Главная Варианты отопления Элементы механики сплошных сред. Квантовая природа излучения

Элементы механики сплошных сред. Квантовая природа излучения

План

1. Понятие сплошной среды. Общие свойства жидкостей и газов. Идеальная и вязкая жидкость. Уравнение Бернулли. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей. Формула Стокса. Формула Пуазейля.

2. Упругие напряжения. Энергия упруго деформированного тела.

Тезисы

1. Объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает. В жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жидкость обладает практически неизменным объемом. В механике с большой степенью точности жидкости и газы рассматриваются как сплошные, непрерывно распределенные в занятой ими части пространства. Плотность жидкости мало зависит от давления. Плотность же газов от давления зависит существенно. Из опыта известно, что сжимаемостью жидкости и газа во многих задачах можно пренебречь и пользоваться единым понятием несжимаемой жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем. Идеальная жидкость - физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения. Идеальная жидкость - воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения. Ей противоречит вязкая жидкость. Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади, называется давлением р жидкости . Единица давления - паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м 2 (1 Па=1 Н/м 2). Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паскаля: давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью.

Давление изменяется линейно с высотой. Давление Р=rgh называется гидростатическим. Сила давления на нижние слои жидкости больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа) , где r - плотность жидкости, V - объем погруженного в жидкость тела.

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости - потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 45). По картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S 1 и S 2 , перпендикулярные направлению скорости (рис. 46). Если жидкость несжимаема (r=const), то через сечение S 2 пройдет за 1 с такой же объем жидкости, как и через сечение S 1 , т. е. Произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Соотношение называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости. - уравнение Бернулли - выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости (здесь р - статическое давление (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина - динамическое давление, - гидростатическое давление). Для горизонтальной трубки тока уравнение Бернулли записывается в виде , где левая часть называется полным давлением. - формула Торричелли

Вязкость - это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоев. Сила внутреннего трения F тем больше, чем больше рассматриваемая площадь поверхности слоя S, и зависит от того, насколько быстро меняется скорость течения жидкости при переходе от слоя к слою. Величина Dv/Dx показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев, и называется градиентом скорости. Таким образом, модуль силы внутреннего трения равен , где коэффициент пропорциональности h, зависящий от природы жидкости, называется динамической вязкостью (или просто вязкостью). Единица вязкости - паскаль секунда (Па с) (1 Па с=1 Н с/м 2). Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной, тем большие силы внутреннего трения в ней возникают. Вязкость зависит от температуры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей с увеличением температуры уменьшается, у газов, наоборот, увеличивается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения. Особенно сильно от температуры зависит вязкость масел. Методы определения вязкости:

1) формула Стокса ; 2) формула Пуазейля

2. Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими. Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, называется напряжением и измеряется в паскалях. Количественной мерой, характеризующей степень деформации, испытываемой телом, является его относительная деформация. Относительное изменение длины стержня (продольная деформация) , относительное поперечное растяжение (сжатие) , где d -- диаметр стержня. Деформации e и e" всегда имеют разные знаки , где m - положительный коэффициент, зависящий от свойств материала, называемый коэффициентом Пуассона.

Роберт Гук экспериментально установил, что для малых деформаций относительное удлинение e и напряжение s прямо пропорциональны друг другу: , где коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга.

Модуль Юнга определяется напряжением, вызывающим относительное удлинение, равное единице . Тогда закон Гука можно записать так , где k - коэффициент упругости: удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе. Потенциальная энергия упруго растянутого (сжатого) стержня Деформации твердых тел подчиняются закону Гука только для упругих деформаций. Связь между деформацией и напряжением представляется в виде диаграммы напряжений (рис. 35). Из рисунка видно, что линейная зависимость s (e), установленная Гуком, выполняется лишь в очень узких пределах до так называемого предела пропорциональности (s п). При дальнейшем увеличении напряжения деформация еще упругая (хотя зависимость s (e) уже не линейна) и до предела упругости (s у) остаточные деформации не возникают. За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекращения действия силы, изобразится не кривой ВО, а параллельной ей - CF. Напряжение, при котором появляется заметная остаточная деформация (~=0,2 %), называется пределом текучести (s т) - точка С на кривой. В области CD деформация возрастает без увеличения напряжения, т. е. тело как бы «течет». Эта область называется областью текучести (или областью пластических деформаций). Материалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими, для которых же она практически отсутствует - хрупкими. При дальнейшем растяжении (за точку D) происходит разрушение тела. Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения, называется пределом прочности (s p).

