데카르트 좌표계: 기본 개념 및 예. 좌표 기존 좌표계

소개

좌표- 채택된 좌표계를 기준으로 표면이나 공간의 모든 지점 위치를 결정하는 수량입니다.
좌표계필요한 수량의 초기(원점) 지점, 표면 또는 기준선(좌표의 원점, 단위)을 설정합니다. 지형 및 측지학에서는 지리적, 직사각형 및 극좌표 시스템이 가장 널리 사용됩니다.
지리좌표계타원체 또는 공에서 지구상의 점 위치를 결정하는 데 사용됩니다. 이 시스템의 초기 평면은 본초 자오선과 적도의 평면이며 좌표는 각도 값, 즉 해당 지점의 경도와 위도입니다.
첫 번째 주제에서 다음과 같이 알려져 있습니다. 자오선 - 이것은 주어진 지점과 지구의 극 회전축을 통과하는 평면을 가진 타원체의 단면 선입니다.
평행한타원체의 단면선을 주어진 점을 통과하고 지구 축 PP에 수직인 평면이라고 부릅니다." 타원체의 중심을 통과하는 평행선을 호출합니다. 적도.
지리적 좌표는 천문 관측이나 측지 측정을 통해 얻을 수 있습니다. 첫 번째 경우에는 호출됩니다. 천문학적인, 두 번째 - 측지학. 천문 관측에서 점의 표면 투영은 수직선, 측지 측정에서 법선에 의해 수행되므로 천문 및 측지 지리 좌표 값이 다소 다릅니다.
측지학에서 가장 자주 사용되는 좌표계에는 측지, 천문, 구형, 평면 직사각형, 극 및 양극이 포함됩니다.

3.1. 측지 좌표계

측지 좌표는 적도 평면과 본초 자오선을 기준으로 지구 타원체(기준 타원체) 표면의 점(객체) 위치를 결정하는 각도 값(위도 및 경도)입니다.
측지위도( 안에)는 적도면과 주어진 지점을 통과하는 지구 타원체 표면의 법선 사이의 각도입니다.

쌀. 3.1. 측지 좌표계

측지 위도는 적도의 북쪽과 남쪽 0°에서 90°까지 계산됩니다. 북반구의 측지 위도는 북이라고 하며 "+" 기호가 있고, 남반구의 측지 위도는 남쪽이라고 하며 "-" 기호가 있습니다. 측지 위도는 자오선 평면의 중심각으로 측정됩니다.
측지 위도(도 단위)는 지구 타원체의 특정 지점이 적도면의 북쪽 또는 남쪽에 얼마나 떨어져 있는지 보여줍니다.
적도에 위치한 지점의 측지 위도는 0°이고 극에 위치한 지점의 경우 ± 90°입니다.
측지 경도( 엘)는 본초 자오선 평면과 주어진 지점을 통과하는 측지 자오선 평면 사이에 포함된 2면각입니다.
예전에는 일부 주에서는 초등학교자오선은 주 천문대를 통과하는 자오선을 취했습니다. 현재 우크라이나와 세계 대부분의 국가에서는 경도 결정의 통일성을 위해 합의되었습니다. 초기의 세다 그리니치 자오선 , 그리니치 천문대(런던 근처)를 통과합니다. 소위 국제 그리니치 시간(International Greenwich Time)은 이 자오선을 기준으로 계산됩니다.
측지 경도는 적도면이나 평행선의 중심각으로 측정하거나 본초(그리니치) 자오선에서 주어진 지점을 통과하는 자오선까지의 적도 호로 측정됩니다( 중), 범위는 0~180° 동쪽 또는 서쪽입니다. 그리니치 자오선 동쪽에서 180°까지 위치한 지점에 대한 측지 경도는 동쪽이라고 하며 양의 값으로 간주되고 서쪽에 있는 지점을 서쪽이라고 하며 음의 값으로 간주됩니다.
동부 경도는 문자( vd.) 또는 "+" 기호, 서경 - 문자( zd.) 또는 "-" 기호.
크라소프스키 타원체라고 불리는 측지 좌표계는 1942년부터 1943년까지 개발되었으므로 1942년 좌표계라고 불렸습니다. 이와 함께 크론슈타트 풋스톡의 0을 기준으로 절대 높이를 측정하는 발트해 높이 시스템이 채택되었습니다(Futstock은 구분이 있는 특수 로드입니다).

