Elemente de mecanică a continuului. Câmp magnetic în vid

Sfârșitul unui zbor în spațiu este considerat a fi aterizarea pe o planetă. Până în prezent, doar trei țări au învățat să se întoarcă pe Pământ nava spatiala: Rusia, SUA și China.

Pentru planetele cu atmosferă (Fig. 3.19), problema aterizării se rezumă în principal la rezolvarea a trei probleme: depășirea unui nivel ridicat de suprasarcină; protecție împotriva încălzirii aerodinamice; gestionând timpul pentru a ajunge pe planetă și coordonatele punctului de aterizare.

Orez. 3.19. Schema coborârii navei spațiale de pe orbită și aterizării pe o planetă cu atmosferă:

N- pornirea motorului frana; O- deorbita navei spațiale; M- separarea navei spațiale de nava spațială orbitală; ÎN- intrarea SA în straturile dense ale atmosferei; CU - punerea în funcțiune a sistemului de aterizare cu parașută; D- aterizarea pe suprafata planetei;

1 – coborâre balistică; 2 – coborâre planare

Când aterizează pe o planetă fără atmosferă (Fig. 3.20, O, b) se elimină problema protecției împotriva încălzirii aerodinamice.

O navă spațială situată pe orbita unui satelit artificial al unei planete sau care se apropie de o planetă cu o atmosferă pentru a ateriza pe ea are o cantitate mare de energie cinetică asociată cu viteza navei spațiale și cu masa acesteia și energie potențială datorită poziției lui nava spațială în raport cu suprafața planetei.

Orez. 3.20. Coborârea și aterizarea unei nave spațiale pe o planetă fără atmosferă:

O- coborâre pe planetă cu intrare prealabilă pe o orbită de reținere;

b- aterizare lină a unei nave spațiale cu motor de frânare și tren de aterizare;

I - traiectoria hiperbolica de apropiere de planeta; II - traiectoria orbitală;

III - traiectoria de coborâre de pe orbită; 1, 2, 3 - secțiuni de zbor active în timpul frânării și aterizării moale

La intrarea în straturile dense ale atmosferei, o undă de șoc apare în fața prova navei spațiale, încălzind gazul la o temperatură ridicată. Pe măsură ce nava spațială se scufundă în atmosferă, aceasta încetinește, viteza ei scade, iar gazul fierbinte încălzește nava spațială din ce în ce mai mult. Energia cinetică a dispozitivului este transformată în căldură. În același timp cele mai multe energia este eliminată în spațiul înconjurător în două moduri: cea mai mare parte a căldurii este îndepărtată în atmosfera înconjurătoare datorita actiunii undelor de soc puternice si datorita radiatiei termice de la suprafata incalzita a SA.

Cele mai puternice unde de șoc apar cu o formă tocită a nasului, motiv pentru care pentru SA se folosesc forme tocite, mai degrabă decât cele ascuțite, caracteristice zborului la viteze mici.

Odată cu creșterea vitezei și a temperaturilor, cea mai mare parte a căldurii este transferată către aparat nu datorită frecării cu straturile comprimate ale atmosferei, ci datorită radiației și convecției de la unda de șoc.

Următoarele metode sunt utilizate pentru a elimina căldura de pe suprafața SA:

– absorbția căldurii de către stratul termoprotector;

– răcirea prin radiație a suprafeței;

– aplicarea de straturi de suflare.

Înainte de a pătrunde în straturile dense ale atmosferei, traiectoria navei spațiale respectă legile mecanicii cerești. În atmosferă, pe lângă forțele gravitaționale, aparatul este supus unor forțe aerodinamice și centrifuge care îi schimbă forma traiectoriei. Forța gravitațională este îndreptată spre centrul planetei, forța de rezistență aerodinamică este în direcția opusă vectorului viteză, forțele centrifuge și de ridicare sunt perpendiculare pe direcția de mișcare a SA. Forța de rezistență aerodinamică reduce viteza vehiculului, în timp ce forțele centrifuge și de ridicare îi conferă accelerație într-o direcție perpendiculară pe mișcarea acestuia.

Natura traiectoriei de coborâre în atmosferă este determinată în principal de caracteristicile sale aerodinamice. În absența forței de ridicare într-o navă spațială, traiectoria mișcării sale în atmosferă se numește balistic (traiectoriile de coborâre ale navelor spațiale din seria Vostok și Voskhod de nave spațiale), iar în prezența forței de ridicare, se numește planare. (SA Soyuz și Apollo, precum și naveta spațială"), sau ricoșeu (SA KK Soyuz și Apollo). Mișcarea pe o orbită planetocentrică nu impune cerințe mari pentru precizia ghidării în timpul reintrarii, deoarece este relativ ușor să reglați traiectoria pornind sistemul de propulsie pentru frânare sau accelerare. La intrarea în atmosferă cu o viteză care depășește prima viteză cosmică, erorile de calcul sunt cele mai periculoase, deoarece o coborâre prea abruptă poate duce la distrugerea navei spațiale, iar o coborâre prea blândă poate duce la distanțare de planetă.

La descendență balistică vectorul forțelor aerodinamice rezultante este direcționat direct opus vectorului viteză al vehiculului. Coborârea pe o traiectorie balistică nu necesită control. Dezavantajul acestei metode este abruptul mare a traiectoriei și, în consecință, vehiculul pătrunde în straturile dense ale atmosferei cu viteză mare, ceea ce duce la încălzirea aerodinamică puternică a dispozitivului și la supraîncărcări, uneori depășind 10 g - aproape de valorile maxime admise pentru oameni.