Жидкости и газы во многом схожи по своим свойствам. Они текучи и принимают форму того сосуда, в котором находятся. Они подчиняются законам Паскаля и Архимеда.

При рассмотрении движения жидкостей можно пренебречь силами трения между слоями и считать их абсолютно несжимаемыми. Такая абсолютно невязкая и абсолютно несжимаемая жидкость называется идеальной .

Движение жидкости можно описать, если показать траектории движения ее частиц таким образом, чтобы касательная в любой точке траектории совпадала с вектором скорости. Эти линии называются линиями тока . Линии тока принято проводить так, чтобы их густота была больше там, где больше скорость течения жидкости (рис.2.11).

Величина и направление вектора скорости V в жидкости могут меняться со временем, то и картина линий тока может непрерывно меняться. Если же вектора скорости в каждой точке пространства не меняются, то течение жидкости называют стационарным .

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока . Частицы жидкости, двигаясь внутри трубки тока, не пересекают ее стенок.

Рассмотрим одну трубку тока и обозначим через S 1 и S 2 площади поперечного сечения в ней (рис.2.12). Тогда за единицу времени через S 1 и S 2 протекают одинаковые объемы жидкости:

S 1 V 1 =S 2 V 2 (2.47)

это применимо к любому сечению трубки тока. Следовательно, для идеальной жидкости величина SV=const в любом сечении трубки тока. Это соотношение называется неразрывностью струи . Из него следует:

т.е. скорость V стационарного течения жидкости обратно пропорциональна площади сечения S трубки тока, а это может быть обусловлено градиентом давления в жидкости вдоль трубки тока. Теорема о неразрывности струи (2.47) применима и к реальным жидкостям (газам) при их течении в трубах разного сечения, если силы трения невелики.

Уравнение Бернулли . Выделим в идеальной жидкости трубку тока переменного сечения (рис.2.12). В силу неразрывности струи через S 1 и S 2 за одно время протекают одинаковые объемы жидкости ΔV.

Энергия каждой частицы жидкости складывается из ее кинетической энергии и потенциальной энергии. Тогда при переходе от одного сечения трубки токи к другому приращение энергии жидкости будет:

В идеальной жидкости приращение ΔW должно равняться работе сил давления на изменение объема ΔV, т.е. А=(Р 1 -Р 2)· ΔV .

Приравнивая ΔW=A и сокращая на ΔVи учитывая, что (ρ -плотность жидкости), получим:

т.к. сечение трубки тока взяты произвольно, то для идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется:

. (2.48)

где Р -статическое давление в определенном сечении S трубки тока;

Динамическое давление для этого сечения; V-скорость протекания жидкости через это сечение;

ρgh -гидростатическое давление.

Уравнение (2.48) называется уравнением Бернулли .

Вязкая жидкость . В реальной жидкости при перемещении ее слоев относительно друг друга возникают силы внутреннего трения (вязкость). Пусть два слоя жидкости отстоят друг от друга на расстояние Δх и движутся со скоростями V 1 и V 2 (рис.2.13).

Тогда сила внутреннего трения между слоями (закон Ньютона):

, (2.49)

где η -коэффициент динамической вязкости жидкости:

Средняя арифметическая скорость молекул;

Средняя длина свободного пробега молекул;

Градиент скорости слоев; ΔS – площадь соприкасающихся слоев.

Слоистое течение жидкости называется ламинарным . При возрастании скорости слоистый характер течения нарушается, происходит перемешивание жидкости. Такое течение называют турбулентным .

При ламинарном течении поток жидкости Q в трубе радиуса R пропорционален перепаду давления на единице длины трубы ΔР/ℓ :

Формула Пуазейля. (2.51)

В реальных жидкостях и газах движущиеся тела испытывают действия силы сопротивления. Например, сила сопротивления, действующая на шарик, равномерно движущийся в вязкой среде, пропорциональна его скорости V:

Формула Стокса, (2.52)

где r -радиус шарика.