3.2. 천문좌표계

천문좌표지오이드 표면의 점 위치를 결정합니다. 이는 측지 장비를 사용한 천문학적 측정이나 측지 측정 결과의 수학적 처리를 통해 얻을 수 있습니다.
천문위도( φ )는 지구의 적도 평면과 주어진 지점의 수직선 방향 사이의 각도입니다.
천문 위도는 적도의 북쪽과 남쪽 0°에서 90°까지 측정됩니다. 북반구에서는 천문 위도를 북부, 남반구에서는 남부라고 부릅니다.
일반적인 경우, 수직선은 지구 타원체 표면의 법선 방향과 일치하지 않습니다. 지구 몸체의 밀도가 다른 질량은 고르지 않게 분포되어 있기 때문에 수직선(중력)의 법선 편차는 지구의 여러 지점에서 다릅니다. 예를 들어, 코카서스 지역에서는 수직선의 법선 편차가 35"에 도달하고, 바이칼 호수 반대쪽 기슭의 수직선 편차 차이는 40"에 이릅니다. 평균적으로 편차는 4 - 5"입니다(그림 3.2).

쌀. 3.2. 천문좌표계

천문 경도(λ)는 천문 본초 자오선 평면과 주어진 지점을 통과하는 천문 자오선 평면 사이의 2면각입니다.
천문 자오선 평면은 지구 표면의 특정 지점에서 수직선을 통과하고 측지 자오선 평면은 타원체 표면의 법선을 통과하므로 천문 및 측지 평면은 자오선이 일치하지 않습니다. 결과적으로 특정 지점의 측지 위도, 경도 및 측지 방위각은 천문 위도, 경도 및 천문(실제) 방위각과 다릅니다. 이러한 불일치는 법선에서 수직선의 큰 편차가 관찰되는 곳과 표면이 타원체 표면에서 더 제거되는 지오이드 지점에서 증가합니다.
측지 및 천문 좌표계는 1"의 정확도로 물체의 위치를 ​​결정할 때 두 개의 별도 시스템으로 구별됩니다(선형 크기는 최대 20 - 30). 중). 천문 좌표를 알면 천문-측지 방법으로 결정된 수직선과 수직선의 편차에 대한 수정을 도입하거나 특수 중량 측정 맵을 사용하여 측지 좌표를 계산할 수 있습니다.

3.3. 구형 좌표계

여러 가지 측지 문제를 해결하고 소규모 지도를 작성할 때 지구는 구로 간주됩니다. 구에서 지형 점의 위치는 구 좌표(구 위도 및 구 경도)에 의해 결정됩니다.
구면 좌표는 적도 및 본초 자오선을 기준으로 지구 표면의 지형 지점 위치를 결정하는 각도 값(위도 및 경도)입니다(그림 3.2).
구면 위도( φ ) 적도면과 지구 중심에서 특정 지점까지의 방향 사이의 각도입니다. 구면 위도는 측지 위도와 동일한 범위(적도 북쪽 및 남쪽 0~90°) 내에서 중심각 또는 자오선 호로 측정됩니다. 북반구의 구형 위도는 북쪽이라고 하며 "+" 기호로 지정되고, 남반구에서는 남쪽이라고 하며 "-" 기호로 지정됩니다.
구형 경도 (λ )는 본초 자오선 평면과 주어진 지점을 통과하는 자오선 평면 사이에 둘러싸인 2면각입니다.
구형 경도는 적도면이나 평행면의 중심각으로 측정하거나, 적도의 호 또는 본초(그리니치) 자오선에서 범위 내의 특정 지점을 통과하는 자오선까지 평행선의 호로 측정합니다. 0에서 180 ° 동쪽과 서쪽.

