din starea de echilibru. Echilibrul este starea unui sistem când cantitatea controlată y(t) este constantă și toate derivatele sale sunt egale cu zero. Studiul stabilității este una dintre sarcinile principale în teoria controlului automat.

După cum sa menționat deja, procesul de management este determinat de procesul de tranziție: legea schimbării y(t) după schimbare X(t). Procesul tranzitoriu ACS poate fi obținut prin rezolvarea ecuației diferențiale ACS (1). Această soluție poate fi reprezentată prin suma a două componente, forțată y in(t) și tranzitorie y p(t):

y(t) = y in(t) + y p(t),

Unde y in(t) este determinată de proprietățile sistemului și de tipul de influență de intrare. ACS va fi stabil dacă, în timp, componenta de tranziție tinde spre zero:

Se poate judeca fără ambiguitate stabilitatea unui sistem după tipul procesului său de tranziție: unui proces de tranziție amortizat (convergând la o constantă) corespunde unui sistem stabil, unul divergent (convergând la infinit) îi corespunde unuia instabil.

EXEMPLE de procese tranzitorii ale sistemelor de control automate instabile.

Când se studiază stabilitatea tunurilor autopropulsate, sunt rezolvate următoarele sarcini:

Determinarea dacă ACS este stabil sub parametrii dați;

Determinarea modificărilor admisibile ale parametrilor ACS fără a încălca stabilitatea;

Căutați parametrii și/sau structura unui sistem de control automat sub care acesta poate deveni stabil.

teorema lui Lyapunov

Necesar și suficient stare de stabilitate tunurile liniare autopropulsate este formulată în teorema lui Lyapunov:

Dacă ecuația caracteristică a unui ACS are toate rădăcinile cu o parte reală negativă, atunci sistemul este stabil;

Dacă cel puțin o rădăcină are o parte reală pozitivă, atunci ACS este instabil.

Ecuația caracteristică a unui ACS este scrisă sub forma unei ecuații diferențiale sau funcție de transfer a sistemului. Deci, din ecuația (1) după transformarea Laplace avem (vezi concluzia (2)):

Polinomul din partea stângă a ecuației este de forma:

numit caracteristică. Echivalând polinomul caracteristic cu zero dă ecuație caracteristică sistem sau link:

Rădăcinile ecuației caracteristice, al cărei număr corespunde ordinii ecuației caracteristice a ACS, pot fi reale, complexe și pur imaginare. Ele pot fi reprezentate ca puncte pe planul complex al mărimii R. Conform teoremei, pentru stabilitatea sistemului este necesar și suficient ca toate rădăcinile să se afle în semiplanul stâng. Un exemplu de distribuții posibile în planul complex al rădăcinilor ecuației caracteristice durabil Un tun autopropulsat de ordinul 5 este prezentat în Fig. 75.

Dacă printre rădăcinile ecuației caracteristice există o rădăcină zero sau o pereche de rădăcini pur imaginare conjugate situate pe axa imaginară, sistemul se găsește pe limita de stabilitate. Exemple de distribuții posibile în planul complex al rădăcinilor ecuației caracteristice a unui sistem de control automat de ordinul al 5-lea, situat la granița stabilității, prezentată în Fig. 77.

Sistemele care au o pereche de rădăcini imaginare pot efectua oscilații neamortizate (auto-oscilații). Astfel de sisteme sunt practic nefuncționabile.

Orez. 77

Să luăm în considerare exemple de evaluare a stabilității folosind teorema lui Lyapunov și legătura dintre rezultatele evaluării și caracteristicile de tranziție ale sistemului de control automat.

Fie ca ACS de ordinul 3 să aibă o ecuație caracteristică de forma:

În fig. Figura 78 prezintă rezultatul rezolvării acestei ecuații, obținut cu ajutorul pachetului matematic Mathcad. Mulțimea rădăcinilor unei ecuații este reprezentată în paranteze. După cum puteți vedea, una dintre rădăcinile ecuației s-a dovedit a fi negativ număr real -3,55, iar celelalte două sunt numere complexe conjugate cu negativ parte reală –0,525: (–0,525 – 0,657 j) și (–0,525 + 0,657 j).

Să considerăm, în mod similar, un alt ACS de ordinul 3, cu o ecuație caracteristică de forma:

În fig. Figura 80 prezintă rezultatul rezolvării acestei ecuații, obținut cu ajutorul pachetului matematic Mathcad. Mulțimea rădăcinilor unei ecuații este reprezentată în paranteze. După cum puteți vedea, una dintre rădăcinile ecuației s-a dovedit a fi negativ număr real -7,2, iar celelalte două sunt numere complexe conjugate cu pozitiv partea reală 1.31: (1.31 + 4.64 j) și (1,31 – 4,64 j), adică Distribuția rădăcinilor în plan complex indică, conform teoremei lui Lyapunov, instabilitatea sistemului de control automat.

