Care este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare? Formula pentru suma primilor n termeni ai GP

Să luăm în considerare o anumită serie.

7 28 112 448 1792...

Este absolut clar că valoarea oricăruia dintre elementele sale este exact de patru ori mai mare decât cea precedentă. Aceasta înseamnă că această serie este o progresie.

O progresie geometrică este o succesiune infinită de numere. caracteristica principală adică următorul număr se obține din cel precedent prin înmulțirea cu un anumit număr. Aceasta este exprimată prin următoarea formulă.

a z +1 =a z ·q, unde z este numărul elementului selectat.

În consecință, z ∈ N.

Perioada în care la școală se studiază progresia geometrică este clasa a IX-a. Exemplele vă vor ajuta să înțelegeți conceptul:

0.25 0.125 0.0625...

Pe baza acestei formule, numitorul progresiei poate fi găsit după cum urmează:

Nici q, nici b z nu pot fi zero. De asemenea, fiecare dintre elementele progresiei nu trebuie să fie egal cu zero.

În consecință, pentru a afla următorul număr dintr-o serie, trebuie să îl înmulțiți pe ultimul cu q.

Pentru a seta această progresie, trebuie să specificați primul ei element și numitorul. După aceasta, este posibil să găsiți oricare dintre termenii următori și suma lor.

Soiuri

În funcție de q și a 1, această progresie este împărțită în mai multe tipuri:

• Dacă atât a 1 cât și q sunt mai mari decât unu, atunci o astfel de secvență este o progresie geometrică care crește cu fiecare element ulterior. Un exemplu în acest sens este prezentat mai jos.

Exemplu: a 1 =3, q=2 - ambii parametri sunt mai mari decât unul.

Apoi succesiunea de numere poate fi scrisă astfel:

3 6 12 24 48 ...

• Dacă |q| este mai mică de unu, adică înmulțirea cu ea este echivalentă cu împărțirea, atunci o progresie cu condiții similare este o progresie geometrică descrescătoare. Un exemplu în acest sens este prezentat mai jos.

Exemplu: a 1 =6, q=1/3 - a 1 este mai mare decât unu, q este mai mic.

Apoi, succesiunea de numere poate fi scrisă după cum urmează:

6 2 2/3 ... - orice element este de 3 ori mai mare decât elementul care îl urmează.

• Semn alternativ. Dacă q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Exemplu: a 1 = -3, q = -2 - ambii parametri sunt mai mici decât zero.

Apoi succesiunea de numere poate fi scrisă astfel:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Există multe formule pentru utilizarea convenabilă a progresiilor geometrice:

• Formula cu termenul Z. Vă permite să calculați un element sub un anumit număr fără a calcula numerele anterioare.

Exemplu:q = 3, A 1 = 4. Se cere numărarea celui de-al patrulea element al progresiei.

Soluţie:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Suma primelor elemente a căror cantitate este egală cu z. Vă permite să calculați suma tuturor elementelor unei secvențe până laa zinclusiv.

Din moment ce (1-q) este la numitor, atunci (1 - q)≠ 0, prin urmare q nu este egal cu 1.

Notă: dacă q=1, atunci progresia ar fi o serie de numere care se repetă la infinit.

Suma progresiei geometrice, exemple:A 1 = 2, q= -2. Calculați S5.

Soluţie:S 5 = 22 - calcul folosind formula.

• Suma dacă |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Exemplu:A 1 = 2 , q= 0,5. Găsiți suma.

Soluţie:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Unele proprietăți:

• Proprietate caracteristică. Dacă apare următoarea condiție functioneaza pentru oricez, atunci seria de numere dată este o progresie geometrică:

a z 2 = a z -1 · Az+1

• De asemenea, pătratul oricărui număr dintr-o progresie geometrică se găsește prin adăugarea pătratelor oricăror alte două numere dintr-o serie dată, dacă acestea sunt echidistante de acest element.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Undet- distanța dintre aceste numere.

• Elementediferă în qo singura data.
• Logaritmii elementelor unei progresii formează și ei o progresie, dar una aritmetică, adică fiecare dintre ele este mai mare decât precedentul cu un anumit număr.

Exemple de probleme clasice

Pentru a înțelege mai bine ce este o progresie geometrică, exemple cu soluții pentru clasa 9 pot ajuta.

• Conditii:A 1 = 3, A 3 = 48. Găsițiq.

Soluție: fiecare element următor este mai mare decât cel anterior înq o singura data.Este necesar să exprimați unele elemente în termenii altora folosind un numitor.

Prin urmare,A 3 = q 2 · A 1

La înlocuireq= 4

• Conditii:A 2 = 6, A 3 = 12. Calculați S 6.

Soluţie:Pentru a face acest lucru, doar găsiți q, primul element și înlocuiți-l în formulă.

A 3 = q· A 2 , prin urmare,q= 2

a 2 = q · a 1 ,De aceea a 1 = 3

S 6 = 189

• · A 1 = 10, q= -2. Găsiți al patrulea element al progresiei.

Soluție: pentru a face acest lucru, este suficient să exprimați al patrulea element prin primul și prin numitor.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Exemplu de aplicare:

• Un client bancar a făcut un depozit în valoare de 10.000 de ruble, în condițiile căreia, în fiecare an, clientul va avea 6% din acesta adăugat la suma principală. Câți bani vor fi în cont după 4 ani?

Soluție: Suma inițială este de 10 mii de ruble. Aceasta înseamnă că la un an de la investiție contul va avea o sumă egală cu 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

În consecință, suma din cont după un alt an va fi exprimată după cum urmează:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Adică în fiecare an suma crește de 1,06 ori. Aceasta înseamnă că pentru a găsi suma de fonduri în cont după 4 ani, este suficient să găsiți al patrulea element al progresiei, care este dat de primul element egal cu 10 mii și numitorul egal cu 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Exemple de probleme de calcul a sumei:

Progresia geometrică este utilizată în diverse probleme. Un exemplu pentru găsirea sumei poate fi dat după cum urmează:

A 1 = 4, q= 2, calculeazăS 5.