쌀. 3.3. 구형 좌표계

그리니치 자오선 동쪽에서 180°까지 위치한 지점의 구형 경도를 동쪽이라고 하며 양의 값으로 간주하고, 서쪽에 있는 점을 서쪽이라고 하며 음의 값으로 간주합니다. 좀 풀다보면 실질적인 문제구형 경도는 그리니치 자오선 바로 동쪽 0°에서 360°까지 측정됩니다.
좌표, 각도 및 거리의 자동 결정과 관련된 모든 계산은 구면 삼각법 공식을 사용하여 지구 표면에서 해결되므로 지구의 타원체 표면이 구 표면에 투영됩니다.
실제로는 반지름 R = 6371인 구가 자주 사용됩니다. 킬로미터, 그 표면은 타원체의 표면과 같습니다. 이 경우 거리 결정의 최대 오류는 0.5%에 도달하고 각도는 0.4°를 넘지 않습니다.
구 위의 대원의 호 길이는 1초로 1852년과 같습니다. 중, 라고 불리는 해리.
위의 오류로 인해 최신 자동 좌표 결정 도구의 정확성이 실현되지 않습니다. 따라서 디지털 컴퓨터를 갖춘 현대 컴퓨터는 지구의 압축을 고려한 공식을 사용합니다. 이 경우 최대 거리 왜곡은 0.08%~0.17%이며 각도 왜곡은 거의 없습니다.

3.4. 극좌표계와 양극좌표계

극좌표는 좌표 원점을 기준으로 평면 위의 점 위치를 결정하는 각도 및 선형 양으로, 다음과 같이 사용됩니다. 폴, 그리고 극축. 모든 지점의 위치가 결정됩니다. 위치 각도, 극축에서 결정된 지점 방향까지 측정되며, 거리극에서 이 지점까지(그림 3.4).

쌀. 3.4. 극좌표계

극축은 실제 자오선, 자오선, 수직 격자선, 랜드마크 방향 등을 극축으로 사용할 수 있습니다.
지상에서 작업할 때 극축은 자기 자오선의 북쪽 방향 또는 서있는 지점에서 일부 랜드마크 방향으로 간주됩니다.

양극 좌표두 개의 초기 점(극점)을 기준으로 평면 위의 점 위치를 결정하는 두 개의 각도 또는 두 개의 선형 양입니다. 지도나 지상의 모든 지점의 위치는 두 개의 좌표에 의해 결정됩니다. 이러한 좌표는 두 개의 위치 각도 또는 극점에서 결정된 지점까지의 두 개의 거리일 수 있습니다(그림 3.5, 3.6).

쌀. 3.5. 두 방향 각도를 사용하여 점의 위치 결정

쌀. 3.6. 두 범위에서 점의 위치 결정

3.5. 평면 직사각형 좌표계

평면 직사각형 측지 좌표(직사각형 좌표)는 원래 방향을 기준으로 평면의 점 위치를 결정하는 선형 수량(가로좌표 및 세로좌표)입니다.

쌀. 3.7. 평면 직사각형 좌표계

시작 방향은 교차점(O)을 원점으로 하는 서로 수직인 두 개의 선(그림 3.7)입니다. 직선 XX는 가로축이고, 가로축에 수직인 직선 УУ는 세로축입니다. 이러한 시스템에서 평면 위의 모든 점의 위치는 좌표축에서 해당 점까지의 최단 거리에 의해 결정됩니다. 따라서 점 A의 위치는 수직선 xa와 ya의 길이에 의해 결정됩니다. 세그먼트 xa를 점 A의 가로좌표라고 하고 세로좌표를 ya라고 합니다. 가로좌표와 세로좌표는 선형 측정값(보통 미터 단위)으로 표시됩니다.
측지학 및 지형학에서는 오른쪽 직사각형 좌표계가 채택됩니다. 이는 수학에서 사용되는 왼쪽 좌표계와 구별됩니다. 좌표계의 분기(이름은 허용되는 기본 지점 지정에 따라 결정됨)는 시계 방향으로 번호가 매겨집니다. 이러한 시스템에서는 방향 각도 측정이 단순화됩니다.
원점에서 위쪽에 위치한 점의 가로좌표는 양수로 간주되고 아래쪽 점은 음수로 간주됩니다.
원점의 오른쪽에 위치한 점의 세로 좌표는 양수로 간주되고 왼쪽에 있는 점은 음수로 간주됩니다(표 1.2 참조).

