Sistemul de coordonate carteziene: concepte de bază și exemple. Coordonate Sisteme de coordonate existente

INTRODUCERE

Coordonatele- sunt marimi care determina pozitia oricarui punct de pe suprafata sau in spatiu fata de sistemul de coordonate adoptat.
Sistem de coordonate stabilește punctele inițiale (de origine), suprafețele sau liniile de referință ale mărimilor solicitate - originea coordonatelor, unitățile acestora. În topografie și geodezie, sistemele de coordonate geografice, dreptunghiulare și polare sunt cele mai utilizate.
Sistemul de coordonate geografice folosit pentru a determina poziția punctelor de pe Pământ pe un elipsoid sau bilă. Planurile inițiale din acest sistem sunt planele meridianului și ecuatorului, iar coordonatele sunt valorile unghiulare: longitudinea și latitudinea punctului.
Din primul subiect se știe că meridian - aceasta este linia de secțiune a elipsoidului cu un plan care trece printr-un punct dat și axa polară de rotație a Pământului.
Paralel numiți linia de secțiune a elipsoidului un plan care trece printr-un punct dat și perpendicular pe axa pământului PP." O paralelă care trece prin centrul elipsoidului se numește ecuator.
Coordonatele geografice pot fi obținute din observații astronomice sau măsurători geodezice. În primul caz se numesc astronomic, in secunda - geodezic. În observațiile astronomice, proiecția punctelor pe suprafață se realizează prin linii de plumb, în ​​măsurători geodezice - prin normale, prin urmare, valorile coordonatelor geografice astronomice și geodezice sunt oarecum diferite.
Sistemele de coordonate cel mai des folosite în geodezie includ geodezice, astronomice, sferice, plane dreptunghiulare, polare și bipolare.

3.1. SISTEM DE COORDONATE GEODETICE

Coordonatele geodezice sunt valori unghiulare (latitudine și longitudine) care determină poziția punctelor (obiectelor) de pe suprafața elipsoidului terestre (elipsoidului de referință) față de planul ecuatorului și meridianul prim.
Latitudine geodezică ( ÎN) este unghiul dintre planul ecuatorial și normala la suprafața elipsoidului terestre care trece printr-un punct dat.

Orez. 3.1. Sistem de coordonate geodezice

Latitudinile geodezice sunt numărate de la 0 la 90° la nord și la sud de ecuator. Latitudinile geodezice ale emisferei nordice se numesc nordice și au semnul „+”, iar cele din emisfera sudică se numesc sudice și au semnul „-”. Latitudinea geodezică este măsurată prin unghiul central în planul meridianului.
Latitudinea geodezică (în grade) arată cât de departe este situat un punct dat de pe elipsoidul pământului la nord sau la sud de planul ecuatorial.
Latitudinea geodezică pentru punctele situate pe ecuator va fi egală cu 0°, iar pentru punctele situate la poli ± 90°.
Longitudine geodezică ( L) este unghiul diedric cuprins între planul meridianului prim și planul meridianului geodezic care trece printr-un punct dat.
Pe vremuri, în unele state pentru elementar Meridianul a luat meridianul trecând prin observatorul său principal. În prezent, în Ucraina și în majoritatea țărilor lumii, pentru uniformitate în determinarea longitudinilor, s-a convenit iniţială numara Meridianul Greenwich , trecând prin observatorul astronomic de la Greenwich (lângă Londra). Așa-numita Ora Internațională de Greenwich este calculată din acest meridian.
Longitudinea geodezică este măsurată fie prin unghiul central în planul ecuatorului sau paralel, fie prin arcul ecuatorului de la meridianul prim (Greenwich) la meridianul care trece printr-un punct dat ( M), variind de la 0 la 180° est sau vest. Longitudinele geodezice pentru punctele situate la est de meridianul Greenwich până la 180° se numesc estice și sunt considerate pozitive, iar punctele din vest sunt numite vestice și sunt considerate negative.
Longitudinea estică este indicată prin literele ( v.d.) sau semnul „+”, longitudine vestică - litere ( z.d.) sau semnul „-”.
Sistemul de coordonate geodezice, denumit elipsoidul Krasovsky, a fost dezvoltat în 1942 - 1943, așa că a fost numit sistemul de coordonate din 1942. Împreună cu acesta, a fost adoptat sistemul de înălțime baltică, conform căruia înălțimile absolute sunt măsurate în raport cu zeroul piciorului Kronstadt (Futstock este o tijă specială cu diviziuni).