Soluție: toate datele necesare pentru calcul sunt cunoscute, trebuie doar să le înlocuiți în formulă.

S 5 = 124

• A 2 = 6, A 3 = 18. Calculați suma primelor șase elemente.

Soluţie:

În geom. progresie, fiecare element următor este de q ori mai mare decât cel anterior, adică pentru a calcula suma trebuie să cunoașteți elementulA 1 și numitorulq.

A 2 · q = A 3

q = 3

În mod similar, trebuie să găsițiA 1 , știindA 2 Șiq.

A 1 · q = A 2

a 1 =2

S 6 = 728.

De exemplu, secvența \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)... este o progresie geometrică, deoarece fiecare element următor diferă de cel anterior cu un factor de doi (cu alte cuvinte, se poate obține din cel anterior înmulțind cu doi):

Ca orice succesiune, o progresie geometrică este indicată printr-o literă latină mică. Se numesc numerele care formează o progresie membrii(sau elemente). Ele sunt notate cu aceeași literă ca și progresia geometrică, dar cu un indice numeric egal cu numărul elementului în ordine.

De exemplu, progresia geometrică \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) este formată din elementele \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) și așa mai departe. Cu alte cuvinte:

Dacă înțelegeți informațiile de mai sus, veți putea deja să rezolvați majoritatea problemelor legate de acest subiect.

Exemplu (OGE):
Soluţie:

Răspuns : \(-686\).

Exemplu (OGE): Se dau primii trei termeni ai progresiei \(324\); \(-108\); \(36\)…. Găsiți \(b_5\).
Soluţie:

	Pentru a continua secvența, trebuie să cunoaștem numitorul. Să o găsim din două elemente învecinate: cu ce avem nevoie pentru a înmulți \(324\) pentru a obține \(-108\)?
\(324·q=-108\)	De aici putem calcula cu ușurință numitorul.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Acum putem găsi cu ușurință elementul de care avem nevoie.
	Răspunsul este gata.

Răspuns : \(4\).

Exemplu: Progresia este specificată de condiția \(b_n=0,8·5^n\). Care număr este membru al acestei progresii:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0,8\) ?

Soluţie: Din formularea sarcinii este evident că unul dintre aceste numere este cu siguranță în progresul nostru. Prin urmare, putem să-i calculăm pur și simplu termenii unul câte unul până când găsim valoarea de care avem nevoie. Deoarece progresia noastră este dată de formulă, calculăm valorile elementelor înlocuind diferite \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0,8·5^1=0,8·5=4\) – nu există un astfel de număr în listă. Hai sa continuăm.
\(n=2\); \(b_2=0,8·5^2=0,8·25=20\) - și nici asta nu există.
\(n=3\); \(b_3=0,8·5^3=0,8·125=100\) – și iată-l pe campionul nostru!

Răspuns: \(100\).

Exemplu (OGE): Se dau cativa termeni consecutivi ai progresiei geometrice...\(8\); \(X\); \(50\); \(-125\)…. Găsiți valoarea elementului etichetat \(x\).

Soluţie:

Răspuns: \(-20\).

Exemplu (OGE): Progresia este specificată de condițiile \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Aflați suma primilor \(4\) termeni ai acestei progresii.

Soluţie:

Răspuns: \(105\).

Exemplu (OGE): Se știe că în progresie geometrică \(b_6=-11\), \(b_9=704\). Aflați numitorul lui \(q\).

Soluţie:

	Din diagrama din stânga puteți vedea că pentru a „a ajunge” de la \(b_6\) la \(b_9\) facem trei „pași”, adică înmulțim \(b_6\) de trei ori cu numitorul a progresiei. Cu alte cuvinte, \(b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3\).
\(b_9=b_6·q^3\)	Să înlocuim valorile pe care le cunoaștem.
\(704=(-11)q^3\)	Să întoarcem ecuația și să o împărțim la \((-11)\).
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Ce număr cub dă \(-64\)? Desigur, \(-4\)!
	Răspunsul a fost găsit. Poate fi verificat prin restaurarea lanțului de numere de la \(-11\) la \(704\).
	Totul a venit împreună - răspunsul este corect.

Răspuns: \(-4\).

Cele mai importante formule

După cum puteți vedea, majoritatea problemelor de progresie geometrică pot fi rezolvate folosind logica pură, pur și simplu prin înțelegerea esenței (aceasta este în general tipică pentru matematică). Dar uneori cunoașterea anumitor formule și modele accelerează și facilitează semnificativ soluția. Vom studia două astfel de formule.

Formula celui de-al \(n\)-lea termen: \(b_n=b_1·q^(n-1)\), unde \(b_1\) este primul termen al progresiei; \(n\) – numărul elementului solicitat; \(q\) – numitorul progresiei; \(b_n\) – termenul progresiei cu numărul \(n\).

Folosind această formulă, puteți, de exemplu, să rezolvați problema de la primul exemplu literal într-o singură acțiune.

Exemplu (OGE): Progresie geometrică specificate de condițiile \(b_1=-2\); \(q=7\). Găsiți \(b_4\).
Soluţie:

Răspuns: \(-686\).

Acest exemplu a fost simplu, așa că formula nu ne-a ușurat prea mult calculele. Să ne uităm la problema puțin mai complicată.

Exemplu: Progresia geometrică este specificată de condițiile \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). Găsiți \(b_(12)\).
Soluţie:

Răspuns: \(10\).

Desigur, ridicarea \(\frac(1)(2)\) la puterea \(11\)-a nu este foarte fericită, dar este totuși mai ușor decât \(11\) împărțirea \(20480\) la doi.

Suma \(n\) a primilor termeni: \(S_n=\)\(\frac(b_1·(q^n-1))(q-1)\) , unde \(b_1\) este primul termen a progresiei; \(n\) – numărul elementelor însumate; \(q\) – numitorul progresiei; \(S_n\) – suma \(n\) primilor termeni ai progresiei.