표 1.1

병사		좌표
나 II III IV	북동부(NE) 남동부(SE) 남서부(SW) 노스웨스트(NW)	+ — — +	+ + — —

평면 직교 좌표계는 평면으로 오해될 수 있는 지구 표면의 제한된 영역에 사용됩니다.
작은 영역의 경우 좌표 원점은 해당 영역의 어느 지점이든 될 수 있습니다(조건부 원점이 있는 시스템). 상태좌표계에서는 적도선을 세로축으로 하고, 축자오선이라 불리는 자오선의 방향을 가로축으로 한다(직사각형의 축 ​​중 하나의 방향과 일치한다). 좌표계). 넓은 지역에서 작업을 수행할 때 여러 자오선이 축 방향으로 선택됩니다.

3.6. 지도상의 지점의 측지 좌표 결정

지형도는 별도의 시트에 인쇄되며 크기는 각 축척에 따라 설정됩니다. 시트의 측면 프레임은 자오선이고 상단 및 하단 프레임은 평행합니다. . (그림 3.9). 따라서, 지리적 좌표는 지형도의 측면 프레임에 의해 결정될 수 있습니다. . 모든 지도에서 상단 프레임은 항상 북쪽을 향합니다.
지리적 위도와 경도는 지도의 각 시트 모서리에 기록되어 있습니다. 서반구 지도에서는 ​​각 시트 프레임의 북서쪽 모서리 자오선 경도 값 오른쪽에 "West of Greenwich"라는 문구가 표시되어 있습니다.
축척 1: 25,000 - 1: 200,000의 지도에서 프레임의 측면은 1'(1분, 그림 3.8)과 동일한 세그먼트로 나뉩니다. 이러한 세그먼트는 서로 음영 처리되고 점(축척 1: 200,000 지도 제외)으로 10"(10초)의 부분으로 구분됩니다. 각 시트에는 축척 1: 50,000 및 1: 100,000의 지도가 추가로 표시됩니다. 중간 자오선과 중간 평행선의 교차점과 도 및 분 단위의 디지털화 및 내부 프레임을 따라 - 2~3mm 길이의 스트로크로 분 분할 출력 이를 통해 필요한 경우 접착된 지도에 평행선과 자오선을 그릴 수 있습니다. 여러 장에서.

쌀. 3.8. 측면 지도 프레임

1: 500,000 및 1: 1,000,000 축척의 지도를 작성할 때 평행선과 자오선의 지도 제작 그리드가 적용됩니다. 평행선은 각각 20피트와 40인치(분)에 그려지고 자오선은 30피트와 1°에 그려집니다.
한 지점의 지리적 좌표는 위도와 경도가 알려진 가장 가까운 평행선과 가장 가까운 자오선에서 결정됩니다. 예를 들어 축척 1: 50,000 "ZAGORYANI"의 지도의 경우 가장 가까운 평행선은 위도 54°40′ 및 54°50′의 자오선이고 가장 가까운 자오선은 경도 18°00′ 및 18°15′의 자오선입니다(그림 3.10).

쌀. 3.9. 지리적 좌표 결정

특정 지점의 위도를 결정하려면 다음을 수행해야 합니다.