Criterii de stabilitate ACS

Pentru a evalua stabilitatea, este necesar să se estimeze locația rădăcinilor ecuației caracteristice a sistemului în raport cu axele de coordonate ale planului complex. Această estimare se poate face prin rezolvarea directă a ecuației caracteristice. Dar pentru a determina stabilitatea, nu este necesar să se cunoască valorile rădăcinilor ecuației caracteristice; este suficient să se verifice dacă părțile reale ale tuturor rădăcinilor sunt negative.

Regulile care permit studierea stabilității unui sistem fără a găsi direct rădăcinile ecuației caracteristice se numesc criterii de durabilitate.

În stadiul incipient de dezvoltare a teoriei controlului, problema determinării stabilității unui polinom fără a calcula rădăcinile acestuia era relevantă, deoarece ecuațiile caracteristice de ordin înalt au fost greu de rezolvat manual. Acum este ușor să găsiți rădăcinile polinomului caracteristic folosind programe de calculator, totuși, această abordare nu ne permite să studiem stabilitatea teoretic, de exemplu, pentru a determina limitele zonelor de stabilitate ale parametrilor individuali ACS.

Folosind criteriile de stabilitate, se stabilește nu numai faptul stabilității sistemului, ci se evaluează și influența anumitor parametri și modificări structurale ale sistemului asupra stabilității. Matematic, toate formele de criterii de stabilitate sunt echivalente, deoarece ele definesc condițiile în care rădăcinile ecuației caracteristice cad în semiplanul stâng al sistemului de coordonate complex.

6.2.1. criteriul Hurwitz

Criteriul Hurwitz se referă la criteriile de stabilitate algebrică, care fac posibilă determinarea dacă un ACS este stabil sau nu pe baza rezultatelor operațiilor algebrice pe coeficienții ecuației caracteristice.

Majoritatea armelor autopropulsate reale sunt închise, adică. au un feedback unitar comun și, în consecință, o funcție de transfer de forma:

Unde W ori(R) – funcție de transfer a unui sistem de control automat în buclă deschisă (fără a ține cont de feedback general).

Să considerăm derivarea ecuației caracteristice a unui ACS în buclă închisă dacă este dată funcția de transfer a ACS în buclă deschisă corespunzătoare. Conform (17), ecuația caracteristică a ACS se obține prin setarea numitorului funcției sale de transfer la zero, prin urmare, pentru un sistem închis scriem:

Cu toate acestea, funcția de transfer a unui sistem în buclă deschisă, conform (2), are forma:

prin urmare, ecuația caracteristică a unui sistem în buclă închisă poate fi scrisă ca:

O fracție este egală cu zero atunci când numărătorul ei este zero, prin urmare, ecuația caracteristică a unui sistem în buclă închisă poate fi scrisă ca suma polinoamelor numărătorului și numitorului funcției de transfer a unui sistem în buclă deschisă, echivalând cu expresia rezultată la zero:

(18)

Important! Pentru aplicarea criteriului Hurwitz, se folosește o formă specială de scriere a ecuației caracteristice, care diferă de (16) prin numerotarea inversă a coeficienților polinomi:

Criteriul Hurwitz folosește o matrice de coeficienți ai mărimii ecuației caracteristice n´ n, compusă după cum urmează:

Toți coeficienții ecuației caracteristice sunt scriși de-a lungul diagonalei principale, începând cu A 1 și sfârșit un n;

Fiecare linie este completată cu coeficienți cu indici crescători de la stânga la dreapta astfel încât liniile cu indici pari și impari să alterneze;

În absența unui coeficient, precum și dacă indicele este mai mic de 0 sau mai mult n, 0 se scrie în locul lui.

Rezultatul este o matrice, al cărei prim rând conține coeficienții ecuației (19) A 1 ,A 3 ,A 5 ,… (toate cu numere impare) și zerouri în locul elementelor lipsă, a doua linie – coeficienți A 0 ,A 2 ,A 4 ,... (toate cu numere pare) și zerouri în locul elementelor lipsă. A treia linie se obține prin deplasarea primei linii cu o poziție la dreapta, a patra - prin deplasarea celei de-a doua linie cu o poziție la dreapta etc. De exemplu, pentru un tun autopropulsat de ordinul 5 ( n= 5) această matrice are forma:

Criteriul Hurwitz determină condiția necesară și suficientă pentru stabilitatea ACS după cum urmează: toate rădăcinile ecuației caracteristice ACS au părți reale negative dacă pentru a 0 > 0toți n determinanții Hurwitz ai matricei coeficienților sunt pozitivi.