Exemplu (OGE): Având în vedere o progresie geometrică \(b_n\), al cărei numitor este \(5\), iar primul termen este \(b_1=\frac(2)(5)\). Aflați suma primilor șase termeni ai acestei progresii.
Soluţie:

Răspuns: \(1562,4\).

Și din nou, am putea rezolva problema direct - găsiți toate cele șase elemente pe rând și apoi adăugați rezultatele. Cu toate acestea, numărul de calcule și, prin urmare, șansa de eroare aleatorie, ar crește brusc.

Pentru progresia geometrică, există mai multe formule pe care nu le-am luat în considerare aici din cauza utilizării lor practice reduse. Puteți găsi aceste formule.

Progresii geometrice crescătoare și descrescătoare

Pentru progresia \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48...\)\) considerată chiar la începutul articolului, numitorul \(q\) este mai mare decât unu și, prin urmare, fiecare termen următor este mai mare decât precedentul. Se numesc astfel de progresii crescând.

Dacă \(q\) este mai mic decât unu, dar este pozitiv (adică se află în intervalul de la zero la unu), atunci fiecare element următor va fi mai mic decât cel anterior. De exemplu, în progresia \(4\); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0,25\)... numitorul lui \(q\) este egal cu \(\frac(1)(2)\).

Aceste progresii se numesc in scadere. Rețineți că niciunul dintre elementele unei astfel de progresii nu va fi negativ, ci doar devin din ce în ce mai mici cu fiecare pas. Adică ne vom apropia treptat de zero, dar nu îl vom ajunge niciodată și nici nu vom depăși. În astfel de cazuri, matematicienii spun „tinde spre zero”.

Rețineți că, cu un numitor negativ, elementele progresiei geometrice își vor schimba în mod necesar semnul. De exemplu, progresia y \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)... numitorul lui \(q\) este \(-3\), iar din această cauză semnele elementelor „clipesc”.

Formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice este foarte simplă. Atât ca semnificație, cât și ca aspect general. Dar există tot felul de probleme cu privire la formula celui de-al n-lea termen - de la foarte primitiv la destul de serios. Și în procesul cunoașterii noastre, cu siguranță le vom lua în considerare pe ambele. Ei bine, hai să ne cunoaștem?)

Deci, pentru început, de fapt formulăn

Iat-o:

b n = b 1 · qn -1

Formula este doar o formulă, nimic supranatural. Pare chiar mai simplu și mai compact decât o formulă similară pentru. Sensul formulei este, de asemenea, la fel de simplu ca cizmele din pâslă.

Această formulă vă permite să găsiți ORICE membru al unei progresii geometrice PRIN NUMĂRUL SĂU " n".

După cum puteți vedea, sensul este o analogie completă cu o progresie aritmetică. Cunoaștem numărul n - putem număra și termenul sub acest număr. Pe care vrem noi. Fără a înmulți în mod repetat cu „q” de multe, de multe ori. Asta e toată ideea.)

Înțeleg că la acest nivel de lucru cu progresii, toate cantitățile incluse în formulă ar trebui să vă fie deja clare, dar consider totuși de datoria mea să le descifrez pe fiecare. Doar în cazul în care.

Deci, iată-ne:

b 1 – primul termenul progresiei geometrice;

q – ;

n- numarul membrului;

b n – al n-lea (na) termenul unei progresii geometrice.

Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - bn, b 1 , qȘi n. Și toate problemele de progres se învârt în jurul acestor patru cifre cheie.

„Cum se elimină?”– Aud o întrebare curioasă... Elementar! Uite!

Ce este egal cu al doilea membru al progresiei? Nici o problemă! Scriem direct:

b 2 = b 1 ·q

Dar al treilea membru? Nici o problemă! Înmulțim al doilea termen încă o dată peq.

Ca aceasta:

B 3 = b 2 q

Să ne amintim acum că al doilea termen, la rândul său, este egal cu b 1 ·q și înlocuim această expresie în egalitatea noastră:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Primim:

B 3 = b 1 ·q 2

Acum să citim articolul nostru în rusă: al treilea termenul este egal cu primul termen înmulțit cu q în al doilea grade. Ai inteles? Nu încă? Bine, încă un pas.

Care este al patrulea termen? Tot la fel! Multiplica anterior(adică al treilea termen) pe q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Total:

B 4 = b 1 ·q 3

Și din nou traducem în rusă: Al patrulea termenul este egal cu primul termen înmulțit cu q în al treilea grade.

Și așa mai departe. Deci cum este? Ai prins modelul? Da! Pentru orice termen cu orice număr, numărul de factori identici q (adică gradul numitorului) va fi întotdeauna cu unul mai puțin decât numărul membrului doritn.

Prin urmare, formula noastră va fi, fără opțiuni:

b n =b 1 · qn -1

Asta e tot.)

Ei bine, hai să rezolvăm problemele, cred?)

Rezolvarea problemelor cu formulenal treilea termen al unei progresii geometrice.

Să începem, ca de obicei, cu aplicarea directă a formulei. Iată o problemă tipică:

În progresie geometrică, se știe că b 1 = 512 și q = -1/2. Găsiți al zecelea termen al progresiei.

Desigur, această problemă poate fi rezolvată fără nicio formulă. Direct în sensul progresiei geometrice. Dar trebuie să ne încălzim cu formula pentru al n-lea termen, nu? Aici ne incalzim.

Datele noastre pentru aplicarea formulei sunt următoarele.

Primul membru este cunoscut. Acesta este 512.

b 1 = 512.

Numitorul progresiei este de asemenea cunoscut: q = -1/2.

Tot ce rămâne este să ne dăm seama care este numărul membrului n. Nici o problemă! Suntem interesați de al zecelea termen? Deci înlocuim zece în loc de n în formula generală.