La coborâre aerodinamică Corpul exterior al aparatului, de regulă, are o formă conică, iar axa conului face un anumit unghi (unghi de atac) cu vectorul viteză al aparatului, datorită căruia rezultanta forțelor aerodinamice are o componentă perpendiculară pe vectorul viteză al aparatului — forța de ridicare. Datorită forței de ridicare, vehiculul coboară mai încet, traiectoria de coborâre a acestuia devine mai plată, în timp ce secțiunea de frânare se întinde atât în ​​lungime, cât și în timp, iar suprasarcinile maxime și intensitatea încălzirii aerodinamice pot fi reduse de mai multe ori, comparativ cu frânarea balistică, care se face de planor, coborârea este mai sigură și mai confortabilă pentru oameni.

Unghiul de atac în timpul coborârii se modifică în funcție de viteza de zbor și densitatea curentă a aerului. În straturile superioare, rarefiate ale atmosferei poate ajunge la 40°, scăzând treptat odată cu coborârea aparatului. Acest lucru necesită prezența unui sistem de control al zborului planant pe SA, care complică și îngreunează aparatura, iar în cazurile în care este folosit pentru a coborî doar echipamente care pot rezista la suprasarcini mai mari decât o persoană, de obicei se folosește frânarea balistică.

Etapa orbitală a navetei spațiale, care îndeplinește funcția de vehicul de coborâre la întoarcerea pe Pământ, planifică pe toată durata fazei de coborâre de la intrarea în atmosferă până când trenul de aterizare atinge pista de aterizare, după care parașuta de frânare este eliberată.

După ce viteza vehiculului în secțiunea de frânare aerodinamică este redusă la subsonică, coborârea navei spațiale poate fi apoi efectuată folosind parașute. O parașuta într-o atmosferă densă reduce viteza vehiculului la aproape zero și asigură o aterizare moale pe suprafața planetei.

În atmosfera subțire a lui Marte, parașutele sunt mai puțin eficiente, așa că în timpul părții finale a coborârii parașuta este detașată și motoarele rachetei de aterizare sunt pornite.

Vehiculele cu echipaj de coborâre ale navei spațiale din seria Soyuz TMA-01M, destinate aterizării pe uscat, au și motoare de frânare cu combustibil solid care pornesc cu câteva secunde înainte de a atinge solul pentru a asigura o aterizare mai sigură și mai confortabilă.

Vehiculul de coborâre al stației Venera-13, după ce a coborât cu parașuta la o altitudine de 47 km, l-a scăpat și a reluat frânarea aerodinamică. Acest program de coborâre a fost dictat de particularitățile atmosferei lui Venus, ale cărei straturi inferioare sunt foarte dense și fierbinți (până la 500 ° C), iar parașutele din material nu ar fi rezistat unor astfel de condiții.

Trebuie remarcat faptul că în unele proiecte de nave spațiale reutilizabile (în special, decolare și aterizare verticală într-o singură etapă, de exemplu, Delta Clipper), se presupune și în etapa finală de coborâre, după frânarea aerodinamică în atmosferă, să efectueze și o aterizare a motorului fără parașute folosind motoare rachete. Din punct de vedere structural, vehiculele de coborâre pot diferi semnificativ unele de altele, în funcție de natura încărcăturii utile și de condiţiile fizice pe suprafața planetei pe care se aterizează.

La aterizarea pe o planetă fără atmosferă, problema încălzirii aerodinamice este eliminată, dar pentru aterizare viteza este redusă folosind un sistem de propulsie de frânare, care trebuie să funcționeze într-un mod de tracțiune programabil, iar masa combustibilului poate depăși semnificativ masa. a navei spațiale în sine.

ELEMENTE DE MECANICA Continuului

Un mediu este considerat continuu dacă se caracterizează printr-o distribuție uniformă a materiei – i.e. mediu cu aceeași densitate. Acestea sunt lichide și gaze.

Prin urmare, în această secțiune ne vom uita la legile de bază care se aplică în aceste medii.

Cursul 4. Elemente mecanice continuum

Să luăm în considerare mișcarea unui fluid ideal - un mediu continuu, a cărui compresibilitate și vâscozitate pot fi neglijate. Să selectăm un anumit volum în el, în mai multe puncte din care sunt determinați vectorii viteze de mișcare a particulelor lichide la un moment dat. Dacă modelul câmpului vectorial rămâne neschimbat în timp, atunci o astfel de mișcare a fluidului se numește constantă. În acest caz, traiectoriile particulelor sunt linii continue și care nu se intersectează. Sunt numiti linii curente , iar volumul de lichid limitat de streamlines este tub de curent (Fig. 4.1).

Deoarece particulele de lichid nu intersectează suprafața unui astfel de tub, acesta poate fi considerat un tub real cu pereți imobilizați pentru lichid. Să selectăm secțiunile arbitrare din tubul curent și cele perpendiculare pe direcția vitezei particulelor în secțiuni și, respectiv (Fig. 4.1).

Într-o perioadă scurtă de timp, prin aceste secțiuni curg volume de lichid

. (4.1)

Deci lichidul este incompresibil și... Și apoi pentru orice secțiune a tubului curent, egalitatea este valabilă

. (4.2)

Fig.4.1

Se numește ecuația de continuitate a jetului. În conformitate cu (4.2), unde secțiunea transversală este mai mică, viteza de curgere a fluidului este mai mare și invers.

ecuația lui Bernoulli.Fie ca secțiunile transversale ale tubului ideal de curgere a fluidului luate în considerare să fie mici, astfel încât valorile vitezei și presiunii din ele să poată fi considerate constante, de exemplu. și, în secțiune și, în (Fig. 4.2).

Când un fluid se mișcă într-o perioadă scurtă de timp, secțiunea se va deplasa în poziția care a depășit calea, iar secțiunea se va muta în poziția care a trecut. Volumul de lichid continut intre sectiuni si datorat ecuatiei de continuitate va fi

egal cu volumul de lichid conținut în gol

Orez. 4.2 între și. Tubul are o oarecare pantă

și centrele secțiunilor sale și sunt la înălțimi și deasupra unui anumit

nivel orizontal. Ținând cont de faptul că și, modificarea energiei totale a masei eliberate de lichid, situată la momentul inițial între secțiuni și, poate fi reprezentată sub forma

. (4.3)

Această schimbare, conform legii conservării energiei, este cauzată de munca forțelor externe. În acest caz, acestea sunt forțe de presiune și, respectiv, care acționează asupra secțiunilor și, unde și sunt presiunile corespunzătoare. Pentru orice secțiune de tub curent

, (4.4)

unde densitatea fluidului Egalitatea (4.4) exprimă legea fundamentală a hidrodinamicii, care este numită și ecuația Bernoulli după omul de știință care a obținut-o pentru prima dată.