3.2. SISTEMUL DE COORDONATE ASTRONOMICE

Coordonatele astronomice determinați poziția unui punct pe suprafața geoidului. Ele pot fi obținute prin măsurători astronomice folosind instrumente geodezice sau prin prelucrarea matematică a rezultatelor măsurătorilor geodezice.
Latitudinea astronomică ( φ ) este unghiul dintre planul ecuatorului Pământului și direcția plumbului într-un punct dat.
Latitudinea astronomică este măsurată de la 0 la 90° la nord și la sud de ecuator. În emisfera nordică, latitudinile astronomice sunt numite nordice, iar în emisfera sudică - sudice.
În cazul general, un fir de plumb nu coincide cu direcția normalei la suprafața elipsoidului pământului. Deoarece masele de diferite densități în corpul Pământului sunt distribuite inegal, abaterea plumbului (gravitația) de la normal este diferită în diferite puncte ale Pământului. De exemplu, în regiunea Caucaz, abaterile liniilor de plumb de la normale ajung la 35", iar diferența de abateri ale liniilor de plumb de pe malurile opuse ale Lacului Baikal ajunge la 40". În medie, abaterile sunt de 4 - 5" (Fig. 3.2).

Orez. 3.2. Sistemul de coordonate astronomice

Longitudinea astronomică (λ) este unghiul diedric dintre planul meridianului astronomic principal și planul meridianului astronomic care trece printr-un punct dat.
Deoarece planul meridianului astronomic trece printr-o linie de plumb la un punct dat de pe suprafața Pământului, iar planul meridianului geodezic trece prin normala la suprafața elipsoidului, prin urmare, planurile astronomice și geodezice. meridianele nu coincid. Ca urmare, latitudinea geodezică, longitudinea și azimutul geodezic dintr-un punct dat diferă de latitudinea, longitudinea și azimutul astronomic (adevărat). Aceste discrepanțe vor crește acolo unde se observă abateri mari ale firului de plumb de la normal, precum și în acele puncte ale geoidului unde suprafața sa este îndepărtată mai mult de suprafața elipsoidului.
Sistemele de coordonate geodezice și astronomice se disting ca două sisteme separate atunci când se determină locația obiectelor cu o precizie de 1" (în mărime liniară de până la 20 - 30). m). Cunoscând coordonatele astronomice, puteți calcula coordonatele geodezice introducând corecții pentru abaterea liniilor de plumb de la normale determinate prin metoda astronomico-geodezică sau folosind hărți gravimetrice speciale.

3.3. SISTEM DE COORDONATE SFERICE

Când se rezolvă o serie de probleme geodezice și se întocmesc hărți la scară mică, Pământul este considerat o sferă. Poziția punctelor de teren pe sferă este determinată de coordonatele sferice: latitudinea sferică și longitudinea sferică.
Coordonatele sferice sunt valori unghiulare (latitudine și longitudine) care determină poziția punctelor de teren de pe suprafața sferei pământului în raport cu planul ecuatorului și meridianul prim (Fig. 3.2).
Latitudine sferică ( φ ) este unghiul dintre planul ecuatorului și direcția de la centrul sferei pământului până la un punct dat. Latitudinea sferică este măsurată prin unghiul central sau arcul de meridian în aceleași limite ca latitudinea geodezică - de la 0 la 90° la nord și la sud de ecuator. Latitudinile sferice din emisfera nordică sunt numite nordice și sunt desemnate prin semnul „+”, iar în emisfera sudică se numesc sudice și sunt desemnate prin semnul „-”.
Longitudine sferică (λ ) este unghiul diedric cuprins între planul meridianului prim și planul meridianului care trece printr-un punct dat.
Longitudinea sferică este măsurată fie prin unghiul central în planul ecuatorial sau în planul paralel, fie prin arcul ecuatorului sau arcul paralelei de la meridianul prim (Greenwich) la meridianul care trece printr-un punct dat din interval. de la 0 la 180 ° est și vest.