Și calculați cu atenție aritmetica:

Raspunsul 1

După cum puteți vedea, al zecelea termen al progresiei s-a dovedit a fi minus. Nimic surprinzător: numitorul nostru de progres este -1/2, adică. negativ număr. Și asta ne spune că semnele progresiei noastre se alternează, da.)

Totul este simplu aici. Aici este o problemă similară, dar puțin mai complicată din punct de vedere al calculelor.

În progresie geometrică, se știe că:

b 1 = 3

Găsiți al treisprezecelea termen al progresiei.

Totul este la fel, doar că de această dată este numitorul progresiei iraţional. Rădăcina din doi. Ei bine, e în regulă. Formula este un lucru universal; poate gestiona orice numere.

Lucrăm direct după formula:

Formula, desigur, a funcționat așa cum ar trebui, dar... aici unii oameni se blochează. Ce să faci în continuare cu rădăcina? Cum să ridici o rădăcină la a douăsprezecea putere?

Cum-cum... Trebuie să înțelegi că orice formulă, desigur, este un lucru bun, dar cunoștințele anterioare de matematică nu sunt anulate! Cum sa construiesti? Da, amintiți-vă proprietățile gradelor! Să transformăm rădăcina în grad fracționarși – conform formulei de ridicare a unui grad la un grad.

Ca aceasta:

Răspuns: 192

Și asta e tot.)

Care este principala dificultate în aplicarea directă a formulei a n-a termen? Da! Principala dificultate este lucrez cu grade!Și anume ridicarea numerelor negative, fracțiilor, rădăcinilor și construcțiilor similare la puteri. Așa că cei care au probleme cu asta, vă rugăm să repetați gradele și proprietățile lor! Altfel, vei încetini și acest subiect, da...)

Acum să rezolvăm problemele tipice de căutare unul dintre elementele formulei, dacă toate celelalte sunt date. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, rețeta este uniformă și teribil de simplă - scrie formulan-al-lea membru în general! Chiar în caiet de lângă stare. Și apoi din condiție ne dăm seama ce ne este dat și ce lipsește. Și exprimăm valoarea dorită din formulă. Toate!

De exemplu, o astfel de problemă inofensivă.

Al cincilea termen al unei progresii geometrice cu numitorul 3 este 567. Aflați primul termen al acestei progresii.

Nimic complicat. Lucrăm direct după vrajă.

Să scriem formula pentru al n-lea termen!

b n = b 1 · qn -1

Ce ni s-a dat? În primul rând, numitorul progresiei este dat: q = 3.

Mai mult, ni se oferă al cincilea membru: b 5 = 567 .

Toate? Nu! Ni s-a dat și numărul n! Acesta este cinci: n = 5.

Sper că ați înțeles deja ce este în înregistrare b 5 = 567 doi parametri sunt ascunși simultan - acesta este al cincilea termen în sine (567) și numărul său (5). Am vorbit deja despre asta într-o lecție similară, dar cred că merită menționat și aici.)

Acum înlocuim datele noastre în formula:

567 = b 1 ·3 5-1

Facem aritmetica, simplificăm și obținem o ecuație liniară simplă:

81 b 1 = 567

Rezolvăm și obținem:

b 1 = 7

După cum puteți vedea, nu există probleme cu găsirea primului termen. Dar când se caută numitorul q si numere n Pot exista și surprize. Și, de asemenea, trebuie să fii pregătit pentru ele (surprize), da.)

De exemplu, această problemă:

Al cincilea termen al unei progresii geometrice cu numitor pozitiv este 162, iar primul termen al acestei progresii este 2. Aflați numitorul progresiei.

De această dată ni se oferă primul și al cincilea termen și ni se cere să găsim numitorul progresiei. Începem.

Scriem formulanal-lea membru!

b n = b 1 · qn -1

Datele noastre inițiale vor fi următoarele:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Valoare lipsă q. Nici o problemă! Să o găsim acum.) Înlocuim tot ce știm în formulă.

Primim:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

O ecuație simplă de gradul al patrulea. Si acum - cu grija!În această etapă a soluției, mulți studenți extrag imediat cu bucurie rădăcina (de gradul al patrulea) și obțin răspunsul q=3 .

Ca aceasta:

q4 = 81

q = 3

Dar, de fapt, acesta este un răspuns neterminat. Mai exact, incomplet. De ce? Ideea este că răspunsul q = -3 potrivit și: (-3) 4 va fi și 81!

Acest lucru se datorează faptului că ecuația puterii x n = Aîntotdeauna are două rădăcini opuse la chiarn . Cu plus și minus:

Ambele sunt potrivite.

De exemplu, atunci când decideți (de ex. al doilea grade)

x 2 = 9

Din anumite motive, nu ești surprins de aspect Două rădăcini x=±3? La fel este și aici. Și cu oricare altul chiar gradul (al patrulea, al șaselea, al zecelea etc.) va fi același. Detalii sunt în subiectul despre

Prin urmare, soluția corectă ar fi:

q 4 = 81

q= ±3

Bine, am rezolvat semnele. Care este corect - plus sau minus? Ei bine, să citim din nou declarația problemei în căutarea Informații suplimentare. Desigur, s-ar putea să nu existe, dar în această problemă astfel de informații disponibil. Condiția noastră afirmă în text simplu că o progresie este dată cu numitor pozitiv.

Prin urmare, răspunsul este evident:

q = 3

Totul este simplu aici. Ce credeți că s-ar întâmpla dacă afirmația problemei ar fi așa:

Al cincilea termen al unei progresii geometrice este 162, iar primul termen al acestei progresii este 2. Aflați numitorul progresiei.

Care este diferența? Da! In conditie Nimic nu se menționează semnul numitorului. Nici direct, nici indirect. Și aici problema ar avea deja doua solutii!

q = 3 Și q = -3

Da Da! Atât cu plus, cât și cu minus.) Matematic, acest fapt ar însemna că există două progresii, care se potrivesc condițiilor problemei. Și fiecare are propriul numitor. Doar pentru distracție, exersați și scrieți primii cinci termeni ai fiecăruia.)