Presiunea într-un flux de fluid.De remarcat că în expresia (4.4) toți termenii au dimensiunea presiunii și, respectiv, se numesc: dinamic, hidrostatic sau greutate, presiune statică, iar suma lor este presiunea totală. Ținând cont de acest lucru, relația (4.4) poate fi exprimată în cuvinte: într-un flux staționar al unui fluid ideal, presiunea totală în orice secțiune a tubului de curent (în limita liniei de curent) este o valoare constantă, iar viteza curgerii

. (4.5)

Se scurge lichid din orificiu.Lăsați orificiul situat lângă fundul vasului umplut cu lichid să fie deschis (Fig. 4.3). Să selectăm un tub curent cu secțiuni - la nivelul suprafeței deschise a lichidului din vas; - la nivelul găurii -. Pentru ei, ecuația Bernoulli are forma

. (4.6)

Aici, unde este presiunea atmosferică. Prin urmare, din (4.6) avem

(4.7)

Dacă, atunci poți fi membru

Orez. 4.3 neglijare. Apoi din (4.7) obținem

Prin urmare, debitul fluidului va fi egal cu:

, (4.8)

Unde. Formula (4.8) a fost obținută pentru prima dată de Torricelli și îi poartă numele. Într-o perioadă scurtă de timp, un volum de lichid curge din vas. Masa corespunzătoare, unde este densitatea lichidului. Ea are impuls. În consecință, vasul transmite acest impuls masei care curge, adică. actioneaza cu forta

Conform celei de-a treia legi a lui Newton, o forță va acționa asupra navei, adică.

. (4.9)

Aici este forța de reacție a fluidului care curge. Dacă vasul se află pe un cărucior, atunci sub influența forței se va deplasa, ceea ce se numește mișcare reactivă.

Curgeri laminare și turbulente. Viscozitate.Se numește fluxul unui lichid în care fiecare strat alunecă față de alte straturi similare și nu există amestecarelaminare sau stratificate. Dacă în interiorul lichidului are loc formarea de vârtejuri și amestecarea intensă a straturilor, atunci un astfel de flux se numește turbulent.

Fluxul constant (staționar) al unui fluid ideal este laminar la orice viteză. În lichidele reale, între straturi apar forțe de frecare internă, adică. lichidele reale au vâscozitate. Prin urmare, fiecare strat încetinește mișcarea stratului vecin. Mărimea forței de frecare internă este proporțională cu aria de contact a straturilor și cu gradientul de viteză, adică

, (4.10)

unde este coeficientul de proporționalitate, numit coeficient de vâscozitate. Unitatea sa este (Pascal secundă). Vâscozitatea depinde de tipul de lichid și de temperatură. Pe măsură ce temperatura crește, vâscozitatea scade.

Dacă forța de frecare internă este mică și viteza de curgere este mică, atunci mișcarea este practic laminară. Când forțele interne de frecare sunt mari, natura stratificată a fluxului este perturbată și începe amestecarea intensivă, de exemplu. are loc o trecere la turbulență. Condițiile pentru această tranziție atunci când lichidul curge prin conducte sunt determinate de cantitate kr, numit numărul Reynolds

, (4.11)

unde este densitatea lichidului, este viteza medie de curgere pe secțiunea transversală a conductei și este diametrul conductei. Experimentele arată că atunci când fluxul este laminar, atunci când devine turbulent. Pentru țevi rotunde cu raza număr Reynolds. Influența vâscozității duce la faptul că viteza de curgere printr-o țeavă rotundă este diferită pentru diferite straturi. Se determină valoarea medie a acestuiaFormula lui Poiseuille

, (4.12)

unde este raza conductei, () este diferența de presiune la capetele conductei, este lungimea acesteia.

Influența vâscozității este detectată și în timpul interacțiunii unui flux cu un corp staționar. De obicei, în conformitate cu principiul mecanic al relativității, se ia în considerare problema inversă, De exemplu, Stokes S-a stabilit că atunci când o forță de frecare acționează asupra unei bile care se mișcă într-un lichid

, (4.13)

unde r - raza mingii, - viteza de deplasare a acesteia. Formula Stokes (4.13) este utilizat în practica de laborator pentru a determina coeficientul de vâscozitate al lichidelor.

Oscilații și unde

Mișcarea oscilativă, sau pur și simplu oscilația, este o mișcare caracterizată prin grade variate de repetabilitate a valorilor în timp. mărimi fizice care determină această mișcare. Întâlnim oscilații atunci când studiem o mare varietate de fenomene fizice: sunet, lumină, curenți alternativi, unde radio, balansări de pendul etc. În ciuda varietății mari de procese oscilatorii, toate apar după niște modele comune. Cea mai simplă dintre ele este mișcarea oscilativă armonică. Mișcarea oscilativă se numește armonică dacă modificarea mărimii fizice X (deplasarea) are loc conform legii cosinusului (sau sinusului)

, (4.14)

unde valoarea A egală cu deplasarea maximă X sistem din poziția de echilibru, se numește amplitudinea oscilației, (, determină mărimea deplasării x la un moment dat în timp și se numește faza de oscilație. În momentul începerii timpului (faza de oscilație este egală.) Prin urmare, valoarea se numește faza inițială Faza se măsoară în radiani sau grade, - frecvență ciclică, egală cu numărul de oscilații complete care au loc în timpul s.