Orez. 3.3. Sistem de coordonate sferice

Longitudinele sferice pentru punctele situate la est de meridianul Greenwich până la 180° se numesc estice și sunt considerate pozitive, iar cele de la vest sunt numite vestice și sunt considerate negative. La rezolvarea unora probleme practice longitudinea sferică este măsurată de la 0 la 360° chiar la est de meridianul Greenwich.
Toate calculele legate de determinarea automată a coordonatelor, unghiurilor și distanțelor sunt rezolvate pe suprafața sferei pământului folosind formulele de trigonometrie sferică, prin urmare suprafața elipsoidului pământului este proiectată pe suprafața sferei.
În practică, este adesea folosită o sferă cu raza R = 6371 km, a cărui suprafață este egală cu suprafața elipsoidului. În acest caz, erorile maxime în determinarea distanțelor ajung la 0,5% și unghiurile nu mai mult de 0,4°.
Lungimea arcului unui cerc mare pe o sferă este de 1 secundă, egală cu 1852 m, numit milă nautică.
Erorile de mai sus nu permit realizarea de acuratețe a instrumentelor moderne automatizate de determinare a coordonatelor. Prin urmare, calculatoarele moderne cu calculatoare digitale folosesc formule care țin cont de compresia Pământului. În acest caz, distorsiunea maximă a distanțelor este de 0,08% - 0,17%, iar distorsiunea unghiurilor este practic absentă.

3.4. SISTEME DE COORDONATE POLARE ȘI BIPOLARE

Coordonatele polare sunt mărimi unghiulare și liniare care determină poziția unui punct pe un plan în raport cu originea coordonatelor, luate ca pol, Și axa polară. Locația oricărui punct este determinată unghiul de poziție, măsurată de la axa polară la direcția către punctul determinat și distanţă de la stâlp până în acest punct (Fig. 3.4).

Orez. 3.4. Sistemul de coordonate polare

Ca axă polară pot fi luate următoarele: meridianul adevărat sau magnetic, linia verticală a grilei și direcția către orice reper.
Când se lucrează la sol, axa polară este considerată a fi direcția nordică a meridianului magnetic sau direcția către un punct de reper din punctul de sprijin.

Coordonate bipolare sunt două mărimi unghiulare sau două liniare care determină locația unui punct pe un plan în raport cu două puncte inițiale (poli). Poziția oricărui punct de pe hartă sau de pe sol este determinată de două coordonate. Aceste coordonate pot fi două unghiuri de poziție sau două distanțe de la poli până la punctul determinat (Fig. 3.5, 3.6).

Orez. 3.5. Determinarea locației unui punct folosind două unghiuri direcționale

Orez. 3.6. Determinarea locației unui punct la două distanțe

3.5. SISTEM DE COORDONATE RECTANGULARE PLATE

Coordonatele geodezice plane dreptunghiulare (coordonatele dreptunghiulare) sunt mărimi liniare — abscisă și ordonată — care determină poziția unui punct pe un plan în raport cu direcțiile inițiale.