Acum să exersăm să găsim numărul membrului. Această problemă este cea mai dificilă, da. Dar și mai creativ.)

Având în vedere o progresie geometrică:

3; 6; 12; 24; …

Ce număr din această progresie este numărul 768?

Primul pas este în continuare același: scrie formulanal-lea membru!

b n = b 1 · qn -1

Și acum, ca de obicei, înlocuim datele pe care le cunoaștem în ele. Hm... nu merge! Unde este primul termen, unde este numitorul, unde este totul?!

Unde, unde... De ce avem nevoie de ochi? Îți bate din gene? De data aceasta progresia ne este dată direct în formular secvente. Putem vedea primul membru? V-om vedea! Acesta este un triplu (b 1 = 3). Dar numitorul? Nu îl vedem încă, dar este foarte ușor de numărat. Dacă, desigur, înțelegeți...

Deci numărăm. Direct după semnificația unei progresii geometrice: luăm oricare dintre termenii săi (cu excepția primului) și împărțim la cel anterior.

Cel putin asa:

q = 24/12 = 2

Ce mai știm? Cunoaștem și un termen al acestei progresii, egal cu 768. Sub un număr n:

b n = 768

Nu-i știm numărul, dar sarcina noastră este tocmai să-l găsim.) Deci căutăm. Am descărcat deja toate datele necesare pentru înlocuire în formulă. Fără să știți.)

Aici înlocuim:

768 = 3 2n -1

Să le facem pe cele elementare - împărțiți ambele părți la trei și rescrieți ecuația în forma obișnuită: necunoscutul este în stânga, cunoscutul este în dreapta.

Primim:

2 n -1 = 256

Aceasta este o ecuație interesantă. Trebuie să găsim „n”. Ce, neobișnuit? Da, nu mă cert. De fapt, acesta este cel mai simplu lucru. Se numește așa pentru că necunoscutul (în acest caz este numărul n) costă în indicator grade.

În stadiul de învățare despre progresia geometrică (aceasta este clasa a IX-a), ei nu te învață cum să rezolvi ecuații exponențiale, da... Acesta este un subiect pentru liceu. Dar nu e nimic înfricoșător. Chiar dacă nu știți cum se rezolvă astfel de ecuații, să încercăm să ne găsim n, ghidat de o logică simplă și de bun simț.

Să începem să vorbim. În stânga avem un deuce Într-o anumită măsură. Nu știm încă ce este exact acest grad, dar nu este înfricoșător. Dar știm sigur că acest grad este egal cu 256! Așa că ne amintim în ce măsură un doi ne dă 256. Îți amintești? Da! ÎN Al optulea grade!

256 = 2 8

Dacă nu vă amintiți sau aveți probleme în a recunoaște gradele, atunci este în regulă și asta: doar pătratul doi, cubul, al patrulea, al cincilea și așa mai departe. Selecția, de fapt, dar la acest nivel va funcționa destul de bine.

Într-un fel sau altul, obținem:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Deci 768 este nouălea membru al progresiei noastre. Asta e, problema rezolvată.)

Raspuns: 9

Ce? Plictisitor? Te-ai săturat de lucruri elementare? De acord. Si eu. Să trecem la următorul nivel.)

Sarcini mai complexe.

Acum să rezolvăm probleme mai provocatoare. Nu tocmai super cool, dar care necesită puțină muncă pentru a ajunge la răspuns.

De exemplu, acesta.

Găsiți al doilea termen al unei progresii geometrice dacă al patrulea termen este -24 și al șaptelea termen este 192.

Acesta este un clasic al genului. Sunt cunoscuți doi termeni diferiți ai progresiei, dar trebuie găsit un alt termen. Mai mult, toți membrii NU sunt vecini. Ceea ce este confuz la început, da...

Ca și în, pentru a rezolva astfel de probleme vom lua în considerare două metode. Prima metodă este universală. Algebric. Funcționează perfect cu orice sursă de date. Deci de aici vom începe.)

Descriem fiecare termen conform formulei nal-lea membru!

Totul este exact la fel ca în cazul unei progresii aritmetice. Doar că de data aceasta lucrăm o alta formula generala. Atât.) Dar esența este aceeași: luăm și unul câte unulÎnlocuim datele noastre inițiale în formula pentru al n-lea termen. Pentru fiecare membru - al lor.

Pentru al patrulea termen scriem:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Mânca. O ecuație este gata.

Pentru al șaptelea termen scriem:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

În total, avem două ecuații pentru aceeasi progresie .

Asamblam un sistem din ele:

În ciuda aspectului său amenințător, sistemul este destul de simplu. Cea mai evidentă soluție este înlocuirea simplă. Ne exprimăm b 1 din ecuația superioară și înlocuiți-o în cea inferioară:

După ce ne-am jucat puțin cu ecuația de jos (reducerea puterilor și împărțirea la -24), obținem:

q 3 = -8

Apropo, la aceeași ecuație se poate ajunge într-un mod mai simplu! Care? Acum vă voi arăta un alt mod secret, dar foarte frumos, puternic și util de a rezolva astfel de sisteme. Astfel de sisteme, ale căror ecuații includ doar funcționează. Cel puțin într-una. Chemat metoda diviziunii o ecuație la alta.

Deci, avem un sistem în fața noastră:

În ambele ecuații din stânga - muncă, iar în dreapta este doar un număr. Acesta este un semn foarte bun.) Să-l luăm și... împărțim, să zicem, ecuația inferioară la cea superioară! Ce înseamnă, să împărțim o ecuație la alta? Foarte simplu. Să o luăm partea stanga o ecuație (inferioară) și divide ea pe partea stanga o altă ecuație (superioară). Partea dreaptă este asemănătoare: partea dreapta o singură ecuație divide pe partea dreapta o alta.