O perioadă este timpul unei oscilații complete. Este legată de frecvența ciclică prin următoarea relație

. (4.15)

Evident, frecvența liniară (numărul de oscilații pe unitatea de timp) este legată de perioadă T după cum urmează

(4.16)

Unitatea de frecvență este frecvența unei astfel de oscilații, a cărei perioadă este de 1 s. Această unitate se numește Hertz (Hz). Frecvența în 10 3 Hz se numește kiloherți (kHz), în 10 6 Hz, megaherți (MHz).

Mișcarea oscilativă se caracterizează nu numai prin deplasare X, dar si viteza si acceleratia O. Valorile lor pot fi determinate din expresia (4.14).

Diferențiând (4.14) în funcție de timp, obținem formula vitezei

. (4.17)

După cum se poate observa din (4.17), viteza se modifică de asemenea conform unei legi armonice, iar amplitudinea vitezei este egală. Dintr-o comparație a (4.14) și (4.17) rezultă că viteza este înaintea deplasării de fază cu.

Diferențiând (4.14) din nou în funcție de timp, găsim o expresie pentru accelerație

. (4.18)

După cum rezultă din (4.14) și (4.18), accelerația și deplasarea sunt în antifază. Aceasta înseamnă că în momentul în care deplasarea atinge cea mai mare valoare pozitivă, accelerația atinge cea mai mare valoare negativă și invers.

Ecuația valului care călătorește avionul

Ecuația undeloreste o expresie care descrie un loc de muncăŞi Mărimea deplasării unei particule oscilante din coordonate și timp:

. (4.20)

Fie punctele situate în plan să oscileze conform legii. Vibrații ale particulelor de mediu într-un punct (Fig. 4.4) situat la distanță eu modificări de la sursa oscilaţiilor se vor produce conform aceleiaşi O kon, dar va rămâne în timp de la fluctuațiile surseiŞi ka on (unde este viteza de propagare a undei). Ecuația de vibrație a acestor particule are forma: (4.20)

Fig.4.4

Deoarece punctul a fost ales arbitrar, ecuația (5.7) ne permite să determinăm oricând deplasarea oricărui punct din mediu implicat în procesul oscilator, de aceea se numeșteecuația unui avion care rulează eu noi. În general, arată astfel: (4.21) unde este amplitudinea undei; ¶ faza undei plane; – frecvența undelor ciclice; – faza iniţială a oscilaţiilorși niy.

Înlocuirea expresiilor pentru viteza () și frecvența ciclică () în ecuația (4.21), p despre ray:

(4.22)

Dacă introducem numărul de undă, atunci ecuația de undă plană poate fi scrisă astfel:

. (4.23)

Viteza în aceste ecuații este sk O creșterea mișcării de fază a undei și se numeșteviteza de fază. Într-adevăr, lasă faza din procesul undei să fie constantă. Pentru a găsi viteza mișcării sale, împărțiți expresia pentru fază și diferențiați în funcție de timp nici. Primim:

Unde.

Val în picioare. Dacă mai multe unde se propagă simultan într-un mediu, atunciprincipiul suprapunerii): la a fiecare undă se comportă ca și cum nu ar exista alte unde și rezultatul este da Deplasarea totală a particulelor de mediu în orice moment de timp este egală cu suma geometrică deplasări care primesc adeseaŞi cy, participând la fiecare dintre procesele de val constitutive de la bufniţe

De mare interes practic este suprapunerea a două unde plane

Și, (4,24)

cu frecvențe și amplitudini identice, propagăndu-se unul spre celălalt de-a lungul axei. Adăugând aceste ecuații, p O obţinem ecuaţia undei rezultate, numită val în picioare (4,25)

Tabelul 4.1

Într-un val de alergare	Într-un val staționar
Amplitudinea oscilației
Toate punctele mediului oscilează la fel y ampl si acolo ami	Toate punctele mediului oscilează cu a diferit m plăci
Faza de oscilație
Faza oscilațiilor depinde de coordonată si punctul ales	Toate punctele dintre două noduri oscilează in aceeasi faza . La trecerea printr-un nod, numărarea fazelor e baniya se schimbă în.
Transfer de energie
Energia mișcării vibraționale este transferată în direcția de distribuție O valuri rătăcitoare.	Nu există transfer de energie, doar transformări reciproce de energie au loc în interior.

În punctele din mediu unde amp.Şi acolo undele merg la zero (). Aceste puncte sunt numite noduri () val staționar. Coordonatele nodului.

Distanța dintre două noduri adiacente (sau între două O antinoduri mijlocii), numitelungimea undei staționare,egală cu jumătate din lungimea alergării ea face cu mâna . Astfel, atunci când se adună două unde de călătorie, se formează o undă staționară, ale cărei noduri și antinoduri sunt întotdeauna în aceleași locuri.

Caracteristicile undelor calatorii și staționare sunt prezentate în Tabelul 5.1.

De bază 1 , 5 . 6

Adăuga. 18, 22 [25-44]

Întrebări de securitate:

De bază 1, 8.

Întrebări de securitate:

1. Poate fi presiunea aceeași în două puncte întinse pe? diferite niveluriîntr-un tub conic înclinat instalat prin care curge un lichid ideal?

2. De ce fluxul de lichid care curge din gaură devine din ce în ce mai comprimat pe măsură ce se îndepărtează de gaură?

3. Cum se raportează fazele oscilațiilor de accelerație și deplasare cu oscilațiile armonice?

7.1. Proprietăți generale lichide și gaze. Descrierea cinematică a mișcării fluidului. Câmpuri vectoriale. Fluxul și circulația unui câmp vectorial. Curgerea staționară a unui fluid ideal. Linii și tuburi de curent. Ecuațiile de mișcare și echilibrul fluidului. Ecuația de continuitate pentru fluidul incompresibil

Mecanica continuului este o ramură a mecanicii dedicată studiului mișcării și echilibrului gazelor, lichidelor, plasmei și deformabilelor. solide. Presupunerea principală a mecanicii continuumului este că materia poate fi considerată ca un mediu continuu, neglijând structura sa moleculară (atomică) și, în același timp, poate fi considerată distribuția tuturor caracteristicilor sale (densitate, stres, viteze ale particulelor) în mediu. continuu.