Determinanții Hurwitz se calculează după cum urmează:

Cu condiția ca toți coeficienții ecuației caracteristice să fie pozitivi, este suficient să se verifice numai n– 1 primi determinanți Hurwitz, fără a calcula determinantul pentru matricea completă. În această condiție, cazuri speciale ale criteriului Hurwitz pentru sistemele de ordin inferior sunt obținute prin relevarea determinanților matricei coeficienților. Astfel, ca urmare a relevării determinanților, pentru ACS de ordinul întâi și al doilea, o condiție necesară și suficientă pentru stabilitate este pozitivitatea efectivă a tuturor coeficienților ecuației caracteristice. Pentru un sistem de control automat de ordinul 3, toți coeficienții sunt pozitivi și o condiție de forma:

Să determinăm, folosind criteriul Hurwitz, la ce valori ale coeficientului de conversie statică al controlerului k sistemul luat în considerare va fi stabil. Să notăm funcția de transfer a sistemului de control automat în buclă deschisă:

Folosind (18), scriem ecuația caracteristică a unui sistem de control automat în buclă închisă:

Pentru acea ecuație, conform formei (19), coeficienții sunt, respectiv, egali:

Dacă toți coeficienții acestei ecuații de ordinul 3 sunt pozitivi o conditie necesara stabilitatea este, de asemenea, îndeplinirea condiției (20):

A 1× A 2 – A 0 × A 3 > 0,

Astfel, ACS luat în considerare va fi stabil dacă valoarea coeficientului de conversie static k satisface conditia:

Să luăm în considerare exemple de evaluare a stabilității folosind criteriul Hurwitz al sistemelor de ordinul 3 studiate anterior folosind teorema lui Lyapunov (vezi Fig. 78 și Fig. 80). Matricea coeficienților Hurwitz pentru tunurile autopropulsate de ordinul 3 are forma generala:

acestea. matricele Hurwitz pentru sistemele de control automat considerate sunt egale, respectiv:

Și
.

Ecuațiile caracteristice ale ambelor sisteme de control automat îndeplinesc criteriul pozitivității tuturor coeficienților, prin urmare, pentru a evalua stabilitatea folosind criteriul Hurwitz, este suficient să se calculeze și să se verifice pozitivitatea n– 1 primii determinanți Hurwitz, i.e. pentru ordinul 3 – al doilea determinant. Rezultatele calculării celor doi determinanți ai matricei Hurwitz pentru sistemele luate în considerare (vezi Fig. 78 și Fig. 80), obținute folosind Mathcad, sunt prezentate în Fig. 83– A si orez 83– b respectiv. După cum puteți vedea, rezultatele evaluării stabilității în conformitate cu Hurwitz coincid cu estimările obținute anterior conform Lyapunov și cu rezultatele construirii caracteristicilor de tranziție ale ACS considerat (vezi Fig. 79 și, respectiv, Fig. 81) - un determinant pozitiv corespunde unui ACS stabil, iar un determinant negativ corespunde unuia instabil.

Hodograful conform formulei (21) se calculează prin modificarea frecvenței w de la 0 la +¥ și este reprezentat în plan complex.

Criteriul Mihailov determină condiția necesară și suficientă pentru stabilitatea ACS, după cum urmează: ACS este stabil dacă, atunci când frecvența se schimbă de la 0la +¥ Hodograf vectorial Mihailov A(j w ) începe pe partea pozitivă a axei reale și, fără a se întoarce la zero, rotindu-se în sens invers acelor de ceasornic, trece succesiv n cadrane ale planului complex, unde n este ordinul polinomului caracteristic al ACS.

Pentru sistemele stabile, hodograful Mikhailov are o formă de spirală netedă și, la w = 0, taie un segment egal cu termenul liber al ecuației caracteristice pe axa reală în direcția pozitivă A 0 .

Pe baza tipului de hodograf al lui Mihailov, este posibil să se determine starea limită de stabilitate a ACS: în cazul limitei de stabilitate a primului tip, i.e. Dacă ecuația caracteristică a ACS are rădăcină zero (vezi Fig. 77), nu există un termen liber al ecuației caracteristice A 0 = 0 și hodograful începe de la origine. La limita de stabilitate a celui de-al doilea tip, i.e. prezența unei perechi de rădăcini pur imaginare în ecuația caracteristică a ACS (vezi Fig. 77), hodograful trece prin originea coordonatelor (devine zero) la o valoare diferită de zero a lui w, iar această valoare este frecvența a oscilaţiilor neamortizate ale sistemului.

Să luăm în considerare exemple de evaluare a stabilității conform criteriului Mihailov a sistemelor de ordinul 3 studiate anterior folosind teorema Lyapunov (vezi Fig. 78 și Fig. 80). Formulele pentru calcularea hodografelor Mikhailov ale acestor sisteme au forma, respectiv:

Hodograful lui Mihailov pentru primul pistol autopropulsat este prezentat în Fig. 84. După cum se poate observa, forma sa îndeplinește toate condițiile criteriului:

Hodograful începe pe partea pozitivă a axei reale (decupând la w = 0 pe axa reală un segment egal cu termenul liber al ecuației caracteristice A 0 = 3);

Nu merge la zero;

Pe măsură ce valoarea frecvenței w crește, rotindu-se în sens invers acelor de ceasornic, aceasta trece succesiv prin primul și al doilea cadran, iar în al treilea cadran, la w ® ¥, merge la infinit.