Orez. 3.7. Sistem de coordonate plan dreptunghiular

Direcțiile de pornire sunt două drepte reciproc perpendiculare (Fig. 3.7) cu originea în punctul de intersecție (O). Linia dreaptă XX este axa absciselor, iar dreapta УУ, perpendiculară pe axa absciselor, este axa ordonatelor. Într-un astfel de sistem, poziția oricărui punct din plan este determinată de cea mai scurtă distanță până la acesta față de axele de coordonate. Astfel, poziția punctului A este determinată de lungimea perpendicularelor xa și ya. Segmentul xa este numit abscisa punctului A, iar ya este ordonata. Abscisele și ordonatele sunt exprimate în măsură liniară (de obicei în metri).
În geodezie și topografie, se adoptă un sistem de coordonate dreptunghiular dreptunghiular: acesta îl deosebește de sistemul de coordonate stânga folosit în matematică. Sferturile sistemului de coordonate (al cărui nume este determinat de denumirile acceptate ale punctelor cardinale) sunt numerotate în sensul acelor de ceasornic. Într-un astfel de sistem, măsurarea unghiurilor de orientare este simplificată.
Abcisele punctelor situate în sus de la origine sunt considerate pozitive, iar punctele în jos de la aceasta sunt considerate negative.
Ordonatele punctelor situate la dreapta originii sunt considerate pozitive, iar cele din stânga acesteia sunt considerate negative (vezi Tabelul 1.2).

Tabelul 1.1

Sferturi		Coordonatele
eu II III IV	Nord-Est (NE) Sud-Est (SE) Sud-vest (SW) Nord-Vest (NV)	+ — — +	+ + — —

Sistemul de coordonate dreptunghiulare plate este utilizat pe zone limitate ale suprafeței pământului care pot fi confundate cu plate.
Pentru zone mici, originea coordonatelor poate fi în orice punct din zonă (un sistem cu o origine condiționată a coordonatelor). În sistemul de coordonate de stare, linia ecuatorului este luată ca axă a ordonatelor, iar direcția meridianului, care se numește meridian axial, este luată ca axa absciselor (coincide cu direcția uneia dintre axele dreptunghiului sistem de coordonate). La efectuarea lucrărilor pe suprafețe mari, se aleg mai multe meridiane ca axiale.

3.6. DETERMINAREA COORDONATELOR GEODETICE ALE PUNCTELOR DE PE HARTĂ

Hărțile topografice sunt tipărite în foi separate, ale căror dimensiuni sunt stabilite pentru fiecare scară. Ramele laterale ale foilor sunt meridiane, iar cadrele de sus și de jos sunt paralele. . (Fig. 3.9). Prin urmare, coordonatele geografice pot fi determinate de cadrele laterale ale unei hărți topografice . Pe toate hărțile, cadrul de sus este întotdeauna orientat spre nord.
Latitudinea și longitudinea geografică sunt scrise în colțurile fiecărei foi a hărții. Pe hărțile emisferei vestice, în colțul de nord-vest al cadrului fiecărei foi, la dreapta valorii longitudinii meridianului, este plasată inscripția: „Vest de Greenwich”.
Pe hărțile scărilor 1: 25.000 - 1: 200.000, laturile cadrelor sunt împărțite în segmente egale cu 1′ (un minut, Fig. 3.8). Aceste segmente sunt umbrite una pe alta și separate prin puncte (cu excepția unei hărți de scară 1: 200.000) în părți de 10" (zece secunde). Pe fiecare foaie, hărțile de scara 1: 50.000 și 1: 100.000 arată, în plus, intersecția meridianului de mijloc și paralela de mijloc cu digitizare în grade și minute, și de-a lungul cadrului interior - ieșiri de diviziuni de minute cu linii lungi de 2 - 3 mm. Acest lucru permite, dacă este necesar, să se deseneze paralele și meridiane pe o hartă lipită din mai multe foi.

Orez. 3.8. Cadre de hartă laterale

La întocmirea hărților de scară 1: 500.000 și 1: 1.000.000, li se aplică o grilă cartografică de paralele și meridiane. Paralele sunt trasate la 20′ și, respectiv, 40″ (minute), iar meridianele la 30′ și 1°.
Coordonatele geografice ale unui punct sunt determinate de la cea mai apropiată paralelă și de la cel mai apropiat meridian, a cărui latitudine și longitudine sunt cunoscute. De exemplu, pentru o hartă la scara 1: 50.000 „ZAGORYANI”, cele mai apropiate paralele vor fi cele cu latitudinile 54º40′ și 54º50′, iar cele mai apropiate meridiane vor fi meridianul cu longitudinele 18º00′ și 18º15′ (Fig. 3.10).