Un lichid este o substanță în stare condensată, intermediară între solid și gazos. Regiunea de existență a lichidului este limitată lateral temperaturi scăzute tranziție de fază la o stare solidă (cristalizare) și de la temperaturi ridicate la o stare gazoasă (evaporare). Când se studiază proprietățile unui mediu continuu, mediul în sine pare să fie format din particule ale căror dimensiuni sunt mult mai mari decât dimensiunile moleculelor. Astfel, fiecare particulă include un număr mare de molecule.

Pentru a descrie mișcarea unui fluid, puteți specifica poziția fiecărei particule de fluid în funcție de timp. Această metodă de descriere a fost dezvoltată de Lagrange. Dar puteți urmări nu particulele lichide, ci punctele individuale din spațiu și observați viteza cu care particulele lichide individuale trec prin fiecare punct. A doua metodă se numește metoda lui Euler.

Starea mișcării fluidului poate fi determinată indicând vectorul viteză pentru fiecare punct din spațiu în funcție de timp.

Setul de vectori specificati pentru toate punctele din spațiu formează un câmp vectorial de viteză, care poate fi reprezentat după cum urmează. Să trasăm linii în fluidul în mișcare, astfel încât tangenta la ele în fiecare punct să coincidă în direcția vectorului (Fig. 7.1). Aceste linii se numesc streamlines. Să fim de acord să desenăm linii de curgere, astfel încât densitatea lor (raportul dintre numărul de linii și dimensiunea zonei perpendiculare pe ele prin care trec) să fie proporțională cu viteza într-un loc dat. Apoi, din modelul liniilor de curgere, va fi posibil să se judece nu numai direcția, ci și mărimea vectorului în diferite puncte din spațiu: acolo unde viteza este mai mare, liniile de curgere vor fi mai dense.

Numărul de linii de curgere care trec prin pad perpendicular pe liniile de curgere este egal cu , dacă pad-ul este orientat arbitrar pe liniile de curgere, numărul de linii de curgere este egal cu , unde este unghiul dintre direcția vectorului și normala la pad. . Notația este adesea folosită. Numărul de linii de curgere printr-o zonă de dimensiuni finite este determinat de integrala: . O integrală de acest tip se numește flux vectorial prin zonă.

Mărimea și direcția vectorului se modifică în timp, prin urmare, modelul liniilor nu rămâne constant. Dacă în fiecare punct al spațiului vectorul viteză rămâne constant în mărime și direcție, atunci fluxul se numește constant sau staționar. Într-un flux staționar, orice particulă de fluid trece printr-un punct dat din spațiu cu aceeași valoare a vitezei. Modelul liniilor de curgere în acest caz nu se schimbă, iar liniile de curgere coincid cu traiectoriile particulelor.

Curgerea unui vector printr-o anumită suprafață și circulația vectorului de-a lungul unui contur dat fac posibilă aprecierea naturii câmpului vectorial. Aceste cantități dau însă o caracteristică medie a câmpului în cadrul volumului acoperit de suprafața prin care se determină debitul, sau în vecinătatea conturului de-a lungul căruia se ia circulația. Prin reducerea dimensiunilor unei suprafețe sau contur (contractându-le la un punct), se poate ajunge la valori care vor caracteriza câmpul vectorial la un punct dat.

Să considerăm câmpul vector al vitezei unui fluid continuu incompresibil. Fluxul vectorului viteză printr-o anumită suprafață este egal cu volumul de fluid care curge prin această suprafață pe unitatea de timp. Să construim o suprafață închisă imaginară S în vecinătatea punctului P (Fig. 7.2). Dacă într-un volum V delimitat de o suprafață, lichidul nu apare sau nu dispare, atunci debitul care curge prin suprafață va fi zero. O diferență de flux față de zero va indica faptul că există surse sau chiuvete de lichid în interiorul suprafeței, adică puncte în care lichidul intră în volum (surse) sau este îndepărtat din volum (chiuvete) Mărimea fluxului determină puterea totală a surselor şi a chiuvetelor. Când sursele predomină asupra chiuvetelor, debitul este pozitiv când predomină chiuvetele, este negativ.

Coeficientul debitului împărțit la volumul din care curge debitul, , este puterea specifică medie a surselor conținute în volumul V. Cu cât volumul V care include punctul P este mai mic, cu atât această valoare medie este mai apropiată de specificul adevărat. putere în acest moment. În limita la , i.e. la contractarea volumului la un punct se obtine puterea specifica adevarata a surselor in punctul P, numita divergenta (divergenta) vectorului: . Expresia rezultată este valabilă pentru orice vector. Integrarea se realizează pe o suprafață închisă S, limitând volumul V. Divergența este determinată de comportamentul unei funcții vectoriale în apropierea punctului P. Divergența este o funcție scalară de coordonate care determină poziția punctului P în spațiu.

Să găsim o expresie a divergenței în sistemul de coordonate carteziene. Să considerăm în vecinătatea punctului P(x,y,z) un volum mic sub formă de paralelipiped cu muchiile paralele cu axele de coordonate (Fig. 7.3). Datorită dimensiunii mici a volumului (vom tinde spre zero), valorile din fiecare dintre cele șase fețe ale paralelipipedului pot fi considerate neschimbate. Curgerea prin întreaga suprafață închisă se formează din fluxurile care curg prin fiecare dintre cele șase fețe separat.