Trebuie remarcat faptul că pentru sistemele cu un ordin înalt al ecuației caracteristice ( n= 5 sau mai mult) numărarea cadranelor la verificarea condițiilor criteriului Mihailov după al patrulea continuă în sens invers acelor de ceasornic, în aceeași ordine. Adică, de exemplu, pentru un pistol autopropulsat stabil de ordinul 5, hodograful trebuie să treacă secvenţial prin patru cadrane, să revină la primul (pentru hodograf, al cincilea în ordine) şi să meargă acolo la infinit. Un exemplu de hodograf Mikhailov pentru un pistol autopropulsat stabil de ordinul 5 cu o formulă pentru calcularea unui hodograf de forma:

prezentat în Fig. 86. Pentru comoditatea analizei, secțiunea inițială a hodografului, obținută la valori scăzute ale frecvenței w, este prezentată ca un fragment separat. Se poate observa că hodograful la w = 0 începe pe partea pozitivă a axei reale și, secvenţial, în sens invers acelor de ceasornic, trecând prin cinci cadrane, merge la infinit în a cincea.

Criteriul Nyquist pentru caracteristica amplitudine-fază (APC) este formulat după cum urmează: un sistem în buclă închisă va fi stabil dacă AFC al sistemului corespunzător în buclă deschisă, când frecvența se schimbă de la 0 la, nu acoperă punctul cu coordonatele [–1, j0].

Să luăm în considerare un sistem arbitrar de control automat în buclă deschisă care nu conține legături integratoare. În acest caz, valoarea AFC pentru frecvența w = 0 este egală cu coeficientul de conversie statică al ACS:

W(j w) = W(j 0) = k.

Mai mult, dacă gradul numărătorului funcției de transfer este mai mic decât gradul numitorului, atunci graficul AFC, începând din punctul cu coordonatele ( k, j 0) când frecvența se schimbă de la 0 la ¥ tinde spre origine. În fig. 88– A Este afișat AFC durabil ACS – graficul nu acoperă punctul cu coordonatele [–1, j 0], iar în fig. 88– b– instabil(graficul acoperă punctul).

Dacă ACS conține legături de integrare, atunci AFC la w = 0 merge la infinit, adică. Graficul AFC în acest caz nu începe pe axa reală, ci vine de la infinit. În acest caz, pentru a evalua stabilitatea utilizând criteriul Nyquist, conturul include nu numai curba AFC, ci și o parte a unui cerc cu rază infinită desenat în sensul acelor de ceasornic din axa reală. Exemplu durabil Un pistol autopropulsat cu acest tip de sistem de control automat este prezentat în Fig. 90– A, instabil– în fig. 90– b.

Orez. 90

Să luăm în considerare un exemplu de evaluare a stabilității folosind criteriul Nyquist pentru AFC folosind exemplul unui sistem de control automat în buclă închisă, care corespunde unui sistem în buclă deschisă cu o funcție de transfer de forma:

Să scriem conform celor date W ori(p) formula pentru calcularea AFC:

și, schimbând frecvența w de la 0 la +¥, vom reprezenta graficul AFC al sistemului de control automat în buclă deschisă folosind pachetul matematic Mathcad (Fig. 91). Pentru comoditatea analizei, secțiunea AFC din zona punctului [–1, j 0], obținut pentru valori mari ale frecvenței w, este prezentat în Fig. 91 de fragmente separate. Fragmentul arată clar că graficul acoperă punctul [–1, j 0], prin urmare un ACS închis este instabil.

Orez. 91

6.2.4. Criteriul Nyquist pentru LFC și LFFC

Criteriul Nyquist pentru caracteristicile amplitudine-frecvență și fază-frecvență logaritmică este formulat după cum urmează: un sistem în buclă închisă este stabil dacă sunt îndeplinite două condiții pentru caracteristicile sistemului în buclă deschisă corespunzător:

- la o frecvență egală cu frecvența de tăiere a ACS w cu modul de răspuns în frecvență de fază mai mic de 180 de grade: < 180° ;

- la o frecvenţă egală cu w p Valoarea LFC este mai mică decât zero: L(wp)< 0.

Din formularea criteriului, pentru a verifica condițiile acestuia pe baza caracteristicilor unui sistem de control automat în buclă deschisă, este necesar să se determine inițial două frecvențe: frecvența de tăiere w Cuși frecvența w p . După aceasta, pentru valorile frecvenței găsite, ar trebui verificată fezabilitatea ambelor condiții de criteriu.