При увеличении скорости движения обтекание тела нарушается, позади тела образуются завихрения, на что дополнительно тратится энергия. Это приводит к возрастанию лобового сопротивления.

План

1. Элементы механики сплошных сред. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.

2. Упругие напряжения. Закон Гука.

Тезисы

1. Объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает. В жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жидкость обладает практически неизменным объемом. В механике с большой степенью точности жидкости и газы рассматриваются как сплошные, непрерывно распределенные в занятой ими части пространства. Плотность жидкости мало зависит от давления. Плотность же газов от давления зависит существенно. Из опыта известно, что сжимаемостью жидкости и газа во многих задачах можно пренебречь и пользоваться единым понятием несжимаемой жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем. Идеальная жидкость - физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения. Идеальная жидкость - воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения.Ей противоречит вязкая жидкость. Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади, называетсядавлением р жидкости . Единица давления - паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м 2 (1 Па=1 Н/м 2). Давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью.

Давление изменяется линейно с высотой . Давление Р=rgh называется гидростатическим. Сила давления на нижние слои жидкости больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда : на тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа) , где r - плотность жидкости, V - объем погруженного в жидкость тела.

1) формула Стокса ; 2) формула Пуазейля

Модуль Юнга определяется напряжением, вызывающим относительное удлинение, равное единице . Тогда закон Гука можно записать так , где k - коэффициент упругости: удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе. Потенциальная энергия упруго растянутого (сжатого) стержня Деформации твердых тел подчиняются закону Гука только для упругих деформаций. Связь между деформацией и напряжением представляется в виде диаграммы напряжений (рис. 35). Из рисунка видно, что линейная зависимость s (e), установленная Гуком, выполняется лишь в очень узких пределах до так называемого предела пропорциональности (s п). При дальнейшем увеличении напряжения деформация еще упругая (хотя зависимость s (e) уже не линейна) и до предела упругости (s у) остаточные деформации не возникают. За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекращения действия силы, изобразится не кривой ВО, а параллельной ей - CF. Напряжение, при котором появляется заметная остаточная деформация (~=0,2 %), называется пределом текучести (s т) - точка С на кривой. В области CD деформация возрастает без увеличения напряжения, т. е. тело как бы «течет». Эта область называется областью текучести (или областью пластических деформаций). Материалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими, для которых же она практически отсутствует - хрупкими. При дальнейшем растяжении (за точку D) происходит разрушение тела. Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения - предел прочности (s p).

7.1. Общие свойства жидкостей и газов. Кинематическое описание движения жидкости. Векторные поля. Поток и циркуляция векторного поля. Стационарное течение идеальной жидкости. Линии и трубки тока. Уравнения движения и равновесия жидкости. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

Механика сплошных сред – это раздел механики, посвященный изучению движения и равновесия газов, жидкостей, плазмы и деформируемых твердых тел. Основное допущение механики сплошных сред состоит в том, что вещество можно рассматривать как непрерывную сплошную среду, пренебрегая его молекулярным (атомным) строением, и одновременно считать непрерывным распределение в среде всех ее характеристик (плотности, напряжений, скоростей частиц).

Жидкость – это вещество в конденсированном состоянии, промежуточном между твердым и газообразным. Область существования жидкости ограничена со стороны низких температур фазовым переходом в твердое состояние (кристаллизация), а со стороны высоких температур – в газообразное (испарение). При изучении свойств сплошной среды сама среда представляется состоящей из частиц, размеры которых много больше размеров молекул. Таким образом, каждая частица включает в себя огромное количество молекул.

Чтобы описать движение жидкости, можно задать положение каждой частицы жидкости как функцию времени. Такой способ описания разрабатывался Лагранжем. Но можно следить не за частицами жидкости, а за отдельными точками пространства, и отмечать скорость, с которой проходят через каждую точку отдельные частицы жидкости. Второй способ называется методом Эйлера.

Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени.

Совокупность векторов ,заданных для всех точек пространства, образует поле вектора скорости, которое можно изобразить следующим образом. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпала по направлению с вектором(рис.7.1). Эти линии называются линиями тока. Условимся проводить линии тока так, чтобы их густота (отношение числа линий
к величине перпендикулярной к ним площадки
, через которую они проходят) была пропорциональна величине скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно будет судить не только о направлении, но и о величине векторав разных точках пространства: там, где скорость больше, линии тока будут гуще.