Să găsim curgerea printr-o pereche de fețe perpendiculare pe axa X din Fig. 7.3 (fețele 1 și 2). Normala exterioară a feței 2 coincide cu direcția axei X. Prin urmare, fluxul prin fața 2 este egală cu o direcție opusă axei X și pe normală au semne opuse, , iar fluxul prin faţa 1 este egal cu . Fluxul total în direcția X este . Diferența reprezintă incrementul la deplasarea de-a lungul axei X cu . Datorită dimensiunii sale, această creștere poate fi reprezentată ca . Apoi primim. În mod similar, prin perechi de fețe perpendiculare pe axele Y și Z, fluxurile sunt egale cu și . Debit total printr-o suprafață închisă. Împărțind această expresie la , găsim divergența vectorului în punctul P:

Cunoscând divergența unui vector în fiecare punct din spațiu, se poate calcula curgerea acestui vector prin orice suprafață de dimensiuni finite. Pentru a face acest lucru, împărțim volumul limitat de suprafața S într-un număr infinit de elemente infinitezimale (Fig. 7.4).

Pentru orice element, fluxul vectorial prin suprafața acestui element este egal cu . Însumând toate elementele, se obține curgerea prin suprafața S, limitând volumul V: , integrarea se realizează peste volumul V, sau

Aceasta este teorema Ostrogradsky–Gauss. Aici , este vectorul normal unitar la suprafața dS la un punct dat.

Să ne întoarcem la fluxul de fluid incompresibil. Să construim un contur. Să ne imaginăm că am înghețat cumva instantaneu lichidul în întregul său volum, cu excepția unui canal închis foarte subțire de secțiune transversală constantă, care include un contur (Fig. 7.5). În funcție de natura curgerii, lichidul din canalul format va fi fie staționar, fie în mișcare (circulând) de-a lungul conturului într-una dintre direcțiile posibile. Ca măsură a acestei mișcări, se alege o valoare egală cu produsul dintre viteza fluidului în canal și lungimea conturului, . Această mărime se numește circulație vectorială de-a lungul conturului (deoarece canalul are o secțiune transversală constantă și modulul de viteză nu se modifică). În momentul solidificării pereților, pentru fiecare particulă lichidă din canal se va stinge componenta de viteză perpendiculară pe perete și va rămâne doar componenta tangentă la contur. Asociat cu această componentă este impulsul , al cărui modul pentru o particulă lichidă închisă într-un segment de canal de lungime , este egal cu , unde este densitatea lichidului și este secțiunea transversală a canalului. Lichidul este ideal - nu există frecare, așa că acțiunea pereților poate schimba doar direcția, valoarea acestuia va rămâne constantă. Interacțiunea dintre particulele lichide va determina o redistribuire a impulsului între ele care va egaliza vitezele tuturor particulelor. În acest caz, se păstrează suma algebrică a impulsurilor, deci , unde este viteza de circulație, este componenta tangențială a vitezei fluidului în volum în momentul premergător solidificării pereților. Împărțind la , obținem .

Circulația caracterizează proprietățile câmpului mediate pe o zonă cu dimensiuni de ordinul diametrului conturului. Pentru a obține o caracteristică a câmpului în punctul P, este necesar să reduceți dimensiunea conturului, contractându-l în punctul P. În acest caz, ca caracteristică a câmpului, luați limita raportului circulației vectoriale de-a lungul un contur plat contractându-se în punctul P la valoarea planului conturului S: . Valoarea acestei limite depinde nu numai de proprietățile câmpului în punctul P, ci și de orientarea conturului în spațiu, care poate fi specificată prin direcția normalei pozitive față de planul conturului (normala asociată cu direcţia de parcurgere a conturului prin regula şurubului drept este considerat pozitiv). Prin definirea acestei limite pentru diferite direcții, vom obține valori diferite, iar pentru direcții normale opuse aceste valori diferă în semn. Pentru o anumită direcție a normalului, valoarea limită va fi maximă. Astfel, valoarea limitei se comportă ca o proiecție a unui anumit vector pe direcția normalei pe planul conturului de-a lungul căruia este luată circulația. Valoarea maximă limita determină mărimea acestui vector, iar direcția normalei pozitive la care se atinge maximul dă direcția vectorului. Acest vector se numește rotorul sau vortexul vectorului: .

Pentru a găsi proiecțiile rotorului pe axă sistemul cartezian coordonate, este necesar să se determine valorile limită pentru astfel de orientări ale amplasamentului S pentru care normalul la amplasament coincide cu una dintre axele X,Y,Z. Dacă, de exemplu, direcționăm de-a lungul axei X, găsim . În acest caz, conturul este situat într-un plan paralel cu YZ să luăm conturul sub forma unui dreptunghi cu laturile și . La valorile și pe fiecare dintre cele patru laturi ale conturului pot fi considerate neschimbate. Secțiunea 1 a conturului (Fig. 7.6) este opusă axei Z, prin urmare în această secțiune coincide cu, în secțiunea 2, în secțiunea 3, în secțiunea 4. Pentru circulația de-a lungul acestui contur obținem valoarea: . Diferența reprezintă incrementul la deplasarea de-a lungul Y cu . Datorită dimensiunii sale, această creștere poate fi reprezentată ca . Apoi circulație de-a lungul conturului considerat,

unde este zona conturului. Împărțind circulația la , aflăm proiecția rotorului pe axa X: . La fel, , . Atunci rotorul vectorului este determinat de expresia: + ,

Cunoscând rotorul unui vector în fiecare punct al unei anumite suprafețe S, putem calcula circulația acestui vector de-a lungul conturului care delimitează suprafața S. Pentru a face acest lucru, împărțim suprafața în elemente foarte mici (Fig. 7.7). Circulația de-a lungul conturului de delimitare este egală cu , unde este normala pozitivă a elementului . Însumând aceste expresii pe întreaga suprafață S și înlocuind expresia cu circulație, obținem . Aceasta este teorema lui Stokes.

Partea de lichid delimitată de linii de curgere se numește tub de flux. Vectorul, fiind tangent la linia curentului în fiecare punct, va fi tangent la suprafața tubului de curent, iar particulele de lichid nu intersectează pereții tubului de curent.