Frecvența de tăiere a ACS este frecvența la care LFC al sistemului intersectează axa frecvenței, adică L(w Cu) = 0. Această frecvență se mai numește frecvența câștigului unității ACS, deoarece semnalul acestei frecvențe la ieșirea ACS are aceeași amplitudine ca la intrare: Si afara = O intrare. Pentru acest caz este adevarat:

Important! Nu confundați conceptele frecvenței de tăiere a unităților standard individuale ale unui ACS și întregul sistem în ansamblu. Determinarea frecvenței de tăiere a legăturilor tipice este discutată în coloana „Note”. Aplicații 1.

Frecvență w p ACS este frecvența la care răspunsul de fază al ACS este egal cu 180° cu un semn plus sau minus. Dacă răspunsul de fază traversează de mai multe ori ordonata ±180, atunci se verifică îndeplinirea condiției pentru punctul cel mai din dreapta.

Important! Caracteristicile luate în considerare sunt frecvențele de tăiere w Cuși frecvența w p – nu toate armele autopropulsate le au. Dacă LFC-ul sistemului nu intersectează deloc axa frecvenței, adică L(w) ¹ 0 pentru orice valoare a lui w, atunci un astfel de sistem nu are o frecvență de tăiere. În mod similar, dacă răspunsul de fază al sistemului nu ia valoarea ±180° la nicio valoare a frecvenței, atunci acest ACS nu este caracterizat de parametrul w p. În aceste cazuri, ar trebui alese alte criterii pentru a evalua durabilitatea.

În fig. 92– A arată cum se determină frecvențele w folosind graficele LFC și LPFC ale unui sistem de control automat în buclă deschisă Cu si wp.

Orez. 92

EXEMPLE: 1) LACHS fără frecvență de tăiere w c; 2) LFCH ACS fără frecvență w p .

Să verificăm dacă sunt îndeplinite condițiile criteriului Nyquist pentru caracteristicile sistemului de control automat în buclă deschisă prezentat în Fig. 92– A. Să definim grafic cantitățile L(w p) și j(w Cu) așa cum se arată în fig. 92– b. Așa cum se vede, L(wp)< 0, а < 180°, adică ambele condiții ale criteriului Nyquist sunt îndeplinite, prin urmare, ACS în buclă închisă corespunzător celui în buclă deschisă luată în considerare este durabil. Din fig. 92– b mai putem concluziona că pentru stabilitatea ACS conform criteriului Nyquist, este suficient ca condiția w să fie îndeplinită Cu < w p .

Pentru caracteristicile unui ACS deschis din Fig. 93– și eu(w p) > 0 și > 180°, adică ambele condiții ale criteriului Nyquist nu sunt îndeplinite, prin urmare, ACS în buclă închisă corespunzător celui în buclă deschisă luată în considerare este instabil. Din fig. 93– A mai putem concluziona că pentru ca ACS să fie instabil conform criteriului Nyquist, este suficient ca condiția w să fie îndeplinită Cu> w p .

Orez. 93

Pentru caracteristicile unui ACS în buclă deschisă, care corespunde unui sistem în buclă închisă situat la limita stabilitatii, L(w p) = 0 și = 180°, v Cu= w p (vezi Fig. 93– b). Pentru un astfel de sistem, pentru un semnal cu frecvența w Cu, adică cu o frecvență de câștig unitară, defazarea semnalului de ieșire în raport cu intrarea este de –180°. Acest lucru sugerează că după trecerea prin ACS, mărimea semnalului își schimbă semnul, menținându-și valoarea absolută (energia), adică se stabilesc oscilații neamortizate. AFC al unui astfel de ACS este prezentat în Fig. 89.

Să luăm în considerare un exemplu de evaluare a stabilității utilizând criteriul Nyquist pentru LFC și LFFC folosind exemplul unui sistem de control automat în buclă închisă, care corespunde unui sistem în buclă deschisă cu o funcție de transfer de forma:

În Fig. 94. După cum se poate observa din figură, LFC este zero la w Cu» 13,5 s -1 . LFFC la o frecvență w p » 5,7 s -1 își schimbă semnul - după ce j(w) atinge o valoare de –180° (vectorul rază, rotindu-se în sensul acelor de ceasornic, merge în semiplanul superior), numărarea defazajului continuă în zona valorilor pozitive . În acest caz, dintre cele două condiții ale criteriului Nyquist, doar a doua este încălcată formal: valoarea LFC la frecvența de tăiere nu este negativă ( L(w p) » 18 > 0). Prima condiție ( < 180°) este îndeplinită oficial: » 130° < 180°. Cu toate acestea, trebuie să se înțeleagă că un avans de fază de 130° corespunde, atunci când se numără în sensul acelor de ceasornic fără schimbarea semnului, unui decalaj cu valoarea:

j(w Cu) = –360° + 130° = –230°,

prin urmare, ACS închis este instabil. La aceeași concluzie se poate ajunge prin compararea valorilor lui w Cuși w p: w Cu> w p . Evaluarea stabilității acestui ACS conform criteriului Nyquist pentru AFC, efectuată la final secțiune 6.2.3 a arătat, de asemenea, o lipsă de stabilitate.