Число линий тока, проходящих через площадку
, перпендикулярную к линиям тока, равно
, если площадка ориентирована произвольно к линиям тока, число линий тока равно, где
- угол между направлением вектораи нормалью к площадке. Часто используют обозначение
. Число линий тока через площадкуконечных размеров определяется интегралом:
. Интеграл такого вида называется потоком векторачерез площадку.

Величина и направление вектораменяется со временем, следовательно, и картина линий не остается постоянной. Если в каждой точке пространства вектор скорости остается постоянным по величине и направлению, то течение называется установившимся или стационарным. При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одним и тем же значением скорости. Картина линий тока в этом случае не меняется, и линии тока совпадают с траекториями частиц.

Поток вектора через некоторую поверхность и циркуляция вектора по заданному контуру позволяют судить о характере векторного поля. Однако эти величины дают среднюю характеристику поля в пределах объема, охватываемого поверхностью, через которую определяется поток, или в окрестности контура, по которому берется циркуляция. Уменьшая размеры поверхности или контура (стягивая их в точку), можно придти к величинам, которые будут характеризовать векторное поле в данной точке.

Рассмотрим поле вектора скорости несжимаемой неразрывной жидкости. Поток вектора скорости через некоторую поверхность равен объему жидкости, протекающей через эту поверхность в единицу времени. Построим в окрестности точки Р воображаемую замкнутую поверхность S (рис.7.2). Если в объеме V , ограниченном поверхностью, жидкость не возникает и не исчезает, то поток, вытекающий наружу через поверхность, будет равен нулю. Отличие потока от нуля будет указывать на то, что внутри поверхности имеются источники или стоки жидкости, т.е.точки, в которых жидкость поступает в объем (источники) или удаляется из объема (стоки).Величина потока определяет суммарную мощность источников и стоков. При преобладании источников над стоками поток положительный, при преобладании стоков – отрицательный.

Частное от деления потока на величину объема, из которого поток вытекает,
, есть средняя удельная мощность источников, заключенных в объемеV. Чем меньше объем V, включающий в себя точку Р, тем ближе это среднее значение к истинной удельной мощности в этой точке. В пределе при
, т.е. при стягивании объема в точку, мы получим истинную удельную мощность источников в точкеР, называемую дивергенцией (расхождением) вектора :
. Полученное выражение справедливо для любого вектора. Интегрирование ведется по замкнутой поверхностиS, ограничивающей объем V . Дивергенция определяется поведением векторной функции вблизи точкиР. Дивергенция - это скалярная функция координат, определяющих положение точкиР в пространстве.

Найдем выражение для дивергенции в декартовой системе координат. Рассмотрим в окрестности точки Р(x,y,z) малый объем в виде параллелепипеда с ребрами, параллельными осям координат (рис.7.3). В виду малости объема (его будем стремить к нулю) значения
в пределах каждой из шести граней параллелепипеда можно считать неизменными. Поток через всю замкнутую поверхность образуется из потоков, текущих через каждую из шести граней в отдельности.

Найдем поток через пару граней, перпендикулярных ост Х на рис.7.3 грани 1 и 2). Внешняя нормаль к грани 2 совпадает с направлением осиХ . Поэтому
и поток через грань 2 равен
.Нормальимеет направление, противоположное осиХ. Проекции вектора на осьХ и на нормальимеют противоположные знаки,
, и поток через грань 1 равен
. Суммарный поток в направленииХ равен
. Разность
представляет собой приращение при смещении вдоль оси Х на
. Ввиду малости

. Тогда получаем
. Аналогично, через пары граней, перпендикулярных осямY и Z , потоки равны
и
. Полный поток через замкнутую поверхность. Разделив это выражение на
, найдем дивергенцию вектора в точкеР :

Зная дивергенцию вектора в каждой точке пространства, можно вычислить поток этого вектора через любую поверхность конечных размеров. Для этого разобьем объем, ограниченный поверхностьюS , на бесконечно большое число бесконечно малых элементов
(рис.7.4).