Orez. 3.9. Determinarea coordonatelor geografice

Pentru a determina latitudinea unui punct dat trebuie să:

• setați un picior al busolei de măsurare într-un punct dat, plasați celălalt picior la cea mai scurtă distanță până la cea mai apropiată paralelă (pentru harta noastră 54º40′);
• Fără a schimba soluția busolei de măsurare, instalați-o pe cadrul lateral cu diviziuni minute și secunde, un picior ar trebui să fie la paralela sudică (pentru harta noastră 54º40′), iar celălalt între punctele de 10 secunde de pe cadru;
• numărați numărul de minute și secunde de la paralela sudică până la al doilea picior al busolei de măsurare;
• adăugați rezultatul la latitudinea sudică (pentru harta noastră 54º40′).

Pentru a determina longitudinea unui punct dat, trebuie să:

• setați un picior al busolei de măsurare la un punct dat, plasați celălalt picior la cea mai scurtă distanță până la cel mai apropiat meridian (pentru harta noastră 18º00′);
• fără a schimba unghiul busolei de măsurare, instalați-l pe cel mai apropiat cadru orizontal cu diviziuni minute și secunde (pentru harta noastră, cadrul inferior), un picior ar trebui să fie pe cel mai apropiat meridian (pentru harta noastră 18º00′), iar celălalt - între punctele de 10 secunde de pe cadrul orizontal;
• numărați numărul de minute și secunde de la meridianul vestic (stânga) până la al doilea picior al busolei de măsurare;
• adăugați rezultatul la longitudinea meridianului vestic (pentru harta noastră 18º00′).

Notă că această metodă de determinare a longitudinii unui punct dat pentru hărți la scară 1:50.000 și mai mică are o eroare din cauza convergenței meridianelor care limitează harta topografică dinspre est și vest. Partea de nord a cadrului va fi mai scurtă decât cea de sud. În consecință, discrepanțe între măsurătorile de longitudine pe cadrele nord și sud pot diferi cu câteva secunde. Pentru a obține o precizie ridicată a rezultatelor măsurătorilor, este necesar să se determine longitudinea atât pe părțile sudice, cât și pe cele nordice ale cadrului și apoi să se interpoleze.
Pentru a crește acuratețea determinării coordonatelor geografice, puteți utiliza metoda grafica. Pentru a face acest lucru, este necesar să conectați diviziunile de zece secunde cu același nume cele mai apropiate de punct cu linii drepte în latitudine la sud de punct și în longitudine la vest de acesta. Apoi determinați dimensiunile segmentelor în latitudine și longitudine de la liniile trasate la poziția punctului și însumați-le în consecință cu latitudinea și longitudinea liniilor desenate.
Precizia determinării coordonatelor geografice folosind hărți de scară 1: 25.000 - 1: 200.000 este de 2′′ și, respectiv, 10′′.

Întrebări și sarcini pentru autocontrol

1. Care planuri din sistemul de coordonate geografice sunt cele originale?
2. Dați definițiile „coordonate geodezice”, „latitudine geodezică”, „longitudine geodezică”.
3. În ce limite se măsoară latitudinea geodezică și longitudinea geodezică?
4. Care este latitudinea geodezică a punctelor situate la ecuator și la polul sud?

Conceptul de forme și dimensiuni ale Pământului.

Figura pământului se formează sub influența gravitației interne și a forței centrifuge. Este general acceptat că pământul are două suprafețe

fizic formată din învelișul dur al pământului și nivel suprafața oceanelor lumii a continuat mental sub pământ.

Un corp delimitat de o suprafață plană se numește geoid. Geoidul are o formă complexă și nu este exprimat matematic.

În acest sens, pentru prelucrarea matematică a rezultatelor măsurătorilor geodezice și construcția hărților topografice, se folosește o altă figură, un elipsoid al revoluției.