Să verificăm estimarea stabilității folosind criteriile Nyquist folosind teorema lui Lyapunov. Așa cum se specifică Folosind formula (18), notăm ecuația caracteristică a unui sistem de control automat în buclă închisă:

Soluția ecuației caracteristice a unui sistem de control în buclă închisă, obținută folosind pachetul matematic Mathcad, are forma:

Mulțimea rădăcinilor unei ecuații este reprezentată în paranteze. După cum puteți vedea, una dintre rădăcinile ecuației s-a dovedit a fi negativ număr real -17,74, iar celelalte două sunt numere complexe conjugate cu pozitiv parte reală 3.657. Aceste rădăcini sunt egale, respectiv, (3,657 + 12,22 j) și (3.657– 12.22 j). Acea. conform teoremei lui Lyapunov, un sistem de control autopropulsat închis instabil, ceea ce este în concordanță cu rezultatele evaluării stabilității obținute folosind ambele criterii Nyquist.

Orez. 94

Marje de stabilitate a tunului autopropulsat

Specificații dispozitivele incluse în ACS se modifică în timpul funcționării și, prin urmare, constantele funcției de transfer ACS se modifică și ele în timp. Investigator, nu este suficient să proiectați pur și simplu un sistem stabil, este necesar ca acesta să rămână stabil cu unele modificări ale parametrilor ACS în comparație cu cei calculati, adică. a avut rezerve de stabilitate. Marja determină distanța sistemului față de limita de stabilitate.

Marja de stabilitate a amplitudinii D L este valoarea în decibeli cu care LFC al unui sistem de control automat în buclă deschisă trebuie deplasat în sus pentru a aduce sistemul corespunzător în buclă închisă stabil la limita de stabilitate. În fig. Figura 95 arată deplasarea în sus a LFC a unui tun autopropulsat stabil, ale cărui caracteristici inițiale au fost luate în considerare în exemplul de evaluare a stabilității folosind criteriul Nyquist (vezi Fig. 92–). b).

unde A(w p)< 1 – модуль АФХ на частоте w p .

Cunoscându-l pe D L, putem determina valoarea coeficientului de conversie statică al unui sistem de control automat în buclă deschisă, la care sistemul în buclă închisă corespunzător se va afla pe limita de stabilitate:

;

(23)

Unde k

Să luăm în considerare un exemplu de determinare a valorii limită a coeficientului de conversie statică pentru un sistem de control automat în buclă deschisă cu o funcție de transfer de forma:

LFC și LFC ale acestui pistol autopropulsat sunt prezentate în Fig. 96. Din graficele de caracteristici se poate observa că frecvența de tăiere a ACS este w Cu» 50 s -1 , iar LFFC atinge o valoare de –180° la o frecvență w p » 100 s -1 și apoi își schimbă semnul. Marja de stabilitate a amplitudinii pentru acest tun autopropulsat este egală cu
, prin urmare, conform formulei (23):

La modificarea coeficientului de conversie statică al ACS la o valoare egală cu k gr, LFC al pistolului autopropulsat nu se va schimba, dar LFC se va deplasa în sus (vezi Fig. 96). După cum se vede, cu valoarea găsită k gr= 425,975 frecvența de tăiere a ACS deschis w Cu 1 devine egal cu 100 s -1, i.e. w Cu 1 = w p . Aceasta înseamnă că, în conformitate cu criteriul Nyquist pentru LFC și LPFC, sistemul închis corespunzător ACS în buclă deschisă luată în considerare se va afla într-adevăr la limita de stabilitate.

În fig. Figura 97 arată deplasarea în jos a LFFC a unui ACS în buclă deschisă, ale cărui caracteristici inițiale au fost luate în considerare în exemplul de evaluare a stabilității utilizând criteriul Nyquist (vezi Fig. 92–). b). După cum se poate vedea, deplasarea LFFC inițială paralelă cu sine în jos cu valoarea Dj(w Cu) conduce la o schimbare de frecvență w p a ACS deschis stânga: pentru noul LFFC indicat de linia punctată, valoarea acestei frecvențe w p1 = w Cu, care, conform criteriului Nyquist pentru LFC și LFFC, indică faptul că sistemul închis se află la limita de stabilitate. Din fig. 97 rezultă că valoarea Dj(w Cu) poate fi definit ca:

Amintiți-vă că w Cu aceasta este frecvența unității de câștig: un semnal cu această frecvență la ieșirea ACS are aceeași amplitudine ca la intrare. În consecință, lungimea vectorului rază trasat la punctul AFC, care corespunde lui w Cu, este egal cu 1. Acest punct poate fi găsit pe graficul AFC la intersecția cu un cerc de rază unitară (vezi Fig. 98).

Din fig. 98 este clar că dacă graficul AFC al unui sistem de control automat în buclă deschisă este rotit cu un unghi egal cu Dj(w Cu), atunci graficul va trece prin punctul [–1, j 0], care va conduce sistemul închis la limita de stabilitate conform criteriului Nyquist pentru AFC.