Întregul proces de divizare arată astfel:

Acum, reducând tot ceea ce poate fi redus, obținem:

q 3 = -8

Ce este bun la această metodă? Da, pentru că în procesul unei astfel de împărțiri totul rău și incomod poate fi redus în siguranță și rămâne o ecuație complet inofensivă! Acesta este motivul pentru care este atât de important să ai numai înmulțireaîn cel puţin una dintre ecuaţiile sistemului. Nu există înmulțire - nu există nimic de redus, da...

În general, această metodă (ca multe alte metode non-triviale de rezolvare a sistemelor) chiar merită o lecție separată. Cu siguranță mă voi uita mai detaliat. Într-o zi…

Cu toate acestea, nu contează cât de exact rezolvi sistemul, în orice caz, acum trebuie să rezolvăm ecuația rezultată:

q 3 = -8

Nicio problemă: extrageți rădăcina cubului și gata!

Vă rugăm să rețineți că nu este nevoie să puneți un plus/minus aici atunci când extrageți. Rădăcina noastră este de grad impar (al treilea). Și răspunsul este același, da.)

Deci, numitorul progresiei a fost găsit. Minus doi. Grozav! Procesul este în desfășurare.)

Pentru primul termen (să zicem, din ecuația superioară) obținem:

Grozav! Cunoaștem primul termen, cunoaștem numitorul. Și acum avem ocazia să găsim orice membru al progresiei. Inclusiv al doilea.)

Pentru al doilea termen totul este destul de simplu:

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Răspuns: -6

Deci, am defalcat metoda algebrică pentru rezolvarea problemei. Dificil? Nu chiar, sunt de acord. Lung și plictisitor? Da cu siguranta. Dar uneori puteți reduce semnificativ cantitatea de muncă. Pentru asta există metoda grafica. Bine vechi și familiar pentru noi.)

Să desenăm o problemă!

Da! Exact. Din nou ne descriem progresia pe axa numerelor. Nu este necesar să urmați o riglă, nu este necesar să mențineți intervale egale între termeni (care, apropo, nu vor fi la fel, deoarece progresia este geometrică!), ci pur și simplu schematic Să ne desenăm secvența.

am prins asa:

Acum uită-te la imagine și descoperă-l. Câți factori identici „q” separă Al patruleaȘi al șaptelea membrii? Așa este, trei!

Prin urmare, avem tot dreptul să scriem:

-24·q 3 = 192

De aici este acum ușor să găsiți q:

q 3 = -8

q = -2

Este grozav, avem deja numitorul în buzunar. Acum să ne uităm din nou la imagine: câți astfel de numitori stau între al doileaȘi Al patrulea membrii? Două! Prin urmare, pentru a înregistra legătura dintre acești termeni, vom construi numitorul pătrat.

Deci scriem:

b 2 · q 2 = -24 , Unde b 2 = -24/ q 2

Înlocuim numitorul nostru găsit în expresia pentru b 2, numărăm și obținem:

Răspuns: -6

După cum puteți vedea, totul este mult mai simplu și mai rapid decât prin intermediul sistemului. Mai mult decât atât, aici nu a fost deloc nevoie să numărăm primul termen! Deloc.)

Iată o lumină atât de simplă și vizuală. Dar are și un dezavantaj serios. Ai ghicit? Da! Este bun doar pentru piese foarte scurte de progres. Cele la care distanțele dintre membrii care ne interesează nu sunt foarte mari. Dar în toate celelalte cazuri este deja dificil să desenezi o imagine, da... Apoi rezolvăm problema analitic, prin intermediul sistemului.) Și sistemele sunt lucruri universale. Ei pot gestiona orice numere.

O altă provocare epică:

Al doilea termen al progresiei geometrice este cu 10 mai mult decât primul, iar al treilea termen este cu 30 mai mult decât al doilea. Găsiți numitorul progresiei.

Ce, cool? Deloc! Tot la fel. Din nou traducem enunțul problemei în algebră pură.

1) Descriem fiecare termen după formula nal-lea membru!

Al doilea termen: b 2 = b 1 q

Al treilea termen: b 3 = b 1 q 2

2) Notăm legătura dintre membri din enunțul problemei.

Citim condiția: „Al doilea termen al progresiei geometrice este cu 10 mai mare decât primul.” Opreste-te, asta e valoros!

Deci scriem:

b 2 = b 1 +10

Și traducem această frază în matematică pură:

b 3 = b 2 +30

Avem două ecuații. Să le combinăm într-un sistem:

Sistemul pare simplu. Dar există prea mulți indici diferiți pentru litere. Să înlocuim în locul celui de-al doilea și al treilea termen expresiile lor prin primul termen și numitor! Degeaba le-am pictat?

Primim:

Dar un astfel de sistem nu mai este un cadou, da... Cum să rezolvi asta? Din păcate, nu există o vrajă secretă universală pentru rezolvarea complexului neliniar Nu există sisteme în matematică și nu pot exista. Este fantastic! Dar primul lucru care ar trebui să-ți vină în minte atunci când încerci să spargi o nucă atât de dură este să-ți dai seama Dar nu se reduce una dintre ecuațiile sistemului la o formă frumoasă care permite, de exemplu, să exprime cu ușurință una dintre variabile în termenii alteia?

Să ne dăm seama. Prima ecuație a sistemului este clar mai simplă decât a doua. Îl vom tortura.) N-ar trebui să încercăm din prima ecuație ceva exprima prin ceva? Din moment ce vrem să găsim numitorul q, atunci ar fi cel mai avantajos să ne exprimăm b 1 prin q.

Deci, să încercăm să facem această procedură cu prima ecuație, folosind cele vechi bune:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Toate! Așa ne-am exprimat inutil dă-ne variabila (b 1) prin necesar(q). Da, nu este cea mai simplă expresie pe care o avem. Un fel de fracțiune... Dar sistemul nostru este de un nivel decent, da.)

Tipic. Știm ce să facem.

Scriem ODZ (Neapărat!) :

q ≠ 1

Înmulțim totul cu numitorul (q-1) și anulăm toate fracțiile:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Împărțim totul la zece, deschidem parantezele și colectăm totul din stânga:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Rezolvăm rezultatul și obținem două rădăcini:

q 1 = 1

q 2 = 3

Există un singur răspuns final: q = 3 .