• 측정 나침반의 한쪽 다리를 주어진 지점에 설정하고, 다른 쪽 다리를 가장 가까운 평행선(지도의 경우 54°40′)의 최단 거리에 설정합니다.
• 측정 나침반의 해법을 변경하지 않고 분 단위와 초 단위로 측면 프레임에 설치하십시오. 한쪽 다리는 남쪽 평행선(지도의 경우 54°40′)에 있어야 하고 다른 쪽 다리는 프레임의 10초 지점 사이에 있어야 합니다.
• 남쪽 평행선에서 측정 나침반의 두 번째 다리까지의 분과 초 수를 세십시오.
• 결과를 남쪽 위도에 추가합니다(우리 지도의 경우 54°40′).

특정 지점의 경도를 결정하려면 다음을 수행해야 합니다.

• 측정 나침반의 한쪽 다리를 주어진 지점에 설정하고 다른 쪽 다리를 가장 가까운 자오선(우리 지도의 경우 18°00′)에서 가장 짧은 거리에 설정합니다.
• 측정 나침반의 각도를 변경하지 않고 가장 가까운 수평 프레임에 분 및 초 구분(우리 지도의 경우 하단 프레임)으로 설치하고 한쪽 다리는 가장 가까운 자오선(지도의 경우 18°00′)에 있어야 하고 다른 쪽 다리는 가장 가까운 자오선에 있어야 합니다. 수평 프레임의 10초 지점 사이;
• 서쪽(왼쪽) 자오선에서 측정 나침반의 두 번째 다리까지의 분과 초 수를 셉니다.
• 결과를 서쪽 자오선의 경도에 추가합니다(우리 지도의 경우 18°00′).

메모 1:50,000 이하의 축척 지도에 대해 특정 지점의 경도를 결정하는 이 방법은 지형 지도를 동쪽과 서쪽으로 제한하는 자오선의 수렴으로 인해 오류가 있음을 알려드립니다. 프레임의 북쪽은 남쪽보다 짧습니다. 결과적으로 북쪽 프레임과 남쪽 프레임의 경도 측정 간의 불일치는 몇 초 정도 다를 수 있습니다. 측정 결과의 높은 정확도를 얻으려면 프레임의 남쪽과 북쪽 모두에서 경도를 결정한 다음 보간해야 합니다.
지리적 좌표 결정의 정확성을 높이려면 다음을 사용할 수 있습니다. 그래픽 방법. 이렇게 하려면 지점에 가장 가까운 동일한 이름의 10초 구분을 지점 남쪽의 위도와 서쪽의 경도 직선으로 연결해야 합니다. 그런 다음 그려진 선에서 점 위치까지의 위도 및 경도 세그먼트 크기를 결정하고 그에 따라 그려진 선의 위도 및 경도를 합산합니다.
축척 1: 25,000 - 1: 200,000의 지도를 사용하여 지리적 좌표를 결정하는 정확도는 각각 2'' 및 10''입니다.

자기 통제를 위한 질문과 과제

1. 지리좌표계의 어떤 평면이 원래의 평면입니까?
2. “측지좌표”, “측지위도”, “측지경도”의 정의를 알려주세요.
3. 측지 위도와 측지 경도는 어떤 한계 내에서 측정됩니까?
4. 적도와 남극에 위치한 점의 측지위도는 얼마입니까?

지구의 모양과 크기에 대한 개념.

지구의 모습은 내부 중력과 원심력의 영향으로 형성됩니다. 지구에는 두 개의 표면이 있다는 것이 일반적으로 받아들여지고 있습니다.

물리적지구의 단단한 껍질로 형성되었으며, 수준세계의 바다 표면은 정신적으로 땅 아래 계속되었습니다.

평평한 표면으로 둘러싸인 몸체를 호출합니다. 지오이드. 지오이드는 복잡한 모양을 갖고 있어 수학적으로 표현되지 않습니다.

이와 관련하여 측지 측정 결과의 수학적 처리 및 지형도 구성을 위해 회전 타원체라는 또 다른 그림이 사용됩니다.