Pentru același AFC, să luăm în considerare determinarea marjei de stabilitate a amplitudinii. Frecvența w p corespunde unui defazaj de ±180°, prin urmare, punctul AFC corespunzător acestei frecvențe poate fi găsit prin intersecția graficului cu axa reală (Fig. 99). Modulul AFC, care determină coeficientul de atenuare al amplitudinii unui semnal cu o astfel de frecvență la ieșirea ACS, este egal cu lungimea vectorului rază trasat de la originea coordonatelor până la punctul corespunzător al AFC. Pentru AFC din fig. 99 această valoare este egală cu A(w p), iar din aceasta, folosind formula (22), puteți calcula D L.

Unde k– coeficientul de conversie statică al sistemului original de control automat în buclă deschisă.

Să luăm în considerare un exemplu de determinare a valorii limită a coeficientului de conversie statică pe baza AFC a unui sistem de control automat în buclă deschisă, pentru care calculul anterior k gr a fost efectuată conform caracteristicilor logaritmice (vezi pornind de la formula (23) și până la Fig. 96). AFC al acestui pistol autopropulsat cu valoarea originală k= 107 este prezentat în Fig. 100. Pentru comoditatea analizei graficului în zona punctului [–1, j 0] fragmentul său este afișat separat. După cum puteți vedea, tunurile autopropulsate cu valoarea inițială k Modulul AFC A(w p) » 0,25, prin urmare, conform formulei (25):

Valoare găsită k gr= 428 coincide cu o acuratețe satisfăcătoare cu rezultatul calculului folosind LFC ( k gr= 425,975). Erorile în calcule se datorează determinării aproximative din graficele D Lși A(w p).

Orez. 100

După cum se poate observa din fig. 100, la modificarea coeficientului de conversie statică al ACS la o valoare egală cu k gr= 428, pistolul autopropulsat va trece prin punctul cu coordonatele [–1, j 0], ceea ce înseamnă că, în conformitate cu criteriul Nyquist pentru AFC, sistemul în buclă închisă corespunzător ACS în buclă deschisă luat în considerare se va afla într-adevăr la limita de stabilitate.

Marjele de stabilitate a amplitudinii tunurilor autopropulsate D L și faza Dj(w Cu), împreună cu indicatorii determinați de caracteristica de tranziție (vezi. capitol 2.3.2.), sunt principalii indicatori ai calității managementului.

Literatură

1. Ankhimyuk, V.L. Teoria controlului automat. / V.L. Ankhimyuk, O.F. Opeiko, N.N. Mihaiev; editat de V.L. Anchimyuk. – Mn.: Design PRO, 2000. – 352 p.

2. Besekersky, V.A. Teoria sistemelor automate de control / V.A. Besekersky, V.P. Popov. – M.: Nauka, 1975. – 766 p.

3. Andryushchenko, V.A. Teoria sistemelor automate de control / V.A. Andriușcenko. – L.: Universitatea de Stat din Leningrad, 1990. – 256 p.

4. Klyuev, A.S. Proiectare sisteme de automatizare procese tehnologice: manual de referință / A.S. Klyuev, B.V. Glazov și colab. – M.: Energoatomizdat, 1990. – 464 p.

5. Klyuev, A.S. Tehnica citirii controlului automat si schemelor de control tehnologic / A.S. Klyuev, B.V. Glazov și colab. – M.: Energoatomizdat, 1991. – 432 p.

6. Fedorov, Yu.N. Manualul inginerului privind sistemele automate de control al proceselor: proiectare și dezvoltare: lucrări educaționale și practice. indemnizație / Yu.N. Fedorov. – M.: Infra-Inginerie, 2008. – 928 p.

7. Polyakov, K.Yu. Teoria controlului automat pentru manechine. K.Yu. Polyakov // Predare, știință și viață [Resursă electronică]. – 2009. – Mod de acces: http://kpolyakov.narod.ru/uni/teapot.htm. – Data accesului: 06/01/2011.

8. Tihonov, A.I. Teoria controlului automat: curs de prelegeri / A.I. Tihonov. – Ivanovo: ISEU, 2002. – 188 p.

9. Yakovlev, A.V. Sistem de stabilizare a vitezei motorului electric: munca de laborator la rata " Mijloace tehnice Pistoale autopropulsate / A.V. Yakovlev. – M.: MSTU im. N.E. Bauman, 2007. – 24 p.

10. Zaitsev, G.F. Teoria controlului si reglarii automate / G.F. Zaitsev. – K.: Liceu, 1989. – 431 p.

11. Tumanov, M.P. Teoria controlului. Teoria sistemelor liniare de control automat: tutorial/ M.P. Tumanov. – M.: MGIEM, 2005. – 82 p.