Для любого элемента
поток вектора через поверхность этого элемента равен
. Просуммировав по всем элементам
, получаем поток через поверхностьS , ограничивающую объем V :
, интегрирование производится объемуV, или

Это теорема Остроградского – Гаусса. Здесь
,- единичный вектор нормали к поверхностиdS в данной точке.

Вернемся к течению несжимаемой жидкости. Построим контур . Представим себе, что мы каким-то образом заморозили мгновенно жидкость во всем объеме за исключением очень тонкого замкнутого канала постоянного сечения, включающего в себя контур(рис.7.5). В зависимости от характера течения жидкость в образовавшемся канале окажется либо неподвижной, либо движущейся (циркулирующей) вдоль контура в одном из возможных направлений. В качестве меры этого движения выбирается величина, равная произведению скорости жидкости в канале и длины контура,
. Эта величина называется циркуляцией векторапо контуру(так как канал имеет постоянное сечение и модуль скорости не меняется). В момент затвердевания стенок у каждой частицы жидкости в канале будет гаситься составляющая скорости, перпендикулярная к стенке и останется лишь составляющая, касательная к контуру. С этой составляющей связан импульс
, модуль которого для частицы жидкости, заключенной в отрезке канала длиной
, равен
, где- плотность жидкости,- сечение канала. Жидкость идеальная – трения нет, поэтому действие стенок может изменить только направление
, его величина останется постоянной. Взаимодействие между частицами жидкости вызовет такое перераспределение импульса между ними, которое выровняет скорости всех частиц. При этом алгебраическая сумма импульсов сохраняется, поэтому
, где - скорость циркуляции, - касательная составляющая скорости жидкости в объеме
в момент времени, предшествовавший затвердеванию стенок. Разделив на
, получим
.

Циркуляция характеризует свойства поля, усредненные по области с размерами порядка поперечника контура. Чтобы получить характеристику поля в точкеР , нужно уменьшит размеры контура, стягивая его в точку Р . При этом в качестве характеристики поля берут предел отношения циркуляции вектора по плоскому контуру, стягивающемуся в точкуР , к величине плоскости контура S :
. Величина этого предела зависит не только от свойств поля в точке Р , но и от ориентации контура в пространстве, которая может быть задана направлением положительной нормали к плоскости контура (положительной считается нормаль, связанная с направлением обхода контура правилом правого винта). Определяя этот предел для разных направлений, мы получим разные его значения, причем для противоположный направлений нормаль эти значения отличаются знаком. Для некоторого направления нормали величина предела будет максимальной. Таким образом, величина предела ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Максимальное значение предела определяет модуль этого вектора, а направление положительной нормали, при котором достигается максимум, дает направление вектора. Этот вектор называется ротором или вихрем вектора:
.

Чтобы найти проекции ротора на оси декартовой система координат, нужно определить значения предела для таких ориентаций площадки S , при которых нормаль к площадке совпадает с одной из осейX,Y,Z. Если, например, направить по оси Х , найдем
. Контуррасположен в этом случае в плоскости, параллельнойYZ , возьмем контур в виде прямоугольника со сторонами
и
. При
значенияина каждой из четырех сторон контура можно считать неизменными. Участок 1 контура (рис.7.6) противоположен осиZ , поэтому на этом участке совпадает с
, на участке 2
, на участке 3
, на участке 4
. Для циркуляции по этому контуру получаем значение: . Разность
представляет собой приращение при смещении вдоль Y на
. Ввиду малости
это приращение можно представить в виде
.Аналогично, разность
. Тогда циркуляция по рассматриваемому контуру
,

где
- площадь контура. Разделив циркуляцию на
, найдем проекцию ротора на ось Х :
. Аналогично,
,
. Тогда ротор вектора определяется выражением:

+
,

или
.

Зная ротор вектора в каждой точке некоторой поверхностиS , можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру , ограничивающему поверхностьS . Для этого разобьем поверхность на очень малые элементы
(рис.7.7). Циркуляция по контуру, ограничивающему
равна
, где - положительная нормаль к элементу
. Просуммировав эти выражения по всей поверхности S и подставив выражение для циркуляции, получим
. Это теорема Стокса.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Вектор ,будучи в каждой точке касательным к линии тока, будет касательным к поверхности трубки тока, и частицы жидкости не пересекают стенок трубки тока.