Să considerăm secțiunea tubului de curent S perpendiculară pe direcția vitezei (Fig. 7.8.). Vom presupune că viteza particulelor lichide este aceeași în toate punctele acestei secțiuni. Pe parcursul timpului, toate particulele a căror distanță la momentul inițial nu depășește valoarea vor trece prin secțiunea S. În consecință, într-un timp, un volum de lichid egal cu , va trece prin secțiunea S, iar într-o unitate de timp, un volum de lichid va trece prin secțiunea S, egal cu .. Vom presupune că tubul curent este atât de subțire. că viteza particulelor în fiecare dintre secțiunile sale poate fi considerată constantă. Dacă fluidul este incompresibil (adică densitatea sa este aceeași peste tot și nu se modifică), atunci cantitatea de fluid dintre secțiuni și (Fig. 7.9.) va rămâne neschimbată. Apoi, volumele de lichid care curge pe unitatea de timp prin secțiuni și ar trebui să fie aceleași:

Astfel, pentru un fluid incompresibil, valoarea în orice secțiune a aceluiași tub de curent ar trebui să fie aceeași:

Această afirmație se numește teorema de continuitate a jetului.

Mișcarea unui fluid ideal este descrisă de ecuația Navier-Stokes:

unde t este timpul, x,y,z sunt coordonatele particulei lichide, sunt proiecțiile forței corpului, p este presiunea, ρ este densitatea mediului. Această ecuație ne permite să determinăm proiecția vitezei unei particule din mediu în funcție de coordonate și timp. Pentru a închide sistemul, ecuația de continuitate este adăugată la ecuația Navier-Stokes, care este o consecință a teoremei de continuitate a jetului:

Pentru a integra aceste ecuații, este necesar să se stabilească condițiile inițiale (dacă mișcarea nu este staționară) și la limită.

7.2. Presiune într-un lichid care curge. Ecuația lui Bernoulli și corolarul ei

Când se ia în considerare mișcarea lichidelor, în unele cazuri se poate presupune că mișcarea unor lichide în raport cu altele nu este asociată cu apariția forțelor de frecare. Un fluid în care frecarea internă (vâscozitatea) este complet absentă se numește ideal.

Să alegem un tub de curent cu secțiune transversală mică într-un fluid ideal care curge staționar (Fig. 7.10). Să luăm în considerare volumul de lichid limitat de pereții tubului de curgere și secțiunile perpendiculare pe liniile de curgere și, în timp, acest volum se va deplasa de-a lungul tubului de flux, iar secțiunea transversală se va deplasa în poziția care a trecut calea. secţiunea transversală se va deplasa în poziţia care a depăşit calea Datorită continuităţii jetului, volumele umbrite vor avea aceeaşi dimensiune:

Energia fiecărei particule fluide este egală cu suma energiei sale cinetice și a energiei potențiale din câmpul gravitațional. Datorită staționării fluxului, o particulă situată după timp în orice punct din partea neumbrită a volumului luat în considerare (de exemplu, punctul O din Fig. 7.10) are aceeași viteză (și aceeași energie cinetică) ca și particula. care a fost în același punct în momentul inițial a avut timp. Prin urmare, creșterea energiei întregului volum luat în considerare este egală cu diferența de energii a volumelor umbrite și .

Într-un fluid ideal nu există forțe de frecare, prin urmare creșterea energiei (7.1) este egală cu munca efectuată asupra volumului selectat de forțele de presiune. Forțele de presiune pe suprafața laterală sunt perpendiculare în fiecare punct pe direcția de mișcare a particulelor și nu lucrează. Munca forțelor aplicate secțiunilor și este egală cu

Echivalând (7.1) și (7.2), obținem

Deoarece secțiunile au fost luate în mod arbitrar, se poate argumenta că expresia rămâne constantă în orice secțiune a tubului curent, i.e. într-un fluid ideal care curge staționar de-a lungul oricărei linii de curgere este îndeplinită următoarea condiție:

Aceasta este ecuația lui Bernoulli. Pentru o linie de curgere orizontală, ecuația (7.3) ia forma:

7.3 IEȘIRE DE LICHID DIN GAU

Să aplicăm ecuația lui Bernoulli în cazul fluidului care curge dintr-o gaură mică dintr-un vas larg deschis. Să selectăm un tub de curent în lichid, a cărui secțiune superioară se află pe suprafața lichidului, iar secțiunea inferioară coincide cu gaura (Fig. 7.11). În fiecare dintre aceste secțiuni, viteza și înălțimea peste un anumit nivel inițial pot fi considerate aceleași, presiunea din ambele secțiuni este egală cu cea atmosferică și, de asemenea, aceeași, viteza de mișcare a suprafeței deschise va fi considerată egală cu zero. Atunci ecuația (7.3) ia forma:

Puls

7.4 Lichid vâscos. Forțele interne de frecare

Un lichid ideal, de ex. un fluid fără frecare este o abstractizare. Toate lichidele și gazele reale prezintă vâscozitate sau frecare internă într-o măsură mai mare sau mai mică.

Vâscozitatea se manifestă prin faptul că mișcarea care a apărut într-un lichid sau gaz încetează treptat după încetarea forțelor care au provocat-o.

Să considerăm două plăci paralele între ele plasate într-un lichid (Fig. 7.12). Dimensiunile liniare ale plăcilor sunt mult mai mari decât distanța dintre ele d. Placa inferioară este ținută pe loc, cea superioară este condusă față de cea inferioară cu unele

viteză S-a dovedit experimental că pentru a deplasa placa superioară cu o viteză constantă, este necesar să se acționeze asupra acesteia cu o forță constantă foarte specifică. Placa nu primește accelerație, prin urmare, acțiunea acestei forțe este echilibrată de o forță egală cu ea ca mărime, care este forța de frecare care acționează asupra plăcii în timp ce se mișcă în lichid. Să o notăm, iar partea fluidului aflată sub plan acționează cu o forță asupra părții fluidului aflată deasupra planului. În acest caz, și sunt determinate prin formula (7.4). Astfel, această formulă exprimă forța dintre straturile de lichid în contact.