12. Kuzmenko, N.V. Note de curs la disciplina „Automatizarea proceselor și producției tehnologice”: manual. indemnizație / N.V. Kuzmenko. – Angarsk: AGTA, 2005. – 77 p.

13. Bespalov, A.V. Legături dinamice. Caracteristici temporale. Manual indemnizatie / A.V. Bespalov, N.I. Kharitonov și alții - M.: RKhTU im. DI. Mendeleeva, 2001. – 80 p.

14. Savin, M.M. Teoria controlului automat: manual. indemnizatie / M.M. Savin, V.S. Elsukov, O.N. Pyatina. – Rostov-pe-Don: Phoenix, 2007. – 469 p.

15. Phillips, Ch. Sisteme de control al feedback-ului / Ch. Phillips, R. Harbour. – M.: Laboratorul de Cunoștințe de bază, 2001. – 616 p.

Stabilitatea discutată mai sus (împreună cu criteriile de determinare a acesteia) nu este singura proprietate a sistemelor de control automat. Sistemele se caracterizează prin: marja de stabilitate, zone de stabilitate, atracție, calitatea reglementării și alte caracteristici. Să ne uităm la unele dintre ele.

Stabilitate structurală (instabilitate)

Aceasta este o proprietate a unui sistem închis, în prezența căruia nu poate fi stabilită sub nicio modificare a parametrilor.

Lăsa
. Hodograful Nyquist pentru acest sistem este prezentat în Fig. A. Stabilitatea acestui sistem este determinată de valorile parametrilor Și
. Sistemul luat în considerare este stabil din punct de vedere structural.

Lăsa
. (Fig. B). Stabilitatea depinde și de parametri Și . Sistemul este stabil din punct de vedere structural.

Lăsa
. În orice caz (pentru orice valoare a parametrilor) sistemul va fi instabil. Adică, sistemul este instabil din punct de vedere structural.

Într-un caz particular, funcția de transfer are forma
. În acest caz, ecuația caracteristică corespunzătoare sistemului închis: . Este încălcat principiul intermitenței rădăcinilor și polilor. Sistemul este instabil. Instabil structural.

Sistem de funcție de transfer
- instabil structural, deoarece pentru un sistem închis, coeficienții
,
,
,
, - sunt toate pozitive, dar din condiție rezultă că
, Unde
, sau
. Adică sistemul este instabil.

Sistem
de asemenea stabil din punct de vedere structural. Iată linkul
- cvasiperiodic (instabil static). Ecuația caracteristică a unui sistem închis. De unde putem obține două condiții la limită:
Și
.

Pentru sistemele cu un singur circuit, se aplică următoarele condiții (Meyerov M.V.):

Să fie un sistem cu un singur circuit format din:

- integrarea link-urilor,

- legături instabile,

- link-uri conservatoare. Apoi, în absența legăturilor diferențiatoare în sistem, acesta va fi stabil din punct de vedere structural dacă

În cazul sistemelor cu mai multe bucle, relațiile lui Meyer trebuie aplicate fiecărei bucle incluse în sistem.

Marja de stabilitate

Faptul că stabilitatea este detectată nu oferă încredere în operabilitatea sistemului.

Inexactitățile (erorile) sunt posibile deoarece:

descrierea matematică a sistemului este idealizată;

Legăturile sunt adesea linearizate;

inexactitatea în determinarea parametrilor;

modificarea condițiilor de muncă (față de cele simulate).

Prin urmare, este necesară o marjă de stabilitate.

Când se utilizează criteriul Hurwitz, marja este determinată de valoarea penultimului minor:

Dacă
- nu există marjă de stabilitate;
- există o rezervă.

Marja de stabilitate din sistem caracterizează gradul de stabilitate.

Marja de stabilitate și gradul de stabilitate pot fi determinate de locația rădăcinilor ecuației caracteristice și de caracteristicile de frecvență ale sistemului.

În mod similar, puteți determina marja de stabilitate folosind caracteristici logaritmice L( ) Și  ( ) , utilizat în determinarea stabilității folosind criteriul Nyquist.

Zona de stabilitate

În practică, proiectanții sistemelor automate de control sunt interesați de spațiul (zonă, limite, gamă) parametrilor sub care sistemul este stabil. Setul de valori ale parametrilor la care sistemul are proprietatea de stabilitate se numește regiunea de stabilitate a sistemului.

Sunt disponibile mai multe tehnici pentru a determina domeniile de durabilitate.

Pe baza criteriului algebric de stabilitate Hurwitz;

Metoda D-partiție;

Metoda hodografului rădăcinilor.

Zona de stabilitate potrivit lui Hurwitz este determinată prin utilizarea egalităților în condițiile Hurwitz în loc de inegalități. Cel mai adesea, limita zonei dorite poate fi determinată în condiții
. (A se vedea paragraful „Determinarea câștigului critic”). De aici se determină dependenţa parametrului care ne interesează din parametrul. Dependența rezultată() este limita regiunii de stabilitate a sistemului.