Raspuns: 3

După cum puteți vedea, calea către rezolvarea majorității problemelor care implică formula celui de-al n-lea termen al unei progresii geometrice este întotdeauna aceeași: citiți atent condiția problemei și folosind formula celui de-al n-lea termen traducem toate informațiile utile în algebră pură.

Și anume:

1) Descriem separat fiecare termen dat în problemă conform formuleinal-lea membru.

2) Din condițiile problemei traducem legătura dintre membri în formă matematică. Compunem o ecuație sau un sistem de ecuații.

3) Rezolvăm ecuația rezultată sau sistemul de ecuații, găsim parametrii necunoscuți ai progresiei.

4) În cazul unui răspuns ambiguu, citiți cu atenție condițiile sarcinii în căutarea informațiilor suplimentare (dacă există). De asemenea, verificăm răspunsul primit cu termenii DL (dacă există).

Acum să enumerăm principalele probleme care conduc cel mai adesea la erori în procesul de rezolvare a problemelor de progresie geometrică.

1. Aritmetică elementară. Operații cu fracții și numere negative.

2. Dacă există probleme cu cel puțin unul dintre aceste trei puncte, atunci veți face inevitabil greșeli în acest subiect. Din pacate... Așa că nu fi leneș și repetă cele menționate mai sus. Și urmați linkurile - mergeți. Uneori ajută.)

Formule modificate și recurente.

Acum să ne uităm la câteva probleme tipice ale examenului cu o prezentare mai puțin familiară a afecțiunii. Da, da, ai ghicit! Acest modificatȘi recurent formule al n-lea termen. Am întâlnit deja astfel de formule și am lucrat la progresia aritmetică. Totul este similar aici. Esența este aceeași.

De exemplu, această problemă de la OGE:

Progresia geometrică este dată de formula b n = 3 2 n . Aflați suma primului și al patrulea termen.

De data aceasta, progresia nu este ca de obicei pentru noi. Sub forma unui fel de formulă. Şi ce dacă? Această formulă este de asemenea o formulănal-lea membru! Tu și cu mine știm că formula pentru al n-lea termen poate fi scrisă atât în ​​formă generală, folosind litere, cât și pentru progresie specifică. CU specific primul termen și numitor.

În cazul nostru, ni se oferă, de fapt, o formulă generală a termenului pentru o progresie geometrică cu următorii parametri:

b 1 = 6

q = 2

Să verificăm?) Să notăm formula pentru al n-lea termen în formă generală și să o înlocuim în b 1 Și q. Primim:

b n = b 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

Simplificam folosind factorizarea si proprietatile puterilor si obtinem:

b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

După cum puteți vedea, totul este corect. Dar scopul nostru nu este să demonstrăm derivarea unei formule specifice. Așa este, o digresiune lirică. Pur pentru înțelegere.) Scopul nostru este să rezolvăm problema după formula dată nouă în stare. Înțelegi?) Deci lucrăm direct cu formula modificată.

Numărăm primul termen. Să înlocuim n=1 în formula generală:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Ca aceasta. Apropo, nu voi fi leneș și vă atrag din nou atenția asupra unei greșeli tipice la calculul primului termen. NU, privind formula b n= 3 2n, grăbiți-vă imediat să scrieți că primul termen este un trei! Aceasta este o greșeală gravă, da...)

Hai sa continuăm. Să înlocuim n=4 și numărați al patrulea termen:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Și în final, calculăm suma necesară:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Raspuns: 54

Altă problema.

Progresia geometrică este specificată de condițiile:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Găsiți al patrulea termen al progresiei.

Aici progresia este dată de o formulă recurentă. Ei bine, bine.) Cum se lucrează cu această formulă – știm și noi.

Așa că acționăm. Pas cu pas.

1) Numără doi consecutiv membru al progresiei.

Primul mandat ne-a fost deja dat. Minus șapte. Dar următorul, al doilea termen, poate fi calculat cu ușurință folosind formula recurenței. Dacă înțelegeți principiul funcționării sale, desigur.)

Deci numărăm al doilea termen conform cunoscutului prim:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Calculați numitorul progresiei

Nici o problemă. Drept, hai să împărțim al doilea dick on primul.

Primim:

q = -21/(-7) = 3

3) Scrieți formulanal-lea membru în forma obișnuită și calculați membrul necesar.

Deci, noi cunoaștem primul termen, la fel și numitorul. Deci scriem:

b n= -7·3n -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Răspuns: -189

După cum puteți vedea, lucrul cu astfel de formule pentru o progresie geometrică nu este în esență diferit de cel pentru o progresie aritmetică. Este important doar să înțelegem esența generală și sensul acestor formule. Ei bine, trebuie să înțelegeți și semnificația progresiei geometrice, da.) Și atunci nu vor exista greșeli stupide.

Ei bine, hai să decidem singuri?)

Sarcini de bază pentru încălzire:

1. Având în vedere o progresie geometrică în care b 1 = 243, a q = -2/3. Găsiți al șaselea termen al progresiei.

2. Termenul general al progresiei geometrice este dat de formula b n = 5∙2 n +1 . Găsiți numărul ultimului termen de trei cifre al acestei progresii.

3. Progresia geometrică este dată de condițiile:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Găsiți al cincilea termen al progresiei.

Puțin mai complicat:

4. Având în vedere o progresie geometrică:

b 1 =2048; q =-0,5

Cu ce ​​este egal al șaselea termen negativ?

Ce pare super dificil? Deloc. Logica și înțelegerea semnificației progresiei geometrice vă vor salva. Ei bine, formula pentru al n-lea termen, desigur.

5. Al treilea termen al progresiei geometrice este -14, iar al optulea termen este 112. Aflați numitorul progresiei.

6. Suma primului și celui de-al doilea termen al progresiei geometrice este 75, iar suma celui de-al doilea și al treilea termen este 150. Aflați al șaselea termen al progresiei.