Рассмотрим перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока S (рис.7.8.). Будем считать, что скорость частиц жидкости одинакова во всех точках этого сечения. За время
через сечениеS пройдут все частицы, расстояние которых в начальный момент не превышает значения
. Следовательно, за время
через сечениеS
, а за единицу времени через сечениеS пройдет объем жидкости, равный
.. Будем считать, что трубка тока настолько тонкая, что скорость частиц в каждом ее сечении можно считать постоянной. Если жидкость несжимаемая (т.е. ее плотность всюду одинакова и не меняется), то количество жидкости между сечениямии(рис.7.9.) будет оставаться неизменным. Тогда объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сеченияи, должны быть одинаковыми:

Таким образом, для несжимаемой жидкости величина
в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинакова:

.Это утверждение называется теоремой о неразрывности струи.

Движение идеальной жидкости описывается уравнением Навье-Стокса:

где t - время, x,y,z – координаты жидкой частицы,

- проекции объемной силы, р – давление, ρ – плотность среды. Это уравнение позволяет определить проекции скорости частицы среды как функции координат и времени. Чтобы замкнуть систему, к уравнению Навье- Стокса добавляют уравнение неразрывности, которое является следствием теоремы о неразрывности струи:

. Для интегрирования этих уравнений требуется задать начальные (если движение не является стационарным) и граничные условия.

Общие свойства жидкостей и газов. Уравнение равновесия и движение жидкости. Гидростатика несжимаемой жидкости. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли. Идеально упругое тело.Упругие напряжения и деформации. Закон Гука. Модуль Юнга.

Релятивистская механика.

Принцип относительности и преобразования Галилея. Экспериментальные обоснования специальной теории относительности(СТО). Постулаты специальной теории относительности Эйнштейна. Преобразования Лоренца. Понятие одновременности. Относительность длин и промежутков времени. Релятивистский закон сложения скоростей. Релятивистский импульс. Уравнение движения релятивистской частицы. Релятивистское выражение для кинетической энергии. Взаимосвязь массы и энергии. Соотношение между полной энергией и импульсом частицы. Границы применимости классической (ньютоновской) механики.

Основы молекулярной физики и термодинамики

Термодинамические системы.Идеальный газ .

Динамические и статистические закономерности в физике. Статистический и термодинамический методы исследования макроскопических явлений.

Тепловое движение молекул. Взаимодействие между молекулами. Идеальный газ. Состояние системы. Термодинамические параметры состояния. Равновесные состояния и процессы, их изображение на термодинамических диаграммах. Уравнение состояния идеального газа.

Основы молекулярно-кинетической теории.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов и его сравнение с уравнением Клапейрона-Менделеева. Средняя кинетическая энергия молекул. Молекулярно-кинетическое толкование термодинамической температуры. Число степеней свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа.

Закон Максвелла для распределения молекул по скоростям и энергиям теплового движения. Идеальный газ в силовом поле. Больцмановское распределение молекул в силовом поле. Барометрическая формула.

Эффективный диаметр молекул. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул. Явления переноса.

Основы термодинамики.

Работа газа при изменении его объема. Количество теплоты. Первое начало термодинамики. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам и адиабатическому процессу идеального газа. Зависимость теплоемкости идеального газа от вида процесса. Второе начало термодинамики. Тепловой двигатель. Круговые процессы. Цикл Карно, коэффициент полезного действия цикла Карно.

3 .Электростатика

Электрическое поле в вакууме.

Закон сохранения электрического заряда. Электрическое поле. Основные характеристики электрического поля: напряженность и потенциал. Напряженность как градиент потенциала. Расчет электростатических полей методом суперпозиции. Поток вектора напряженности. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме. Применение теоремы Остроградского-Гаусса к расчету поля.

Электрическое поле в диэлектриках.

Свободные и связанные заряды. Типы диэлектриков. Электронная и ориентационная поляризации. Поляризованность. Диэлектрическая восприимчивость вещества. Электрическое смещение. Диэлектрическая проницаемость среды. Вычисление напряженности поля в однородном диэлектрике.

Проводники в электрическом поле.

Поле внутри проводника и у его поверхности. Распределение зарядов в проводнике. Электроемкость уединенного проводника. Взаимная емкость двух проводников. Конденсаторы. Энергия заряженных проводника, конденсатора и системы проводников. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии.