S-a demonstrat experimental că viteza particulelor lichide se modifică în direcția z perpendicular pe plăci (Fig. 7.6) conform unei legi liniare

Particulele lichide în contact direct cu plăcile par să se lipească de ele și să aibă aceeași viteză ca și plăcile în sine. Din formula (7.5) obținem

Semnul modulului din această formulă este plasat din următorul motiv. Când direcția de mișcare se schimbă, derivata vitezei își va schimba semnul, în timp ce raportul este întotdeauna pozitiv. Ținând cont de cele de mai sus, expresia (7.4) ia forma

Unitatea SI de vascozitate este vascozitatea la care gradientul de viteza cu modul , duce la aparitia unei forte de frecare interna de 1 N pe 1 m a suprafetei de contact a straturilor. Această unitate se numește secunda Pascal (Pa s).

1 | | | |

Lichide și gaze sunt în mare măsură similare în proprietățile lor. Sunt fluide și iau forma vasului în care se află. Ei respectă legile lui Pascal și Arhimede.

Când luăm în considerare mișcarea lichidelor, putem neglija forțele de frecare dintre straturi și le considerăm absolut incompresibile. Un astfel de fluid absolut invisibil și absolut incompresibil se numește ideal..

Mișcarea unui fluid poate fi descrisă prin arătarea traiectoriilor de mișcare ale particulelor sale în așa fel încât tangenta în orice punct al traiectoriei să coincidă cu vectorul viteză. Aceste linii sunt numite linii curente. Se obișnuiește să se tragă linii de curgere astfel încât densitatea lor să fie mai mare acolo unde viteza de curgere a fluidului este mai mare (Fig. 2.11).

Mărimea și direcția vectorului viteză V într-un lichid se pot schimba în timp, iar modelul liniilor de curgere se poate schimba, de asemenea, continuu. Dacă vectorii viteză în fiecare punct al spațiului nu se modifică, atunci se numește curgerea fluidului staţionar.

Se numește partea de lichid delimitată de linii de curgere tub de curent. Particulele lichide care se deplasează în interiorul tubului curent nu traversează pereții acestuia.

Luați în considerare un tub de curent și notați zonele cu S 1 și S 2 secţiune transversalăîn ea (Fig. 2.12). Apoi, pe unitatea de timp, volume egale de lichid curg prin S 1 și S 2:

S 1 V 1 =S 2 V 2 (2,47)

acest lucru se aplică oricărei secțiuni transversale a tubului curent. În consecință, pentru un lichid ideal valoarea SV=const în orice secțiune a tubului curent. Acest raport se numește continuitatea jetului. Din aceasta rezultă:

aceste. viteza V a unui flux de lichid staționar este invers proporțională cu aria secțiunii transversale S a tubului de curent și acest lucru se poate datora gradientului de presiune din lichid de-a lungul tubului de curent. Teorema continuității jetului (2.47) este aplicabilă și lichidelor reale (gazelor) atunci când acestea curg în țevi de secțiuni diferite, dacă forțele de frecare sunt mici.

ecuația lui Bernoulli. Să selectăm un tub de curent cu secțiune transversală variabilă într-un lichid ideal (Fig. 2.12). Datorită continuității jetului, volume egale de lichid ΔV curg prin S 1 și S 2 în același timp.

Energia fiecărei particule fluide este suma energiei sale cinetice și a energiei potențiale. Apoi, la trecerea de la o secțiune a tubului la alta, creșterea energiei lichidului va fi:

Într-un fluid ideal creșterea ΔW ar trebui să fie egal cu munca forțelor de presiune asupra modificării volumului ΔV, adică A=(P1-P2) AV.

Echivalând ΔW=A și reducând cu ΔV și ținând cont de faptul că ( ρ -densitatea lichidului), se obtine:

deoarece Secțiunea transversală a tubului de flux este luată în mod arbitrar, apoi pentru un lichid ideal de-a lungul oricărei linii de flux este valabil următoarele:

. (2.48)

Unde R-presiunea statica intr-o anumita sectiune S a tubului de curent;

Presiunea dinamică pentru această secțiune; V este viteza curgerii fluidului prin această secțiune;

ρgh-presiunea hidrostatica.

Ecuația (2.48) se numește ecuația lui Bernoulli.

Lichid vâscos. Într-un lichid real, atunci când straturile sale se mișcă unul față de celălalt, forțele de frecare interioare(viscozitate). Lăsați două straturi de lichid să fie separate unul de celălalt printr-o distanță Δx și să se deplaseze cu viteze V 1 și V 2 (Fig. 2.13).

Apoi forța de frecare internă între straturi(legea lui Newton):

, (2.49)

Unde η - coeficientul de vâscozitate dinamică a lichidului:

Viteza medie aritmetică a moleculelor;

Calea liberă medie a moleculelor;

Gradientul vitezei stratului; ΔS– zona straturilor de contact.

Fluxul de fluid stratificat se numește laminare. Pe măsură ce viteza crește, natura stratificată a fluxului este perturbată și are loc amestecarea lichidului. Acest flux se numește turbulent.

În flux laminar, flux fluid Qîntr-o conductă cu raza R este proporțională cu căderea de presiune pe unitatea de lungime a conductei ΔР/ℓ:

Formula lui Poiseuille. (2,51)

În lichidele și gazele reale, corpurile în mișcare experimentează forțe de rezistență. De exemplu, forța de tracțiune care acționează asupra unei bile care se mișcă uniform într-un mediu vâscos este proporțională cu viteza sa V:

Formula Stokes, (2,52)

Unde r- raza mingii.

Pe măsură ce viteza de mișcare crește, fluxul în jurul corpului este perturbat, se formează vârtejuri în spatele corpului, ceea ce irosește în plus energie. Acest lucru duce la o creștere a rezistenței.