Răspunsuri (în dezordine): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Asta e aproape tot. Tot ce trebuie să facem este să învățăm să numărăm suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice da descoperi progresie geometrică infinit descrescătoare si cuantumul acesteia. Un lucru foarte interesant și neobișnuit, de altfel! Mai multe despre asta în lecțiile următoare.)

O progresie geometrică este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero și fiecare termen ulterior este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr diferit de zero. Progresia geometrică se notează b1,b2,b3, …, bn, …

Proprietăți ale progresiei geometrice

Raportul dintre orice termen al erorii geometrice și termenul anterior este egal cu același număr, adică b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Aceasta rezultă direct din definiția unei progresii aritmetice. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice. De obicei, numitorul unei progresii geometrice este notat cu litera q.

Una dintre modalitățile de a specifica o progresie geometrică este de a specifica primul său termen b1 și numitorul erorii geometrice q. De exemplu, b1=4, q=-2. Aceste două condiții definesc progresia geometrică 4, -8, 16, -32, ….

Dacă q>0 (q nu este egal cu 1), atunci progresia este o secvență monotonă. De exemplu, secvența, 2, 4,8,16,32, ... este o secvență crescătoare monoton (b1=2, q=2).

Dacă numitorul în eroarea geometrică este q=1, atunci toți termenii progresiei geometrice vor fi egali între ei. În astfel de cazuri, se spune că progresia este o secvență constantă.

Formula pentru al n-lea termen al progresiei

Pentru ca o secvență de numere (bn) să fie o progresie geometrică, este necesar ca fiecare dintre membrii săi, începând de la al doilea, să fie media geometrică a membrilor învecinați. Adică, este necesar să se îndeplinească următoarea ecuație - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), pentru orice n>0, unde n aparține mulțimii numerelor naturale N.

Formula pentru al n-lea termen al progresiei geometrice este:

bn=b1*q^(n-1), unde n aparține mulțimii numerelor naturale N.

Să ne uităm la un exemplu simplu:

În progresia geometrică b1=6, q=3, n=8 găsiți bn.

Să folosim formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice.

Progresii aritmetice și geometrice

Informații teoretice

Informații teoretice

	Progresie aritmetică	Progresie geometrică
Definiție	Progresie aritmetică un n este o succesiune în care fiecare membru, începând cu al doilea, este egal cu membrul anterior adăugat la același număr d (d- diferenta de progresie)	Progresie geometrică b n este o succesiune de numere diferite de zero, fiecare termen al cărora, începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr q (q- numitorul progresiei)
Formula de recurență	Pentru orice natural n a n + 1 = a n + d	Pentru orice natural n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula al n-lea termen	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Proprietate caracteristică
Suma primilor n termeni

Exemple de sarcini cu comentarii

Exercitiul 1

În progresie aritmetică ( un n) a 1 = -6, a 2

Conform formulei celui de-al n-lea termen:

un 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d

După condiție:

a 1= -6, atunci un 22= -6 + 21 d .

Este necesar să găsiți diferența de progresii:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Răspuns : un 22 = -48.

Sarcina 2

Aflați al cincilea termen al progresiei geometrice: -3; 6;....

Prima metodă (folosind formula n termeni)

Conform formulei pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Deoarece b 1 = -3,

A doua metodă (folosind formula recurentă)

Deoarece numitorul progresiei este -2 (q = -2), atunci:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Răspuns : b 5 = -48.

Sarcina 3

În progresie aritmetică ( a n ) a 74 = 34; un 76= 156. Găsiți al șaptezeci și cincilea termen al acestei progresii.

Pentru o progresie aritmetică, proprietatea caracteristică are forma .

Prin urmare:

.

Să înlocuim datele în formula:

Raspuns: 95.

Sarcina 4

În progresie aritmetică ( a n ) a n= 3n - 4. Aflați suma primilor șaptesprezece termeni.

Pentru a afla suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, se folosesc două formule:

.

Care dintre ele este mai convenabil de utilizat în acest caz?

Prin condiție, formula pentru al n-lea termen al progresiei inițiale este cunoscută ( un n) un n= 3n - 4. Puteți găsi imediat și a 1, Și un 16 fără a găsi d. Prin urmare, vom folosi prima formulă.

Raspuns: 368.

Sarcina 5

În progresie aritmetică ( un n) a 1 = -6; a 2= -8. Găsiți termenul douăzeci și doi al progresiei.

Conform formulei celui de-al n-lea termen:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

După condiție, dacă a 1= -6, atunci un 22= -6 + 21d . Este necesar să găsiți diferența de progresii:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Răspuns : un 22 = -48.

Sarcina 6

Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei geometrice:

Aflați termenul progresiei indicat de x.

Când rezolvăm, vom folosi formula pentru al n-lea termen b n = b 1 ∙ q n - 1 pentru progresii geometrice. Primul termen al progresiei. Pentru a găsi numitorul progresiei q, trebuie să luați oricare dintre termenii dați ai progresiei și să împărțiți la cel anterior. În exemplul nostru, putem lua și împărți prin. Obținem că q = 3. În loc de n, înlocuim 3 în formulă, deoarece este necesar să găsim al treilea termen al unei progresii geometrice date.

Înlocuind valorile găsite în formulă, obținem:

.

Răspuns : .

Sarcina 7

Din progresiile aritmetice date de formula celui de-al n-lea termen, selectați-l pe cel pentru care este îndeplinită condiția un 27 > 9:

Deoarece condiția dată trebuie îndeplinită pentru al 27-lea termen al progresiei, înlocuim 27 în loc de n în fiecare dintre cele patru progresii. În a 4-a progresie obținem:

.

Raspuns: 4.

Sarcina 8

În progresie aritmetică a 1= 3, d = -1,5. Specifica cea mai mare valoare n pentru care inegalitatea este valabilă un n > -6.