Elipsoidul pământului se caracterizează prin dimensiuni:

a – semiaxa majoră

b – semiaxa minoră

sau compresie polară

În ciuda faptului că suprafața geoidului deviază sau diferă de suprafața elipsoidă cu 105 m în practica inginerească lucrări geodezice sunt considerate a fi la fel.

Și nivelul mediu pe termen lung al Mării Baltice este luat ca suprafață nivelată.

Pentru diferite calcule se folosește raza unei bile egală cu elipsoidul și egală cu R = 6371,1 km.

Conceptul de geograf. cordon.

Latitudine longitudine. Minut geografic rama cardului.

Poziția unui punct de pe suprafața pământului în sistemul de coordonate geografice este determinată de două unghiuri - latitudine (φ) și longitudine (λ).

SA 0 Yu – meridianul Greenwich

SM 0 Yu – meridian care trece prin t M, ale cărui coordonate trebuie determinate

MO – plumbul punctului M

QQ 1 – plan ecuatorial

În acest sistem, o sferă este luată ca suprafață de coordonate, iar meridianele și paralelele geografice (istorice) sunt luate ca linii de coordonate.

Secțiunile suprafeței unei bile de către planuri care trec prin axa polară de rotație a Pământului se numesc meridiane. Primul meridian care trece prin centrul sălii Observatorului Greenwich de lângă Londra este luat ca prim meridian.

Secțiuni ale suprafeței unei mingi pe plane, perpendiculare. faţă de axa de rotaţie Se numesc terenurile paralele. O paralelă al cărei plan trece prin centrul bilei O se numește. ecuator.

Longitudine– este unghiul diedric dintre meridianul prim și meridianul care trece prin punct. Poate fi vestică și estică.Se măsoară în grade. De la 0 la 180

Latitudine– acesta este unghiul dintre planul ecuatorului și paralela trasată prin punct.1 grad - 111 km. De la 0 la 90

Coordonate dreptunghiulare X și Y. Sistem de coordonate zonal Gauss-Kruger.

Poziția punctelor de pe suprafața fizică a Pământului este determinată în diferite sisteme de coordonate. Sa luam in considerare Coordonate locale dreptunghiulare. ei sunt derivate din sistemul de coordonate zonal Gauss-Kruger (vezi paragraful 7) și se extind pe o zonă mică. Axa absciselor este aliniată cu meridianul unui anumit punct de pe amplasament sau orientată paralel cu axele principale ale structurilor de inginerie. Sferturile de coordonate sunt numerotate în sensul acelor de ceasornic și denumite după direcțiile cardinale: I-NE, II-SE, III-SV, IV-NV.

Din acest articol veți învăța cum să definiți spațiul, ce sisteme de coordonate există

Amenajarea spațiului

Pentru a determina locația unui punct în spațiu, puteți utiliza orice sistem de coordonate, în funcție de sarcină. De exemplu, dacă proiectați o lampă în formă de minge, atunci veți folosi coordonate sferice; dacă problema dvs. necesită descrierea mișcării într-o spirală, veți alege coordonatele cilindrice. Deci, înainte sunt utilizate în mod obișnuit sistemele de coordonate.

Sistemul de coordonate carteziene x, y, z

Sistem de coordonate carteziene sau dreptunghiulare. În sistemul de coordonate carteziene, poziția unui punct se determină folosind coordonatele de-a lungul fiecărei axe, într-un sistem de coordonate bidimensional este o pereche de numere (x,y), în spațiul tridimensional este un grup de trei numere (x,y,z). Coordonatele sistemului cartezian aparțin mulțimii numerelor reale, adică. x,y și z sunt orice număr real (-∞;+∞)

Sistemul de coordonate polare ρ, θ

Sistemul de coordonate polar este un sistem de coordonate plat în care poziția oricărui punct este determinată folosind distanța r de la centrul sistemului de coordonate și unghiul dintre vectorul rază și axa x. Sistemul de coordonate polare este utilizat atunci când este mai convenabil să se determine distanțele dintre puncte după unghi și distanță. Sistemul de coordonate polare este folosit și pentru a reprezenta numere complexe. În sistemul de coordonate polar r 0, unghiul φ ∈ )