지구의 타원체는 다음과 같은 치수로 특징 지어집니다.

a – 주요 반축

b - 반단축

또는 극성 압축

엔지니어링 실무에서 지오이드 표면이 타원체 표면과 105m 벗어나거나 다르다는 사실에도 불구하고 측지 작품동일한 것으로 간주됩니다.

그리고 발트해의 평균 장기 수위를 평평한 표면으로 간주합니다.

다양한 계산을 위해 타원체와 같고 R = 6371.1km와 같은 공의 반경이 사용됩니다.

지리학자의 개념입니다. 코드.

위도 경도. 분 지리적 카드 프레임.

지리 좌표계에서 지구 표면의 한 지점 위치는 위도(ψ)와 경도(λ)의 두 각도에 의해 결정됩니다.

SA 0 유 – 그리니치 자오선

SM 0 Yu - t M을 통과하는 자오선, 좌표를 결정해야 함

MO – 점 M의 수직선

QQ 1 – 적도면

이 시스템에서는 구를 좌표면으로 사용하고 지리적(역사적) 자오선과 평행선을 좌표선으로 사용합니다.

지구의 극 회전축을 통과하는 평면에 의한 공 표면의 단면을 호출합니다. 자오선. 런던 근처 그리니치 천문대 홀 중앙을 통과하는 본초자오선을 본초자오선으로 간주합니다.

평면에 의한 공 표면의 단면, 수직. 회전축으로 땅이 불린다 유사점. 평면이 공의 중심을 통과하는 평행선을 O라고 합니다. 적도.

경도– 본초 자오선과 해당 지점을 통과하는 자오선 사이의 2면각입니다. 서부와 동부가 될 수 있으며 각도로 측정됩니다. 0에서 180까지

위도– 적도면과 점을 통해 그려진 평행선 사이의 각도입니다. 1도 - 111km. 0부터 90까지

직사각형 X 및 Y 좌표 Gauss-Kruger 구역 좌표계.

지구 물리적 표면의 점 위치는 다양한 좌표계에서 결정됩니다. 고려해 봅시다 직사각형 지역 좌표. 그들 Gauss-Kruger 구역 좌표계(문단 7 참조)에서 파생되며 작은 영역에 걸쳐 확장됩니다. 가로축은 현장의 특정 지점의 자오선과 정렬되거나 엔지니어링 구조의 주축과 평행하게 배치됩니다. 좌표 분기는 시계 방향으로 번호가 매겨져 있으며 기본 방향에 따라 이름이 지정됩니다(I-NE, II-SE, III-SW, IV-NW).

이 기사에서는 공간을 정의하는 방법, 좌표계가 무엇인지 배웁니다.

공간 설정

공간에서 한 점의 위치를 ​​결정하려면 작업에 따라 모든 좌표계를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 공 모양의 램프를 디자인하는 경우 구면 좌표를 사용하고, 문제가 나선형 움직임을 설명해야 하는 경우 원통형 좌표를 선택합니다. 따라서 앞서 일반적으로 사용되는 좌표계가 있습니다.

직교 좌표계 x, y, z

데카르트 또는 직사각형 좌표계. 데카르트 좌표계에서는 점의 위치가 각 축의 좌표를 사용하여 결정되고, 2차원 좌표계에서는 숫자 쌍(x,y)이며, 3차원 공간에서는 다음의 그룹입니다. 세 개의 숫자(x,y,z). 데카르트 시스템의 좌표는 실수 집합에 속합니다. x,y 및 z는 임의의 실수(-무한대;+무한대)입니다.

극좌표계 ρ, θ

극좌표계(Polar Coordinate System)는 임의의 점의 위치가 거리를 사용하여 결정되는 평면 좌표계입니다. 아르 자형좌표계 중심과 반경 벡터에서 x축까지의 각도입니다. 극좌표계는 각도와 거리에 따라 점 사이의 거리를 결정하는 것이 더 편리한 경우에 사용됩니다. 극좌표계는 복소수를 나타내는 데에도 사용됩니다. 극좌표계 r 0에서 각도 ψ ∈ )