Постоянный электрический ток

Сила тока. Плотность тока. Условия существования тока. Сторонние силы. Электродвижущая сила источника тока. Закон Ома для неоднородного участка электрической цепи. Правила Кирхгофа. Работа и мощность электрического тока. Закон Джоуля – Ленца. Классическая теория электропроводности металлов. Трудности классической теории.

Электромагнетизм

Магнитное поле в вакууме.

Магнитное взаимодействие постоянных токов. Магнитное поле. Вектор магнитной индукции. Закон Ампера. Магнитное поле тока. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету магнитного поля прямолинейного проводника с током. Магнитное поле кругового тока. Закон полного тока (циркуляция вектора магнитной индукции) для магнитного поля в вакууме и его применение к расчету магнитного поля тороида и длинного соленоида. Магнитный поток. Теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля. Вихревой характер магнитного поля Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Вращение контура с током в магнитном поле. Работа перемещения проводника и контура с током в магнитном поле.

Электромагнитная индукция.

Явление электромагнитной индукции (опыты Фарадея). Правило Ленца. Закон электромагнитной индукции и его вывод из закона сохранения энергии. Явление самоиндукции. Индуктивность. Токи при замыкании и размыкании электрической цепи, содержащей индуктивность. Энергия катушки с током. Объемная плотность энергии магнитного поля.

Магнитное поле в веществе.

Магнитный момент атомов. Типы магнетиков. Намагниченность. Микро- и макротоки. Элементарная теория диа- и парамагнетизма. Закон полного тока для магнитного поля в веществе. Напряженность магнитного поля. Магнитная проницаемость среды. Ферромагнетики. Магнитный гистерезис. Точка Кюри. Спиновая природа ферромагнетизма.

Уравнения Максвелла.

Фарадеевская и Максвелловская трактовки явления электромагнитной индукции. Ток смещения. Система уравнений Максвелла в интегральной форме.

Колебательное движение

Понятие о колебательных процессах. Единый подход к колебаниям различной физической природы.

Амплитуда, частота, фаза гармонических колебаний. Сложение гармонических колебаний. Векторные диаграммы.

Маятник, груз на пружине, колебательный контур. Свободные затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний Коэффициент затухания, логарифмический декремент, добротность.

Вынужденные колебания при синусоидальном воздействии. Амплитуда и фаза при вынужденных колебаниях. Резонансные кривые. Вынужденные колебания в электрических цепях.

Волны

Механизм образования волн в упругой среде. Продольные и поперечные волны. Плоская синусоидальная волна. Бегущие и стоячие волны. Фазовая скорость, длина волны, волновое число. Одномерное волновое уравнение. Групповая скорость и дисперсия волн. Энергетические соотношения. Вектор Умова. Плоские электромагнитные волны. Поляризация волн. Энергетические соотношения. Вектор Пойнтинга. Излучение диполя. Диаграмма направленности

8 . Волновая оптика

Интерференция света .

Когерентность и монохроматичность световых волн. Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников. Опыт Юнга. Интерференция света в тонких пленках. Интерферометры.

Дифракция света.

Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света. Дифракция Френеля на круглом отверстии. Дифракция Фраунгофера на одной щели. Дифракционная решетка как спектральный прибор. Понятие о голографическом методе получения и восстановлении изображения.

Поляризация света.

Естественный и поляризовнный свет. Поляризация при отражении. Закон Брюстера. Анализ линейно-поляризованного света. Закон Малюса. Двойное лучепреломление. Искусственная оптическая анизотропия. Электрооптические и магнитооптические эффекты.

Дисперсия света.

Области нормальной и аномальной дисперсии. Электронная теория дисперсии света.

Квантовая природа излучения

Тепловое излучение.

Характеристики теплового излучения. Поглощательная способность. Черное тело. Закон Кирхгофа для теплового излучения. Закон Стефана-Больцмана. Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела. Закон смещения Вина. Квантовая гипотеза и формула Планка.

Квантовая природа света.

Внешний фотоэффект и его законы. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Фотоны. Масса и импульс фотона. Давление света. Опыты Лебедева. Квантовое и волновое объяснение давления света. Корпускулярно-волновой дуализм света.